II

5i4 VP CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

Dans le cas |)artic\]ilier qui nous occupe donc, la suite des centres des •hyperboles éqiiilalères appartenant aux points A, B, C doit se trouver sur la droite indéfinie PKQ, comme cela a lieu en effet.

Dans la môme hypoilièso, où le point A s éloigne à Tinfini et où les côtés CA. BA deviennent par conséquent parallèles, le point do croisement D (les trois hauteurs du tfiiuigle ABC étant aussi passé à rinfini, il est, dans ce cas particulier, bien évident que c*est, avec les trois autres, un quatrième point de l'hyperbole (îquilatère.

Il y a ici une remarque essentielle à faire; c'est que, bien que par quatre points donnés à volonté sur un plan, on puisse toujours faire passer une hyperbole é(iuilatcro, cependant, quand deux de ces points doivent être situés à Tintini, il n'est pas possible de se les donner arbitrairement par le système de deux droites quelconques concourant respectivement en CCS points; il faut nécessairement que les droites dont il s'agit soient perpendiculaires entre elles, puisqu'elles doivent être parallèles aux asymptotes de la courbe.

Si le sommet A du triangle ABC [fi^. 176), au lieu dé s'écarter indéfiniment (les. deux autres B, C, se rapprochait, au contraire, de Tun d'eux C, jusqu'à ce que le côté AC devînt infiniment petit ou nul, en conservant toujours sa direction primitive, les points L, K se trouveraient eux-mêmes rapprochés à unç distance infiniment petite l'un de l'autre, sur une |wrallèle à AC passant par le milieu du côté AB ou CB; quant au point milieu I du côté AC, il serait confondu avec le sommet A.

Soit donc AP [fis;, 178) la direction indéfinie de la droite qui renferme

les deux points ou sommets confondus en un seul au point A, et soit B le troisième point ou le troisième sommet que Ton considère ; divisons le double côté BA en deux parties é.j;ales au point L par la parallèle LR à AP, le cercU' qui passera par A et touchera la parallèle KL en L représentera évidemment celui qui, dans le cas général, contient les milieux des côtés niu triangle ABC; par conséquent il renfermera la suite des centres des hyperboles équilatèros qui passent par les points A, B et touchent la droite AP en A. Du reste, il serait facile de reconnaître ce qu«

EXTRAITS DES ANNALES DE MONTPELLIER. 5i5

sont devenues les autres propriétés du cercle dont il s'agit, et d'en déduire divers théorèmes analogues aux précédents, mais qui n'en seraient que des cas particuliers.

Ainsi, le moyen que nous avons indiqué ci-dessus, pour Irouvor le centre et finalement les asymptotes d'une hyperbole éiiuilulcre assujettie à passer par quatre points donnés sur un plan, s'applique très-bien au cas particulier où l'on suppose ces points, en tout ou en partie, réimis deux à deux en un seul sur des droites ou tangentes dont la direction est assignée, ainsi que le point de contact, comme il s'applique ausbi très-bien à celui où un ou deux de ces mêmes points |)assent à l'inûni sur des droites dont la direction est également agsijznée.

Mais quand on ne se donne que trois points de Thyperbole é<{uilatère avec une tangente quelconque, il n'est plus possible de déterminer de la même manière le centre de la courbe, car alors on n'obtient qu'un seul cercle dont la circonférence renferme ce centre; tl faut donc avoir recours au procédé indiqué plus haut , au moyen duquel on |>eut obtenir directement un quatrième point de la courbe : ce qui ramène le problème à celui où il s'agit de décrire une section conitjue dont on a quatre points

et une tanffcntc.

Enfiu, quand on se donne deux points et deux tangentes quelconques de l'hyperbole équilalère, ou seulement un point et trois tanijentes quelconques, les doux procédés dont il s'agit sont également en défaut. Néanmoins, dans le premier de ces deux cas, on trouve encore un cercle dont la circonférence renferme le centre de la courbe; ce qui donne lieu à ce nouveau théorème :

Théorèsie X. •— J^'S centres de toutes les hyperboles équilntères tangentes à deux dmites et passant par deux p'oints donnes sur un plan sont situés sur une circonférence de cercle unique.

Dans le même cas, on parvient à déterminer d'une manière très-simple un système de deux droites dont l'intersection avec le cercle en question donne encore la position des centres des quatre hyperboles équilatères qui résolvent le problème; mais la démonstration de ces diverses proiM)sitions exige l'emploi de principes qui sont, jusqu'à un certain point, étrangers à l'objet actuel de cet article.

