TROISIÈME CAHIER

SUR LA LOI DES SIGNES DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. LA LOI ET LE PRINCIPE DE CONTINUITÉ (M.

En eniplo}anl iransiioircmenl dans ce qui suit, avec M. (]ariioi [Géométrie de position) ^ les njols de corrélation, corrélatif, ainsi que ceux de direct el inverse proposés, en 1799, P^'* de Velay, de Genève ( Introduction à rjlgèbre), pour indiquer un certain élal de correspondance entre des figures analo-

[*) Jal supprimé de ce Cnihier, sauf quelques indications et explications indispensables, les quarante premières pages manuscrites, qui concernaient l'examen critique des objections soulevées par Carnot, dans sa Céomêtric .'le /jo.sin'on, contre l'interprétation et l'emploi de la rèjile des silènes jusque-là admis dans les applicaticms de l'Algèbre à la Géométrie; car cel «'xamen prématuré, ces réfulalions à priori, datées de l'hiver de i8i5 il 1816, sont en miijeure partie, reproduites et mises à leur véritable place dans le cours de ce III'' Cahier et du suivant, où se trouve exposée, justifiée, d'une manière plus approfondie et plus philosophique, l'admission du Principe de ronti/mitc, tel que je l'ai entendu et indiqué dès le [)remier volume de ces ytjjpUcntions.

Dans ses nombreux tableaux de corréltilion des ii;^ures, jiçénéralement complexes et assujetties à un même mode de description ou de génération continue, Carnot épuise, en (juelque sorte, tous les cas, toutt's les situations, à la manière des Anciens; il suppose implicitement la permanence (les relations métriques, la loi des signes de position, mais il n^ les demontre pas. et, en cela même, il s'éc^irle de la marche toujours logiqui» d'Euclide, d'Archimède et d'Apollonius, se rapprochant ainsi de l'idée, toute moderne et algébrique, qu'on attache au mot {\o joncthn; mot qui implique en lui-même, celte permanence ou principe de continuité, bien qu'on en ait, contradictoirement et sans motifs plausibles, reproché l'em ploi au moins tacite, dans certains raisonnements, certaines démonslration^ «leja Ccoffiefric (]{) Monjre. comme j'en ai déjà fait la remarque en plu >ieurs endroits du précédent volume.

Cotte cintinoniiedans les idées, et les épineuses objections udres.^^ées par dAleuiluTt et T.arnot à l'ancienne loi des signes de position. e\pli(pient

i68 IIP CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

^ues, dérivées ou non de la même source, du même type primitif, nous aurons soin d'en indiquer neliemeni l'accepUoii dans chaque cas.

Nous admettrons, à priori, Thvpothèse de la continuité sans la disculer ni l'approfondir à Tavance, aussi bien que les règles anciennes et indiscutables du calcul algébrique, fondées sur le rapprochement, l'analogie logique -des idées ou des résultats antérieurement acquis, et non pas simplement sur des conventions à priori q\ arbitraires, telles qu'on en adopte trop souvent en faveur des élèves paresseux de Tesprii. Au contraire, nous repousserons comme vaines et dangereuses toute idée préconçue, toute interprétation à priori des quantités isolées, positives, négatives et imaginaires, quelque séduisante qu'elle puisse paraître.

Ainsi nous n'adopterons nullement, avec certains métaphysiciens algébrisles, les soi-disant êtres de raison détachés de leurs attributs concrets et des signes de représentation géométrique, algorithmique ou figuratifs en langage convenu et exactement déOni. Pour nous, qui admettons la génération continue des grandeurs simples, fussent-elles isolées, nous aurons

pourquoi ses théories ont été froidement accueillies par les géontètres. ol comment, malgré ma profonde admiration \\o\\v ce grand homme, profitant des loisirs que m'avaient imposés les événements à dater de la fin de i8i5, j'ai été conduit, par une penle irrésistible de mon esprit et pendant même le douloureux exil de Tillustro auteur, à combattre dans le silence du cabinet, les doutes et, à certains égards, les doctrines philosophiques do la Géométrir de jxisition; toutefois, avec la volonté expresse d'ajourner toute rédaction définitive, toute publication officielle de mes idées jusqu'à une époque moins défavorable à beaucoup d'égards; n'ayant en principe d autre but que d'affermir par de sévères et consciencieuses études, ma route vers des recherches plus positives, moins discutables ilansles résultats et, en quelque sorte, plus matériellement utiles.

Aujourd'hui, après (juaranle-huit ans écoulés, je me borne, comme pour les précédents Cahiers, à transcrire le texte manuscrit, sans rien «•hanjj;er (l'essentiel dans Tordre ni la nature des idées, en un mot sans en tilttTcr la pensée fondamentale, mais (mi supprimant ce|>endant de cet ancien lexle, les exemples trop multipliés, les développements surperflus pour beaucoup de lectiMirs, oten m'abstenant même d'y introduire aucune (les réllexions critiques «nie pourraient sugj^éror ((uehpies écrits ï>osli' rieurs, louchant in thécuii* j^éomélrique dos sijrnes de position.

plus spécialemenl à considérer le double mode de celle génération dans le sens progressif ou rétrograde, positif ou négatif (addilîf ou souslraciif ), à compier d'une origine commune, exaclemenl indiquée el définie. Mais, afin de procéder du simple au composé, nous débuterons par examiner, dans leur état en quelque sorte rudimenlaire, les objels de la Géométrie pure pour en déduire des règles certaines, relatives aux conditions sous lesquelles a lieu Tenlière concordance entre la loi des signes algébriques et la situation relative des grandeurs figurées, telles qu'on en rencontre dans la Théorie des transversales, la Trigonométrie, l'Analyse des coordonnées, etc.

Relations génétiques entre les distances, les angles et les aires relatives aux figures élémentaires de la Géométrie,

1. De toutes les relations (jue la Géométrie envisage, les plus simples sont, sans contredit, celles qui appartiennent aux distances respectives d'un système de points rangés sur une même ligne droite; viennent ensuite celles qui concernent la gran- «leur des angles formés autour d'un même point ou sommet et les arcs qui les mesurent dans un cercle ayant pour centre ce point. Les relations de position et de grandeur, c'est-à-dire descriptives et métriques qui lient entre eux ces différents objets, ont, comme on sait, la dépendance la plus intime, et peuvent être comparées, étudiées séparément ou simultanément, ainsi qu'on le verra ci-après.

2. Soit, en premier lieu, Ali [fig. 101) la droite indéfinie t|ui renferme les points à examiner.

Supposons que, de chacun des points a, b, r,..* de cellf*

Fiç . loi.

droite, o\\ mène» à un ]K>iin extérieur quel<-on<|ue ,v, daulrcN

lignes droites telles que sa, sb, se, . . . , el que les angles que ces dernières forment entre elles soient, ainsi que les dislances mutuelles des points a» 6, c*. .., à examiner simultanément. Décrivons enfin, de s comme centre, une circonférence de cercle quelconque dans le plan qui contient à la fois AB el ce point, sorte de pôle ou de centre de projection de la droite AB et des points, des distances qu'elle renferme. Les droites rayonnantes ou projetantes sa, sb, se,, . ., nommées aussi rayons vecteurs dans certaines circonstances, viendront déterminer sur ce cercle, de nouveaux points a', b' , c',, , . correspondant aux premiers a, b, c, . . ., et fournissant, par leurs distances circulaires et mutuelles, c'est-à-dire par les arcs qui les séparent, la mesure respective des angles au centre soustendus, formés par les droites rayonnantes.

