I* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

décrira une autre droite passant par l'intersection B des lignes BA et BC directrices des sommets b et c de ce triangle.

Pareillement, si vous prolongez Pc jusqu'à sa rencontre en (3 avec le 4e côté de du polygone mobile, le point (3, différent de a, se mouvra sur une droite C(3 passant par le sommet C. Ainsi le pentagone mobile abcde sera remplacé par le quadrilatère mobile axfiea dont les trois pôles seront p, P, pm et dont les sommets variables a, (3 parcourront les droites fixes Ba et C|3, les sommets a et e décrivant toujours les directrices AEetDE. Cette construction s'appliquera évidemment aux cinq premiers côtés d'un polygone quelconque de n sommets , ainsi remplacé par un polygone de n — i côtés, lequel pourra être à son tojur remplacé par un autre de n — i côtés, et ainsi de suite jusqu'à ce' qu'on arrive à un dernier quadrilatère avec trois pôles, auxquels la construction s'arrêtera ; car elle exige au moins quatre pôles. On sera donc obligé d'avoir recours à la transformation que nous avons d'abord fait connaître pour ramener la question au cas du triangle avec deux pôles.

Cette première transformation est, comme on voit, préférable à la seconde en ce qu'elle ne souffre aucune exception ; elle s'applique d'ailleurs au cas où les pôles p, p', p" , etc., sont tous ou en partie en ligne droite, tandis que l'autre n'a pas le même avantage.

Remarque générale. — Si les pôles sont tous en ligne droite, il est plus simple de se servir du procédé direct que nous allons faire connaître, pour découvrir les deux derniers pôles sans être obligé de recourir à des pôles auxiliaires.

Prenons pour exemple (fig. 7 ) le cas du pentagone et désignons les mêmes points par les mêmes lettres. Prolongez le premier côté mobile ab jusqu'à sa rencontre en a avec le troisième côté cd; les trois pôles p, p', p" étant en ligne droite, le sommet cl du triangle a bc parcourra une droite fixe aB passant par le sommet B (t. I, p. 43o) : ainsi voilà déjà le pentagone abcde remplacé parle quadrilatère aade, dont les trois pôles p, p" et/*'" sont en ligne droite. Pareillement, si vous prolongez le premier côté mobile a a de ce quadrilatère jusqu'à sa rencontre avec le troisième côté de en (3, le sommet [3 du triangle mobile (3arf parcourra une droite invariable (3A* passant par le

point de rencontre k des deux directrices fixes a B et CD de ce triangle, puisque ( ibid. ) les trois pôles p, p", pM, autour desquels tournent ses côtés, sont en ligne droite (*).

Ainsi le pentagone abcde se trouve remplacé par le triangle mobile fiae, dont les sommets s'appuient sur les droites fixes

FiB. 7.

AE, EB, (3fr, et dont deux côtés a (3 et e (3 tournent autour des pôles p et//"; donc le troisième côté libre ae de ce triangle ou le cinquième du pentagone abcde roule sur une conique;

(*) On peut remarquer que, quand les côtés du polygone fixe passent par un même point, les points de rencontre de deux côtés quelconques ou de deux diagonales, ou enfin d'un côté et d'une diagonale, décrivent autant de lignes droites Lhuilier [Éléments d 'analyse géométrique, etc.) en donne la démonstration pour le cas où les polos sont sur l'un des côtés

io 1er CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

celle-ci se réduirait évidemment à un point dans le cas où la droite qui contient tous les pôles passerait par le dernier sommet E du polygone fixe. Ainsi on pourra reconnaître cette circonstance au premier- abord (*).

Il est évident que, quel que soit le nombre des pôles donnés, les conséquences précédentes auront toujours lieu; si donc on fait attention que le troisième sommet (3 du dernier triangle se trouve toujours à la rencontre du premier côté ab et du dernier de du polygone mobile, on pourra en conclure cette proposition générale :

Proposition II. — Théorème.

Si tous les côtés d'un polygone mobile sont assujettis à tourner respectivement autour d'un même nombre de pôles fixes situés en ligne droite, et si, en même temps, on contraint tous les sommets, à l'exception d'un seul, à parcourir des droites fixes, le dernier sommet resté libre parcourra dans le mouvement général une seule et même ligne droite.

de ce polygone; mais sa démonstration (voir § 53, p. 107) suppose que. les côtés lixes restant quelconques, les diagonales passent néanmoins par des points situés sur la droite des pôles; ce qui n'a lieu que quand les côtés directeurs concourent en un même point (a).

(Note du manuscrit de 181 5.)

(*) Môme chose aura lieu quand il arrivera que $k passe par le sommet E du polygone fixe (fig. 7). (Note ancienne.)

(a) Simon Lhuilier, de Genève, esprit étroit au point de vue de la Géométrie de Descartes et Leibnitz, de Desargues et Pascal, de Monge et de son École, d'un rigorisme lent et épineux à la manière des commentateurs ou interprètes d'Euclide, d'Apollonius et de Pappus, je veux dire des Fermât, des Halley, des Robert Simson, des Playfair, etc.; Lhuilier eut l'insigne bonheur d'initier à V Analyse géométrique et algébrique, le sens naturellement droit et mathématique de Sturm, homme modeste jusqu'à la timidité, que j'ai appris à aimer, à estimer depuis 182Ô, où, encore inconnu, il écrivait dans le Bulletin des Sciences de Fcrussac, au prix annuel de i5oo francs; mais Lhuilier avait aussi inspiré à notre illustre confrère de fortes préventions contre le principe, la loi de continuité. Ces pré' ventions avaient pour point de départ une objection plus spécieuse que juste, mentionnée dans la Polygonométric (p. 98 à 100) publiée dès 1789 par le savant professeur de Genève, et qui repose sur un cas d'indétermination relatif à un problème de Géométrie statique, dont les exemples pourraient être variés à volonté, et qui se rattachent à des causes, à des considérations infinitésimales bien connues.

Dans le cas où toutes les directrices rectilignes concourraient en un même point, la droite parcourue par le sommet libre passerait aussi par ce point.

Après avoir examiné le cas où tous les pôles sont en ligne droite, nous allons nous occuper de celui où, les pôles étant quelconques, toutes les directrices fixes passent par un même point; ce qui nous donne lieu de démontrer la proposition suivante :

Proposition III. — Théorème.

Si tous les sommets d'un polygone mobile abcd... (fig. 8) sont assujettis à parcourir autant de droites fixes concourant en un même point A, et si de plus tous les côtés, à V exception d'un seul, doivent tourner constamment autour des pôles fixes p, p'y />",.••> le dernier côté libre ad pivotera aussi dans toutes ses positions sur un même point fixe 7r.

Nous prendrons pour exemple le quadrilatère abcd de cette fig. 8. Soit tracée la diagonale ac jusqu'au point P de la droite

qui joint les deux pôles p et p', je dis que cette diagonale passera dans toutes ses positions par le point P. En effet, le triangle mobile abc, dont les sommets parcourent trois droites AB, AC, AD concourant en un même point, ayant deux de ses côtés ab et bc qui tournent autour des pôles respectifs p et p1, sera par là même tel, que son troisième côté libre bc tournera aussi autour d'un pôle fixe, lequel, situé en ligne droite avec les deux autres, se confondra avec P. On démon-

i2 Ier CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

trera d'une manière semblable que le triangle suivant acd> dont deux côtés ac et cd passent par les pôles fixes P et p", est tel, que son troisième côté ad passe aussi, dans toutes ses positions, par un dernier pôle fixe 7r, situé à la rencontre de ce même côté avec la droite Pp" qui joint les deux autres pôles fixes.

