OU DES COORDONNÉES

20. Après avoir ainsi mis en évidence le principe auquel la Géométrie de notre époque doit, en majeure partie, son élégance et sa généralité, il nous reste, pour compléter l'objet des discussions précédentes, à examiner, d'une manière plus particulière encore, ce principe dans l'Analyse même des coordonnées; car, si c'est là qu'il a en effet pris naissance, c'est là aussi qu'il faut en rechercher, en examiner les causes de certitude et la nature véritable.

Soit donc une figure géométrique composée de points, de lignes et surfaces courbes quelconques situées dans l'espace et assujetties dans leurs dépendances mutuelles à des relations métriques ou descriptives données; supposons qu'ayant mis, à l'aide de la méthode des coordonnées, chacune de ces lignes ou surfaces en équation, on exprime par d'autres équations les dépendances mutuelles qui existent entre toutes les parties de la figure; d'après les principes généralement reçus, ces diverses équations, qui définissent le système pour la position adoptée, demeureront invariables, dans leur forme explicite et indéterminée, quels que soient le déplacement et la transposition réelle que l'on conçoive s'opérer entre les parties actuellement fixes du système, sans changer la nature de ces parties, et sans violer la liaison et la loi primitivement établie entre elles; en d'autres termes, ces équations demeureront explicitement de la même forme pour toutes les figures corrélatives de la première.

(*) Je ne connais qu'un seul exemple où Ton se soit servi avec cette extension, mais sans justification ni commentaire, du principe de continuité comme moyen de démonstration en Géométrie; c'est celui qui a été offert par M. Dupin, dans son remarquable Mémoire §ur la Description des lignes et (les surfaces du second ordre, inséré au XIVe Cahier du Journal de V École Polytechnique. (Note de 1818.)

En effet, celle figure primitive étant supposée dans une situation générale et indéterminée à l'égard de toutes celles qu'elle peut recevoir, pour rendre les équations qui lui correspondent applicables à une autre situation quelconque, il suffira d'attribuer implicitement aux diverses lettres ou coordonnées qui y entrent, les valeurs et les signes relatifs au nouveau système, sans changer effectivement la forme explicite des équations, qui demeure invariable dans tout le cours des calculs; car, d'après les principes reçus, on peut, pour chaque cas particulier, se borner à effectuer la substitution dans le résultat final auquel auront conduit ces calculs.

Supposons, maintenant, qu'ayant posé les équations qui définissent le système primitif, on en déduise, par une suite de transformations algébriques, une ou plusieurs nouvelles équations, elles exprimeront des propriétés du système, soit qu'elles indiquent des relations indéterminées relatives, par exemple, à la trace d'un point mobile, etc., ou en général des dépendances descriptives, soit qu'elles indiquent des propriélés, des relations métriques entre les grandeurs de certaines parties de la figure.

Ces équations, comme celles dont elles proviennent, ne renfermant que des lettres, par hypothèse indéterminées quant à ces grandeurs tout implicites, appartiendront non-seulement à la figure donnée prise pour point de départ, mais aussi à toutes les figures corrélatives qui n'en différeraient que par la transposition, le déplacement possible d'une ou de plusieurs des parties regardées d'abord comme fixes ou constantes.

21. Dans leur forme actuelle, ces équations n'expriment en quelque sorle, que des relations entre les auxiliaires abscisses et ordonnées des diverses parties du système; il reste donc, après h;s avoir obtenues, à les interpréter et à les traduire sur la figure elle-même; or il y aura ici nécessairement une distinction essentielle à établir entre les propriétés descriptives et les propriétés métriques.

Si les propriétés sont purement descriptives, elles ne concerneront, dans leur énoncé explicite sur la figure, c'est-à-dire dans leur traduction géométrique, aucune espèce de grandeur mesurée, et ne dépendront par conséquent que de la forme

3i8 IV CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES

générale et explicite des équations qui les expriment. Mais, en vertu des raisonnements qui précèdent, ces équations sont invariables dans cette forme, comme les équations primitives d'où elles proviennent; donc aussi :

Les propriétés graphiques trouvées pour la figure primitive subsistent, sans autres modifications que celles du déplacement des parties, pour toutes les figures corrélatives qui peuvent être censées provenir de la première.