Cela posé, admettons qu'il existe une relation quelconque de position et de grandeur, entre les distances mutuelles des points a, b, c,. . . ; il en existera nécessairement d'analogues entre les arcs et les angles correspondanis, sinon quant à la mesure effective et absolue, du moins quant à la disposition, à la situation relative des parties. Ainsi les systèmes de points, de droites, de distances, d'arcs et d'angles considérés auront entre eux la correspondance ou corrélation la plus intime, bien qu'envisagés isolément, ils puissent comporter toute Tindépendance et la généralité possibles.

3. Ce rapprochement enire les arcs de cercle, les angles el les distances rectilignes, est d'autant plus naturel que, à proprement parler, on ne saurait fixer graphiquement la position il'un point sur une ligne droite ou courbe, qu'en assignant une autre ligne continue qui renferme ce point, et que, à son lour, on ne saurait fixer la direction indéfinie de celte ligne auxiliaire, si elle est droite, qu'autant qu'on connaisse un poini lixe s par où elle passe, et l'angle qu'elle fait avec une aulre droite également fixe déjà connue et passant aussi par ce poini. Tel serait, par exemple, Vaxe arbitraire, sa'a.

4. Le syslèiiH» le plus simple est celui où l'on ne considère que d(»u\ points a el b, ou une seule dislance ab sur la droite indéfinie AB; distance absolue, constante^ si l'on supposa» // (i b fi\(»s, mais \ariable si ces points changent d(» posilitm

DE TOSmON KN GfiOMÉTKlE. 171

sur AB, l'un par rapport à Faulre, suit c»n s'écarlaiil, soil (*n se rapprochant entre eux d'un mouvement essentiellement continu. Or, de cette supposition découlent toutes les notions géométriques concernant la mobilité ou déplacement relatif des points et la génération des distances mutuelles ou des chemins parcourus.

Tant qu'on ne considère qu'une seule distance ab, un seul angle eisb, ou un seul arc a'b\ ces grandeurs sont, à proprement parler, des quantités absolues et abstraites, susceptibles de croître et de décroître depuis zéro jusqu'à l'infini, représentés par les indices o et - ou x . Mais, quand on veut

considérer à la fois la grandeur et la position relative, il se forme dans l'esprit une conception nouvelle, consistant en ce que la distance, l'arc et l'angle dont il s'agit, peuvent avoir une position contraire par rapport à l'extrémité fixe d'où ils se mesurent, soit en deçà, soit au dehi, soir à gauche, soit à droite de cette même extrémité. Si l'on n'en connaissait (|ii(» la mesure absolue, il v aurait indétermination; il faudrait de toute nécessité, dans l'indécision où l'on serait à l'égard de leur position effective, les supposer indistinctement à droite» ou à gauche, etc. De là aussi utilité manifeste d'indiquer le sens par un signe mnémonique attribué à rhaque grandeur, outre son mode propre de génération continue; d'autant plus que, par exemple, deux distances ou chemins inverses (opposés de sens) ne comportent pas nécessairement, ainsi qu'on en aura plus lard la preuve, des signes algébriqu(»s contraires, s'ils ne dérivent point d'un seul et même» mode de génération continue.

5. D'autre part, pour construire une longueur donnée avec une ouverture de conq)as tixe tui par un tracé continu, il v a lieu de s'enquérir de celle des extrémités a ou b qui doit servir de point d appui, de départ ou iVori^ine, ainsi (|ue du sens allribué à la génération. En lin si, au li(ui d'être donnée de grandeur et de direction, la distance ab est supposée variable sur la ligne droite indéfinie AB, sui\aiit une loi «luelconque, il } a lieu de s'en(|uérir, non-seulenuMit de sa (liivrtion par ra|»p»»rl au point li\(» ou d'orifiliu» a, mais aussi tlu s(mis direct ou

inverse qu'il convient d'allribuer au mouvemcnl de Texlrémile b; sens impossible à fixer à priori, c'esl-à-dire abslraclion faite de la connaissance des lois de la figure géométrique ou du système variable auquel ce point appartient.

6. Algébriquement parlant, une grandeur continue quelconque ne peut changer de signe qu'en passant par zéro ou son réciproque l'infini absolu ; mais elle n'en change pas nécessairement, et cela arrive aussi bien en Géométrie quand zéro et Finfini sont des limites infranchissables au delà desquelles la grandeur devient impossible, imaginaire.

En particulier, ces remarques sont applicables à la distance variable ab [Jig. ici ) dont a serait l'origine fixe, ainsi qu'aux sécantes, aux projetantes sa, sb et aux aires triangulaires sab, sa'b' qui s'y appuient ; mais elles cessent de l'être pour les arcs a'b' et les angles correspondants asb'y qui ne deviennent point infinis avec ab, ni par conséquent négatifs ou inverses de sens, comme cela arrive entre autres pour la sécante *6, à l'égard de l'origine fixe s, quand cette sécante prend la position 500 , parallèle à AB.

Loi des signes de position, relative aux points rangés sur urte ligne droite, une circonférence de cercle, etc.

Ces définitions et notions premières étant admises, passons à l'examen du système de trois points en ligne droite ; en vertu du rapprochement que lu Jig* loi établit entre les distances linéaires, les arcs et les angles, ce que nous dirons des uns pourra s'appliquer immédiatement aux autres; c'est pourquoi, dans ce qui suit, je me bornerai à considérer les distances linéaires seules, mais on devra se rappeler que les mêmes choses s'appliquent aux arcs et aux angles.

7. Soient donc a, b, c (Jig. 10*2) trois points donnés sur la droite indéfinie Ali; Ton aura évidemment, pour le cas où b est entre a et c, en cheminant de la gauche vers la droite, c'est-à-dire dans l'ordre

( abc , , ac =. ab 4- bv.

Or relie relation intuitive aura lieu lant i\\\o b sera entre a

DE POSITION EN (iÉOMÉTRIE. 173

et 6', quelles que soienl d'ailleurs les distances qui sépareni ces points; c'est-à-dire tant que </, />, c n'auront pas changé de position entre eux, ou, si l'on veut encore, tant qu'aucune de leurs distances mutuelles ne sera devenue inverse, rétrograde par rapport au sens et à Tordre primitifs.

Il en sera de même évidemment de toutes les autres relations dérivées de la première, soit géométriquement, soit algébriquement, par exemple de celles-ci,

ah = ac — Ac, ac = ah -\- hc -\-iab . hcy ab =ac -{-hc — o.ac . hc, etc., etc;

car elles en sont des transformations exactes et rigoureuses : toutes ces relations demeurent immédiatement applicables, sans aucun changement de signe, à l'état supposé du svslème.

8. Mais la même chose n'a plus lieu dès l'instant où la disposition réciproque des points vient à changer, par suite du déplacement d*un ou de plusieurs d'entre eux; c'est-h-dire dès l'instant où Tune quelconque des distances «ft, «c, hc devient inverse ou rétrograde par rapport à l'origine d'où elle se mesure, en allant toujours de la gauche vers la droite selon notre hypothèse invariable.