Remarques diverses. — On voit que, non-seulement le dernier côté libre ad du polygone tourne autour d'un point fixe, mais qu'il en est ainsi encore pour chacune des diagonales qu'on peut mener d'un sommet à un autre.

D'autre part, la démonstration précédente s' étendant à un polygone gauche quelconque assujetti aux mêmes conditions, on en conclut que, pour ce cas encore, le dernier côté libre et les diverses diagonales tourneront autour d'autant de points fixes situés dans l'espace ainsi que les directrices convergentes (*).

Dans le cas particulier où les différents points fixes p, p', p",..., considérés comme pôles, seraient situés en ligne droite, le pôle 7r et tous ceux des diagonales seraient aussi situés sur cette même droite.

Enfin, il est visible encore (t. I, p. i38 et i4°)> que si l'on prolonge le premier côté ab et le dernier cd du polygone mobile jusqu'à leur rencontre en a, ce sommet libre du nouveau polygone parcourt, en vertu du mouvement général, une* section conique, qui se réduira à une droite dans le cas où tous les pôles seront eux-mêmes situés en ligne droite (Prop. II).

Remarque générale.

Les propositions précédentes renferment la solution de ce problème : « Dans un polygone donné, inscrire un autre polygone dont les côtés passent par des points aussi donnés. » La construction s'exécutera par la règle seulement, dans les deux cas suivants :

i° Quand les points donnés seront situés en ligne droite :

(*) D'après une remarque consignée à la page 5o4 du Ier volume (Additions) par M. Mannheim, la position de tous ces points ou pôles fixes est indépendante de celle du point de concours A dos directrices.

DES POLYGONES VARIABLES QUELCONQUES. i3

en laissant libre l'un des sommets du polygone cherché, et faisant abstraction du côté correspondant du polygone donné, il arrivera (Prop. II) qu'en déformant ce polygone de toutes les manières possibles dans ces conditions, le sommet libre parcourra une ligne droite qui, par son intersection avec le côté supprimé du polygone fixe, donnera la position d'un sommet du polygone inscrit, d'où Ton conclura tous les autres ;

2° Quand le polygone donné s'évanouit ou que les directrices concourent toutes en un même point , les pôles fixes par où doivent passer les côtés du polygone cherché étant d'ailleurs quelconques, on fera pour un moment abstraction du dernier pôle, et l'on regardera en même temps comme libre, le côté du polygone cherché qui doit passer par ce pôle ; alors, en déformant à volonté ce polygone d'après les conditions énoncées, le côté libre pivotera dans toutes ses positions autour d'un point fixe (Prop. III), et la droite qui joindra ce point avec le pôle dont on a fait abstraction donnera la position de l'un des côtés du polygone cherché, au moyen de quoi on trouvera successivement tous les autres côtés.

Corollaire I. — Quand le polygone abcd..., au lieu de s'appuyer sur autant de droites différentes concourant en un seul point qu'il a lui-même de sommets, s'appuiera seulement sur deux lignes droites quelconques, de façon que ses sommets successifs reposent alternativement sur l'une et sur l'autre de ces droites, la Proposition III, que nous venons de démontrer, pourra encore lui être appliquée; en sorte que, si tous les côtés, excepté un seul, tournent autour de pôles respectifs, le dernier côté pivotera lui-même autour d'un pôle, qui se trouvera en ligne droite avec les autres quand ceux-ci seront également disposés en ligne droite.

Corollaire IL — Dans la même supposition de deux directrices uniques, si on laisse libre un sommet a, tous les côtés étant assujettis à tourner autour de pôles respectifs, ce sommet libre parcourra une section conique, qui se réduira à une simple droite dans le cas où tous les pôles seraient euxmêmes situés en ligne droite.

Ier CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

DES POLYGONES MOBILES INSCRITS OU CIRCONSCRITS A UNE SIMPLE CONIQUE ET A D'AUTRES POLYGONES.

Proposition* IV. — Lésine.

Si un triangle axy (fig. 9) est inscrit à une section conique (0), et qu'on le déforme en assujettissant deux de ses côtés olx et ocy à tourner autour de points fixes p et p' comme pôles, le dernier côté xy resté libre, roule dans toutes ses positions

Fig. 9

sur une autre conique tangente à(0) aux points t et tf où elle est rencontrée par la droite des pôles ppf. En d'autres termes, si le sommet a d'un angle mobile est assujetti à parcourir une section conique (0), tandis que ses côtés pivotent respectivement autour de pôles fixes, la corde xy sous-tendue par l'angle dans la courbe roulera sur une autre conique.

En effet, la figure peut être remplacée par une autre dans laquelle la conique (0) devient un cercle et la ligne droite pp'

Fig. 10.

passe à l'infini {fig. 10); dans cette nouvelle figure, les cotés de l'angle se meuvent, parallèlement à eux-mêmes, et par suite cet angle est constant ; donc aussi la corde sous-tendue

DES POLYGONES VARIABLES QUELCONQUES. i5

xtyJ roule sur un cercle concentrique au premier (0); d'où suit la proposition énoncée.

On voit de plus (fig. 9), que, quand le sommet a est situé sur la droite pp', en t par exemple, la corde xjr se confond "avec la tangente en t' à la conique (0); par la même raison elle se confond aussi avec la tangente en / quand a est en /'. En outre , on peut s'assurer que dans cette fig. 9, l'enveloppe de xy zs\ renfermée dans la courbe (()); par suite, elle ne saurait toucher les tangentes en t et /' en dehors de (O); donc elle les touche aux points t et /' eux-mêmes, et, par conséquent, elle touche aussi en ces mêmes points la courbe (0), comme nous l'avions énoncé.

Remarque. — Cette conséquence résulte immédiatement de nos Principes (t. Ier, p. 424)> m»is j'ai préféré en donner une démonstration directe afin de faire en quelque sorte la vérification de ces Principes par un exemple sensible.

Proposition V. — Lemme.

Imaginez (fig. 11) qu'on mène à la courbe (0) des tangentes aux sommets x, jr9 a du triangle mobile inscrite cette courbe :

on formera un triangle circonscrit XYÀ, dont les sommets X et Y parcourront respectivement doux droites ayant pour pôles

i6 Ier CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

p' et p9 lesquelles passeront par le point k où se coupent les tangentes tk et t'k menées aux extrémités de la droite des pôles p, p'. Quant au troisième sommet A qui correspond au côté xy du triangle inscrit, il restera libre et parcourra une nouvelle section conique tangente en / et /' à la proposée.

On se rendra raison de tout cela en se reportant à la fig. iô, qui est la projection de celle-ci; il est visible, en effet, que, tandis que la corde variable x? y* roule sur une circonférence de cercle concentrique au cercle (0), le point A où se coupent les tangentes menées aux extrémités x'9 y' de cette corde, décrit par le même mouvement une troisième circonférence concentrique aux deux premières.

Remarque. — Quand la droite pp' qui passe par les pôles p et p' ne rencontrera pas la conique (0), ou, ce qui revient au même, quand le point k correspondant sera situé dans l'intérieur de cette courbe, les points de contact tf /' qui lui sont communs avec celles considérées ci-dessus n'existeront plus, et par suite ces courbes s'envelopperont les unes les autres sans se toucher. Néanmoins elles se comporteront entre elles comme si elles se touchaient effectivement (t. Ier, p. 200 à 208); circonstance qui offre une application remarquable de tout ce que nous avons dit en général (ibid., p. 4^5, etc.) sur les relations projectives des figures, et nous présente en même temps l'exemple de deux courbes qui ont une corde commune existant géométriquement sans, pour cela, avoir aucun point commun.

