OC .B^.B^'.B

(") Nous ne ferons pas uno nouvelle fi^^urc. P et P' représentent maintenant les intersections des côtés OC et OB avec les cercles osculateurs de la courbe en O.

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. iG5

On peut écrire celle expression sous une autre forme : joignons 0 aux |)oints b, b\ b"; appelons p, ft', p" les angles do ces droites avec OB, et 7> v'î 7* ^®s angles que font les mêmes droites avec OC. Il est facile de voir qu'on a alors

, 0 sinv.sinv'.sinv"

' o' sinp.sinp'.sin^î'

Lorsque la droite BC est tout entière à rinfini, cette formule subsiste et Ton a le rapport des rayons de courbure au point double en fonction des sinus des angles que font les tangentes en ce point avec les directions asymptotiques. On peut du reste donner à ce rapport des formes très-diverses.

Lorsqiiune courbe du 3* ordre est à ta fois inscrite et circonscrite à un triangle ABC> le produit des rajons de courlntre correspondant aux sommets A, B, C est égal au cube du ra)on du cercle circonscrit au triangle ABC.

Considérons [Jig. loo) un triangle ABC et une courbe du 3' ordre.

Fig. 100.

Le tliéorème de Carnot nous donne une relation que nous écrivons tout de suite ainsi :

A^.A^^ B^.B^^ Cr.Cc' A//.Ar.C//.C/;.B^\Ba • ^ Ar" ^ Brt" ^ C^" ~ Art^.B^^^.Cc"

Par les points a^ c-", d faisons passer une circonférence qui coupe AC en 0; fie même la circonférence qui contient b\ «", /; coupe AB en Q' cl la circonférence qui contient b"", c, c\ coupe CB en Q*. On a

,^ Xa,Aa' ^.^. Uh,Ub' ^,... Cr.Cr'

.\Q - —^- , BO . -j^^. (.y - -^^^.

iG6 IP CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES. ETC. Introduisant AQ, BQ', CQ" dans la relation (i), il vient

, . ... „^, .,..„ Ac',X<,Cb',Cif,ha'.ba {») XQ X BQ X CQ .- A«'.B^".C." '

Supposons maintenant que le triangle iVBC soit à la fois inscrit et circonscrit, nos circonférences sont alors osculatrices. En désignant toujours par Q, Q', 0" l^s points de rencontre de ces circonférences avec les côtés du triangle et supprimant les facteurs communs, la relation (a) devient

(3) AQxBQ'xCO'' = ABxBCxCV.

Appelons», r/, p" les rayons de courbure corrcsiK)ndant aux sommets A, B, C, et R le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC :

Ay ^ '^psin A, BQ' = af/sinB, CQ" = ^r/'sinC.

On a donc

«or/r/sinA.sinB.sinC -- AB.BC.CA.