En effet, si le point ft, par exemple {fig* 10?.), s'est trans-

Fig. loa. ^ 1 ? B

FiR. io3. ^ ^ ^t ^ ë

Fig. 10/,. x~-? T T ~"B

porté [Jig. io3), d'un mouvement continu quelconque, de la gauche à la droite de c, la dislance hc apnt changé de sens, on aura (yïg". lo?.), dans Tordre

(ach), ac = ab — hc;

relation caractéristique qui ne diffère (\eac=ab-\-bc, qu'en ce que bc a pris un signe contraire à celui qu'il avait primitivement, c'est-à-dire est devenu négatif en même temps qu'inverse en passant par zéro. Or, il en sera évidemment ainsi de

louies les autres relations métriques qu'on pourra déduire <le celle-là algébriquement, et qui correspondront, chacune à chacune, aux premières de la combinaison (abc) appartenant à la Jig. 102; elles ne différeront toutes, de leurs corr^/a//Ve*, que par le changement de signe de bc.

Si donc on voulait rendre applicables à la seconde situation [acb) des points a, b et c, les relations trouvées pour la première (aftc), il suffirait de changer bc en — bc dans la relation primitive et dans toutes ses dérivées.

Désormais nous cesserons, pour la simplicité, de distinguer les relations dérivées de la relation primitive, parce qu'elles sont des conséquences rigoureuses de celle-ci, algébriquement ou géométriquement parlant.

9. Considérons maintenant la troisième et dernière* disposition distincte que peuvent prendre les points «, 6, c, par exemple celle où le point c, de la droite AB, passe en rétrogradant à gauche du point a. On a alors (Jig, io4), dans Tordre

[cab), ac = bc — ah ,

ou, algébriquement,

— ac = ah — bc ;

relation qui fait voir que, par suite du déplacement du point c de la^g^. 102 à la Jtg. 104, ac et bc ont changé à la fois de signe, de même que les distances qu'elles représentent, devenues inverses, ont changé de sens relaiivement à Tordre primitif des points ou des lettres.

Si donc Ton veut rendre applicable à la dernière de ces figures les relations diverses trouvées pour la première, il suffira d'y changer les signes des deux distances bc et ac, devenues ifig' 102) cb et ca dans Tordre rétrograde.

D'ailleurs, ces diverses relations et leurs dérivées algébriques auront lieu pour toutes les grandeurs des lignes qui y entrent et qui, rapportées à la même unité de mesure, pourraient être représentées par des lettres quelconques, à la manière de Vièie, et cela quand bien même elles changeraient de signe ou de sons on passant par l'infini.

10. Sans qu'il soi! besoin d'aller plus loin, il est visible que

DE IH)S1T10N KN GfiOMÉTRIK. 17.0

les observalions ci-iJessiis, relatives au s^slèmt* des poinis «, 6, c ijlg' ioî>), se reproduisenl égaleiuenl dans toutes les autres permutations de ces poinis, àTéf^'ard des changements de signe que doivent subir les distances de la relation primitive, pour qu'elle devienne applicable indistinctement à toutes les situations possibles. £n particulier, quand les poinis a, b^ c prennent la position indiquée par la ^g, io5 ci-dessous, les distances sont devenues à la fois inverses ou rétrogrades pajp rapport à celles de la^g*. 102; mais alors on a

ac ^=ab -^ bc\ soit — ac = — ab — bc ;

ces distances sont donc aussi devenues simultanément négatives; ce qui contirme la règle algébrique. On voit par là, (railleurs, que les signes ne sauraient, sans ronveniion ex-

Fi(j. io5.

presse, fixer la position absolue des poinis a, b, r sur la droite AB; on pourra toujours les renverser symétriquement sans que les relations en soient troublées, en changeant le sens de la génération des lignes de la droite* vers la gauche.

11. Donc, pour rendre une relation appartenant au systènK» (le trois points quelconques en ligne droite, et relative à une situation donnée de ces poinis, applicable à toutes les situations possibles des mêmes points, il sulfit de changer dans cette relation, le signe des dislances devenues inverses ou rétrogrades par rapport au sens dans lequel on les supposait primitivement engendrées. En d'autres termes, il suffit de regarder comme positives les quantités qui ,consetvent le même sens à regard de Vextr^mité d'où, elles se mesurent, et comme négatives celles qui changent de sens par rapport à ce même point ,

Ainsi, il y aura variation de signe et permanence en même temps que variation ou permanence de position relative. Il est visible, en outre, que la permanence aura lieu toutes les fois que la distance ne sera devenue ni nulle ni inlinie, et que, ré ciproquement, la variation n'arrivera (jue dans l'hypothèse contraire.

i7<'» IIP CAlIltK. - SUK LA LOI DES SIGNES

12. Supposons inaînleniint (|u\)n introduise un quatrième point parmi les trois aulres, je «lis que la règle examinée cidessus aura encore lieu à l'égard des relations qui concerneront leurs dislances mutuelles, alors au nombre de six, et en admettant toujours la notion de continuité et la convention que le sens progressif va de A vers B, de gauche à droite, el le sens rétrograde de B vers A, de droite à gauche.

Pour le démontrer directement et sans recourir à un nouvel examen circonstancié, j'observe que, quelles que soient |es relations géométriques entre les distances mutuelles d'un pareil système, elles doivent nécessairement provenir de transformations géométriques ou algébriques, appliquées à trois quelconques des équations primitives, linéaires et indépendantes, du genre de celles ci -dessus qui concernent trois points rangés en ligne droite.

On aura, par exemple [Jig. 106), entre les distances qui lient entre eux quatre points a, 6, c, d sur la droite AB,

bc = ac — abj bd = ad — «6, cd=:ad — ac;

s'il pouvait exister entre les six distances ab, ac, ad, bc, bd, ca, toute autre relation qui ne fut pas une conséquence algébrique ou géométrique de celles, en quelque sorte identiques, qui définissent la position des poinls a, b, c, rf, il arri-

Fig. lof).

verait qu'en y remplaçant, par exemple, bc, bd, cd par leurs valeurs ci-dessus, on obtiendrait une nouvelle relation entre ab, ac et ad, qui ne serait pas d'elle-même une identité de cette espèce: ce qui est visiblement absurde, puisque l'on pourrait calculer l'une de ces distances au moyen des deux autres, et que, par hypothèse, les points b, c, d, comme les distances ab, ac, ad qui en délerminenl les positions relatives, sont supposés indépendants de toute condition ou relation mathématique donnée à priori et éiraiigére à celles que -rend évidentes le raisonnement géoméiri(iue, aidé de simples et légitimes transformations ou combinaisons algébriques (7 el 17). Or, nous avons démontré (|ue chacune d(»s relations d'iden-

lilé géométrique (|ui apparluMUientaii j^roupe de trois points arbitraires, pouvait s'appliquer à tous les étals possibles du système complet des points a, b, c, d, en ayant égard à la règle ci-dessus des signes algébriques de position; donc il en sera ainsi des nouvelles relations métriques, je veu\ dire des équations qui peuvent en dériver par des opérations licites, exécutées sur les plus simples d'entre elles et qu'on pourrait nommer relations, équations linéaires de situation.

13. Le même raisonnement élafit applicable à ini nombre quelconque de points distribués sur une ligne droite, il en résulte, en définitive, que les relations géométriques d'un pareil système peuvent toutes être censées provenir d'un nombre limité de relations du genre de celles que nous venons de définir et d'examiner.