Le point k est ici visiblement le pôle de la droite pp'; c'est aussi le sommet de l'angle des deux directrices /r Y et /rX de la courbe des points A.

Proposition VI. — Lemme.

Soit toujours [fig. 12) le triangle mobile <xxy inscrit dans la conique (0) et dont les côtés ax et <zy passent par les pôles p et p', si d'un point quelconque A de cette courbe y on mène deux droites A x, Xy aux extrémités de la corde mobile xy et qu'on prenne les points P et P' où elles coupent pp' pour nouveaux pôles des côtés Ax, Xy de l'angle A, la corde xy sous-

tendue par cet angle dans la courbe roulera sur la même section conique que la première.

En effet, les deux enveloppes auront la tangente xy en commun, et de plus, elles toucheront la courbe (0) aux deux mêmes

points /, f, ce qui ne peut avoir lieu sans qu'elles se confondent. Cela se démontre plus facilement encore sur \*fig. 10. Il est visible en effet que l'angle a'x'y de celte figure, peut être remplacé par tout autre angle ayant son sommet sur la circonférence (0), par conséquent de même mesure, de sorte qu'en faisant mouvoir ses côtés parallèlement à eux-mêmes, la corde xy correspondante roulera exactement sur la circonférence décrite par celle du premier angle.

Corollaire /. — On peut (Jig. 12) se donner le pôle P à volonté sur pp'; on en conclura le correspondant P' en traçant un triangle arbitraire axyau moyen des deux premiers pôles p et p', joignant ensuite xP par une droite Vx qui donnera le point A, enfin traçant par A et y la droite ky qui coupera pp' en P7 au point demandé.

Corollaire H. — Cette dernière remarque nous montre que si les trois premiers côtés yaf ax, xk d'un quadrilatère ya.xky inscrit à la courbe (0), passent par trois pôles fixes p', p et P situés en ligne droite, le quatrième côté ky passera aussi dans toutes les positions correspondantes, par un quatrième pôle invariable P' de cette ligne droite.

Corollaire IIL — De même qu'il y a une infinité de couples de pôles p etp', P et P', etc., au moyen desquels on peut 11. -?.

18 r- CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

obtenir l'enveloppe des cordes xy, il y a aussi une infinité de systèmes de directrices correspondantes k Y et /rX (fig* 1 1 ) qui peuvent déterminer la section conique parcourue par le point A; mais tous ces systèmes ont le point k commun. On pourra se donner à volonté Tune d'elles A* Y', pourvu qu'elle passe par le point k; pour obtenir sa conjuguée /r X', on circonscrira à la courbe (0) un triangle quelconque YAX s'appuyant sur les deux premières k Y et kX qui sont données ; le sommet A sera un point de la courbe correspondant à ces directrices. On formera avec les deux mêmes côtés AY, AX adjacents au sommet A, un nouveau triangle AY'X' circonscrit à la conique, et ayant un de ses sommets Y' sur la droite donnée Y' A-, le troisième sommet X' de ce triangle sera un point de la directrice /rX' conjuguée à /rY\

On peut remarquer qu'à un même pôle P ou à une même directrice k Y' il en correspond toujours deux autres.

Proposition VIL — Lsmhb.

La courbe sur laquelle roule la corde variable xy [fig. 1 1 et 1 3 ) se réduira à un point quand, dans une de ses positions

pour laquelle le triangle correspondant xya subsiste, cette corde xy passe par le pôle k conjugué (t. Ier, p. 44°) a ^a droite ppr, qui joint les pivots p et p' des deux côtés ax et a. y de V angle a.

En effet, si, dans cette circonstance, l'on met la figure en pro-

jection, de manière que la courbe (O) devienne un cercle et que la droite pp' passe à l'infini, il est visible (Jig. 10) que le pôle k deviendra le centre O de ce cercle; or la droite x'y' passant par hypothèse par ce point, l'angle x* et! y' correspondant sera droit; donc en faisant mouvoir ses côtés parallèlement à eux-mêmes, le sommet A restant toujours sur le cercle (O), la corde x1 y* passera constamment par son centre; donc aussi sa correspondante xy (Jig. i3) pivotera sur le point k, projection de ce centre et pôle conjugué à pp'.

Remarque. — On ne peut pas prendre arbitrairement les deux pôles p et// sur la droite polaire de k; mais si Ton se donne sur cette droite l'un d'eux, p par exemple, on trouvera tout de suite l'autre p' qui lui correspond, ainsi qu'il suit : tracez arbitrairement xy passant par le pôle k de la polaire donnée pp \ joignez px qui donnera a, tracez enfin. ay qui vous donnera le point p' cherché. On obtiendrait ce même point en joignant p à y pour obtenir a', et ensuite oc' à x; cela paraîtra évident si l'on considère la projection (Jig. 10). Il n'est pas difficile de s'apercevoir que les points p et k sont, à l'égard du troisième p', ce que les pôles p et p' sont à l'égard du premier k, en sorte que pr est le pôle conjugué de la droite pk; par la même raison, p est le pôle de kp'.

Corollaire. — De cette dernière remarque il suit que « si » trois points pris sur le plan d'une conique sont tels, que » l'un d'eux pris à volonté soit le pôle de la droite qui joint » les deux autres, on pourra inscrire dans la section conique » une infinité de triangles, dont les côtés passent par les trois » points en question ».

Toutes ces remarques ont leurs analogues quand on considère un triangle AXY (Jig. n) circonscrit à une section conique (O) et dont deux sommets XY sont assujettis à parcourir des directrices fixes k\ et kX : ainsi par exemple, on a la proposition suivante.

Proposition VIII. — Lbmme.

Soit (0),Jig. i4> une section conique, kY et kX deux directrices situées sur son plan et tellement choisies que chacune

20 Tr CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

d'elles passe par le pôle conjugué à Vautre, le troisième sommet cl d'un triangle axjr circonscrit à la courbe et dont les deux autres sommets parcourent ces directrices, décrira dans toutes ses positions une ligne droite a t' t, polaire conjuguée à leur point d'intersection k.

Il est visible, en effet, que dans notre supposition, si Ton détermine la droite //' polaire du sommet k des deux directrices, le point p où elle coupera Tune d'elles kY sera le pôle de l'autre A* X; or, il n'est pas difficile de s'assurer, enconsi-

Fig. 14.

dérantles diverses positions du sommet libre a du triangle 37- a, qu'il Coïncidera dans l'une d'elles avec le point p; donc la section conique, décrite en général par a, devant à la fois contenir ce point et les points de contact t et t' (Prop. IV et V) en ligne droite avec p et p', elle se confondra tout entière avec cette droite.

Remarque. — Il résulte de ce qui précède un paradoxe assez singulier; puisque la courbe parcourue par le point a doit en général toucher la courbe (O) aux deux points t et /', quand ces points existent réellement, il s'ensuivrait que la droite //'

décrite par le sommet a dans le cas actuel devrait aussi toucher la courbe en ces points, ce qui semble au premier abord une absurdité; mais, en y réfléchissant, on verra que la droite W ou ppf est en quelque sorte la limite des hyperboles qui, susceptibles d'être décrites par le point a, toucheraient la courbe aux points t et t', de sorte que les deux parties de pp' situées en dehors de cette courbe peuvent être considérées comme appartenant aux deux branches de Tune des hyperboles en question, dont les asymptotes, infiniment voisines Tune de l'autre, se confondraient avec les prolongements de //'. En effet, les points t et /' sont des espèces de limites que le point a ne saurait franchir, puisqu'il ne peut jamais entrer dans la conique; la partie tt' de la droite ppf ne satisfaisant réellement pas à la condition qui définit les sommets a.

