III I

Ca""Cr^Cr'^ " Ck C/r

Si donc l'on faisait tourner la droite Cr autour du point donné /•*', on obtiendrait successivement tous les points a de la conique osculatrice en P et passant par ce point r''.

Supposons que, au lieu de prendre le point b en un point quelconque de la courbe donnée, on le prenne précisément au point P; alors la section conique sera osculatrice du 4* ordre avec la courbe en ce poini; Cr" deviendra nul, mais l'équation ci-dessus ne changera pas de forme et donnera toujours la valeur de C a ou Pa, c'est-à-dire le point de l'oscula-

APPLIQUÉE AUX œURBES GÉOMÉTRIQUES. 141

irice qui se trouve sur la sécante arbitraire Pa; puisqu'elle

donne

En faisant varier Pr on aura successivement tous les points a de la conique osculatrice; on pourra donc la décrire par points. On aura d'ailleurs son diamètre qui passe par le point de contact P, comme cela a été dit ci-dessus; menant donc par le

point P ce diamètre, et le prenant pour la sécante P/i dans une de ses positions, on calculera la longueur du diamètre de la conique cherchée dont ensuite on trouvera facilement le reste.

Exemple des courbes du 3* degré, — On a alors simplement

Pâ""ÏV"^P?""Pl'

qu'on prolonge la tangente pk jusqu'à sa rencontre avec la courbe en /r', et soit menée la sécante particulière PA'; P^ deviendra égale à Pr dans celte supposition, et l'équation cidessus se réduira à la simple égalité

' ' ou P^ = Pr'.

Va P/

i42 n« CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

Donc le point A, où la sécante PA^' vient de nouveau rencontrer la courbe, est précisément le 6* point d'intersection de la conique et de cette courbe, qui se détermine, comme on le voit, par la règle seulement.

CONSÉQUENCES GÉNÉRALES RELATIVES AUX SYSTÈMES DE POINTS, DE DROITES, DE PLANS, DE LIGNES ET DE SURFACES GÉOMÉ- TRIQUES d'ordre quelconque.

Notions fondamentales relatives aux centres et aux axes de moyenne distance, de moyenne et d'origine harmonique {*),

Définition de la moyenne harmonique d'après Maclaurin. — Soit {Jig. 95 ) la relation, toute géométrique,

dans laquelle 0/r est appelée par Maclaurin (ouvrage cité. Appendice^ p. 20 et suiv. ) moyenne harmonique entre les m

Fi(T. 95.

segments Oa, 06, Or,. . . comptés sur une droite OA,à partir

d'une origine flxe 0, donnée à priori ei par rapport à laquelle

'la loi ordinaire des signes de position est observée comme

(*) Cette partie du manuscrit, écrite dans Thiver de 1816, se composant d'un texte fort laconique , de notes éparses et non encore mises en ordre, j'ai dû en compléter la rédaction, en m^astreignant, comme toujours, à n'en modifier en aucune manière, le sens ni les intentions.

APPLIQUÉE AUX œURBES GÉOMÉTRIQUES. i43

dans loulçs les relalions, entre réciproques de segments, dont on s'est précédemment occupé (*).

De cette équation on déduit immédiatement la valeur de 0/r en Oa, 06, Oc,. . ., et,^comme Maclaurin le montre dans son Traité, le point k peut être construit de proche en proche, linéairement ou avec la règle seule, par un procédé géométrique fondé sur les propriétés du faisceau de quatre droites convergentes, nommées liarmonicales par Ph. de La Hire, successeur de Desargues et de Pascal, auquel Maclaurin attribue gratuitement la découverte de ces beaux théorèmes dus aux Anciens: Euclide, Apollonius, Pappus. Mais cette marche indirecte, adoptée par Maclaurin, n'éclaire pas suffisamment la question non plus que la nature géométrique ou algébrique du point ky et il paraît bien évident, par exemple, que si Ton rapportait les segments Oa, 06, Oc, . . . de la relaiion ci-dessus, à une autre origine A de Taxe OA, elle ne conserverait plus la même forme algébrique, ou bien elle définirait un point trèsdistinct de ky et qui serait conjugué harmoniquement à la nouvelle origine A. De plus, il est remarquable que cette même relation devient identique, illusoire, quand on suppose

(*] Ceci est une pure convention, permise néanmoins comme définilion à priori de la moyenne harmonique. Quant à la loi môme des signes de position, telle qu'on Tadmeltait dès Fépoque de Maclaurin, elle consiste, comme on a dû s*en apercevoir par ce qui précède , en ce que les réciproques des segments dirigés en sens contraire, par rapport à Forigine commune, doivent prendre des signes difîérents. Mais il n'est pas nécessaire, comme le fait Maclaurin dans V appendice à son Algèbre posthume, de s'inquiéter, à l'avance et pour chaque cas , de la nature des signes de réciproques qui entrent dans la somme à considérer; il suflit, ainsi que nous l'avons constamment fait dans ce Cahier, de raisonner d'aprè» l'hypothèse générale où les termes sont positifs dans les deux membres de l'équation primitive de définition, ce qui a lieu quand op suppose une position extrême ou extérieure au point (Porigine des segments. Ainsi il s'agit ici de sommes envisagées au point de vue ordinaire purement algébrique ou implicite des signes, dont toute la difficulté, dans chaque cas d'application et en général, consiste à montrer l'accord qui existe entre la loi de mutations de ces signes et les cbangemens mêmes de position des points correspondants de la figure, conformément au princi[)e de continuité. Or tel est le but que, dès 1 8 1 6, je m'étais proposé d'atteindre. [Voir le 111* Cahier ci -après.)

i44 n* CAHIER. — MÉTHODE DES TRANSVERSALES

le point 0 à Tinfini ou simplement confondu avec l'un quelconque des points donnes a, 6, c, . . . .