22. Les propriétés purement métHques, au contraire» ne concernant que les relations de grandeur entre certaines parties de la figure, demeureront, il est vrai, permanentes dans leur forme générale, mais elles pourront éprouver, dans chaque cas, une variation dans les signes algébriques des lettres ou grandeurs implicites qui y entrent; car, d'après ce qui précède, les équations dont elles sont la traduction exacte sur la figure, sont elles-mêmes susceptibles d'une variation dans les signes des abscisses et ordonnées.

La règle de ces variations de signes étant censée bien établie pour les équations entre coordonnées, on pourra toujours dé- • terminer à posteriori les signes des relations correspondantes entre les parties mêmes de la figure, en traduisant les unes de ces relations dans les autres; mais, comme cette traduction est souvent très-difficile, et que d'ailleurs un pareil moyen de déterminer les signes n'est que fort indirect, il paraîtra beaucoup plus simple et plus géométrique d'avoir recours aux tableaux de corrélation établis par M. Carnot, dans la Sect. II de sa Géométrie de position.

En adoptant ces règles provisoirement et les conséquences qui découlent, d'après ce qui précède, de l'Analyse tout algébrique des coordonnées de Descartes, on pourra donc aussi conclure que :

Les propriétés métriques découvertes pour la figure primitive demeurent applicables, sans autres modifications que celles du changement des signes, à toutes les figures corrélatives qui peuvent être censées provenir de la première».

23. Telles sont les conséquences générales auxquelles on est forcément conduit, quand on adopte, avec les géomètres de notre époque, les principes de l'Analyse des coordonnées; ces

SUR LE PRINCIPE DB CONTINUITÉ. 3ig

conséquences, qui se confondent évidemment avec le principe de corrélation dont jusqu'ici j'ai entrepris de démontrer la certitude géométrique, doivent nécessairement se reproduire dans toutes les recherches particulières fondées sur les procédés de cette Analyse, et leur imprimer ce caractère d'extension et de généralité dont les résultats de la Géométrie pure sont naturellement dépourvus. On voit qu'elles s'appliquent, non-seulement aux états d'une figure dont la corrélation avec la primitive est simplement indirecte et par conséquent réelle, mais encore à tous ceux où certaines parties de la figure sont devenues nulles, imaginaires, infinies, en perdant ainsi leur existence géométrique individuelle, c'est-à-dire à tous les états qui n'auraient plus conservé qu'une corrélation idéale avec l'état primitif du système.

Considérées sous un certain point de vue, ces conséquences générales constituent ce qu'on peut appeler proprement le principe de la continuité ou permanence des relations mathématiques de la grandeur figurée (*); elles établissent, en effet, une continuité en général absolue, mais quelquefois aussi purement idéale, c'est-à-dire fictive et abstraite, entre les dépendances métriques ou descriptives qui appartiennent aux divers états d'une même figure. Nous avons vu qu'on suppose, de nos jours, cette continuité dans toutes les recherches géométriques où l'on veut donner une certaine généralité au raisonnement et aux conceptions; nous pourrions ajouter qu'on la suppose également dans l'exposé des principes fondamentaux des théories des diverses sciences exactes ; mais nous voulons nous borner à ce qui concerne proprement la Géométrie.

(*) Nous aurons occasion de voir, par la suite, comment cette définition se rattache à l'idée qu'on a ordinairement du mot de continuité. En attendant, nous ferons observer que le principe d'extension qui nous occupe, établissant, de fait, qu'une relation démontrée pour un certain point d'une ligne ou d'une surface courbe donnée s'étend immédiatement à tous ses autres points, introduit par là même, dans la conception de cette relation, l'idée d'une continuité qui n'existe proprement que dans la surface ou dans la ligne qu'on la suppose représenter. Au reste, nous n'employons ici cette expression que dans le but d abréger le discours et d'éviter les périphrases. (Note de 1818.)