La construction des lignes courbes et la géométrie descriptive offrent mille exemples de circonstances semblables. Elles se reproduisent, en général, toutes les fois que la courbe décrite par un point mobile, se trouve abaissée à un degré inférieur par quelque condition particulière.

Proposition IX. — Théorème.

Un polygone, abcd...f(jig. i5), étant inscrit dans une conique, si on le déforme de toutes les manières possibles en

assujettissant à pivoter autour de pôles respectifs p, //,..., tous ses côtés à l'exception d 'un seul, af, qui restera libre, ce

aa 1" CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

dernier côté roulera sur une section conique tangente en deux

points à la proposée.

Considérons d'abord le pentagone abede formé par les quatre premiers côtés du polygone en question et la diagonale ae qui joint son premier et son cinquième sommet. Par les pôles p et p' faites passer la droite pp', joignez pareillement les pôles p" et p* par la droite p"pm qui prolongée coupera la première en P'. Par ce point P' et le sommet c, faites passer la droite Vcx qui coupera la courbe en un second point x9 tracez enfin ax qui viendra couper pp' en P, vous formerez le quadrilatère mobile abex, dont les trois premiers côtés passeront par les trois pôles p, p1 et P' situés en ligne droite; donc (Prop. VI, Coroll. II) le quatrième côté or passera par le quatrième pôle fixe P situé sur la droite pp'. Si vous tracez pareillement xe qui coupera la droite p"pm en P", vous formerez le quadrilatère xede dont les trois premiers côtés passent par les trois pôles P', p" et p" situés en ligne droite; donc le quatrième côté mobile xe passe aussi dans toutes ses positions par le pôle P" silué sur la droite p"pm.

Ainsi le cinquième côté ae du pentagone abede se confond constamment avec le côté libre du triangle inscrit axe dont les deux autres côtés xa et xe passent par les pôles respectifs P et P"; donc le polygone abedef que nous considérons peut être remplacé par axef, qui a deux côtés de moins et dont tous les côtés, excepté le dernier af qui leur est commun, tournent autour de pôles respectifs.

En traitant ce nouveau polygone de n — 2 côtés et de n — 3 pôles comme le précédent, on le remplacera par un autre de n — 4 côtés et de n — 5 pôles, et en continuant ainsi on parviendra à remplacer le polygone proposé par un dernier de trois ou quatre côtés avec deux ou trois pôles, selon que le nombre de ses côtés sera impair ou pair.

Cette construction exigeant qu'il y ait au moins quatre pôles, elle ne pourra pas servir à remplacer le quadrilatère par un simple triangle. La suivante remplira ce but :

Soit abcd [fig. 16) le quadrilatère dont il s'agit; p> p1 et p" les pôles de ses trois premiers côtés; on tracera la droite pp' passant par les deux pôles pet p'; on tracera pareillement la droite P'P" qui a p" pour pôle, laquelle prolongée, rencontrera la

première en P'; on joindra P' et c, ce qui donnera x\ enfio on tracera les droites xa et xd qui couperont pp' en P et P'P"

Fig. 16.

polaire de p" en P". Je dis maintenant que, pour toutes les positions possibles du quadrilatère mobile abcd, ax et xd passeront constamment par les pôles P et P" déterminés comme on Ta expliqué ci-dessus.

En effet, en considérant le quadrilatère abcx dont trois côtés passent par trois pôles p, p', P', situés en ligne droite, on verra encore que le côté libre ax doit passer constamment par le quatrième pôle fixe P situé ' sur la même droite (Prop. VI, Coroll. I). Puis, considérant le triangle mobile cxd, on démontrera sans peine, à l'aide des remarques déjà présentées ci-dessus (Prop. VII), que le côté libre xdde ce triangle doit passer constamment par le point P"; donc aussi le quadrilatère mobile abcd peut être remplacé par le triangle axd dont deux côtés ax et xd passent par des pôles fixes et dont le troisième ad, qui est resté libre, se confond avec le quatrième côté du quadrilatère.

Donc enfin, quel que soit le polygone considéré, Ton parviendra toujours, par des constructions successives, à déterminer les deux pôles d'un dernier triangle dont le côté libre prendra successivement toutes les positions du côté libre du polygone primitif, et par conséquent (Prop. IV), ce dernier côté roule sur une section conique qui touche la proposée en deux points, lesquels se trouveront, comme on Ta vu, à Pin-

a4 Ier CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

tersection de cette courbe avec la droite qui joint les deux derniers pôles trouvés.

Voici un autre théorème qui est la conséquence immédiate de celui que nous venons de démontrer.

Proposition X. — Théorème.

Quand un polygone ABCD ... a (Jig. 17) est en même temps circonscrit à une conique (0) et inscrit dans un polygone MNPQ..., à l'exception d'un de ses sommets a resté libre* si l'on vient à le déformer de toutes les manières possibles d'après ces conditions , le sommet libre a parcourra dans ses diverses positions une même conique touchant la proposée en deux de ses points.

Joignant successivement les points de contact des côtés du polygone- mobile par des lignes droites ab, bc9 cd, . . . , on formera un polygone inscrit abcd..., mobile comme le premier, et dont tous les côtés seront assujettis à passer par autant de

Fig. 17.

points fixes qui seront les pôles des côtés correspondants du polygone fixe donné MNP...., excepté un dernier côté ae correspondant au sommet a et restant libre avec lui. Or, nous avons démontré (Prop. IX) que ce polygone pouvait être remplacé par un triangle mobile dont deux côtés passeraient par des points fixes ou pivots faciles à assigner, et dont le côté libre se confondrait avec le dernier côté ae du polygone abcd. . .; donc le sommet a, qui correspond à ce côté, par-

DES POLYGONES VARIABLES QUELCONQUES. a5

courra une section conique (Prop. V) touchant la courbe (0) en deux points.

Remarque. — Un cas très-remarquable des Propositions précédentes est celui où tous les points/;, /?', /?",. . ., sont en ligne droite; alors le polygone MNP. . . (Jig. 17) cesse de subsister, parce que tous ses côtés directeurs concourent en un point unique, lui-même évidemment pôle de la droite pp'p"..., qui renferme les pivots du polygone inscrit abcde... Nous allons maintenant nous proposer l'examen de ces circonstances particulières.

Proposition XI. — Théorème.

Si tous les côtés d'un polygone abcd. . *f (fig. 18) inscrit à une conique, pivotent sur les pôles respectifs p, p', p", . . . , situés en ligne droite à l'exception du côté af qui reste libre, ce dernier côté passe dans toutes ses positions par un dernier pôle situé sur la droite qui contient les premiers, quand toutefois ceux-ci sont en nombre impair.