Concluons enfin que, quel que soit un système de points situés sur une ligne droite , les relations métriques qui lui appartiennent sans conditions étrangères à la situation naturelle des parties, demeurent applicables à toutes les positions possibles des points dont ce système se compose, toujours en ayant égard à la règle des signes de position.

Un simple coup d*œil suffira, conmie on voit, pour établir la correspondance des signes entre les divers systèmes dérivés ou corrélatifs. Cependant il existe quelques difficultés qu'il est intéressant de faire connaître à l'avance, parce qu'elles sont la source de contradictions et d'erreurs apparentes dans lapplication de l'Algèbre à la (iéoméirie.

ik. Dans ce qui précède, nous avons supposé {\\e l'axe, la droite indéfinie qui renferme les points examinés; mais cette droite pourrait faire partie d'une figure générale variable, et, dans le passage de cette figure à celle qui lui est corrélative par voie de continuité, il pourrait arriver non-seulenjent que les points dont il s'agit changeassent de position entre eux, mais encore que la droite elle-même changeât de position relativement aux données de la figure, par exemple, en pivotant autour d'un point fixe. Dans ce cas, il est très-essentiel pour ne pas se tromper, de suivre exactement le mouvement de la droite et de ne pas perdre de vue quel est le sens positif ou négatif, progressif ou rétrograde, primitivement attribué 11. rx

17» m* CAHIER. - wSUR LA LOI DES SIGNES

aux lignes ; car, si Taxe recUIigne considéré avait, par exemple, accompli une demi-révolulion dans l'espace par rapport à sa position première, il est visible que le sens de droite sera devenu celui de gauche et inversement, sans même que la position relative des points ait changé. Alors donc, comme dans toutes les circonstances où il pourrait y avoir incertitude sur le véritable sens des signes et des distances, on fera bien de recourir à des repères extérieurs tels que ceux A et B ijîg» loi à 106), situés à une distance assez grande des points du système, pour indiquer nettement, Tun le côté droit, l'autre le côté gauche sur Taxe mobile, et qui permissent en même temps de suivre, au moins par la pensée, le sens de son propre mouvement de rotation et de translation { * ).

15. ^.a difficulté relative au signe de la sécante des arcs supérieurs à 200 degrés, si obscurément discutée et résolue par MM. Carnot et Gaudin, provient essentiellement d'une confusion de cette espèce, qui ne saurait se produire dans le système des axes coordonnés de notre illustre Descartes : là, en effet, l'origine et le point fictif vers l'infini à droite, servent de repères naturels aux autres points et aux distances variables comptées, de l'origine commune, sur ces axes respectifs censés immobiles. Néanmoins, comme ces distances et ces points ne sont que la représentation, la projection géométrique de ceux de la figure variable à considérer dans l'espace, les mêmes difficultés se reproduisent dans l'interprétation du résuUat final des calculs algébriques sur la figure transformée ou corréla-

(*) En généralisant cetto cofisidéralion et retendant à des lignes et à des surfaces quelconques mobiles dans Tespace absolu , en conçoit qu'il se passe ici des choses analogues à celles qui ont lieu pour les mouvements relatifs des systèmes invariables, sinon quant au temps, aux vitesses, aux accélérations totales ou résultantes, du moins quant aux déplacements mutuels des parties et des points dont les distancer peuvent d'ailleurs varier suivant des lois quelconques. Ces considérations se rattachent, comme on voit, à ce qu'on nomme, en général, In transformation des coordonnées dans l'espace absolu ou relatif, problème dont nos grands géomètres algébristes nous ont déjà offert de belles solutions, sans néanmoins soulever entièrement le voile et résoudre les difficultés qui tiennent à la loi de continuité et des signes de position.

live, ainsi que nous en verrons plus lard «les exemples remarquables* Cesl pourquoi il me semble utile crinsisler ici encore sur divers éclaircissemenis.

. 16. Pour suivre avec une entière facilité la loi de la niuta- \ lion des signes dans les figures corrélatives d'un système quelconque de points en ligne droite, on pourra écrire pour la flgure type ou primitive, à la suite les unes des autres, les lettres qui désignent le système des points variables à considérer dans Tordre même où ils se présentent en cheminant de la gauche vers la droite, c'est-à-dire dans le sens supposé positif et progressif à priori : soit [fig* 106, p. 176) dans Tordre

4t, />, r, dy e,. . .y

Alors si, pour une nouvelle position du système, Tordre est

devenu

a, p, fiy b, 6, . . . ,

ce sera une preuve évidente que les distances M, be, cd, ce^ de^ par exemple, ont changé à la fois de sens et de signe en passjant par zéro ou par Tinfini, c'est-à-dire, en d'autres termes, sont devenues inverses ou rétrogrades, tandis que les distances aby acy ady ae, bc sont restées directes dans Tordre progressif, non-seulement pour toutes les relations de positions linéaires primitives, mais aussi pour toutes celles qui en seraient déduites algébriquement.

Pareille chose aura lieu encore pour des relations particulières quelconques mais non identiques, lorsque, d'après les données de la figure et les conditions du problème, elles seront soumises à la loi de continuité et des signes de position : telles sont, par exemple, les relations qui défmissenl, sur une droite fixe, la proportion ou moyenne harmonique selon Platon et Pappus (*), ainsi que la plupart des relations qui nous

(*) Serail-il vrai qu'Euclide et Apollonius, et à leur suite Legendre dans sa Géométrie élémentaire, se fussent trompés dans leurs écrils sur cette relation si élégante et si simple, en la privant do tout signe symbolique et conventionnel? Je le pense d'autant moins (jue la Géométrie analytique, celle des coordonnées de Descartes, ne saurait justifier en aucune

i8o m* CAHIER. - SUH LA LOI DES SIGNES

oui occupés dans le II* Cahier de ce volume, et qui, d'après re i|u*on a vu, preinieni leur source eflcur point d'appui nécessaire dans les propriétés mêmes des racines ou des coefficients des équations algébriques.

17. Mais si, au contraire, les relations métriques données à priori et étrangères à celles qui définissent la position respective des points ci-dessus d'une manière indépendante de toute convention particulière, si ces relations métriques ei algébriques ne sont point, par elles-mêmes ou par les hypothèses du problème, assujetties à la loi de continuité et de,s signes de position, leur combinaison avec les premières ne pourra évidemment conduire à des résultats soumis à cette même loi, et par conséquent d'une interprétation géométriqu<' facile; notamment si, parmi ces équations, il en existe une seule de ces formes toutes géométriques,

A.cd = ab , cJ = zz:, ■•

ab

ou, algébriquement, de celles-ci

A étant une constante linéaire, x = cd, x=ab des indéterminées ou variables arbitraires; dans des cas pareils, disonsnous, l'interprétation des résultats de l'élimination ou des transformations algébriques pourra offrir des difficultés véritables, des paradoxes même dont on verra, dans la suite de cet écrit, divers exemples choisis parmi ceux qui ont déjà exercé la sagacité des géomètres, et qui se reproduisent aussi bien en

manièro et par aucun artifice de calcul ou de raisonnement, cette introduction ù priori du signe négatif dans une égalité à deux termes; introduction inopportune, et qui ne tend à rien moins qu'à obscurcir, oblitérer mèmCf le sens géométrique des adeptes, en s'adrcssant exclusivement à leurs yeux et à leur mémoire; méthode permise seulement dans les basses classes de nos institutions scientifiques, dans les écx)les commerciales et industrielles, où il^ s'aj^it moins d'exerrer le jugement que d'enseigner dos faits et des vérités pratiques.