3*o IV CAHIER. - œNSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES

24. Quoique le principe de continuité se présente comme une conséquence rigoureuse et nécessaire de la manière actuelle d'envisager et de traiter l'Analyse des coordonnées, il ne faut pas croire toutefois qu'il ait, dans cette science, une raison d'être distincte de celle que nous lui avons reconnue dans la Géométrie elle-même; c'est, en effet, parce qu'on Ta admis d'une manière tacite comme un axiome dans ses déductions élémentaires, que ce principe est apparu dans toutes les conséquences qui en dérivent. A la vérité, il paraît presque impossible de ne pas l'y admettre, et il semble inséparable de la nature même de J'Analyse algébrique; mais, en ayant soin de revenir aux notions naturelles et rigoureuses du raisonnement ordinaire, en examinant attentivement les conventions successives auxquelles cette science doit sa naissance et ses progrès, en ayant soin surtout de séparer ce qui lui appartient en propre .de ce qui est essentiellement inhérent à l'objet particulier auquel on l'applique, on reconnaît sans beaucoup de peine, que l'extension attribuée à tous ses résultats n'en est pas moins purement gratuite, inductionnelle pour ainsi dire, et qu'elle n'a de certitude mathématique que celle que lui impriment deux siècles d'expérience et de succès,

25. Si nous reprenons, en effet, le raisonnement de l'article 20, nous verrons qu'il se compose de deux parties entièrement distinctes. Dans la première, on admet en principe que les équations primitives, celles qui définissent le système, demeurent invariables dans leurs formes explicites, sauf la grandeur absolue et le signe des lettres qui y entrent, pour toutes les situations possibles du système auquel elles appartiennent; car s'il en était autrement, comment pourrait-on en conclure que les équations finales, celles qui en dérivent algébriquement, demeurent elles-mêmes invariables dans leurs formes explicites? Dans la seconde partie, on admet que ces équations finales ou les résultats obtenus algébriquement au moyen des équations primitives du système, demeurent invariables dans leurs formes explicites en même temps que ces dernières, et que, par conséquent, ces résultats s'appliquent immédiatement, en vertu des principes mêmes de l'Algèbre pure, à tous les états du système que Ton considère.

SUR LE PRINCIPE DE CONTINUITÉ. **t

Ainsi Ton admet forcément, d'une part, que la continuité subsiste dans les relations primitives, dans les lois géométriques qui définissent le système; d'une autre, dans les résultais des combinaisons et des opérations abstraites de l'Algèbre pure.

Ce sont ces deux hypothèses, sur lesquelles s'appuie nécessairement la Géométrie analytique, qu'il s'agit maintenant de meure en lumière et de discuter.

26. La première n'est recevable qu'autant que les relations primitives auraient leur démonstration dans des propositions déjà établies par les principes de l'Analyse algébrique; mais alors, en remontant de proche en proche jusqu'à celles qui sont nécessairement placées en tète de toutes les autres, on arrive aux relations ou équations élémentaires mêmes qui définissent et construisent les lignes, les objets les plus simples de la Géométrie; or, chacune de ces équations n'est au fond que l'expression algébrique d'une propriété géométrique appartenant simultanément à tous les points individuels de la ligne qu'elle représente; donc, puisque cette propriété est tirée des notions de la Géométrie pure, que l'extension qu'on lui accorde doit avoir sa raison d'être dans la nature même des choses, dans l'observation d'un fait, elle ne peut résulter d'aucune notion antérieure, d'aucun principe étranger à la simple Géométrie; la règle des signes, qu'on est alors obligé d'admettre à priori pour rendre l'équation de définition applicable indistinctement à tous les points et à toutes les régions de la courbe, résulte elle-même de l'observation de ce fait purement géométrique. La nécessité de son admission dérive ainsi de la volonté d'établir la continuité entre les diverses régions de la courbe; elle n'est point une convention particulière; sa possibilité et son universalité se trouvent dans l'accord qui règne, de fait, entre les diverses ligures élémentaires. J'en dirai tout autant de l'admission des imaginaires : c'est parce que, dans ces figures, la chose représentée perd son existence précisément dans les mêmes limites où l'expression algébrique correspondante devient imaginaire, qu'il est possible et permis d'adopter, dans tous les cas, cette expression pour la définition rigoureuse et la représentation exacte de h. ai

3m IV CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES

cette chose; et ainsi s'établit une continuité indéfinie, tantôt absolue et tantôt fictive, entre tous les étals d'un même système géométrique. Par exemple, l'équation

à1 = b7 -f- ca,

qui exprime la relation connue entre les trois côtés d'un triangle rectangle, peut être regardée comme la définition, l'équation véritable de ce triangle, même quand il devient impossible géométriquement; car, alors, celui des côtés qui perd toute réalité géométrique ne conserve plus dans l'équation qu'une existence de signe, et l'équation elle-même exprime et implique l'incompatibilité et la non-existence absolue.

