II. I I

iGi IV CAHIER. -MÉTHODE DES TRANSVERSALES

que Ton peut écrire

(•2) Xa.Xa\Xrf\Bb.hh"^'^^^i47r-

^ ' LO ou

Décrivons une circonférence passant par les points a', u'\ b\ et d(»si gnons |>ar Q le point où elle coupe le côté BC; désignons de mï^me par

Fig. 99.

y le point d'intersection du même côté BC avec un<f circonférence contenant les trois points r', r, //. On a alors

Introduisant BQ et CQ' dans la relation (2), il vient

(3) A«.Ar3r'.Art".B/;.B//.C0'.Cr"=Ac.Ar'.Ar".C^.C//.B//.B0.

Nous allons transformer cette relation de manière à faire disparaîtrez

quelques-uns des segments qui ne sont pas comptés sur le côté BC.

Pour cela considérons le triangle ABC coupé par la transversale ("nï);

on a

Artr.BD.Cr'' = Ac".CD.B^i,

d'où

Xa.Cc" C\)^

Ar".Brt~BD'

substituant dans la relation (3), il vient

(4) CD.Ar/'.ArAB/>».B//.CO'=rAr.Ar'.BD.C/;.C//.BO.

Supposons actuellement qu'on déforme le triangle ABC do manière que fi\ /i" et // se confondent en un seul point B de la courbe, et que c\ r

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. i63

el // SQ confondent de même en un |M>int C de la courbe; le coté AB devient alors la tani^ente (font le [mi\i de contact est B, A(' la tangente en C et les deux circonférences nViV/Q et c'r//'Q' deviennent les cercles osculateurs en B et C (*).

La relation (4), en supprimant les facteurs C// et B// qui deviennent égaux, donne alors

.;5) CD.iVB!B/;.CQ'=Âc'.BD.C^.BO.

Désignons par o le rayon de courbure de la courbe en B et o' le rayon de courbure en C :

BQ ^ jio.sinABC, CQ'r. ar/.sinBCA, d où

BQ 2. sinABC ^ AC CQ" ù'^sinBCA o' ' AB"

Portant cette valeur dans la relation (4). on en tire

0 AB'.CD.B/i