Changement de Vorigine des segments. — Afin d'éviter do tels inconvénients, il est indispensable de transformer l'équation qui définit le point k de manière qu'elle puisse s'appliquer à une autre origine A, sans altérer la position inconnue de ce point par rapport aux points donnés a, b, c, .». . .

Or on a, par exemple, en supposant A tout à fait au dehors et à droite de c«s points,

OX = AO-AX-, 0« = A0 — A/ar, Ob= XO-Xb,. . ., puis, on substituant dans la relation proposée,

AO-AX" A0-A/ï"^A0-A^"*"A0-.Ar'^*"*'

d*où Ton tirera AX- quand AO sera donné à priori, et réciproquement.

En réduisant tous les termes de cette dernière équation au même dénominateur, on peut lui donner la nouvelle forme

m (AO - Xn) (AO - A^) (AO - Ac). . . = (A0-AX-)[{A0-A^)(A0-Ac)...-h(A0-A/ï)(A0~Ac)...4-...]-

Développant d'après la théorie des équations, appelant P la somme des simples segments ou racines Xa, Xb, Ac,.., Q la somme do leurs produits deux à deux, . . . , R celle de leurs produits tn — i à m — i; enGn S leur produit total ou complet, il vient

w(ÂÔ'"-P.ÂÔ'"''4-Q.ÂÔ""'-...ifcR.A0qiS) = (A0-AX)[wÂÔ"*''-(/w-i)P.Â5'""V(//i-a)Q.Â0""*-...±R]:

réduisant, le terme mXO disparaîtra naturellement, et il restera, en ordonnant par rapport à AO,

(P-//îAX)ÂÔ'""'4-[(//î-i)P.AX-aQ]ÂÔ'""V...=F(R.AX-iwS) = o.

Cas oit le centi^ de moyenne harmonique se change en un centi'e de moyenne distance. — Si l'on fait AO infini dans cette

équation, après l'avoir divisée d'abord par AO , ollo cessera

de devenir identique, et donnera pour calculer la valeur correspondante de A A*»

Aa-|-A6-|-Ac-f-...

P — mA/r = o, ou Aâ=:

c'est-à-dire que le point 0 étant à Tinfini, son conjugué liarmonique A* se trouve être le centre de moyenne distance des points a, b, c,. . ., selon la définition adoptée par Carnot, d'après Lhuilier de Genève, et qui suffit pour caractériser la nature et les propriétés géométriques du point /r, que par analogie, je nomme le centre de moyenne harmonique des points a, 6, c,. . ., relativement à l'origine particulière 0, des segments. Mais il y a plus encore, les nombreuses propriétés du centre de moyenne distance, qui, au fond, sont les mêmes que celles du centre de gravité, conduisent pour le centre de moyenne harmonique à beaucoup d'autres intéressants théorèmes auxquels on n'avait pas songé jusqu'ici (1816) (*).

Propriétés, relations fondamentales projectives, des centres de moyenne distance et de moyenne harmonique. — Qu'il me suffise ici de rappeler que l'une des propriétés les plus remarquables du centre de moyenne distance consiste en ce que, si l'on y place l'origine des abscisses ou segments, la somme de ceux qui sont situés à droite de ce point devient précisément égale à celle des segments situés à gauche. Or, c'est réellement ainsi que Newton, dans son Énumération des lignes du 3* ordre, définit le point milieu des appliquées parallèles des courbes géométriques dont le lieu constitue la droite nommée diamètre par ce grand homme, d'après l'analogie offerte par les coniques ou lignes du second degré, analogie poussée beaucoup trop loin, comme on le verra ci-après, quand on veut l'étendre avec Newton, jusqu'à la définition même des sommets et du centre des courbes géométriques en général.

D'autre part, la correspondance intime entre le centre de moyenne distance et celui de moyenne harmonique laisse

(*) Foir le Mémoire sur les centres de moyennes harmoniques, t. III, p. !ii3, du Journal de Crelle^ où la définition dé ces points est étendue au cas où les réciproques des segments sont multipliés par des coeflicients numériques quelconques.

If. 10

entrevoir que l'un est la perspective ou projection centrale de l'autre, et que, par conséquent, il en doit être de même des relations métriques ou descriptives qui leur appartiennent. Or, c'est là encore une présomption facile à vérifier par une nouvelle et très-simple transformation de l'équation primitive ; mais je me contente ici de faire observer qu'il résulte de ces rapprochements une manière nouvelle, très-concise et très-élégante d'énoncer les théorèmes de Newton, de Cotes et de Maclaurin (*) :

« Si l'on fait tourner la transversale 0/r (Jig, gS, p. 142) au- » tour de 0 comme pôle, et qu'elle rencontre une courbe » géométrique en autant de points a, 6, c,. . . que le marque

(*) Newton, dans son É numération des lignes du Z^ ordre, s*est servi, le premier, de la projection des courbes par les ombres, en remarquant qu'elle n'altérait nullement le degré et les affections essentielles de ces courbes relatives à leurs intersections et tangences avec d'autres; mais ni lui ni ses successeurs immédiats, Maclaurin et Waring, n'ont songé à établir un rapprochement quelconque entre les propriétés des diamètres des courbes géométriques et celles des droites lieu des points de moyenne harmonique de Cotes, du moins au point de vue de leurs projections réciproques; le motif en est fort simple : ils ignoraient la correspondaDCO intime qui existe entre ce que je nommais, dès Tépoque de 1816, le centre de moyenne tuirmonique et le centre de moyenne distance relatif au cas où le pôle des transversales rayonnantes passe à l'infini. Et voilà aussi pourquoi je ne pense pas qu'antérieurement à mars 1824 où je présentai à l'Institut de France les Mémoires qui ont suivi de près le Traité ries Propriétés projectiles^ personne ait eu la nette intuition de cette remarquable correspondance, comme quelques auteurs modernes semblent l'admettre par prévention ou ignorance de ce qui caractérise une véritable découverte et une méthode nouvelle de démonstration, soit en Géométrie pure, soit en Analyse algébrique.

