C^ "= C^ "^ C6 "" (> ^ (TP "*" CP "^^ •"" C
la suite de tous les points o, o',... relatifs à la section conique, sera, comme on sait, sur une même droite polaire de C passant par le point de contact P. Or, cette polaire sera déterminée et pourra être tracée sans que l'on connaisse l'oscula-
(*] Je supprime ici cette équation assez complexe^ peu susceptible de calcul numérique ou d'une interprétation géométrique, et que, pour ce motif, je rangerai volontiers au nombre de ces avortements, de. ces résultats stériles qui viennent inutilement surcharger le bagage déjà si encombré des mathématiques.
APPUQUÉE AUX œURBKS GÉOMÉTRIQUES. lay
irice; car l'équation ci-dessus donne la valeur de Co en fonction de Cr,Cr',...,C/f, C/r', etc., qui sont connues. On pourrait donc aussi en conclure, sans plus faire attention à la conique osculatrice, que si, cr autour d'un point fixe G quelconque de
Fig. 85.
j> la tangente P/>, on fait tourner la transversale Crrenconw irant la courbe géométrique en r, r', r'^, . . . , et ses tangentes » correspondantes à /?... aux poinls kp /r', . . . , et qu'on prenne n sans cesse sur la ligne pivotante Cr'A, »
(I) 7h = ir-
Cô
Cr
la suite de tous les points o, o', . . . , ainsi obtenus, se trouvera ne former qu'une seule et même droite, passant par le point P de contact de la tangente CP.
Remarques diverses, — Cette proposition se rattache à une autre de Cotes et Maclaurin, en observant que Ton peut remplacer les tangentes pk, . . . , qui répondent aux signes négatifs, par des droites parallèles et placées symétriquement à Tégard du pôle C, sauf à prendre dans la nouvelle équation les segments qui les concernent avec les signes qu'ils doivent naturellement avoir par rapport à leurs positions correspondanies de part et d'autre du pôle C.
ia8 n« CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES
Si le point C de la tangente Vp était situé à Tinfini» c'esl-àdire si les tranversales Cr' A' devenaient paraUèles à cette tangente, la droite oo',. . ., polaire de C, se confondrait, comme on sait, avec le diamètre de la section conique osculatrice au point P; mais, dans ce même cas, l'équation précédente, sous sa forme actuelle, ne ferait plus connaître la position des points o, o',..., parce qu'alors Co deviendrait infini pour toutes les sécantes cr, cr', .... Cependant il n'en résulte nullement que la suite de tous les points o, o', . . . , cesse d'être située dans la région finie de la courbe, puisqu'elle constitue le diamètre même de la conique osculatrice. C'est ce dont, au surplus, on peut s'assurer par une analyse directe.
Pour déterminer alors la position des points o, o\..,, il est nécessaire de mettre l'équation (i) ci-dessus sous une autre forme, en remplaçant l'origine C, qui s'éloigne à l'infini, par une autre qui soit absolument indépendante d^ cette circonstance particulière (*).
Transformation de la dernière équation. — k une distance connue de P, soit pris sur la direction de la sécante mobile Cr', le point A comme origine des segments, alors on aura
Co = AC — Ao, Cfl = AC-Art, C6 = AC--A^ Cr=AC--Ar, Cr' = AC-Ar', CX = AC-AX...
Substituant dans l'équation (i) ci-dessus, il viendra
."i~77^ 117 • Tn i~ir«r "!"•••
AC-Ao^AC-Ar^AC-Ar'^AC-Ar" ' *• AC-A/ AC-AX'
ou, en réduisant au même dénominateur,
a (AC-Ar)(AC-Ar')... (AC-AX-) (AC-AX-')...
(AC-ArOlAC-Ar").. .(AC-AX-) (AC-AX-')...
(AC-Ar)(AC-AO...(AC-AX-)(AC-AX-')...
= (AC-Ao)