27. Si l'on admettait, au contraire, que la relation algébrique qui définit une certaine ligne n'eût pas été tirée de la Géométrie elle-même, et qu'elle eût été donnée à priori pour construire et discuter cette ligne, l'extension, la continuité indéfinie qu'on lui attribue ne serait plus une conséquence nécessaire d'un fait géométrique; elle serait une convention arbitraire, propre à caractériser la courbe qu'on veut repré-: senter et définir. La loi qu'on adopterait alors entre la position et les signes serait une pure induction de la loi déjà observée dans les autres relations tirées de la Géométrie; elle ne serait elle-même qu'une convention arbitraire, conforme à ce qui a lieu dans ces dernières par la nature propre des choses.

Pour qu'il en fût autrement, il faudrait que la courbe et l'équation qui la représente pussent, comme dans le cas précédent, être censées provenir d'autres lignes, d'autres relations où la loi fût déjà justifiée, et ainsi de suite jusqu'aux relations élémentaires déduites immédiatement de la Géométrie; encore faudrait-il admettre la seconde des hypothèses (25) que nous avons à examiner, concernant les transformations purement algébriques. On retomberait donc ainsi dans les conséquences présentées dans l'article précédent, c'est-à-dire qu'alors la loi de continuité et celle des signes existeraient de fait et n'auraient besoin d'aucune sorte de démonstration. Si la relation qu'on se donne à volonté devait, au contraire, représenter l'une des courbes élémentaires, le cercle par exemple, il fau-

drait alors prouver l'identité de la courbe représentée avec la circonférence du cercle, telle qu'on la considère dans la simple Géométrie; ce serait encore une vérification de fait établie à posteriori, tout comme dans la supposition précédente.

Concluons donc que, quand l'équation qu'on se donne pour représenter une ligne courbe est purement algébrique et ne tire son origine d'aucune relation antérieure, comme il arrive, par exemple, pour les courbes d'un ordre général m, soi-disant algébriques, il ne faut pas chercher d'autre raison de la loi de continuité et des signes qu'on y aperçoit, que celle d'une hypothèse fondée sur l'induction et l'observation de ce qui a lieu dans les courbes mêmes de la Géométrie rationnelle.

28. Que penser, d'après tout ceci, de ces théories où l'on entreprend de démontrer, à priori et d'une manière générale, la règle ordinaire des signes, sans s'appuyer sur l'observation et sans remonter aux faits primitifs de la Géométrie? Doit-on s'étonner que ces théories soient encore demeurées, jusqu'aujourd'hui, aussi obscures et aussi contradictoires?

11 n'est pas dans mon plan actuel de développer davantage ces idées; je pourrai y revenir plus tard, si l'on juge qu'elles puissent offrir dans leur exposition quelques éclaircissements utiles à l'application générale de l'Algèbre à la Géométrie. Pour le moment, je prétends seulement en déduire cette première conséquence, relative à l'hypothèse dont l'examen nous occupe, que le principe de continuité admis sans discussion dans les relations de la Géométrie analytique, doit, à la vérité, son origine à l'habitude que nous a fait contracter cette science d'étendre la signification et l'application d'une même formule ou équation à tous les états du système auquel elle se rapporte, mais que la raison et la certitude première de ce principe résident uniquement dans l'accord constant de cette hypothèse avec les faits et les principes mêmes de la Géométrie ; que la loi des signes, en particulier, n'a pas d'autre origine ni d'autre raison ; qu'elle est le complément nécessaire de la loi de continuité, puisque cette dernière ne porte que sur la forme générale et explicite des relations, et que l'autre, au contraire, a exclusivement trait aux modifications toutes spéciales, qu'elles doivent éprouver dans les signes des quan-

3a4 IVf CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES

tités qui y entrent, pour- les faire concorder d'une manière

exacte avec les faits géométriques.