Considérons pour exemple le cas particulier de cinq pôles P> P'> P** P"> P" donnés en ligne droite. Soit tracée la diagonale ad qui forme avec les trois premiers côtés le quadrilatère inscrit abcd, les trois côtés ab, bcf cd passant par des

Fig. 18.

pôles p9 p' et p,f situés en ligne droite» il arrivera que le quatrième côté ad passera aussi dans toutes ses positions par un même pôle P situé sur la droite pp'p" ( Prop. VI, Coroll. II). En considérant le quadrilatère suivant adef, on prouvera de même que son côté libre af tourne dans toutes ses positions autour d'un pôle P' situé sur la droite pp' p" • . • , comme il s'agissait de le démontrer. Or, il est visible que la même démonstration s'appliquera à

26 1er CAHIER. ~ PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

tout polygone d'un nombre de côtés pair avec un nombre impair de pôles; car on pourra toujours le partager en plusieurs quadrilatères par des diagonales partant du point a et qui tourneront dans toutes leurs positions, autour d'autant de points fixes situés sur la droite des pôles; donc la proposition énoncée a lieu dans toute sa généralité.

Corollaire I. — Dans le cas où le nombre des côtés du polygone inscrit serait impair et où, par conséquent, celui des pôles, toujours en ligne droite, serait pair, le dernier côté ne tournerait plus autour d'un point fixe, mais il décrirait, comme dans le cas général , une section conique touchant la proposée aux deux points t et *', où celle-ci est rencontrée par la droite des pôles p, j/, p",. • .

En effet, si l'on considère le dernier triangle afe formé par le côté libre, le dernier côté fe qui tourne autour d'un pôle fixe pxy et la dernière diagonale ae de ce polygone, il est évident qu'en retranchant ce triangle du polygone entier, il restera un polygone qui rentrera dans le cas précédent. Donc le dernier côté de ce polygone ou la diagonale ae du proposé tourne dans toutes ses positions autour d'un pôle situé sur la droite pp'p". .., d'où l'on conclura que le côté libre af du triangle aef roule sur une conique (Prop. IV) touchant la proposée aux points t et t'.

L'on voit par ce que nous venons de dire, qu'on aura tout de suite les deux pôles du triangle mobile ae/dont le côté af engendre la courbe; car l'un de ces pôles p'r est donné, et l'autre s'obtiendra en prolongeant la diagonale ae jusqu'à sa rencontre avec la direction pp[ rp". . . .

Corollaire II. — Il suit encore de ce qui précède, que toutes les diagonales de rang pair d'un polygone inscrit, tournent par l'effet du mouvement général, autour d'autant de pôles situés sur la direction pp' pfff et que toutes celles d'un rang impair roulent sur des sections coniques qui touchent la proposée aux deux mêmes points / et t' (*).

(*) Nous avons déjà donné une démonstration géométrique directe et générale de la Proposition précédente, ainsi que de celle qui suit, dans le IV0 Cahier des anciennes Notes (t. 1, p. ao8). {Manuscrit de 1814.)

Proposition XII. — Théorème.

Quand tous les sommets d'un polygone mobile ABCDEa (fig* 19), circonscrit à une conique (0), sont assujettis, sauf un seul a qui reste libre, à parcourir autant de droites respectives KM, KN, KP,..., concourant toutes en un même point K, le dernier sommet a parcourra lui-même une ligne droite Ka passant par le point de concours K des premières, si toutefois le nombre des côtés de ce polygone est pair, ou que le nombre des directrices KM, KN,. . . est impair.

En effet, formez le polygone inscrit abcdef, ayant pour som*mets les points de contact du polygone circonscrit, il ne sera pas difficile de démontrer que tandis qu'un sommet A du polygone circonscrit parcourra la directrice KM, le côté ab du

Fig. 19.

polygone inscrit qui lui correspond tournera autour d'un point fixe p; donc tous les côtés du polygone inscrit abcd..., à l'exception du côté af, resté libre puisqu'il correspond à a, pivoteront chacun autour d'un point fixe, et ces points seront évidemment situés sur une même droite, puisque leurs polaires respectives KM, KN,..., se coupent en un seul et même point K; de plus, il est visible que ce dernier point sera le

a8 Ier CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

pôle conjugué à pp'p"> . . Donc, puisque le nombre des pivots en ligne droite du polygone inscrit est impair, son côté libre q/*(Prop. XI) pivotera dans toutes ses positions sur un même point P, de la droite Rxepp'p". . ., qui renferme tous les autres, et par suite, le sommet a qui lui correspond parcourra, comme tous les autres sommets du polygone circonscrit, une ligne droite Ka, laquelle passera évidemment par le point K.

Corollaire. — Quand le nombre des côtés du polygone circonscrit est impair, on prouve, à l'aide de la Proposition précédente (Coroll. I), que le sommet a parcourt une section conique touchant la courbe (0) aux deux points de contact des tangentes menées du point K à cette courbe.

Remarque. — Nous ne nous attacherons pas à démontrer toutes les conséquences particulières des propositions précédentes, qui sont aussi intéressantes que multipliées, à cause de la grande facilité avec laquelle ces conséquences pourraient se déduire des propositions générales auxquelles elles correspondent; nous nous bornerons à faire observer, que ces propositions auraient encore lieu dans le cas où deux ou plusieurs pôles se réuniraient en un' seul comme dans celui où une ou plusieurs directrices se confondraient en une seule.

Soit, par exemple, le quadrilatère abcd inscrit dans une conique {0),Jig. 20; si Ton fait mouvoir ce quadrilatère en

Fig 20.

assujettissant ses côtés opposés ab et cd à passer constamment par le même point fixe pp" > tandis que le côté bc est astreint à

pivoter autour de p' comme pôle, il en résultera que le quatrième côté ad9 resté libre, pivotera aussi autour d'un même point placé sur le prolongement de la droite/?'/?" : il est visible, en effet, que les pivots des trois côtés ab, bc et cd satisfont à la condition d'être en ligne droite. • Par la même raison, si un quadrilatère abcd, circonscrit à une conique (0), Jig. ai, est assujetti à avoir ses sommets op-

Fig. ai.

posés a et c sur une droite KM, tandis que le troisième b parcourt une autre droite K'M', le dernier sommet libre d décrira dans toutes ses positions une troisième ligne droite Kd passant par le point K, où se coupent les deux premières.

Proposition XIII. — Problème.

Étant donnés une section conique ( 0 ) et n points situés sur son plan, inscrire dans cette courbe un polygone dont les côtés passent respectivement par les points donnés, en ne se servant que de la règle quand la courbe est décrite.

On pourrait résoudre ce problème en observant que si Ton fait abstraction, pour un moment, de l'un des points donnés, et qu'on inscrive à volonté dans la courbe un polygone dont tous les côtés, à l'exception d'un dernier, passent par les points donnés, le côté libre (Prop. IX), correspondant au point dont on a fait abstraction , roule dans toutes ses positions sur une conique facile à construire ; de sorte que, pour résoudre le problème proposé, il suffira ,de mener à cette dernière courbe, parle point en question, une tangente de laquelle on déduira

3o r CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

un polygone inscrit dont les côtés passeront évidemment par les points respectifs donnés, et qui sera par conséquent une des solutions du problème proposé. D'ailleurs, de ce que d'un point donné on peut mener en général deux tangentes à une section conique et qu'on n'en peut mener davantage, il résulte qu'on ne pourra non plus trouver que deux polygones inscrits à la courbe proposée et dont les côtés passent par des points donnés.

La solution précédente, quoique générale et en apparence très-simple, a l'inconvénient d'exiger l'emploi du compas et de constructions assez multipliées; la solution suivante n'a pas les mêmes désavantages.

