PREMIER CAHIER

APPLICATION DES PRINCIPES DE PROJECTION ET DU PRIN- CIPE DE CONTINUITÉ A LA RECHERCHE ET A LA DÉMONS- TRATION DES PROPRIÉTÉS DES FIGURES POLYGONALES MOBILES SOUS DIVERSES CONDITIONS (*).

INSCRIPTION ET CIRCONSCRIPTION DES POLYGONES PLANS MOBILES, A D'AUTRES POLYGONES FIXES.

Proposition I. — Théorème.

Si un polygone d'un nombre quelconque de côtés se déforme de manière que tous ses sommets parcourent autant de droites ou directrices fixes, considérées elles-mêmes comme constituant, par leurs rencontres mutuelles, un autre polygone

(*) Les Principes dont il s'agit sont ceux du Traité des Propriétés projectiles, partiellement indiqués ou démontrés dans le premier volume de ces Applications, p. 116 à 127, 200 ù 206, 287, 374, etc., mais qu'on trouvera développés d'une manière plus spéciale dans les Cahiers IV et V de celui-ci.

La plupart des Propositions ci-après ont été établies dans le premier volume, par des procédés mixtes plutôt analytiques que synthétiques; il s'agit ici d'un premier essai d'exposition et de démonstration purement géométriques, destiné à faire suite au VIe Cahier du môme ouvrage édité en 1862, je veux dire à la deuxième partie du Mémoire que je me 11. 1

•2 Ier CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

invariable à côtés indéfiniment prolongés ; si, de plus, chacun des côtés du premier, an seul excepté, pivote sur un pôle ou point fixe de sa direction, le dernier côté du polygone variable, celui qui est libre, roulera dans toutes ses positions sur une seule et même section conique.

D'abord on démontre d'une manière très-simple, à l'aide de nos Principes de projection, que la proposition a lieu pour le cas d'un triangle et de deux pôles seulement.

En effet, soit ABC (fig. i ) le triangle fixe, abc le triangle mobile, p et pf les pôles autour desquels les côtés ac et cb sont assujettis à tourner; ab sera le dernier côté libre qui décrira la courbe inconnue par ses intersections successives. En suivant le mouvement de ce côté libre, on s'apercevra sans peine qu'il se confond dans cinq de ses positions avec les di-

proposais, en 1814, d'adresser à l'Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg. Ce fut là, en effet, Tune de mes vives préoccupations après ma rentrée en France à la fin de cette année. Dans ces primitives intentions, l'exposé des théorèmes sur les polygones en général aurait dû être précédé d'un complément indispensable concernant les figures polygonales les plus simples, extrait de la matière du IIIe Cahier; mais les démonstrations synthétiques des propriétés de ces dernières figures, en quelque sorte élémentaires, étant aussi faciles que déjà bien connues, j'en ai ajourné la rédaction, quoiqu'elles formassent un préambule indispensable à celle du présent Cahier, que je destinais à entrer dans la composition d'un ouvrage très-distinct du Mémoire que j'avais en vue vers la fin de mon séjour à Saratoff. Ces considérations expliquent et justifient d'ailleurs les renvois assez fréquents que j'ai faits ici aux théories du précédent volume des Applications.

Enfin, je crois devoir faire remarquer que, dès l'hiver de 1 814 à 181 5 où je préparais les matériaux de ce Ier Cahier, j'avais pu prendre connaissance des tomes I à IV (1810 à 181 5) des anciennes Annales de Mathématiques, publiées alors à Nimes, où MM. Gergonne, Servois, Bérard, Lhuilier de Genève, etc., se sont exercés avec succès sur quelques-unes des questions relatives aux polygones, qui m'avaient déjà occupé dans les prisons de Russie; de sorte que je pouvais mettre à profit certains de leurs travaux, auxquels d'ailleurs je me suis efforcé de rendre justice en 182a dans la Scct. IV, Chap. III du Traité des Propriétés projecjives des figures.