Cjéométrie, en Mécanique, en Physique, en Astronomie, etc., qu'en Algèbre oii en Analyse pure.

18. La plus simple de toulcs les relations métriques qui peuvent appartenir à une série de points a, 6, c, rf, <?, situés en ligne droite, et dont les déplacements mutuels restent soumis à la continuité, se rapporte, sans contredit, aux relations d'abord examinées qui expriment la somme algébrique linéaire des distances consécutives entre ces points. Or, d'après ce qui précède, on ne sera jamais embarrassé de lire et d'énoncer géométriquement une telle somme pour toutes les figures corrélatives et dans toutes les situations possibles des points, en cheminant, je suppose, dans le sens positif de gauche à droite. Mais, pour éviter la fatigue de l'esprit, abréger, généraliser tout à la fois le discours et récriture, on peut considérer géométriquement celte somme comme représentant la projection orthogonale ou oblique du contour d'un certain polygone ouvert ou fermé, plan ou gauche, sur l'axe dont il s'agit, et le long duquel un mobile cheminerait continûment dans le sens positif ou progressif primitivement adopté, en allant de Tune à l'autre des extrémités de ce polygone.

19. On a un célèbre exemple d'une telle considération géométrique, dans la composition des forces ou des vitesses appliquées à un même point, ici représentées par des droites, des chemins respectivement parallèles aux côtés du polygone et dirigés dans le même sens. De pareilles considérations, trèssimples, sont en effet généralement familières aux intelligences tant soit peu exercées en Géométrie: les premiers linéaments, si je ne me trompe, en sont dus à Varignon ( Nouvelle Mécanique^ i685), esprit philosophique et généralisateur trop oublié de nos jours, et dont les aperçus géométriques, nés d'un théorème célèbre de Leibnitz relatif à la résultante et au centre de gravité des extrémités de forces appliquées à un même point, sont, en quelque sorte, complétés par les études de MM. Lhuilier (de Genève) et Carnot, relatives à la projection orthogonale des polygones et des polyèdres sur un axe recliligne ou un plan fixe arbitraires; projections dans la dernière desquelles les aires des faces |)olyé(lrales correspondent aux moments mêmes des forces ( oncouranles d'à bord mentionnées*

i8'2 IIP CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

20. Les additions el soustraclions indiquées par les signes et — dans les sommes goomélriques à considérer en projection sur un axe lîxe reciiligne, peuvent d'ailleurs s'opérer suivant les règles algébriques ordinaires, c'est-à-dire dans un ordre tout à fait arbitraire, comme la construction même des côtés successifs du polygone des forces, des chemins ou droites ronvergenies de la figure (*).

Il y a plus, ces projections, s'opérant par des ordonnées parallèles à un second axe i\\i^ quelconque, sur lequel, à son tour, le polygone peut être projeté par d'autres parallèles au premier axe, il en résulte un système de coordonnées tout à fait analogue à celui de Descartes, et auquel on peut appliquer des remarques pareilles à celles des n*** IV et suiv., relatives aux lignes et distances du plan ou de l'espace rapportées à trois axés coordonnés fixes arbitraires issus d'un même point d'origine. Quant aux ordonnées, aux appliquées parallèles des divers sommets du polygone et des extrémités des «liemins convergents, bien qu'elles soient, à d'autres égards, indépendantes entre elles et distinctes dans leurs positions respectives, il n'en est pas moins vrai qu'elles sont soumises

(*) Dans des leçons du soir faites, en 1827, aux ouvriers roessius, |)endant une convalescence longue et i)énible, j'avais pris pour base de la Mécanique la notion, pour ainsi dire intuitive, de la composition des chemins issus d'un même point et des projections du polygone qui sert à construire le dernier côté ou chemin résultant. Ainsi, par exemple, afin tle démontrer que» pour tout déplacement virtuel, fini ou infiniment petit, du point commun d'origine de ces ciiomins représentant autant de forces concourantes, la somme des moments ou des travioix virtuels de ces forces est égale au moment ou au trnvad xùrttiel de leur résultante, il suffisait de multiplier le déplacement arbitraire du point général d'application dont il s'agit par la projection de la résultante géométriquey c'està-dire par la somme algébrique des projections des forces sur la direction indéfinie du même déplacement. Or, cette proposition capitale conduit, par une voie toujours simple el intuitive, à la composition des trm*aux et des moments des forces en mènerai. ( 1"" Cahier lithographie du Cours de Mccnrtique industrielle ; édition do i8'27. rédigée par le capitaine' du génie (losselin, d'après des leçons orales (jui n'étaient qu'une rapide et simple émanation de oeil^s (|uo, à partir de \i\n\ iei iS^/i, j'avais été chargé de professcM* aux élèves do Ifirole d'appHralion de Met/..^

DE POSITION EN GÉOMÉTÏUE. i83

aux mêmes lois de signes (|ue leurs projections sur chaque axe respectif.

Ainsi les considérations précédemment exposées (47) pour les sommes iilgébriques des segments de points rangés sur une mémo droite leur sont directement applicables, et les principes de continuité et de corrélation relatifs aux signes dans les équations algébriques transformées, n'ont lieu qu*autant qu'il n'existe aucune relation métrique exprimant des conditions étrangères à la loi des signes de position et à la génération continue des grandeurs que Ton considère.

A regard des lignes polygonales en particulier et des chemins convergents qu'elles représentent, il est à remarquer (jue ces chemins ne com|)ortent par eux-mêmes aucun signe algébrique ou géométrique de position, s'ils ne dérivent d'un mode unique de génération ({ui, pour ainsi dire, se transporte hypothétiquement et d'une manière indépendante, d'une direction rectiligne à celle qui lui est contiguë par voie de continuité; tout comme il arrive, par exemple, pour les attractions planétaires, la chute des graves, etc., ou, simplement, pour les çécantes du cercle, dont les signes de position ne peuvent être que relatifs à la direction tournante du rayon (15), signes non convenus à l'avance ni imposables à priori.

Seulement, comme, dans le cas de chemins convergeant ou rayonnant autour d'un même point et projetés sur un axe fixe, le rapport numérique de chaque ordonnée au chemin correspondant n'est autre que ce qu'on nomme en Trigonométrie, selon les cas, le sinus et le cosinus de l'angle formé par la direction propre du chemin avec l'axe fixe dont il s'agit, il en résuite que ce& lignes trigonométriques, ces ordonnées ou projetantes suivent encore la loi des signes de position, à l'exclusion des distances elles-mômes ou des chemins projetés (*).

