OM : OA.OB:: B« : A

La question ainsi présentée sera, comme on le voit, toujours soluble d'une manière géométrique ; car B et A sont des grandeurs invariables, indépendantes de la position de mn, et Je rectangle OA. OB est, à chaque instant, donné ; mais cela suppose que l'on n'ait point égard à la nature particulière do la section conique que Ton envisage. On sait, en effet, que, quand le point 0 est placé entre A et B, la relation précédente appartient à une ellipse, tandis que, au coiltraire, elle appartient à une hyperbole décrite sur le même diamètre AB, quand le point 0 se trouve au delà des points A et B; il est donc facile de confondre ce qui appartient à Tune de ces deux courbes avec ce qui appartient à Vautre, puisqu'elles sont défmies par une seule et même propriété.

10. L'analogie que nous venons de reconnaître entre l'hyperbole et l'ellipse se soutient dans un grand nombre de circonstances différentes; notre objet n'est pas d'en faire la recherche particulière, mais de faire quelques rapprochements qui nous seront utiles pour l'objet de ce travail.

Nous appellerons désormais deux sections coniques ainsi conjuguées sections ou coniques supplémentaires l'une de l'autre, parce que, en effet, l'une quelconque d'entre elles répond aux questions faites sur l'autre, dans le sens que nous venons d'indiquer.

■*) C'est la XXI' proposition du T livre des Coniques d'Apollonius.

11 esta remarquer qu'une même section conique a une ind^ nilé de supplémentaires, correspondant à Tinfinité de systèmes de diamètres conjugués qui lui appartiennent; mais, parmi celte infinité de coniques supplémentaires, il n'y en a jamais qu'une seule qui corresponde à une droite donnée mn, parce (|ue nous n'admettons que celle dont le premier diamètre AB, ou le diamètre de contact, n'est pas parallèle à la droite mn.

11. Cette définition ne concerne évidemment que l'ellipse et l'hyperbole, mais elle peut s'étendre facilement à la parabole ; en effet, dans celte courbe (^'gf. i5i ), l'ordonnée MO est moyenne proportionnelle entre le paramètre et le segment BO

formé sur le diamètre AB, conjugué à la droiie mn\ mais, que la droite mn renconire ou ne rencontre pas la courbe, on peut toujours trouver sur elle deux points qui satisfassent à celte condition : supposanl donc que la droite mn se meuve parallèlement à elle-même, le diamètre AB, le sommet B et le paramètre demeurant invariables, les points M etN, obtenus comme on vient de l'indiquer, traceront d'abord la parabole MBN, puis une seconde parabole M'BN', d'une situation contraire et renversée par rapport à AB, mais ayant le sommet B, le paramètre et la direction du diamètre AB en commun avec la première, et lui étant par conséquent parfaitement égale.

Je nomme, parla même raison que ci-dessus, ces deux paraboles supplémentaires l'une de l'autre, par rapport à la droite donnée mn.

ITne section conique quelconque a donc toujours une conique supplémentaire; dans ce qui va suivre, il sera question

374 V" CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTlVES

seulenienl de Tellipsc el de Thypcrbole; mais ce que nous dirons de ce cas général pourra facilemeni s'appliquer à la parabole, comme cas particulier, el nous nous dispenserons pour celle raison d*y avoir égard.

12. Acluellemenl, soil une seclion conique donnée (C) {Jig. i5o); d'après ce qui précède, toute droite m/i, qui rencontre cette section conique en deux points réels, aura, avec sa supplémentaire, deux points imaginaires, et réciproquement; cette droite sera donc en même temps corde idéale de Tune et corde réelle de Tautre. Pareillement le centre 0 de celte corde (4) sera réel par rapport à l'une el idéal par rapport à Tautre. Enfin, son pôle P, ou le concours des tangentes qui lui correspondent, sera le même par rapport aux deux courbes, et appartiendra à la fois à deux tangentes imaginaires de Tune et à deux tangentes réelles de l'autre. En effel, d'après la définition (5], on a à la fols, dans les deux courbes supplémentaires, pour déterminer le pôle qui appartient à la droite mn,