Au surplus, ce que je viens de dire des centres de moyenne distance et de moyenne harmonique dont Newton et Maclaurin ne pouvaient connaître le nom, je puis le répéter à l'égard du beau théorème du premier de ces grands géomètres, relatif à la coïncidence du diamètre d'une courbe algébrique avec celui du système de ses asymptotes, quand on prétend le comparer à son analogue relatif aux axes de moyenne harmonique communs à une courbe et à un certain système de ses tangentes. Ce théorème, découvert et démontré algébriquement par Maclaurin, se trouve établi cidessus à notre manière (p. 120 à \iZ/fig, 81) ; car, à l'époque où il écrivait, ainsi qu'à celle de Newton, on ne se doutait guère, si j'en crois un

» son degré m, le centre k des moyennes harmoniques de ces » divers points pris relativement au pôle 0, se meut sur une » droite qu'on peut appeler Vaxe ou polaire harmonique de » la courbe par rapport à ce pôle; cet axe se changeant en I) celui du centre de moyenne distance des intersections » a^ b,c,. . .y nommé diamètre par Newton, quand le pôle pas- » sant à l'infini, les sécantes transversales deviennent paraln lèles à une droite fixe. »

Démonstration dji théorème de Cotes par Maclaurin, — Maclaurin démontre le théorème de Cotes d'une double manière : I** géométriquement, en partant du cas singulier où la courbe est remplacée par un système de lignes droites dont Taxe ou polaire harmonique s'obtient en procédant de proche en proche, comme je l'ai rappelé ci-dessus; car c'est là une

célèbre apophthegme de philosophie transcendanto, tour à tour attribué à Platon, à Descartes, à Loibnitz, à Pascal, etc., que tous les points à rinfini d'un plan ou de l'espace dussent se trouver, non pas sur un cercle ou une sphère dont le centre est partout et la circonférence nulle part, mais bien, comme je l'ai géométriquement établi par les principes do continuité et de projection centrale, sur une ligne droite ou un plan indéterminé do situation, à la limita idéale et fictive attribuée à TinOni de l'espace; as qui soulève le voile dont étaient jusque-là enveloppées un grand nombre de vérités géométriques ou analytiques.

Enfin, j'en dirai tout autant encore de ce théorème non moins admirable de Newton, relatif aux appliquées parallèles dos courbes algébriques, que Carnet, d'après une considération élémentaire tirée de la tliéorie des lignes proportionnelles, a étendu à un triangle quelconque transversal des mêmes courbes; théorème auquel on pourrait en ajouter une infinité d'autres que, avant l'époque de 1820 ou 18^22, on ne savait point encore généraliser par les principes dont il s'agit, exposés dans le Traité fies Propriétés projectiles des figures^ où j'en ai offert assez d'applications pour mettre sur la voie les lecteurs intelligents, mais que j'ai pris le soin de développer dans les Mémoires déjà mentionnés, sur les centres de moyennes harmoniques et les polaires réciproques^ présentés au commencement de 1824 à l'Académie des Sciences. Pour mieux dire, la limite idéale des philosophes est Y enveloppe des plans ou, ce qui revient au même, des droites indéterminées de situation h Pinjini^ en\ t*loppe qui peut être une courbe quelconque plane, ouverte ou fermée, réelle ou imaginaire, etc. (Voir^ pour les exemples, le Supplément du Traité des Pror priétés projectives des figures. )

i48 II* CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

conséquence nécessaire des théorèmes des p. i ig et i4a, dus à. Maclaurin, lorsque venant à supposer (fig* 8i) la transversale app'p".,, mobile autour du point a comme pôle, on admet, au contraire, que les autres transversales aqq'q", . ,, arr^r\ . ., restent fixes ou immobiles ; 2® algébriquement, par des considérations mixtes fondées sur la définition même des courbes géométriques dans le système des coordonnées linéaires de Desçartes, et d'où Maclaurin déduit, par des comparaisons analytico-géométriques relatives aux coefficients des deux derniers termes de Téquation qui représente la courbe proposée, les sommes de réciproques des abscisses ou segments formés sur la transversale mobile autour du pôle fixe et qui répondent aux intersections imaginaires avec la courbe. Mais cet ingénieux procédé, né d'un scrupule géométrique alors plausible, peut être remplacé par d'autres, indépendants de toute représentation des courbes par les équations algébriques, et qui exigent seulement que les intersections imaginaires soient définies par un système convenable de lignes géométriques distinctes, données sur le même plan; chose toujours possible géométriquement, comme on en a vu des exemples élémentaires dans le précédent volume de ces Jpplications (!•' et V* Cahiers relatifs aux sécantes et cordes idéales communes aux cercles ou aux coniques).