Nota. — Dans ce volume comme dans le précédent, les renvois au bas des pages, à moins d'un avertissement contraire, datent de l'impression m£me de 1 863 .

DES POLYGONES VARIABLES QUELCONQUES. i

récitons indéfinies de AC, CB, Bp', p'p et p\, formant, comme le montre la figure, un pentagone circonscrit à la courbe. Supposez maintenant qu'on inscrive une conique dans ce même pentagone, je dis que le côté libre ab, qui forme

Fig. i.

avec les cinq autres un hexagone baBp'pXb, sera tangent à cette conique, et que par conséquent celle-ci n'est autre que la courbe sur laquelle roule la droite ab, puisqu'elle sera enveloppée par les mêmes droites ou tangentes.

La conique dont il s'agit peut être regardée (fig. i) comme la projection d'un cercle qui aurait pour centre le point c considéré dans l'une de ses positions sur AB devenue diamétrale ainsi que acp et bcp'. Soit donc formé l'hexagone inscrit

Fig. i.

i. 6. 5. 4-3. a. r dont les cinq premiers sommets seront aux points de contact des côtés successifs AC, Kp, pp', p'B, BC, et dont le dernier sommet 2 est déterminé en abaissant perpendiculairement du point de contact 3 la droite 3 . 2 sur la diamétrale ap, et du point de contact 1 la droite 2.1 sur l'autre diamétrale bp'; car ces droites se rencontrent évidemment en un point du cercle (c) ou 1 .6.5. . . . Cela posé, si l'on mène au cercle (c), en ce même point 2,

4 Ier CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

une tangente formant par sa rencontre avec les directions de ACetBC, un hexagone circonscrit A baBp'p, cette tangente se confondra avec ab; car, en remarquant que l'hexagone inscrit 1.2.3.4.5.6 a les côtés opposés parallèles, il est facile devoir que les points où elle coupe les droites BC et CA sont situés respectivement sur les diamétrales ap et bp'. Donc la projection de ab dans la figure primitive, est aussi tangente à la conique inscrite dans le pentagone ACB p'p\ conséquence, pour le dire en passant, qu'il eût été plus simple de conclure de la propriété de l'hexagone circonscrit aux coniques, découverte par Briànchon (t. Ier, p. 137).

Pour ramener la démonstration du cas général à celui qui vient d'être examiné, je considérerai comme exemple le quadrilatère quelconque ABCD {fig. 3), dans lequel est inscrit un

autre quadrilatère abed, ayant ses sommets sur les côtés du premier. Je dis que, si l'on déforme ce dernier quadrilatère de manière qu'il reste toujours inscrit dans le premier et que ses trois côtés ab, bc, cd tournent autour des pôles respectifs py p' et p", le côté libre ad roulera dans toutes ses positions sur une section conique.

Tracez les deux droites pp', p1 p" et la diagonale fixe AC que vous prolongerez jusqu'à sa rencontre en a avec le côté bc du quadrilatère mobile ; joignez enfin a avec le premier sommet a et le dernier d par les droites <za, ad qui couperont respectivement les droites fixes ppf et p' p" en P et P' : ces derniers points demeureront invariables pendant le mouvement du quadrilatère abcd.

Pour le prouver, remarquez que le triangle mobile aba étant assujetti à avoir ses sommets respectivement sur trois droites fixes AD, ÀB et AC qui se croisent en un môme point A, et ses deux côtés ab et ba étant assujettis à tourner autour des pôles fixes p et/?', son côté aa resté libre, devra (t. I, p. 43oj pivoter dans toutes ses positions autour d'un troisième pôle situé en ligne droite avec les deux premiers p9 p', et qui se trouve par conséquent en P à l'intersection de aa et de pp'. En considérant l'autre triangle mobile cad, on prouvera de même que son côté libre ad passe toujours par le point fixe P' situé sur la droite p'p">

Il résulte de là qu'on peut considérer le côté libre ad du quadrilatère abcd comme le troisième côté d'un triangle aad, dont les deux autres passent toujours par les pôles fixes P, P', et qui reste inscrit dans le triangle invariable ACD; donc, d'après la proposition précédente, ce troisième côté ad roulera sur une section conique.