29. Pour en venir maintenant à la seconde des deux hypothèses sur lesquelles se fondent nécessairement la puissance et l'extension de la Géométrie analytique (25), considérons une ou plusieurs équations algébriques données entre des quantités appartenant, si l'on veut, à une figure géométrique, et supposons qu'en conséquence de l'hypothèse que nous venons d'examiner, ces équations dussent demeurer, par le fait, invariables de forme, mais seulement variables dans les grandeurs absolues et dans les signes des quantités qui y entrent, pour tous les états que peut prendre le système auquel elles appartiennent; considérons cependant ce système dans un état primitif, c'est-à-dire d'abord connu et déterminé. Les équations qui s'y rapportent étant purement algébriques et littérales, rien ne pourra rappeler, dans la suite des transformations abstraites qu'on leur fera subir, la grandeur implicitement attribuée aux différentes lettres qui y entrent; ces lettres n'en laisseront plus aucune trace, et il faudra recourir à l'énoncé lui-même ou au système donné pour reconnaître l'ordre de grandeur actuellement supposé; en un mot, on se verra entraîné, comme malgré soi, à supposer toute l'indétermination possible aux lettres qui représentent ces grandeurs; on confondra ainsi, sans en avoir l'intention expresse et sansy prendre garde, les opérations sur des grandeurs indéterminées ou implicites avec celles qui sont absolues : les expressions a — 6,

^a — b, etc., par exemple, seront traitées dans tous les cas comme de véritables quantités, que a soit implicitement plus petit ou plus grand que b ; on abandonnera donc le raisonnement explicite ordinaire ( * ), le seul dont les conséquences soient regardées comme rigoureuses et nécessaires. Admettons toutefois qu'en traitant successivement les équa-

(*) Par raisonnements, formules, etc., explicites, j'entendrai toujours des raisonnements, formules, etc., qui concernent des quantités dont la grandeur est actuellement déterminée et connue d'une manière explicite, soit numériquement, soit géométriquement; j'attache une signification précisément contraire aux expressions raisonnement, formule implicites ;

tions primitives pour leur faire subir diverses transformations, il soit possible de se rappeler l'ordre de grandeur des quantités, et qu'en conséquence on ait le soin de passer toujours d'une transformation à la suivante, et ainsi de suite jusqu'à la dernière, par des opérations et des raisonnements permis et tout à fait explicites, c'est-à-dire sans abandonner la marche rigoureuse qu'on suit d'ordinaire hors de l'Algèbre; on arrivera ainsi à une ou plusieurs équations purement littérales, comme les primitives, dans leurs formes apparentes, et indiquant sous ces formes de nouvelles dépendances entre les diverses quantités du système. Ces équations, dans l'hypothèse actuelle, doivent nécessairement indiquer des opérations et des relations absolues et explicites, comme la série même des raisonnements qui y ont fait parvenir; ainsi elles appartiennent en toute rigueur au système proposé et à l'hypothèse particulière établie sur l'ordre de grandeur des quantités qui le composent; mais il faut bien prendre garde qu'elles n'appartiennent rigoureusement qu'à cet état particulier du système, et que rien ne prouve à priori que, pour un autre état déterminé, elles conserveraient sans altération leurs formes primitives, en sorte qu'il faut de toute nécessité reprendre, pour chaque état déterminé et distinct, la série entière des raisonnements établis dès l'abord. Il est visible, en effet, que le changement d'ordre et de grandeur des quantités du système peut amener aussi un changement, non dans l'ordre, mais dans la nature des raisonnements, et les rendre par là même entièrement inapplicables au nouvel ordre admis. '

30. Celte limitation, cette restriction des résultats de l'Algèbre, quand on la considère d'une manière tout à fait rigoureuse et tel qu'on le fait en Géométrie ordinaire, acquiert en quelque sorte un degré de plus d'évidence, quand on vient à supposer que les équations primitives doivent éprouver des

le raisonnement explicite est nécessairement absolu; l'autre peut n'être que figuré. Au reste, nous n'employons ces expressions qu'en vue d'abréger et de préciser le discours, et nous devons faire observer qu'elles ont été mises en usage, dans un sens à peu près semblable, par l'auteur de la Géométrie de position. (Note de j8i8. )

modifications dans les signes et la nature même des quantités du système ; car, alors, la difficulté peut subsister dès les premières transformations qu'on veut faire subir à ces équations : il est visible, en effet, que si elles renferment des expressions qui puissent devenir négatives ou imaginaires, telles que

a — b, ya—T, on se verra forcé, quoi qu'on fasse, de traiter ces expressions comme si elles représentaient des grandeurs numériques absolues, et d'abandonner ainsi, pour passer outre, le raisonnement explicite ordinaire, le seul, comme nous l'avons déjà dit, dont les conséquences soient véritablement incontestables et rigoureuses. Dans cette circonstance, on sera donc encore bien moins fondé à regarder le résultat final des transformations algébriques comme applicable à tous les états possibles du système.