21, En terminant l'examen intéressant qui concerne les sommes algébriques des segments relatifs aux points rangés en

(*) J*ai joint ces derniers développements aux considérations géométriques de l'ancien texte, ici beaucoup trop laconique eu égard ii leur généralité et à leur importance dans les applications en Géométrie et en Mécanique, et cela avec d'autant plus de motifs qu'ils sont entièrement d'accord, si je ne me trompe, avec les opinions généralement admises à notre époque sur la loi dos » ignés des distances, selon qu'elles sont obliques les unes par rapport aux autres, ou qu'étant parallèles, Tintcrvention de lignes trigonométriques auxiliaires cesse d*ètre indispensable; car on peut alors recourir ù la projection ordinaire dos distances sur un axe fixe, lui-même parallèle à ces ordonnées, en se laissant «l'ailleurs guider par les considérations du texte, relatives à la gént'ration cuntinuc des lignes delà ligure dans \\n sens déterminé, aux luis du calcul aIgobri(|iit> et a la projection polygonale qui tend à supprimer tout vaQue et arbitiairo dans \vs applications k chaque cas ])articulior.

i84 III' CAlililR. - SUR LA LOI DES SIGNES

ligne droile, je ne veux point passer sous silence un fail trèsimportant, c'est que les relations d'identité géométriques et linéaires auxquelles elles se rapportent subsistent, à cause de leur grande généralité, dans les perspectives de cette droite sur un plan ou un axe arbitraire, et qu'elles jouissent ainsi, quoique sous une autre forme, du caractère qui appartient à toutes les relations entre segments formés sur des transversales rectilignes quelconques, qui nous ont occupés dans le II* Cahier de ce volume. Or, je crois devoir prévenir, dès à présent, que les relations métriques de ce genre, même celles qui concernent la simple juxtaposition des distances rangées sur une droite, peuvent être facilement transformées en relations directement projeciives par des opérations géométriques très-simples, pour ainsi dire évidentes (*).

(*) roir ro])servalion placée au bas do la page 69, ainsi que les Notes sur quelques principes généraux de transformation des relations métritpœs des Jigures, insérées par moi, dans la Correspondance matliématique et physique de Bruxelles y i.Wl^ p. 118, 14 1, i43, 14^1 149» i5i, i53, 167, iirl. I à Vin (octobre i83i) ; mais plus [)articulièrement ce dernier article, p. 157, dans lequel les identités géométriques relatives aux sommes de distances mutuelles de points en ligne droite et à celle de produits similaires et homogènes sont rendues projectives coniqucmenty en y introduisant en fadeurs les segments relatifs au point à l'inGni de Taxe des distances. L'intervention de ce point, considéré comme origine d'abscisses ou segments, et qui prend en projection sur le nouvel axe une position quelconque p^ conduit à des transformées d'autant plus remarquables, <jue leurs différents termes ou produits peuvent être mis sous la ferme

\ph pa) \pd pv) \pf pe)

où il n'entre que des réciproques de segments comptés de l'origine commune p, et analogues, par conséquent, aux réciproques dont on s'est occupe dans le |)récédent Cahier; or cela constitue un autre mode de transformation souvent mis à profit depuis la publication do mon Mémoire (le i83i , et (jui, dans les endroits cités do la Corres/wndance de Bruxelles^ se trouve appli(iué à des identités géonjélriciues dignes d'intérêt.

DE POSITION EN GÉOMÉTHIE. i85

Examen de la loi des signes de position et du principe de continuité dans les relations métriques des figures de la Géométrie élémentaire,

22. D'après les remarques faites, en général (n°' 1 et suivants), sur la correspondance intime qui existe entre les arcs, les angles et les distances, il est évident que ce qui a été dit des sommes algébriques de segments Testera applicable aux sommes d'arcs sur un même cercle ou d'angles contigus autour d'un même point, si ce n'est qu'ils ne peuvent devenir inverses en passant par i'inOni, mais seulement en passant par zéro ou un multiple quelconque de ^oo degrés; néanmoins il n'y a pas lieu alors de construire directement les sommes dont il s'agit par la projection ou le tracé du polygone des chemins rectilignes. Enfin il ne faut, en aucun cas, perdre de vue (n*** 14 et suiv.) le renversenjent possible de sens du au déplacement relatif et au transport des lignes dans l'espace toujours censé fixe et absolu.

23. Après les relations fondamentales qui appartiennent à un système de points rangés sur une droite ou un cercle, et à des droites rayonnantes autour d'un même point, viennent successivement les diverses propriétés élémentaires de la Géométrie plane, qui servent de base essentielle à toutes les autres :

1° La propriété des angles d'un triangle ou, plus généralement, des angles formés deux à deux par trois droites qui se coupent à des distances finies ou infinies ;

a** La propriété des triangles semblables et des lignes proportionnelles ;

3** La mesure des angles par les arcs dans les figures inscrites à la circonférence du cercle ;

4** La mesure des aires triangulaires.

Les autres propriétés métriques des figures, même celles des aires, ne sont que des corollaires de celles-là et de celles déjà examinées pour les simples dislances. C'est ce qu'on vérifiera sur quelques exemples ex|)0sés ci-après.

Nous allons préalablement et successivement examiner chacune dos relations élémonlaires, afin de constater qu'ellôs

i86 m- CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

subsisteiu et s'étendent à toutes les positions possibles des parties qu'elles concernent, quand on tient compte des valeurs et des signes de position, par voie de continuité.

24. Soit abc [Jig, 107) un triangle recliligne quelconque servant de tvpe primitif, et dans lequel les angles sont tous mesurés intérieurement.

Fig. 107.

On a. comme on siiit, d'après les notations proposées par M. Carnut,

abc H- acb H- bac = 200** ou b-^ c-{-a = 200°.

Cela posé, je dis que, quel que soit le déplacement relatif de la direction indéfinie des côlés do ce triangle , Téquation ci-dessus lui demeurera toujours applicable en ayant égard aux signes de position ou de corrélation^ selon la dénomination adoptée par le mémo auteur.

Supposons, par exemple (fig, 107), que le cô^é ac prenne la direction ac\ le triangle abc devenant abc\ l'angle bac passera seul par zéro en rétrogradant vers la gauche, et sera seul inverse ou négatif, tandis que, des deux autres angles, Tun acb se sera changé en Tangle ac'% extérieur à ac'b^ et lautre abc dans son propre supplément ab B ou abc' à aoo degrés; de sorte qu'ayant pour le triangle ainsi transformé

r/ = — bac', c = -200** — ac'o, b = 200** — abc\ il vient pour ce triangle, toutes réductions faites,

ba?-\- ac'b 4- abc' = 200°.

en remplaçant les anciens angles par leurs valeurs corrélatives ci-dessus: ce qui confirme à la fois la règle des signes et la généralité du théorème fondamental ; car tous les autres changements que pourrait éprouver le triangle type ou la position de ses sommets conduiraient à des vérifications analogues du principe de continuité (*].

(*) Considérez, par eiemplc, le cas où lo sommet a passe graduellement audessous de lu hase opposée &r, les angles intérieurs en h e\ c deviendraient simplement inverM'î» ou négatifs, tandis <|ue l'angle pareil en a, se changerait en un angle cxlérieur pour lo nouveau triangle. Donc, en substituant algébrique-

On peul d'ailleurs démontrer la chose d'un seul coup, en partant d'un théorème de Géométrie, plus fondamental encore, tiré de la théorie d(S parallèles.

Soit abc (,fif^. 108) un triangle (pielconque; par l'un de ses sommets a concevez une ()arallele b'c' au côté opposé bi-; les angles externes bac',

Fig. 108.

yi r ' \

cab' étant respectivement égaux à leurs al ternes- internes abc (»t acb intérieurs au triangle alH\ on aura identiquement, n'importe la granileur et le signe des angles du triangle corrélatif,

bac -f- bac 4- cab — '200"^,

n»lation qui, étant entre les angles formés autour d'un môme poini, est en effet applicable (22) à toutes les positions de Uuirs côtés, en tenant compte do la valeur algébritiue ou de position des angles de la figure dérivée, que Ton ne doit jamais iHirdre de vue, dans le passage gradué de ces angles par zéro, etc.