On a vu, dans ce (|ui précède, le rôle qu'on |)eut faire jouer aux différents lieux des centres des sections coniques assujetties à certaines conditions, pour fixer entièrement la i)Osition du centre de la courbe, et par conséquent celle de cette courbe elle-même, quand le nombre de ces conditions no laisse plus rien d'arbitraire ni d'indéterminé. Il se présente à ce sujet une question fort intéressante, et qui nous semble n'avoir pas encore été résolue d'une manière complète et dans toute sa généralité ; en voici l'énoncé :

Déterminer quelle est la nature de lu courbe qui renferme les centres

5i6 VI' CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

de toutes les sections coniques assujetties à quatre conditions telles que de passer par des points ou de toucJier des droites données sur un plan.

Aux divers cas particuliers donl il a déjà été question dans le présent Article, et dont le plus remarquable est sans contredit celui qui résulte du théorème cité de Newton, sur le quadrilatère circonscrit à une sec- Uon conique, nous ajouterons les suivants, qui, si nous ne nous trompons, n*ont pas jusqu'ici été démontrés ou résolus :

Les centres de toutes les sections coniques assujetties^ à passer par quatre points donnés sur un plan, sont situés sur une autre conique passant f)ar les /joints où se coupent les deux diagonales et les côtés opposés du quadrilatère correspondant aux qiuitre points donnés.

Les centres de toutes les sections coniques assujetties à toucher tleux droites et à jmsser par deux fwints donnés sur un plan sont situés sur une autre section conique passant par le point d'intersection des deux droites f fHir le milieu de la distance qui sépare entre eux les deux points, et par le milieu de la partie interceptée par ces droites sur la direction indéfinie de celle qui renferme les deux mêmes points (*).

REGUERCOBS DIVERSES SUR LE LIEU DES CENTRES DES SECTIONS CONIQUES ASSUJETriES A QUATRE CONDITIONS, ET SOLUTION DE DEUX PROBLJklIES PROPOSÉS A LA PAGE 37'2 DU TOME XI DES ANNALES.

(T. XII des Annales, i«f février 182a.)

Problème. — - Déterminer le lieu des rentres de toutes les sections coniques qui, toucluint à la fois deux droites données, passent en outre par deux points donnés?

Solution, — Concevons une droite par les doux points dont il s*agit; sa direction indéfuiie sera celle d'une sécante commune à la fois à toutes les sections coniques proposées ; ainsi , nous pouvons poser la question d'une manière plus générale, comme il suit :

(*) Je supprime ici une note où M. Gergonne, rappelant son élégante et générale solution du problème des sphères et dos cercles tangents, émet, comme moyen d'émulation permis au rédacteur d'un Journal, l'opinion que le problème proposé, p. 354 du t. VIII des Annales, où il s*agit de décrire une conique qui en Couche cinq autres sur un plan, est peut-être susceptible d'une construction élégante et facile. Mais l'Article ci-après et ses propres recherches analytiques, insérées au t. XI des Annales, ont dû confaincre M. Gergoane qu'il n'en pouvait être ainsi. (Note de i863.)

EXTRAITS DES ANNALES DE MONTPELLIER. Sty

Quel est Itî lieu des centres de toutes les sections coni//ues f/ui , avant une corde commune , toucheraient en outre deux droites données ?

La corde commune donnée pouvant être aussi bien une corde idéale qu'une corde réelle, relativement à toutes les sections coniques dont il s'agit (*), et le système do ces dernières devant jouir des mêmes pro* priétés dans les deux cas, on peut, en général, considérer ce système comme la projection ou perspective d'un autre système composé de circonférences de cercles, pour lesquelles la corde ou sécante commune est passée tout entière à l'inOni ; mais, dans ce nouveau système, les centres des sections coniques seront évidemment représentés i)ar les pôles de la droite qui, sur le plan des sections coniques, est elle-même à l'infini ; car la polaire du centre d'une telle courbe est nécessairement à l'infini ; donc la question est ramenée à cette autre purement élémentaire :

Quel est le Heu des pSles (F une droite donnée^ jmr rapfxirt à une suite de cercles tangents a la fois à deux droites données sur un plan ?