Soit (0),Jîg. 22, la conique donnée; p, p', p"9. . ., les points par lesquels doivent passer les côtés du polygone cherché. Construisez de proche en proche, en partant du point arbitraire a, les côtés successifs d'un polygone abcd..., passant chacun par

un des points donnés; s'il arrivait qu'en traçant le côté fg passant par le dernier pôle pr, le polygone se fermât de lui-même, c'est-à-dire si le point g se confondait avec le point «d'où l'on est parti, il est visible que le polygone abcd. ..fg (fig. 2a) ainsi construit serait une des solutions du problème qui nous occupe ; mais généralement ce polygone ne se refermera pas de lui-même. Soit donc tracé le dernier côté ag qui ne passe par aucun des points fixes ou donnés, on formera ainsi un premier polygone abcd... f g inscrit à la conique proposée et dont tous les côtés, à l'exception d'un seul ag9 passeront par les points p, p', p", . . . , arbitrairement donnés. Cela posé, concevons que l'on fasse varier le sommet a de

DES POLYGONES VARIABLES QUELCONQUES. 3i

toutes les manières possibles, le côté libre ag variera aussi (Prop. IX); mais il touchera dans ses positions diverses une même section conique; or, il est visible que si, parmi les positions qu'il peut prendre autour de cette courbe, il en existe pour lesquelles sa longueur ag, comprise dans la conique (0), soit nulle , les polygones abcd..., qui leur correspondent» seront les polygones mêmes demandés. Celte circonstance aura évidemment lieu pour les deux points où la conique auxiliaire décrite par ag touche la conique proposée ; la recherche qui nous occupe est donc finalement ramenée à trouver ces deux points.

Nous avons démontré (Prop. IX) qu'il est toujours possible de trouver, par des constructions successives dépendantes de la Géométrie de la règle, les pôles P et P' de deux des côtés d'un triangle inscrit axg, dont le côté libre ag roule sur la même section conique que celle qui serait parcourue par le côté agf considéré comme appartenant au polygone ci-dessus abc.ga. Or, nous avons démontré (Prop. IV) que cette courbe touche la conique donnée (0) aux deux points / et t, où cette dernière est rencontrée par la droite PP' qui joint les deux pôles P et P' du triangle mobile axg; chacun de ces points est donc le dernier sommet de l'un des deux polygones cherchés, sommet d'où Ton déduira d'une manière facile et par la règle tous les autres éléments de ces polygones, qui seront ainsi entièrement déterminés.

Remarque. — D'après cela, le problème sera susceptible de deux solutions, d'une seule, ou sera impossible, selon que la droite PP' rencontrera la section conique donnée en deux points, en un seul, ou ne la rencontrera pas du tout.

Si la section conique (0) n'était donnée que par cinq quelconques de ses points, on trouverait encore par la règle seule, les pôles P, P' : les intersections de cette courbe avec la droite PP' s'obtiendraient ensuite comme nous l'avons indiqué aux p. 367 et suiv. du t. Ier de ces applications ou de toute autre manière. Une fois les points t et /' connus, on achèverait les polygones demandés par des constructions qui n'exigeraient plus que le secours de la règle.

La solution du problème précédent a occupé un grand

3a Ier CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

nombre de géomètres distingués ; mais ils ne sont parvenus à le résoudre que pour le cas du cercle et en faisant usage du compas. On trouve cependant une solution par la règle, du cas particulier de trois points et d'un cercle, dans les Annales de Mathématiques de Nîmes (t. I, 1810). M. Servois (*), en en donnant la démonstration, Ta étendue au cas d'une section conique quelconque et de trois points arbitraires. Nous ferons connaître plus loin celle qu'on déduit, pour ce cas particulier, de la solution générale exposée ci-dessus : nous en ferons autant pour celui où l'on se donnerait quatre points au lieu de trois, parce que la solution relative à ce cas est remarquable par son extrême simplicité.

Proposition XIV. — Problème.

Inscrire [Jig. 23) dans une conique décrite (0), un triangle dont les côtés passent respectivement par trois points donnés p, p', p", en ne faisant usage que de la règle.

Tracez arbitrairement les trois premiers côtés ab, bc et cd

Fig. a3.

d'un quadrilatère inscrit dans la courbe, passant par les points

(*) On sait que c'est à M. Gcrgonne et à son camarade d'artillerie l'abbé Servois, mon professeur en 1806 au lycée de Metz, que l'on doit les dénominations de pôle et de polaire appliquées à un point et à sa conjuguée liarmoniquc, dénominations que j'ai adoptées dans le texte cidessus, d'après l'exemple qu'ils en ont donné dans les t. I, p. 337, et II , p. 197 des Annales cilées. {Note ancienne rectifiée,)

donnés p, p\ p"\ tracez également la droite P'P", polaire du point p"; joignez les deux autres points fixes p,p* par la droite indéfinie pp' qui coupe P'F' en P"; tracez de même P"c, qui rencontre la courbe en un second point x\ enfin, tirez ax et dx9 qui vous donneront les points P et P' par leurs intersections avec les droites pp' etP"P'. Cela posé, les points t et /', où la droite PP' ainsi obtenue viendra rencontrer la courbe, indiqueront l'un et l'autre des sommets des deux triangles cherchés, desquels on déduira par conséquent la position même de chacun de ces triangles.

Cette solution se simplifie beaucoup en remarquant, d'après la Prop. VII, que les points P7, P" et p" sont tels, que l'un quelconque d'entre eux est le pôle de la droite qui joint les deux autres. Ainsi F (Jig. 24) est le pôle de la droite p"V" conte-

Fig. 24.

nant le pôle inconnu P", et par conséquent toute droite Yp rp émanant de ce point P', coupera la courbe en deux points T, T, tels, que les tangentes TA et T'A, qui leur correspondent, se rencontrent en un point A de la droite p" P*. Or ce point est évidemment celui où se coupent les deux droites AB et AC, qui ont respectivement/? etp' pour pôles; donc, pour trouver P*, il suffit de joindre le point A avec p", par une droite indéfinie A/>", qui par son intersection avec BC, polaire de />", donnera le point demandé.

34 1er CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Maintenant, faisons attention que si, au lieu de pp' passant par Iç/s pôles p et/?', on eût tracé la droite des pôles p' et p" et qu'on lui eût appliqué les constructions indiquées pour p//, sur \&jig. 23' ci-dessus, on aurait obtenu, au lieu des points P et P' qui déterminent la droite cherchée tff deux autres que je nommerai tc, tc", appartenant à la même droite, en sorte que deux de ces quatre points, P" et tt", je suppose, suffisent pour la déterminer complètement. Mais le pôle 7r" en particulier {fi g* ?4)9 s'obtient par une construction tout aussi simple que celle du point P", en joignant par une droite le pôle p opposé à p1 p", et le point C où se coupent AC et CB polaires de p' elp"; car, si on prolonge cette droite, elle "coupera AB, polaire de p, au point 7r" demandé. On peut donc construire avec la règle seule, la droite 7r"P" qui donnera, par ses intersections en t et t' avec la courbe (0), les sommets de deux triangles inscrits dont les côtés passent par les points p, p', p".

Remarque. — Cette solution revient à celle exposée par M. Servois, à l'endroit cité plus haut des Annales de Ntmes; nous avons voulu montrer comment elle peut se déduire de notre solution générale déjà exposée ci-dessus. Au reste, elle se démontrerait à priori par nos Principes de projection.

Proposition XV. — Problème.

Inscrire dans une conique donnée (0), fig. a5, un quadrilatère dont les côtés passent par les quatre points également donnés p, p', p" et pM.