Démonstration par nos principes. — Quant à démontrer intuitivement et par le principe de continuité l'existence de Taxé conjugué ou harmonique d'un pôle fixe donné sur le plan d'une courbe géométrique, il suffit de considérer que le centre de moyenne harmonique est unique sur chaque transversale ou rayon vecteur; que jamais le lieu de ces centres ne peut passer par le pôle fixe censé hors de la courbe, et qu'en conséquence ce lieu est une ligne droite, etc. (*).

Cette démonstration s'étend au cas où les réciproques de segments dont les sommes définissent le point générateur, sont élevées à des puissances égales, supérieures au 1*' degré et multipliées par des coefficients numériques arbitraires,

(*) Ce genre de considérations, déjà mis on usage à la fin du P** Cahier, a été plus amplement justifié, en 182a, dans le Traité des Pmpriétés prrtjertivrs (p. 339., etc.).

APPLIQUÉE AUX COURBES (jÊOMÉTRlQUES. 149

pourvu qu'en extrayant la racine de la puissance relative à la réciproque inconnue, on n'oublie ni les signes, ni la mulliplicité de sa racine, et que Ton ait, de plus, égard à la multiplicité du pôle des rayons vecteurs, s*il appartient à la courbe dont on recherche le degré à priori (*).

Des courbes polaires lieu des origines ou centres contre-harmoniques par rapport à un pôle et à une courbe géométrique arbitrairement donnés sur un plan.

Théorème fondamental, — Soit [fig* 96) une courbe géométrique de degré quelconque m; d'un point fixc/i, considéré

Fig. 96.

comme p^fe de rayons vecteurs, soit menée une sécante arbitraire pUy rencontrant la courbe aux m points a, a!^ a",. . .; qu'on prenne sur cette sécante un point a. tel que

OLP m \oLa oLa aa ]

(*) De telles questions sont aujourd'hui d'un bien faible intérêt au point de vue géométrique, quoiqu'elles aient beaucoup préoccupé Waring, continuateur peu fécond des idées de Newton, de Cotes et de Maclaurin, dans un ouvrage de 1762, intitulé : Miscellanea analytica, publié par souscription à Cambridge, et dans lequel se trouve une incomplète énu-mération des lignes du 4* ordre ou 3* genre. Je cite cet ouvrage, que je connaissais dès 1816, parce que l'auteur s'y est aussi occupé du problème de mener les tangentes à une courbe géométrique par un point quelconque donné sur un plan , problème dont on verra la solution dans le paragraphe ci-après, à l'aide de procédés algébriques très-différents, et qui assignent au nombre de ces tangentes la limite //i(/7i— i), inférieure de m

i5o !!• CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

je dis qu'en faisant mouvoir celle sécante autour du pôle p, la suite de tous les points a d'origine des segments comptés ici du centre de moyenne harmonique relatif à ce pôle et qu'on peut nommer centres de réciproques ou contre-harmoniques, seront situés sur une seule et même ligne géométrique de Tordre m — i .

^ L'équation ci-dessus peut être écrite ainsi :

ap m \(x.p — pn xp — pa' st/j — /;/'/'' J

Développant, réduisant, ordonnant par rapport à a/>, et faisant de plus^ pour abréger,

V — pa '\-pa' -f- pn" -\-. . . ,

c'esl-à-dire égal à la somme algébrique de tous les segments formés, dans la courbe, à partir du pôle fixe/?,

Q = pa,pa'-\-pa,pa''-i-.. ,-{'/jfl',pa"-\-,. .,

la somme des produits deux à deux des mêmes segments ; appelant de même R, la somme de leurs produits trois par trois ; T, celle de leurs produits w— I à /w — i; enfin V, le produit total ou complet des mêmes segments^ on aura pour calculer /?«, Téquation

{a) V.pa. — 2Q./?a 4-3R./?a ^,».^z[m — i)T./?a± /wV = o.

Cette équation^ n'étant que du degré m — i , ne donnera sur chaque sécante pn que m — i points tels que a ; d'autre part V, ne pouvant s'annuler ni, par suite, a se confondre avec le pôle p pour aucune des positions du rayon vecteur, à moins que ce pôle n^appartienne à la courbe proposée, il en résulte la démonstration du théorème énoncé.

unités à celle indiquée (p. loo de l'ouvrage cité) par Waring; m représentant d'ailleurs le degré de la courbe proposée, dont cet auteur n'a nullement recherché la ligne des points de contact qui, à ses yeux sans doute, comme à ceux môme de Maclaurin, ne pai-aissait pas jouir du degré d'importance qu'on lui accorde généralement depuis la publication de la Notice sur ta théorie fies polaires réciproques j que j'ai adressée eu 1817 au rédacteur des premières Jnnalcs de Matièématiques , (^oir^ à la fin de ce volume, l'extrait de cet article qui a paru dans le tome VUI de ces Annales. ) Je crois d'ailleurs superflu de faire remarquer que les démonstrations de cette Notice sont très-différentes de celles du texte ci-dessus, qui s'appliquent aux surfaces comme aux courbes géométriques, mais qu'il n'entrait nullement dans mes intentions de publier dès l'époque de 181 7.

APPUQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. i5i

Pour découvrir la forme explicite des coefficients P, Q,. . ., V, soit

l'équation de la courbe donnée (^. 96), rapportée actuellement à la droite fixe quelconque pn et à sa perpendiculaire comme axe des jc et desjr; Téquation relative à la sécante pan" prise pour nouvel axe des x, sera donnée par les formules de transformation bien connues,

X = x'cosy — y siny, j = y' cosy + x'sin^,

où (p est l'angle apo des x et x\ et qu'il faudrait substituer dans la proposée pour faire ensuite y = o dans le résultat; ce qui donnerait une équation dont les segments ou abscisses pa, pn\ pa\.., seraient les racines. Mais, au lieu d'opérer ainsi, on peut faire à l'avance y = 0 dans les formules de coordonnées ci-dessus, ce qui donne simplement

X — x' cosy, y = x' sin (p,

et, en substituant et ordonnant \}ar rapport à y,

x'"* ( sin'î}' H- b cos y sin"'"' y H- c cos' y sin*""* t> 4- . . . -(-/cos"* y ) -+- x""-' (/^f sin*^* y -f-^'cosy sin'" 'y -f-. . . 4- /?^cos'"-' y ) + . . . ;

d'où l'on tire respectivement, en nommant D le coefficient de x"", -. o sin'""' if 4- ^^cos y sin**"' © -h ... -h /ç-cos'""' y

Qc sin*""' y -f- . . . -h /i cos"'"' y , /•

Substituant dans l'équation (a), il viendra tinalemont, en observant que

y^x.cosy==a, /^a.siny -- fi.

a et p étant les coordonnées de l'origine ou centre contre-harmonique a, (b) -h^p"-'-4-f/ap"-*...-f-/?"a"-'-h2(r^"-V...-f-/'5t"'~')4-...= wX-, équation effectivement du degré //i — i, comme cela était annoncé.

Mais, avant de nous occuper de sa discussion, il est bon d'examiner encore ce qui arrive dans le cas particulier où Ton suppose le pôle p à l'infini, el par conséquent les sécantes iia" toutes parallèles entre elles; le point générateur a de chaque transversale prenant alors, comme dans la recherche de la p. ia8, un caractère tout particulier très-distinct d'ailleurs de

i5a U« CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

celui qui appartient au centre de moyenne harmonique, puisqu'il n'est point unique, et que sa détermination dépend d'une équation du degré m — i .

Faisant en effet oLp infini dans l'équation de définition ci-dessus, du centre contre-harmonique, elle devient

Soit oo'x [fig. 97) une droite ou axe fixe quelconque, o' étant une nouvelle origine de segments , on aura

(oaL — oa)(oai — oa')[o7.—oa") = 0.

Posant pour abréger oa = x, et faisant attention que o remplace ici le p de \sLjig, 96 comme origine des segments, celte équation devient, d*aprës les notations déjà admises,

/?fx«-'--(/?; — i)Pjr^-»-4-(/?f — aj.QjT^-' — ...±T = o;

c'est, comme on voit, la différentielle de Téquation

a:" — Pj:^-'-hQ.r^' — ...±Tx=fV = o,

dont le rapprochement avec celle (a) du cas général, porte à soupçonner que le lieu des points a dont on recherche l'équation, n'est autre que la courbe même dos points de contact des tangentes , ici parallèles, menées du pôle fixe /? à la courbe proposée (m).

Il n'est pas difficile de voir, en effet, que l'équation {a) ou (6) est précisément celle que l'on obtiendrait en cherchant à déterminer en général ces diverses tangentes.

Courbe polaire des contacts ou tangences. — Appelant a cl p les points de contact qu'il s'agit de découvrir, on aura.

APPUQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. i53

pour exprimer qu'une tangenie à la courbe (i) passe par le pôle p, origine des axes coordonnés des x et y {Jig. 97 ),

' ar

L'équation de la courbe devant être satisfaite par les coordonnées z et ^y il en résulte la relation de condition

de laquelle on tire, par la difTérentiation^

dx ~ m 9r-'-^ [m - i) (// + bv) fr'"-*4-(/w — 'i) [c -f- dTL -\- ra') f. "'-"'+ . . . ' substituant dans l'équation ci-dessus, il vient

-h [m - i)«f'»-'-|-(/ii — 2)rfs"-='H- (/w— i)r/fl'"-*4-. . .-f- /a = o;

multipliant enfin Téquation primitive [c) par m, et retranchant de cette équation celle qui précède, on retombera sur l'équation (h)^ ou

d'abord obtenue par la définition directe de la courbe comme lieu des points, tels que a, qu'on pourrait nommer les contre-harmoniques du pôle p des rayons vecteurs ou transversales de la proposée ; le point a lui-même pouvant se nommer point d^ori^ine des segments.

Problème. — D'un point p donné sur le plan d'une courbe géométrique de degré quelconque m, mener graphiquement les tangentes à cette courbe. On prendra les points d'origine ou centres contre-harmoniques a des intersections a, a', . .. i^g. 96), relative aux diverses sécantes y?«, issues du point/? considéré comme pôle ; la courbe de degré m — i, que ces points a formeront, viendra rencontrer la proposée {m) précisément aux points de contact des tangentes cherchées. Malheureusement, sauf pour le i" et le a* degré, cette solution est à peu près inexécutable par des procédés graphiques.

Dans le cas d'une courbe du 3* degré, la polaire de contact dont il s'agit étant simplement une conique, on pourra se contenter d'en trouver cinq points quelconques au moyen de

i54 n* CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

trois transversales arbitraires, et Ton construira le reste de la courbe par des procédés linéaires bien connus [t. I, p. i38). Dans ce même cas, l'équation ci-dessus, propre à déterminer direciement la position des deux points a, sur chaque transversale issue d'un point donné p, se réduit à celle-ci :

P.pa — 2Q./>a-h3V = o, dans laquelle

P = ^rt -t- pa' H- pa", Q = pa. pa' -h pa . pa!' -+-pa' . pa",

\ = pa.pa' ,pa'*y

et d'où Ton tire immédiatement

Q±V^Q» — 3PV

P0C= rj

y^ a, a', a" étant donnés par la courbe supposée décrite, toute la difficulté serait de trouver a géométriquement; chose ici trcs-facilc, notamment quand le point p est à l'infini ou sur la courbe du 3* degré dont il s'agit, car la détermination de />a ne dépend plus alors que d'équations d'une forme et d'une construction très-simples.