25. Les diverses autres relations d'angles pouvant se dMuire de la précédente, [misque les théorèmes élémentaires relatifs à la somm(» des angles adjacents, alternes-internes ou correspondants, ont lieu pour tous les cas possibles (*), ces relations restent soumises à la loi de continuité des signes et des règles algébriques, n'importe la situation du triangle.

ment CCS trois derniers angles aux ancien», dansTéqualion type a + & + c= 'ioo^, puis, remplaçant Panglc extérieur par sa valeur, supplément à /|00 degrés de l'angle intérieur correspondant du nouveau triangle, on retomberait encore sur le théorème ordinaire de la Géométrie. (Ao/^ de 181O.)

(*) En efTet, quelle que soit {fiff. 108) la position de bc par rapport à ahy on aura toujours ang.<ï&c = &flc'. Que le, jiar exemple, devienne by en traversant la position de &a, sa parallèle ac'y menée par /», étanl a y', l'angle abc, changé en oh y, sera devenu inverse et négalif;^ais il en sera évidemment ainsi do t»on correspondant alterne bay, qui aura dû aussi coïncider avec a6; donc on aura, algébriquement et identiquement,

— aby z=z — buy\ OU uby = biiy',

ftuub lignes de corrélation; inutiles ici puisqu'ils disparaissent comme dan:* loulcs les relations à deux termes de lu (ieomèh'ie.

i88 JIP CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

Pareillement tout polygone rectiligne étant partageable en triangles» de même sommet, d'ailleurs arbitraire, par lequel on ferait passer un axe invariable comme ci-dessus, les relations d'angles qui lui appartiennent s'en déduiront, et seront applicables également aux diverses grandeurs ou situations des figures qui en dérivent par voie de continuité. Mais il sera plus général et plus simple de mener directement, par ce point ousommet commun arbitraire, des droites égales, parallèles aux côtés successifs du polygone et dirigées dans le sens progressif (i^).

26. Revenons un instant au cas élémentaire du triangle abc (Jig, 107), dont la base bc et Tangle au sommet bac deviennent inverses et négatifs (24) pour le triangle transformé ab'c\ et remarquons qu'il en est ainsi encore de son aire comparée à celle du triangle primitif abc^ mesurée par -bc,ap\ le facteur ap étant la hauteur commune aux deux

triangles. Rappelons, on outre, que, d'après les définitions et conventions généralement admises, on a, dans le triangle rectangle acp,

au . ^^ cp /\ P^ ^

-^ = sin.^/f/^, -^ = COS. acp, ^ — = iang.acp, etc.,

ac 'eu '^ ]xr ° '^

relations purement numériques dont on ramène le calcul aux tables bien connues, et qui donnent aussi pour l'aire du triangle abc^

-bcap =-s\n,acp.ac,bc(*).

27. Pour généraliser et élucider encore mieux la question relative aux signes de corrélation, supposons (y^. 109) que le triangle abc ait pris,

(') Ces formules et équations à deux termes, ici purement Géométriques, ne comportent aucun signe, ou plutôt les auxiliaires trigonométriques n'y ont pour signes que ceux des rapports mêmes qui les définissent dans les figures corrélatives, dérivées d*un mode de génération continue et convenue. Voilà ce qu'il est nécessaire de répéter aujourd'hui, où l'on s'est familiarisé avec remploi, à priori, des notations et conventions de la Trigonométrie analytique. Ainsi, par exemple, si l'on suppose l'angle en c obtus dans le triangle type abc, la perpendiculaire ap tombant en dehors de la base bc, l'angle acp, au lieu de rester égal à l'angle intérieur acb de ce triangle, se confond avec son supplément extérieur dont le sinus reste positif.

11 n'en serait plus de même si, raisonnant algébriquement, on voulait conserver l'angle intérieur tfc6 ou c dans les équations ci-dessus; alors 11 conviendrait d'avoir égard aux règles des signes trigonométriques et de positions relatives, qui rendant Himultanénient sine cl cp inverses ou négatifs quand l'angle c ost oblub, tendent par Vu encore (note de la p. 1H7), à faire disparaître ces signes dniiN les «'i|iialions a deux termes dont il s'a(;il.

dans le systèmo dérivé» la position renversée b'ar\ correspondante à l'angle opposé au sommet bac du triangle primitil*.

Cela posé, j'observe que, dans la translation continue de br on b'c\ les cotés ab\ ac\ bc' sont devenus tous les trois inverses en passant par le sommet commun a, où, s'évanouissant simultanément, ils changent aussi de signe dans les relations métriques qui leur correspondent, ce ijui som-

Fig 109.

hlerait, à première vue, devoir avoir lieu également pour Tangle // ac' opposé par le sommet à bac^ de mémo que pour l'aire du triangle <///r' (|ui, dépendant du rectangle de deux de ses dimensions linéaires devenues inversos et négatives simultanément, reste cependant positive; car. i)ar exemple, on a, pour l'expression de cette aire,

-sin/i (— ab') (— ac') = -sin/i./?^' ac'\

résultat auquel on arrive aussi par la considération do la mesure purement géométrique de la surface des triangles, puisque la hauteur c'p\ entre autres, est devenue aussi inverse et négative par rapport à sa parallèle cp.

Quant aux angles mômes du triangle transformé, leurs grandeurs et leurs signes algébriques de corrélation dépendent, comme on l'a vu (24), de la manière même dont on suppose que s'est opéré le déplacement de hr en b'c'\ ce que l'on reconnaîtra toujours par les moyens précédemment indiqués, qui deviennent d'ailleurs superflus s'il s'agit simplement des angles intérieurs, dont la somme n'est point susceptible de changements de signes de position.

28. Les résultats concernant les triangles abc, ab'c ou abc' ûos^fif^, 109 et 108 seraient évidemment tout autres, si l'on supposait, comme dans

igo III* CAHIER. - SUR LA W\ DES SIGNES

la Jig. 1 10 ci-dessous, quo la direction indéfinie do la base^r du triangle primitif fût passée en h'<\ à gauche du sommet et y dans le supplément ff'ar' de Tangle bnc; le sommet b' restant du côté de b sur ab, et ab' par conséquent tiirect ou positif, tandis que efc' est devenu inverse en passant

Fig. iio.

par zéro en a^ ou par l'infini au moment où sa direction est rendue parallèle à celle de ac ; enfin b'c' devenant lui-même inverse en passant par zéro en a^ ou par Tinfini si b'c\ dans sa rotation, traverse la position de parallélisme par rapport à ce'. Dans ces circonstances, d^ailleurs, les angles en ^ et r du triangle primitif se sont changés, Tun dans le supplément bac' de bac^ Tautro dans le supplément extérieur de rangle<«n r'du triangle a b'c'. Quant à Tangle en b, changé en Fangle intérieur ab'c de ce dernier triangle, il est devenu inverse en passant par zéro. Enfin il en est ainsi encore de Taire du triangle ab'c' corrélatif de iibc; circonstances dont on se rendrait plus aisément compte en imaginant, comme au n° 24, une parallèle passant ici par le sommet b. D'après cela, rien n'est plus facile quo de prévoir à l'avance les mutations de signes et do grandeurs qui pourront s'effectuer par le passage graduel de la figure abc à la figure nb'c', dans les relations métriques et les formules supposées obtenues pour la première.

