PA:PB::OA:OB

identique avec la première.

Ainsi, les points 0 et P, qui jouissent des mêmes propriétés à regard de la courbe, sont tels, que chacun d'eux est réciproquement, mais tour à tour, le concours des tangentes qui correspondent à la corde passant par l'autre.

Le point P, toujours réel, jouit à l'égard de la section conique et de la droite m/i, d'un grand nombre de propriétés remarquables; sa considération est très-importante dans les recherches, et c'est à cause d'une de ces propriétés qu'il a reçu des géomètres le nom de pôle de la droite mn; nous pourrons faire usage de celle dénomination, à cause de sa simplicité, sans d'ailleurs nous attacher, quant à présent, à l'idée qu'elle entraîne d'après son acceplion ordinaire ; mais nous dirons aussi, toujours dans la vue de généraliser le langage el les conceptions, et afin de rappeler, d'une manière plus particulière, l'origine du point P : qu'il est le point de concours réel ou idéal des tangentes aux extrémités de la corde MN, selon que ces tangentes sont elles-mêmes réelles ou imaginaires. La droite mny toujours réelle, quant à sa direction indéfinie par rapport à P, prendra, selon ces diverses circonstances, le nom de rordCf de sécante de contact, réelle ou idéale. D'après l'usage actuel, celle droite pourrait aussi s'appeler h polaire du point P.

6. Nous venons de voir qiie les points 0 el P, dont l'un est le centre de la corde MN et l'autre son pôle, jouissaient réciproquenïenl de la même propriété à l'égard des points A et B ; or, il résulte do celte réciprocité qu'à mesure que le point O

DES SECTIONS CONIOUES. 371

s'approche du centre C de la courbe, son correspondanl P s*ea écarte, au contraire, sans cesse, et qu*enrin, quand le point 0 s'est confondu avec C, le point P s'est transporté à une distance infinie sur le diamètre AB; mais alors la corde MN est devenue un diamètre de la courbe dont le conjugué est AB ; donc a le pôle d'un diamètre quelconque d'une section coni- » que est situé à Vinfini sur le conjugué à ce diamètre; les )) tangentes MP, NP, qui renferment ce pôle, sont, de leur côté, » devenues parallèles et concourent à Vinfini. v

7. Réciproquement aussi, quand le point 0 ou la sécante mn s'écarte à l'infini sur le plan de la courbe (C), le pôle P se confond avec le centre de cette dernière; en sorte que « toute » droite située à l'infini sur le plan d'une section coniqu*^, a » pour pôle le centre même de la courbe. »

8. Dans ces circonstances, les points M et N sont passés à l'infini ; ils sont réels pour l'hyperbole, imaginaires pour l'ellipse. Les tangentes MP, NP deviennent elles-mêmes impossibles pour l'ellipse, mais demeurent réelles pour l'hyperbole et reçoivent le nom d'asymptotes. Ainsi :

(C Les asymptotes d'une section conique ne sont autre chose w que des tangentes aux points à l'infini de son cours, elles » passent à la fois par son centre, et sont toutes deux imagiw naires pour l'ellipse et réelles pour l'hyperbole. »

Dans le cas particulier de la parabole, le centre C est luiméinc à l'infini ; les asymptotes sont donc alors tout entières à l'infini , elles se confondent nécessairement avec la sécante w/i, qui devient par là tangente à la courbe; ainsi :

il La parabole a deux asymptotes confondues en une seule » à l'infini, c'est-à-dire qu'elle a une tangente située entière- » ment à l'inlini, ou enfin deux points confondus en un seul » à l'infini. »

Ces notions sont déjà bien connues; notre intention, en les rappelant ici, est de les rapprocher sous un point de vue qui puisse conduire sans peine aux considérations nouvelles qui doivent former la base de ce travail.

9. Uevenons maintenant au cas général où la sécante indéfinie mn a une situation (juelcoïKjuc sur h» plan de la

37-1 V' CAHIER. KSSAl SUH LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES courbe (C), el proposons-nous de déterminer les points M et N où elle rencontre cette courbe, que nous supposerons non décrite et seulement donnée par le système de ses diamètres conjugués AB et DE, dont l'un a une direction parallèle à la droite MN. La question reviendra évidemment à chercher sur cette droite un point M, tel que le carré de OM soit au rectangle OA.OB dans un rapport donné, celui du carré des diamètres conjugués; appelant donc A' le carré du diamètre principal AB, et B' celui de son conjugué, on aura, pour déterminer le point M,