Intersections de la courbe proposée avec la polaire de contact. — Voici comment on peut démontrer directement et géométriquement qu'en effet, quand la polaire, lieu des centres contre-harmoniques, coupe la proposée en un certain point, ce dernier est nécessairement un point de contact ou l'équivalent. Il suffit pour cela de prouver qu'en chacun de ces points l'équation de définition (a, ou a) est naturellement satisfaite. Prenant pour exemple la courbe géométrique du 3* degré, on mettra cette équation sous la forme

px [[])% —pa) (pu -pa")-^ (px -pa) (px - pa") -f- (/^ - /^^px -pa^]

~-2(pcL-pa)(px-pa')(px''pa!')==o,

et remarquant que, si a et a', par exemple, se confondent, ce qui suppose pa'=pa, l'équation ci^dessus acquiert le facteur pa — pa commun à tous ses termes, et que, par conséquent.

APPLIQUÉE AUX œURBES GÉOMÉTRIQUES. i55

si Ton égale ce facteur à zéro, on aura, par cela même, Tune des racines /la de réquation, c'est-à-dire

pa = pa = pa\

qui indique précisément que le point a s'est confondu avec a el a' sur une même branche ou sur deux branches distinctes de la courbe proposée.

Réciproquement, pa ne saurait être égal à pa ou pa', etc., sans que la sécante devienne tangente; car alors, en introduisant celte hypothèse dans Téquation ci-dessus, elle deviendra

pa(pa — pa')[pa — pa") = o,

qui ne peut être satisfaite qu'en faisant

ou pa^=pa' ou pa=^pa"\

c'est-à-dire qu'alors la sécante pa touche nécessairement la courbe proposée aux points a et a' ou a el a", respectivement confondus entre eux.

Propriété essentielle des deux courbes et de leurs dérivées polaires contre-harmoniques. — Laissant de côlé l'examen intéressant de ce qui arrive quand le pôle ou point de convergence p des tangentes à la courbe donnée est à Tinfîni ou sur celle courbe même, je me contente de faire remarquer :

1** Que la polaire de contact dont on vient de s'occuper esl le lieu des points a tels, qu'en les prenant respectivement pour origine des segments relatifs aux transversales qui y passent, ou, si Ton veut, pour pôles fixes de ces transversales, les axes de moyenne harmonique correspondants (théorème de Cotes) pivoteront autour du point de convergence p des tangentes comme pôle réciproque des points a ou rentres conlre-^harmoniques de p; de sorte que toutes les droites qui passent par ce même point p, peuvent être considérées comme autant A'axes de moyenne harmonique ayant pour pôles respectifs, à l'égard de la courbe proposée base des contacts, les points a mêmes de la courbe des contacts.

2** Que, dans l'équation générale (a), d'abord obtenue et qui donne les valeurs pa répondant aux rentres conlre-har-

i56 IP CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

moniques a, on a, en appelant a, a', a!* les points qui répondent aux m — I racines de cette équation,

somme des produits m — 2 a m — 2 des m — i racines,

-^:=poi,poL ,poc: . . .p(XS'*^^\

le produit des mêmes racines ; d*oii Ton tire généralement (m — i)T I , I I I

mV poL pa' pa" ^ «(*•-»>

relation digne de remarque et dans laquelle

T = pa.pa! .pa" . . .pa^"*-'^^ -t- . • .

est la somme des produits m — i à m — i, tandis que

est le produit total ou complet des m segments relatifs aux intersections de la transversale paa (Jig, 96) avec la courbe proposée. Or, de là on conclut, par un rapprochement facile.

— I \p(X pcf! peu" pa^'^^^l

m \pa pa! pa'^ pa('

c est-à-dire que la moyenne harmonique des segments />«, pa\..f y^a^*"-*), en nombre m — i, qui se rapportent à la courbe des contacts, est égale à la moyenne harmonique de ceux pa, pa!.,.y pa^'^^^) qui, sur la transversale commune issue du point /?, correspondent à la courbe donnée de degré m. En d'autres termes, on peut dire que :

3*> Relativement au point fixe/? pris pour pivot des sécantes communes mobiles, la courbe proposée (m) et la ligne des contacts /// — 1 ont même axe de moyenne harmonique. Et,

comme il en est ainsi encore de la courbe de degré m — - 2 dérivée de la précédente, el ainsi de suite, on voit que cet axe harmonique, commun à toutes les dérivées, n'est autre que la droite, c'est-à-dire l'axe harmonique même auquel se réduit en définitive la dernière des dérivées de degré m — (m — i) = 1.

4° A chacun des points/; du plan de la courbe proposée ( m), pris pour pôle , correspond nécessairement un axe , mais un seul axe de moyenne harmonique selon la définition cidessus; donc réciproquement, à une droite quelconque donnée, considérée comme axe harmonique, correspond au moins un pôle conjugué />, par rapport à la courbe (w), pôle déterminable géométriquement et qui doit décrire une certaine courbe continue quand on assujettit Taxe harmonique conjugué à se mouvoir suivant une loi géométrique donnée, ellemême continue.