Or, ces cercles présentent deux séries bien distinctes : Tune qui appartient à l'angle même formé par les deux droites données, l'autre qui appartient au supplément de cet angle. Dans Tune et Tautre , les centres des cercles demeurent sur une droite qui partage l'angle corresiiondant en deux parties égales, tandis que les cordes de contact avec les côtés de cet angle se meuvent parallèlement à elles-mêmes et à la ligne .des centres de l'autre série, c'est-à-dire concourent avec elle en un point de la sécante k rinfmi, commun à la fois à tous les cercles ; enfin, il est facile de prouver, soit géométriquement, soit analyliquement, que le lieu des pôles d'une droite quelconque, donnée sur le plan de ces cercles, est, pour chacune des séries dont ils se composent, une section coni(|ue passant par le sommet commun des angles que l'on considère, et touchant en ce point la droite des centres qui lui correspond. Si donc on se rejwrle à la figure primitive, où les cercles sont remplacés par des coniques quelconques ayant une sécante commune, on en conclura sans peine :

1° Que ces sections coniques forment deux séries distinctes dont les cordes de contact avec les droites données pivotent séparément sur deux points fixes placés sur la sécante qui leur est à la fois commune (**), et divisant harmoni(fuement ou en segments proportionnels, tant la corde correspondante que la portion de la sécante comprise entre les deux droites données ;

11* Que ces deux points fixes sont en outre tels, que l'un quelconque

{*) Foir, sur les cordes idétdfs, etc, le Rapport à l'InAtitut inséré à la p. 69, t. XI, des j4 finales. (.Xote ancienne.)

(**) Mémoire sur les lignes du second ordre, par C.-C. Brinnchon, n^* XV •t XVI» p. 19 et Tto, {Note ancienne)^

5i8 Vl« CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

d'entre eux est le pôle de la droite qui passe par l autre et par le sommet de l'angle des droites, relativement à toutes les sections coniques proposées ;

3* Que le lieu des centres de Tune quelconque des séries formées par ces sections coniques est lui-môme une autre section conique passant i>ar îe sommet de l'angle des deux droites données, et touchant en ce point la polaire du point sur lequel pivotent les cordes de contact appartenant à cette série.

La discussion apprend en outre :

4* Que chacune des deux courbes des centres passe par le milieu de la distance qui sépare entre eux les deux points donnés et par le milieu de la partie interceptée par les droites données sur la direction de la sécante commune qui contient les deux mômes points ;

5° Qu'enfin le centre commun des deux courbes dont il s'agit est au point milieu de la distance qui sépare le sommet de Tangle des deux droites données et le point milieu déjà mentionné de la distance qui sépare les deux points donnés.

D'après cela, on voit que les deux sections coniques, lieux des centres des proposées, ne diffèrent entre elles que par la direction de la tangente au sommet de ran.2;le des deux droites données.

Comparons maintenant ces résultats avec ceux delà page 3^5 du t. XI des Annales,

Soient CX, -CY (7%. 179) les deux droites données, prises respectivement^ comme à l'endroit cité, pour axes desx et des/; nommons pareillement <7, b, a\ b' les coordonnées des points donnés A, A'.

Cela posé, on aura d'abord, pour Téquation de la droite AA',

Soient x', f les coordonnées du milieu /• de la partie XY de cette droite interceptée entre les axes ; nous aurons

lab'-bf^ , vab' — ha'

et x\ y étant les coordonnées du milieu I de la distance AA', Enfin x", y" étant les coordonnées du milieu 0 de CI , nous avons

Reste à déterminer la direction des droites CP, CQ, qui passent par

rorip;ineC, et renferment les points P, Q sur lesquels pivotent les cordes de contact respectives appartenant aux deux séries de sections coniques proposées; car, d'après ce qui précède, on aura tout ce qui! faut pour* déterminer complètement le lieu des centres de ces sérios.

Soient a, js les coordonnées de l'un P des deux, points fixes dont il s'agit: réquation de la droite correspondante CP sera

en faisant, pour abréger, f> = "Ax; de sorte que tout consiste à déterminer >.

On pourrait, à cet effet, employer le calcul alj^'ébrique ; mais il exigerait une suite d'opérations très-pénibles. On parviendra plus simplement

ï^ic Ï79-

au même but en employant les relations obtenues par la Oéométrie. En effet, indépendamment de celles déjà signalées ci-dessus, et qui suflisent pour déterminer le point P que Ion considère en particulier, on a encore la suivante, qu'il serait uu surplus facile d'en déduire, si déjà elle ne se trouvait toute établie,