II. i

194 nr CAHIKR. - SUR LA LOI DES SIGNES

tion dés théorèmes relatifs à la similitude des triangles et aux lignes proportionnelles. Quant aux relations métriques et géométriques à plusieurs termes, elles peuvent varier dans les signes de position de ces termes, comme le théorème relatif au carré de l'un des côtés d'un triangle oblique, connu des Anciens, en montre un exemple très-simple.

32. D'après la remarque faite d'une manière générale dans le n" 22, le principe de continuité et des signes de position doit s'appliquer à une somme d'arcs de cercle et d'angles au centre, consécutifs ou juxtaposés dans un ordre quelconque, en entendant le moi somme dsins le sens algébrique ou géométrique déjà adopté pour le cas de la ligne droite; et, comme les angles inscrits à la circonférence ont pour mesure la moitié des arcs positifs ou négatifs (directs ou rétrogrades) qui les sous-tendent, c'est-à-dire des angles au centre correspondants, il en résulte que les projetantes ou droites rayonnantes qui parlent d'un point fixe quelconque de cette circonférence et voni aux extrémités de divers arcs, forment entre elles des angles dont la somme algébrique est assujettie aux mêmes lois. Or cela permet d'étendre le sens de diverses propositions de Géométrie élémentaire, relatives aux angles simples ou aux angles des polygones inscrits à la circonférence de cercle, tout en abrégeant beaucoup les énoncés.

Par exemple, on peut dire que la somme des angles à la circonférence d'un quadrilatère inscrit quelconque, et qui sont opposés Vun à Vautre et par conséquent s'appuient aux mêmes extrémités d'arcs y équivaut à deux droits ou 200 degrés y quelle que soit la forme du quadrilatère; toute la question, en général, étant de reconnaître la grandeur et le signe de position des arcs ou des angles, ce qui oblige de recourir au procédé indiqué n** 16 ou à celui des tableaux de corrélation de Carnot, chose toujours délicate et pénible. Cela explique comment les Anciens évitaient soigneusement de pareilles généralisations, à cause des difficultés et des diseussions épineuses qu'elles amènent, mais dont l'absence, plus apparente que réelle dans l'Analyse moderne, empêche néanmoins de lire clairement dans les formules géométriques qui en dérivent.

33. Au lieu de nous étendre sur cet objet, considérons en particulier (fig^ 1 13, à gauche), l'angle ASB formé par la ren*

contre intérieure de deux cordes quelconques AD, BC d'un cercle : on a, sans discussion, en substituant, d'après les principes de la Géométrie élémentaire, les arcs aux angles Formés au centre du cercle par les rayons parallèles à c«s cordes,

ang. ASB ou CSD = - ( arc AB 4- arc Cl) ) ;

mais quand le sommet S venant à franchir la circonférence d'une manière continue quelconque, se place comme dans la Jig. 1 13 de droite, on a, au contraire,

ang.ASB ou CSD = - (arc AB — arc CD),

parce que l'arc CD est devenu inverse en passant par zéro, ^ tandis que l'arc ABa conservé son signe primitif.

Dans cette seconde figure, l'inversion subie par CD entraîne celle des segments SC, SD sur les cordes et sécantes, par rapport aux segments SB et SA; mais ces segments devenus négatifs, n'apportent aucune modification dans cetie autre relation fondamentale de la Géométrie,

SA.SD=:SC.SB ou |^ = U'

parce que, dans la substitution de — SC, — SD, à SC et SD, les signes disparaissent algébriquement. Or de là résulte celte conséquence capitale :

Le$ équations à deux termes entre produits de segments re-

196 III* CAHltR. ~ SUR LA LOI DES SIGNES

latifs au cercle et qui s^ étendent (II* Cahier, p. 69) projectiventent aux sections coniques en général^ sont rigoureusement applicables à toutes les positions des lignes de lajigure : il en est de même des diverses propriétés métriques et descriptives qui s'en déduisent.

34^. D'autre pari, le ihéorème général de Newton sur les produits des appliquées parallèles des courbes géométriques ne comportant aucun signe négatif, et le théorème de Carnot relatif au triangle transversal d'une telle courbe se déduisant du précédent par la considération de la similitude des triangles ou des lignes proportionnelles, il en résulte que le fait cidessus s'étend rigoureusement aussi aux théories exposées dans t^ute la dernière partie du W Cahier.

35. En particulier, c'est une' grave erreur analytique et géométrique que d'attribuer le signe négatif au second membre de l'équation (fig^ 1 14)

MN =AN.NB,

qui exprime que l'ordonnée MN d'un cercle, perpendiculaire en un point quelconque N du diamètre AB, est moyenne pro-

portionnelle entre les segments adjacents et opposés NA et NE de ce diamètre; de sorte qu'on aurait algébriquement

MN = — AN.NB, AB = NB-AN,

en attribuant, selon la convention admise en Géométrie analytique, le signe — au segment situé à gauche de l'origine commune N et le signe H- à celui de droite; ce qui viole et le principe de continuité et la loi des signes de position^ tels que

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. i97

nous les avons définis ou entendus, et conduit, par une Causse interprétation, une fausse extension de la règle des signes algébriques, justement combattue par Carnot, à des conséquences absurdes, qui deviennent manifestes quand on suppose le pied N de l'ordonnée au centre même du cercle.

36. En attachant trop d'importance à l'ancienne dispute relative à l'existence isolée des quantités négatives, imaginaires, etc., M. Carnot, dans sa Géométrie de position, 2^ peutêtre plutôt encouragé que détourné les esprits aventureux, d'ailleurs bien moins géomètres qu'algébristes, à s'occuper de * semblables questions qui, par elles-mêmes, sont peu aptes à fortifier et agrandir le domaine de l'Analyse, supposàt-on

qu'on admît, avec MM. Français et Argand, que le signe v^ — i représente en Géométrie la perpendicularité, comme le signe — y exprime l'opposition des dislances (*).

Au surplus, on éviterait sans aucun doute ces difficultés, ces fausses interprétations masquées par des notations symboliques et algorithmiques séduisantes, mais qui jettent comme un voile obscur sur les vérités premières de la Géométrie et de l'Algèbre, rendues par là des sciences spécieuses et mystiques; on éviterait, dis-je, ces difficultés si l'on voulait bien se ressouvenir que, dans le cercle notamment, on a, en réalité, en prolongeant {fig> 1 14) l'ordonnée MN jusqu'à l'extrémité P de la corde à laquelle elle appartient, non pas simplement

MN = — NA.NB, mais bien

NM.( — NP) = (— NA).NB, ou NM.NP = NA.NP

sans aucun signe algébrique de position, conformément aux principes exposés ci-dessus.