Tracez les deux droites pp'y p" p'" que vous prolongerez

Fig. 25.

jusqu'à leur rencontre en P'; tracez également un pentagone

quelconque abcde inscrit dans la courbe, et dont les quatre premiers côtés passent par les points donnés; joignez le troisième sommet c avec F par la droite P'c qui, prolongée, coupera la conique en un second point x ; tracez enfin ax et ex qui couperont respectivement pp' et p"pm en P et P*; la droite PP" coupera la courbe en deux points f et /' qui appartiendront respectivement aussi aux quadrilatères cherchés; c'est-à-dire qu'ils en seront l'un et l'autre les derniers sommets, d'où l'on déduira par conséquent tous les autres au moyen des pôles ou points donnés p, p', p", p".

Proposition XVI. — Problème.

Circonscrire à une conique (0),fig. 26, un polygone ABCD..., qui soit en même temps inscrit dans un polygone donné AfNPQ..., c'est-à-dire dont les sommets soient sur les côtés respectifs de ce dernier polygone; en ne se servant que de la règle, quand la conique est décrite.

D'après la Proposition X, si on laissait libre le dernier sommet E du polygone cherché en faisant abstraction pour un instant, du côté MR qui lui correspond dans le polygone donné, et qu'on déformât ce polygone de toutes les manières possibles,

le sommet libre E parcourrait une section conique; donc les points où cette section conique rencontrerait le côté MR, dont on a fait d'abord abstraction, indiqueraient la position' des der-

36 Ier CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

niers sommets des polygones cherchés. Mais, comme la section conique parcourue par E n'est pas décrite, la solution précédente exigerait l'emploi du compas. Pour ne pas y avoir recours on ramènera le problème à celui de la Proposition X1I1, ainsi qu'il suit :

On déterminera les pôles p, p',p"...9 des côtés respectifs MN, NP,..., du polygone donné, ce qui s'exécutera par la règle seule; on construira ensuite (Prop. XIII) un des deux polygones abcd... inscrits dans la courbe (0), et dont les côtés passent respectivement par les points p, p', /?", . . . , trouvés ci-dessus; il est visible que si Ton circonscrit enfin à cette conique, un polygone dont les côtés respectifs la touchent aux sommets du précédent abcd..., ce polygone sera en même temps inscrit dans le polygone donné MNPQ. ...

Remarque. — Si l'on trouvait la solution précédente trop pénible à cause du grand nombre de lignes à tracer, on ferait usage de la suivante, qui n'a pas le même inconvénient, mais qui est aussi moins directe.

Soit circonscrit à la conique donnée (0),Jig. 27, un polygone arbitraire EABC ...a. dont tous les sommets, à l'exception d'un seul cl , se trouvent situés sur les côtés du polygone MNP...; il aura ainsi évidemment un sommet de plus que

le polygone cherché; mais si, parmi le nombre infini de polygones analogues à EAB ... a, il s'en trouve un ou plusieurs pour lesquels les côtés Ea et D a se confondent en une seule et même droite, ces polygones seront évidemment les polygones demandés. Or on sait (Prop. X) que tous les sommets a sont situés sur une même section conique tangente en deux

points à la proposée (0); donc il existe en effet deux positions du polygone «EAB. . . a, pour lesquelles le point a se trouve sur la courbe (0), ce qui ne peut avoir lieu sans que les côtés E a et D a se confondent en un seul tangent à la courbe en ce point. On obtiendra donc l'un des côtés du polygone cherché en menant à la conique (0) une tangente comprise entre les côtés MR et RQ, en l'un des points où cette courbe est touchée par celle que parcourt le sommet libre a : c'est donc à la recherche de ces deux points de contact que se réduit le problème proposé. Pour y parvenir, on choisira trois positions arbitraires du sommet oc, et la question se trouvera ramenée à la suivante, beaucoup plus simple.

Étant donnés arbitrairement trois points sur le plan d'une section conique décrite, déterminer, par la règle seule, la droite qui contient ceux oà cette courbe serait doublement tangente à une autre conique passant par les points donnés (*).

Nous nous bornerons à indiquer ici la construction, en ellemême extrêmement simple, et dont on trouvera la démonstration dans un autre Cahier ( ** ).

(*) En d'autres termes, a par trois points donnés sur le plan d'une conique décrite, lui mener une autre conique doublement tangente » ; ce qui se réduit proprement à déterminer la position de la sécante indéfinie de contact, commune aux deux courbes, toujours réelle, mais purement idéale quand le contact est imaginaire. La solution indiquée dans le texte dérive évidemment des données et théorèmes exposés p. 268 et suiv. du t. Ier de ces applications; or M. Moutard me fait observer que cette solution étant quadruple , elle donne lieu à une incertitude relative au choix de la sécante inconnue de contact, tandis qu'il n'existe en réalité qu'une seule courbe des sommets a et une seule sécante contenant les sommets inconnus des polygones cherchés. Cette observation est parfaitement exacte; mais on doit considérer qu'il s'agit ici de simples tentatives de solutions, d'un acheminement vers les élégantes et faciles constructions linéaires, énoncées dans le t. VIII des Annales de Mathématiques, sous la date d'octobre 1817. [Voir le \le Cahier à la fin du présent volume. )

' (**) Ce Cahier contenait un grand nombre de lemmes, de théorèmes ou de problèmes suivis de notes détachées, sans lien nécessaire et en majeure partie résumés dans le Traité des Propriétés projectiles, dont j'ai l'intention de publier prochainement une nouvelle édition. Os fragments

38 Ier CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Soient a, b deux des trois points donnés; de chacun de ces points on mènera deux tangentes à la courbe proposée (O), Jig. 28, ce qui déterminera les points de contact T, T', 0, 0'; on joindra les deux points S et T qui correspondent aux

Fig. j8.

■ — "" sL

tangentes extérieures Qa et Tft, par une droite 0T qui, élant prolongée, ira couper celle ab des points donnés en un autre point 7r; ce point sera l'un de ceux de la corde cherchée. En effectuant une construction semblable pour les points b et c, on obtiendra sur bc un second point it' appartenant aussi à la corde cherchée ; donc ttît' sera cette corde. Si Ton avait combiné directement le poiht a avec e, on aurait obtenu* un troisième point y, non indiqué, qui se serait trouvé sur la même ligne droite que les deux premiers.

Remarque. — Il n'est pas nécessaire de tracer les tangentes ad, aQ', etc., dont il a été question ci-dessus; il suffira de déterminer les deux points où elles touchent la courbe (O) : ces points s'obtiendront facilement en construisant les droites 6Q' et TT' polaires des points a et b. Il est visible aussi qu'on aurait encore obtenu le point r, si au lieu de joindre 0 et T on eût joint 0' et T' qui appartiennent aux tangentes «0' et bT'.

ont d'ailleurs servi de base à divers articles imprimés en 181 7 dans le Journal do Gergonne, et que je reproduis textuellement dans le VI* Cahier de ce volume, à cause de leur intérêt historique et de la rareté de la Collection.

DES POLYGONES VARIABLES QUELCONQUES. 3g

Je vais maintenant m'occupcr du cas particulier où les points

donnés sont en ligne droite et de celui où tous les côtés du

polygone MNP... concourent en un même point; ce qui

donnera lieu à plusieurs remarques intéressantes.

Proposition XVII. — Pboblèvi.

Inscrire dans une conique donnée un polygone dont les côtés passent par des points en nombre quelconque, rangés sur une même ligne, droite.