5" En particulier, il résulte des relations métriques ou de réciprocité qui lient la courbe des contacts ou des points a à la proposée et au pôle de concours p des tangentes, que les points générateurs « de cette courbe ont pour axes de moyennes harmoniques dans la proposée, dos droites qui passent toutes par le pôle fixe/?; propriété analogue à celle qui a lieu pour les coniques où la ligne des contacts est du 1" degré, et se nomme, comme on Ta vu, la polaire de p.

Plus généralement, l'enveloppe desaxes harmoniques de (m), conjugués aux divers points d'une autre ligne quelconque de degré /i, tracée sur son plan, est une dernière ligne du degré

qui s'abaisse au degré (m — i ) ( wi — 2 ) quand n = i ; de sorte que si la droite correspondante h n— i passe à l'infini, les axes de moyenne harmonique étant devenus autant de diamètres de (m), suivant la définition de Newton, l'enveloppe dont il s'agit se réduit au degré (m — i)(m — 2), courbe à laquelle on ne peut mener que m — i tangentes seulement, d'un point arbitraire du plan, etc., etc.

On pourrait faire d'autres rapprochements curieux et non moins remarquables au moyen de l'équation (a); mais je m'arrête aux précédents, et termine par quelques remarques et réflexions essentielles.

i58 !!• CAHIER. -^ BIÉTHODE DES TRANSVERSALES

Considérations diverses. — Supposons, entre autres, à l'infini le point ou pôle p, et construisons la courbe des points de contact relative à la proposée de degré m; faisons la même chose pour une autre direction quelconque de sécantes parallèles : si parmi les points en nombre (m — 1)% où les deux courbes ainsi construites s'entrecoupent, il en est qui appartiennent à la proposée, ce seront des points singuliers trèsremarquables, soit multiples, soit de rebroussement, conjugués, etc.

En effet, la courbe des contacts passe évidemment par ces points singuliers, et la limite m (m — i) du nombre des tangentes possibles s'abaisse d'autant de fois 2 unités que les droites allant du point donné p aux différents points singuliers renferment de cordes nulles de la courbe (m). Quant aux points d'intersection en apparence étrangers à (m), ils n'en sont pas moins très-importants k étudier, et doivent, comme les points singuliers propres à cette courbe, être totalement indépendants de la direction attribuée aux sécantes parallèles, je veux dire à la position même des points p, sur la droite à l'infini du plan de la courbe (m).

Ces considérations, qui se rattachent à la théorie ordinaire des pôles et polaires des coniques, ont, d'autre part, une relation très-intime avec le peu que nous apprend jusqu'ici l'analyse infinitésimale relativement aux points singuliers des courbes, notamment aux points de multiple inflexion, de multiple rebroussement, etc., aux points d'extrême grandeur, servant de limites, de sommets à ces courbes dans des positions pour lesquelles les coefficients différentiels des ordonnées, des abscisses, ou de toute autre fonction déterminée de ces variables, deviennent plusieurs fois nulles, infinies, et prennent la forme algébrique de l'indétermination (*).

(*) Foir à la fin de ce volume (Cah. VI) Textrait d'un article sur la théorie des polaires réciproques ^ imprimé en 1817 dans le Journal Matlkématique de Gergonne, et où Ton trouvera l'empreinte de quelques-unes de ces idées, de celles surtout qui concernent la polaire des contacts, lieu des centres contre-harmoniques^ mais envisagée sous un aspect purement anal) tique à la manière de l'époque; attendu que, à propos de la solution accidentelle des problèmes proposés dans les Annales tle Montpellier, je

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. iSg

Voici les énoncés de quelques autres propositions relatives aux propriétés des axes et des centres de moyenne harmonique et qui dérivent immédiatement de celles qui précèdent.

Fragments résiunés relatifs aux centres, aux axes et plans de moyenne distance ou de moyenne harmonique des courbes et des surfaces.

I. Définitions. — Si l'on prend pour base d'un faisceau de lignes droites convergeant en un même point s (/ig. gS, p. 142), considéré comme sommet ou centre de projection d'un système de points ^/, b, c,. , , en nombre w, rangés sur une même droite, et pour Ios(|uels le point A est un centre de moyenne luirmonique ou do réciproques de segments relativement à un point 0 de la même droite, pris pour origine de ces segments, on formera un faisceau fuirmonique ou harmonical ( mot adopté par de LaHIre pour les coniques), dans le^iuel les projetantes sk et .vO sont respectivement ce que je nomme les axes de moYcnne et d'origines harmoniques du faisceau, axes qui jouissent de la propriété d'être couihjs par une transversale rectiligne arbitraire, en un nouveau système de points harmoniques, analogue au système primitif des points do base.