Par exemple, on aurait pour le système transformé

Surï. nb'c' = - f^\na.a'b'(-'ac') = i ap' (- bc').

sina étant essentiellement positif, ainsi que ab par hypothèse, et la hauteur ap' comme la hauteur ap du triangle primitif, qui ont dos directions distinctes non parallèles, restant sans signes do corrélation (20), etc. (*).

(" ) Ce sont là, d^aillcurs, des formules de substitution, de transformation de coordonnées purement algébriques en quelque sorte et dans lesquelles Surf. «4'c' est une inconnue à déterminer par l'expression du second membre, en valeur et on signe; là en eflet, tout antagonisme doit forcement disparaître au point de vue géométrique, puisque le triangle lui-même s'évanouit avec» ses deux c^téti

89. Passons maintenanl aux lignes pro|>arlionnelk's (*t à la similitude des triangles.

Soit dh' (fig, m) une parallèle à la base ab d'un triangle sab: on démontre en Géométrie, pour la position actuelle, lexactitude rigoureuse des proportions ou égalités de rapports,

sa sa' o(f' __ nb 7b^WW~77b'

sans signes de position. Mais si, dans le mouvement des lignes de la figure, la parallèle a'b' passe de la droite à la gauche du sommet s en a,^5, Uîs côtés ou segments va. .vp, ap changent à la fois de sens et de signe par rapport à leurs homologues, parce que a(i aura passé par le sommet a

l'ifj III.

OU par rinfini du plan, maisr/x, 6 J^ conserveront leur sens primitif de ^///', hb\ ou, selon Texpression admise par M. Carnot, ils resteront directs. Donc, en remplaçant, dans les équations ci-dessus, les anciens segments ou côtés par les nouveaux avec leurs signes, ces signes allant par couple dans chaque rapport se détruiront aîgébricjuement; ce qui est conforme aux données de la Géométrie élémentaire, qui ne fait ici aucune acception dos changements de position et de grandeur des côtés ou des angles ni, pur conséquent, des signes; car ils n'entrent pour rien dans les démonstrations, de môme qu ils se neutralisent algébriciuement.

Les mômes circonstances arrivent généralement [)Our les triangles semblables, considérés dans des situations arbitraires, mais assujettis à des conditions analogues; car des longueurs quelconques ne peuvent changer

variables ac\ hc' .CarnoX {Géométrie de position. Dissertations préliminaires^ p.xvj) n'hésite pas à considérer comme fausses les équations à deux termes

cos (ttH- fl) = — sinfl, sin (a7r-+-rt; = — sinn,

qui, ajoute-t-il, « ne peuvent ôtre employées que comme de simples formes » algébriques, propres, par là même qu'elles soni fausses^ h redresser une prc-

• mière erreur commise; elles la redressent en eflcl dans certains cas Os

» expressions, telles que — %\ï\a, sont ce que je nomme des valeurs de corréla" » tion, etc. »

192 Iir cAlER. - SUR LA LOI DES SIGNES

(Je signes et de sens ou devenir proprement inverses que si elles appartiennent à la môme ligne droite ou à des directions parallèles (20). D*autre part, toutes les relations métriques déduites algébriquement de celles qu'on obtient par des considérations géométriques sont nécessairement exactes et rigoureuses mathématiquement.

30. Soit, comme exemple particulier, abc (fig, iia) un triangle rectangle en b\ du sommet h soit abaissée sur Thypoténuse ac. la perpendi-

Fig. \\l.

■•Ic-

culaire bd\ les trois triangles abc^ abd^ Me seront respectivement semblables, et Ton aura, en les comparant deux à deux,

ab ad __ bd ^^ ^^ __^^ ^^ ad bd

ac ab bc ac bc ab ()c ~~ bd^ cd

ou, ce qui revient au môme,

ab^ = ac . ad^ ab ,bc = ac, bd, ad, bc = ab, bd^

l)c = accd, ab.bc = acbd, cd,ab = f>c,bd^

IhI = ad. Cil.

En vertu de ce qui précède, ces relations appartiennent tout aussi bien aux triangles rectangles ^^c', r/^'c" construits sous des conditions entièrement analogues, et de plus, comme on a Videntité géométrique

ac ^= ad -^ cd

qui ne peut changer de signe, puisque le pied de la perpendiculaire bd sur ac^ tombe nécessairement entre a et r, les combinaisons algébriques de ces diverses équations, par exemple colles-ci

ab -\- bc :rz acad -\- accd =. ac (ad-^- cM) = ac ,

sont applicables sans signes de posilion, dans toutes les hypothèses possibles relatives à la direction et à Ta grandeur de ab et ab' (*).

31. Il est assez remarquable, d'ailleurs, que, dans toutes les relations élémentaires à deux termes jusqu'ici examinées, les changements de position n'influent en aucune manière sur les signes explicites; cela tient, comme on Ta vu, à ce qu'un facteur quelconque dans ces relations purement géométriques ne peut, par suite d'inversion, prendre un signe négatif dans l'un des deux membres, sans qu'il en existe dans l'autre un pareil qui détruise algébriquement le premier. Or c'est là un faii général applicable à toutes les équations géométriques à deux termes, quelle que soit la manière dont elles aient été déduites de relations et de théorèmes élémentaires par voie exacte et rigoureuse.

Les relations à deux termes composés de segments linéaires, tels qu'en présente, en général, la Théorie des Transversales

(!!• Cahier), sont évidemment dans le cas dont il s'agit, et c'est ce dont on peut se convaincre directement pour le cas élémentaire des figures rectilignes, en recourant au beau Mémoire de Carnot sur cette matière (1806), dans lequel les équations dont il s'agit se trouvent démontrées par la simple considéra-

(*) On se jetterait dans des contradictions et des difficultés inextricables, si , Ton prétendait repousser ces conséquences. Ainsi, par exemple, si, à priori, Ton voulait considérer le triangle abc' (Jîg. 113), comme dérivé ou corrélatif du triangle abcj parla rotation continue de Thypoténuse ac autour du sommet a, resté fixe ainsi que le sommet b et la direction de ac', on trouverait que les lignes 6c', d'c'y bd' seraient devenues inverses et négatives en passant par zéro en &, limite infranchissable où ac atteint sa valeur mhiimuro, ce qui offre un désaccord complet avec les notions de similitude, puisque ces distances ne sont nullement les homologues de bc^ de et bd, et ne peuvent ainsi leur être comparées dans les équations et les proportions ci-dessus. Il en serait de même évidemment du triangle ab'c*" opposé par le sommet au précédent, et si Taccord subsiste pour les triangles abc, ab'c", cela provient, en réalité, de ce que le premier peut se déduire du second par la simple translation parallèle du côté bc et l'inversion, le changement simultané des signes de toutes les distances homologues. Enfin, si Ton est conduit à des interprétations faciles et non contradictoires, poiir le cas où Ton supposerait le sommet b du triangle type abc place symétriquement au-dessous de Thypoténuse ac, cela vient de ce que toutes les longueurs y conservent des signes invariables, sauf hd qui entre deux fois cl similairemcnt ou au carré dans les équations à deux termes ci-dessus, dont ainsi le signe négatif disparaît d'après les règles algébriques.