Il y a deux cas à distinguer : celui où le nombre des points donnés est impair, et celui où il est pair.

ln Cas. — Imaginez (Jig. 29) qu'on inscrive au hasard dans la courbe, un polygone abcd dont tous les côtés, sauf le dernier ad, passent par les points donnés p, p', p",. . . supposés en nombre impair; ce polygone ayant ainsi un nombre pair

Fitf. 29.

de côtés; si (Prop. XI) on le déforme arbitrairement, le dernier côté libre passera toujours par un même point P situé sur la direction de pp'. Donc enfin, si Ton mène par P une tangente PTà la conique, et que Ton'construise le polygone correspondant, ce sera un des polygones demandés, puisque le côté libre ad sera réduit à zéro, les points a et d se trouvant réunis en un seul.

On obtiendrait l'autre solution du problème en menant par le point P une seconde tangente PT' à la courbe; mais au lieu de tracer les tangentes elles-mêmes, ce qui est inutile, oit déterminera par une construction très-simple la droite TT' qui

4o Iw CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

a P pour pôle et qui contient les derniers sommets T et TV des

deux polygones cherchés.

IIe Cas. — Quand le nombre des points donnés />,/>',... P situés sur une même ligne droite sera pair, il résulte de la Proposition XI que si le problème admet une seule solution, il y en aura par là même une infinité ; car en faisant pour un instant abstraction de l'un de ces points et laissant libre le côté correspondant, si Ton déforme le polygone de toutes les manières possibles, le côté libre passera, dans toutes ses positions, par un point de la droite des pôles. Or ce point est nécessairement le.même que celui dont on a fait abstraction, puisque le côté libre y passe par hypothèse, au moins dans une de ses positions ; donc il ne peut exister que Tune de ces circonstances : ou le problème est complètement impossible, ou il admet une infinité de solutions.

On s'assurera que l'un ou l'autre de ces deux cas se présente, en inscrivant à volonté dans la conique un polygone dont les côtés respectifs passent par les points donnés : s'il reste ouvert, il n'y aura pas lieu à solution ; dans le cas contraire, tous les polygones tracés d'après les mêmes conditions que le premier, se refermeront d'eux-mêmes, et seront par conséquent autant de solutions du problème proposé.

Remarque. — Tout ce que nous venons de dire subsisterait encore dans le cas où deux ou plusieurs des points donnés se confondraient en un seul.

Proposition XVIII. — Problème.

Circonscrire à une conique donnée (0), fig. 3o, un polygone dont les sommets soient situés sur des droites aussi données MK, NK, . . ., concourant toutes en un même point K.

Ier Cas. — Quand le nombre des droites données sera impair, on circonscrira à la courbe (0) un polygone quelconque ABC . . a dont les sommets soient sur les droites données, à l'exception- d'un seul a; on joindra le dernier sommet ainsi obtenu au point K par la droite Ka, qui coupera la courbe en deux points 0 et 0' indiquant respectivement le point de con-

tact du dernier côté de chacun des polygones cherchés, d'où Ton déduira tous les autres côtés par des constructions fort

Fig. 3o.

simples, en n'employant que la règle. Cette solution trouve sa démonstration dans la Proposition XII.

IIe Cas. — Quand les droites données MK, NK, etc., sont en nombre pair, il arrivera, comme dans le deuxième cas de la Proposition XVII, que le problème proposé, ou sera entièrement impossible, ou qu'il admettra une infinité de solutions, ce qu'on reconnaîtra en circonscrivant à cette même courbe un polygone quelconque dont les sommets se trouvent sur les droites données : si le polygone ainsi formé au hasard remplit les conditions du problème , il y en aura une infinité d'autres semblables ; dans le cas contraire, il n'y en aura aucun.

On voit, par ce qui précède, que les solutions exposées ( Prop. XIII et XVI) deviennent d'une simplicité extrême dans les cas particuliers qui viennent d'être examinés; elles n'exigent que l'emploi de la règle et le tracé de la courbe donnée; or il me semble qu'elles seraient difficilement obtenues d'une manière plus simple ou à l'aide d'un moindre nombre de lignes. Il en est ainsi encore des solutions générales déjà exposées ci-dessus (Prop. XIII et XVI).

Avant de quitter ce sujet intéressant, nous allons déduire des deux derniers problèmes la proposition suivante, qui parait digne de remarque.

4a Ier CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Proposition XIX. — Théorème.

Si deux polygones d'un nombre impair de côtés inscrite dans une même section conique, sont tels, que leurs côtés pris deux à deux se coupent respectivement en des points situés en ligne droite, les droites joignant deux à deux les sommets de ces polygones respectivement opposés aux côtés qui concourent, iront toutes passer par un même point, pôle conjugué à la droite où convergent les côtés homologues.

Considérons en particulier (fig. 3i) le cas de deux triangles; la démonstration s'appliquera facilement à deux polygones d'un nombre de côtés quelconque.

Supposons donc que Ton connaisse les trois points p, p' et p", et qu'il s'agisse d'inscrire dans la conique (0) un triangle dont les côtés passent respectivement par ces trois points; on pourra regarder comme inconnu l'un ou l'autre des trois som-

Fig. 3i.

mets A, B, C de ce triangle; or, d'après la Proposition XVII, chacun de ces sommets est déterminé par l'intersection de la courbe ayec une droite, polaire conjuguée de l'un des points de la droite ppfp"; les sommets de nos deux triangles sont '

donc deux à deux sur des droites ayant leurs pôles situés sur \

pp'p"\ et partant, d'après la propriété connue des pôles et 4 polaires conjugués, toutes les droites en question se coupent en un même point, lui-même pôle de la droite pp' ' p' '.

De cette démonstration découle encore la proposition sui-

vante : « Si deux polygones d'un nombre impair de côtés cir- » conscrits à une même section conique, sont tels, que leurs » sommets soient deux à deux situés sur des droites concou- » rant toutes en un même point, les droites qui joindront » deux à deux les points de contact des côtés opposés aux » sommets situés en ligne droite, concourront aussi toutes en » un seul et même point, confondu avec celui où concourent » les droites qui joignent deux à deux les sommets opposés. »

Proposition XX. — Théorème.

Etant donnée une section conique quelconque, si l'on trace à volonté un polygone dont tous les sommets, un seul excepté, soient situés sur la courbe; puis qu'on prenne pour pôles les points de rencontre de chacun des côtés avec une droite fixe; qu'enfin on déforme ce polygone en faisant pivoter chaque côté autour de son pôle et en faisant glisser sur la section conique les sommets qui s'y trouvent : le dernier sommet resté libre, décrira une courbe du deuxième degré.

Si l'on joint par une ligne droite les points où les côtés du dernier angle non inscrit dans la conique rencontrent de nouveau cette courbe, on formera un second polygone qui lui sera entièrement inscrit et dont tous les côtés, à l'exception du dernier resté libre, pivoteront autour des pôles donnés en ligne droite; ce dernier côté (Prop. XI) tournera donc sur un nouveau point fixe de cette droite, ou roulera sur une section conique tangente à la proposée, selon que le nombre des pôles donnés sera impair ou pair. Supposons maintenant que l'on mette la figure en projection, de manière que la courbe devienne un cercle et que la droite des pôles passe à l'infini, il arrivera, dans le premier cas, que le côté libre du second polygone, devenu une corde du cercle, se mouvra toujours parallèlement à lui-même, et, dans le second cas, que ce même côté roulera sur un cercle concentrique au premier. La démonstration de la proposition que nous avons en vue se réduira donc à prouver l'une et l'autre de celles qui suivent.

i° Si un triangle mobile est assujetti à avoir ses côtés constamment parallèles à eux-mêmes et deux de ses sommets si-