Nous venons de remplacer le quadrilatère par un triangle. La même construction servira évidemment à remplacer un polygone de n côtés par un autre den-ri côtés; celui-ci pourra à son tour être réduit à un polygone de n — 2 côtés avec n — 3 pôles : continuant ainsi, on parviendra à assigner deux pôles fixes autour desquels devront pivoter deux des côtés d'un dernier triangle dont le côté libre sera le même que celui du polygone mobile, et dont les trois sommets s'appuieront sur les deux derniers côtés du polygone fixe et sur la dernière de ses diagonales.

Soit par exemple [fig. 4), ABCDE le pentagone f\xe9 et abcde celui qui lui est inscrit, ae le dernier côté qui reste libre. Prolongez les côtés AE et CD jusqu'à leur rencontre en D', pour former le quadrilatère fixe ABCD7 auquel sera inscrit le quadrilatère mobile abcd. En traçant les lignes marquées sur la figure d'après ce qui précède, on remplacera le pentagone fixe ABCDE par le quadrilatère ACDE et le pentagone mobile abcde par le quadrilatère aadea, dont les côtés aa et da sont assujettis à pivoter autour des pôles fixes P et P'; car il est évident que la diagonale ad, qui lui est commune avec le pentagone mobile, aura les mêmes positions que dans le premier cas. Si maintenant l'on reprend ce quadrilatère et qu'on exécute en-

6 Ier CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

core une fois la même construction, on finira par le remplacer,

Fig- 4-

comme dans le cas précédent, par un triangle mobile dont ea sera le côté entièrement libre, etc.

Remarque I. — Quand les deux derniers pôles trouvés sont en ligne droite avec E, le côté mobile ae9 au lieu de rouler sur une conique, passe évidemment dans toutes ses positions par un point fixe. En effet, soient AE et ED (fig. 5) les deux der-

niers côtés du polygone en question, AD la dernière diagonale, P" et P'" les deux derniers pôles obtenus situés sur une droite passant par E; aae étant le triangle mobile, ae sera le dernier côté libre. Or on sait (t. Ier, p. /p5) que si l'on trace les droites APW et DP" qui se croisent en 0, la droite ae doit passer toujours par ce même point 0 qui, par suite, reste fixe.

Remarque IL — Au lieu de prendre une position quelconque abcd (fig. 3) du quadrilatère mobile pour construire les pôles P el P\ on pourra choisir celle où b se confond

avecB, ce qui simplifiera la construction. On trouvera de cette manière que, pour obtenir P et P', il suffirait de mener par le point B et par les pôles p, />', p", les trois droites Bp9 Bp', Bp"9 coupant les côtés respectifs du triangle ADC, en a'y a et d\ je suppose, et de tracer ensuite les droites ad et ad' qui, prolongées, couperaient respectivement aussi pp' et p' p" aux deux points P et P' demandés.

Remarque III. — Faisons connaître un autre mode de réduction qui sera mis souvent en usage par la suite.

Soient ABCDE et abcde {fig. 6) les polygones fixe et mobile, py /?', p" , p"',. . . les pôles de ce dernier; tracez les droites pp' et //'/*" qui passent l'une par le ier et le 20 pôle, l'autre par le 3e et le 4'; prolongez-les jusqu'à leur rencontre en P. Tracez

Fig. 6.

la droite Pc passant par le point fixe P et le 3e sommet c du polygone mobile abcde; prolongez-la jusqu'à sa rencontre en a avec le icr côté ab. Dans le mouvement du polygone mobile, les côtés du triangle abc tourneront autour des trois pôles p7 p' et P qui sont en ligne droite; donc le sommet a