Nota, — Lorsque l'axe des origines harmoniques est donné à priori, celui des centres ou moyennes harmoniques s'en déduit par des constructions linéaires, dépendantes uniquement de la Géométrie delà règle. Dans l'hypothèse inverse, la détermination de l'axe des origines dépend de la résolution d'une équation de degré m — i ou du tracé d'une courbe de co degré, ayant un point multiple do l'ordre /// — 2, elle-même constructible linéairement par points isolés et successifs [*).

n. Théorème, — ^\^ pour une courbe de degré quelconque m (fig. 98), on déherminoVaxe de moyenne /uirmonique pq du faisceau des tangentes à cette courbe, issues d'un point quelconque/-» d'une droite arbitraire 00',

ne voulais pohit entamer l'exposé de théories que je me proposais d'approfondir et de publier lorsque des circonstances m'en offriraient la possibilité matérielle et l'occasion propice; le peu que j'ai dit dans ce même article, des polaires réciproques et de la courbe des contacts, a d'ailleurs suffi pour mettre sur la voie^ neuf années après, d'autres savants moins empêchés, ou plus favorisés que moi ( t. XVI, XVII et XMU des mêmes Annales),

(*^ Voir la démonstrtlion de ces propositions dans le tomeVIII du Journal de Crelle (p. 5i, 117, 3i3, 370), qui contient la première partie du Mémoire déjà cité sar V Analyse des transversales, présenté en septembre i83o h Tlnstitut, et auquel les recherches de ce H* Cahier ont servi de point de départ et d'appui.

i6o n« CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

située dans son plan et prise pour axe fixe des origines luinnoniques du faisceau, le premier de ces deux axes, mobile avec le point p de con-

Fig. 98.

vergence des tangentes, ira concourir, dans toutes ses i)Osition3, en un point 7, fixe comme la courbe (m) et le second des axes dont il s*agit.

ni. Tfiéorème. — Si, d'un autre point quelconque p' de l'axe des origines oo\ on mène des rayons ou projetantes vers les points de contact ^, /;, r,. . . des tangentes ci-dessus, elles formeront un nouveau faisceau dont l'axe des moyennes harmoniques, conjugué à l'axe fixe oo\ coïncidera avec Taxe })areil des tangentes issues de ^, et pivotera^ par conséquent, aussi sur lé pôle immobile 7, lequel, pour ce motif et d'autres encore, peut être nommé le centre harmonique général de la courbe géométrique (m), relativement à la droite invariable 00'.

IV. Théorème. — Si l'on fait pivoter, à son tour, l'axe des origines harmoniques 00* autour d'un point fixe quelconque /? de sa direction, le centre q des moyennes harmoniques changera, mais les points do contact /x, ^, r,..., des tangentes issues de p restant immobiles, ce centre q décrira la courbe même des contacts conjuguée à /?, et dont, comme on Ta vu, le degré est généralement /;* — i.

Remarque, — Les théorèmes ci-dessus s'étendent, sans aucune difficulté, aux courbes à double courbure et aux surfaces géométriques situées dans l'espace, en observant que nos définitions (I) s'étendent ellesmêmes au faisceau de m plans qui ont une droite commune de convergence en s [fig, 95), et seraient coupés par un plan fixe OXA des origines contre- harmoniques. Ainsi notamment :

V. Théorème, — Voifig, 98, représentant une courbe à double courbure ou une surface géométrique de degré quelconque /7t, figure dans laquelle no' représente é<;alement un pian arbitraire pris pour plan des origines harmoniques, et le point/? une droite quelconque située dans ce plan, de laquelle partent les m— 1 plans pa^ pb, pc^,,, tangents à la

APPLIQUÉE AUX COURBKS GÉOMÉTRIQUES. iGi

courl)e ou surlace (//ii; eiilin pu roprésenlant le plan dos moyennes harmoniques de ce faisceau de plans tangents, par ra[>port au ]>lan des origines i»*i\ tous ces plans p(j et leurs analogues passeront par un poinl unique q de l'espace, que l'on peut encore nommer le rentre ç^vnéml et unique de moyennes harmoniques ûo la courl)e ou de la surface proposée relativement au plan oo'.

Nota, -* Des théorèmes analogues ont lieu quand on substitue aux faisceaux de plans tangents, les cônes enveloi)pes d'une courbe ou d'une surface, issus de chacun des points d'un plan d'origine oo', et l'on entrevoit, à priori, que leur système possède, relativement à un axe ou à un plan donné d*origines harmoniques, une infinité de diamètres ou d'axes harmoniques qui viennent tous converger en un centre commun et unique de moyennes harmoniques, jouissant de propriétés entièrement analogues à celles des pôles, polaires et plans polaires des courbes et des surfaces du second degré. Ces propriétés se convertissent en d'autres relatives aux centres, axes, diamètres et plans diamétraux ordinaires ou de moyennes distançais, (}uahd les [)()ints, les droites, ou les plans d'origines harmoniques sont censés à l'infini ; et comme, dans ce cas, les propositions diverses qui viennent d'être indiquéi»s sont d'une démonstration facile, elles 'peuvent, au moyen do nos principes de projection centrale et de continuité, servir do points de départ à l'étude des propriétés les plus générales, qu'il convient d'ailleurs de faire précéder des théorèmes analogues relatifs au cas, plus élémentaire encore, où les courbes et les surfaces géométriques dont il s'agit se réduisent simplement à des systèmes de points, de droites ou de plans donnés (juelconques, etc. (*).

Addition ai* 11' Cahier, pak M. Manniieim (mars i8G3).

Déterminer ^expression tin rapport des rayons de courbure en deu.v points quelconques (Pu ne courbe du 3' ordre.

<^upons la courbe du 3* ordre par un triangle ABC (./%. 99). En vertu du théorème de Carnot, on a la relation

, . \ A/ï.A«'.A«".B^.B/^'.B6".Cr.Cr'.Cr''

/ = Ar.Ac'.Ac".Cft.C//.C//.B^.B/ï'.B«",

(*) C'e«l ce que j'ai fait dans le Mc'nioite sur les centres de moyennes harmonie ^ues, présenté en mars 1824 à rinstitul de France, et postérieurement imprimé dans le tome III, p. 21 3, du Journal Mathématique de Crelle.