AG .BD.C
Telle est l'expression cherchée : elle ne contient que les tangentes à la courbe issues des points B et C et limitées à leur point de rencontre A, et des segments comptés sur la ligne qui joint les deux points B et C.
ï^ marche que nous venons do suivre s'applique à une courbe de degré quelconque. Dans le cas d'une coni(iue on retrouve une relation connue que l'on peut du reste déduire do (6). En eifct, si notre courbe du 3' ordre se décompose en une droite et une conique , les points D et h se confondent en un seul , et il vient simplement
AB
De là le théorème connu : Zi'.v rayons tic courbure en deux points quelconques (Tune conique sont entre eux comme les cui?cs des tangentes issues de ces points et limitées a leur point de rencontre.
Les courbes du 3* ordre donnent lieu au môme rapport lorsque les points B et G sont sur une droite passant par un point d'inflexion.
(*) N'ous ne Terons pas une nouvelle fijjnrc. Il est facile de supposer que le triangle ABC a ses côtés tan(;ents en B et C à la courbe donnée. Q et Q' reprc- Aentent alors les points d'inierscction avec le côté RC des cercles osculateurs ù la courbe en B et C.
iG4 II* CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES
Lurs(]ue les {)oint8 U et C viennent se confondre au {loint doubU* O de la courbe, la relation (G) parait illusoire.
On peut |)0urtant en tirer l'expression du rapport des rayons de courbure des deux branches passant au point double; mais il est plus simple d'opérer directement cette recherche. C'est ce que nous allons faire.
Reprenons la relation (i) et écrivons-la de la manière suivante:
(-,) 'i^^4^"B^.B//.B/ACr.Cc\CrV-'^— O^ ^ Ac' Ali
Décrivons une circonférence passant par les points c, c\ a et désignons par P' le point où elle coupe le côté AB; désignons de même par P le point d'intersection du côté AC avec une circonférence contenant les points r", a\ r/". On a
^a'.Aa" Ar.Ac'
Ac" ~" ^* ' Aa -^^ '
Introduisant AP et AP' dans la relation (7), il vient
(8) AP.B/;.B'î>'.B//'.Cr.Cr'.Cr'' = AP'.C^.C//.C//'.B^.Bw'.Br/'.
Supposons que le triangle ABC soit déformé de manière que r", «'. n' soient confondus en un seul point 0 et que /i, c\ C soient aussi le même point 0 ; les côtés AB et AC sont alors les tangentes en 0 aux deux branches de la courbe, et les circonférences d*a'a" et ac'c sont osculatrices de la courbe en 0 (*).
La relation (8) devient
(9) 0P.B^.B^''.B^\CÔ' = 0P'.C^.C^'.C^\b5'.
Désignons par p le rayon de courbure de la branche c'a' a' et ])ar 0 le rayon de courbure au même point de l'autre branche ; on a
OP = '10 sinCOB, OP' = ao'sinCOB,
OP 0 doù j5p, = -
Portant cette valeur dans la relation (9), on en tire