31. Entre la proposition qui nous occupe pour l'Algèbre pure, et celle des articles 11, 12 et suivants, qui concernait proprement la Géométrie, et dont on était certes loin de contester la vérité, la parité me semble rigoureuse et parfaite, et si l'on veut admettre les conséquences de l'une, il faut nécessairement admettre en même temps celles de l'autre, et inversement. La seule, l'unique différence qu'on puisse trouver entre ces deux cas de la Géométrie et de l'Algèbre, consiste en ce que, dans l'un, le changement d'ordre et la non-existence de certaines grandeurs sont manifestes et sautent pour ainsi dire aux«yeux, en sorte qu'on se voit arrêté dès les premiers pas qu'on veut faire ; tandis que, dans l'autre, au contraire, rien ne pouvant avertir du changement survenu et tout restant explicitement le même, on continue le raisonnement d'une manière involontaire, sans qu'il soit possible de s'en douter. Or cette différence ne touche nullement le fond des choses et ne tient qu'à la manière de les présenter au point de vue particulier sous lequel on les considère ; ainsi, tout reste semblable de part et d'autre, et la distinction qu'on voudrait établir serait illusoire et nullement fondée.

32. Il a été, sans doute, bien naturel aux algébristes qui firent usage les premiers de caractères abstraits dans le calcul pour représenter les grandeurs numériques, de supposer

SUR LE PRINCIPE DE CONTINUITÉ. toy

que les formules obtenues par les transformations propres à ce calcul, pussent appartenir, non-seulement à la question proposée en particulier, à l'ordre de grandeur actuellement admis entre les quantités du système, mais à toutes les questions possibles qui ne diffèrent de la première que par un changement dans la valeur absolue, dans les signes et dans la nature même de ces quantités; car, ayant négligé, dans la suite des raisonnements sur lesquels s'appuient les transformations algébriques, d'avoir égard aux grandeurs implicitement attribuées aux lettres, ils ont dû nécessairement en conclure que ces transformations restaient les mêmes dans tous les cas possibles, ainsi que le résultat final qui est la conséquence de ces transformations. Mais on peut apercevoir, par ce qui précède, qu'agir ainsi c'est réellement abandonner le raisonnement synthétique ordinaire, que c'est supposer enfin, au moins d'une manière tacite, que l'on puisse opérer et raisonner indifféremment sur les quantités implicitement négatives, imaginaires, etc., comme sur les quantités absolues et réelles ; or, qu'est-ce qui peut justifier à priori cette hypothèse? n'est-ce pas, comme l'a dit l'illustre Carnot, l'accord constant et la conformité qui régnent entre les conséquences de cette manière de raisonner et celles du raisonnement ordinaire employé en^rithmétique et en Géométrie ?

On peut se convaincre en outre, en se reportant à l'origine de l'Analyse algébrique, que ce n'est pas l'admission ouverte des êtres de raison qui a conduit au principe d'extension des formules de cette Analyse, mais bien au contraire l'admission involontaire et tacite de ce même principe qui a conduit aux êtres de raison et, en général, à toutes ces "notions métaphysiques qui en sont la conséquence nécessaire, notions repoussées ou méconnues des Anciens, et qui, de nos jours, sont devenues si familières, que nous leur accordons la même confiance qu'aux vérités regardées généralement comme les plus rigoureuses et les mieux démontrées.

33. Quoi qu'il en soit, les premiers algébristes admettant, d'une part, la généralité des résultats de l'analyse, et rejetant, de l'autre, les valeurs négatives et imaginaires toutes les fois qu'elles se présentaient à eux sous une forme explicite etappa-

3a8 IV CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES

rente, agissaient contradictoirement à leurs principes, même quand ces xésultats n'exprimaient que des opérations explicites et réellement possibles (*), car rien n'empêche que le raisonnement et la suite des transformations qui y ont fait parvenir n'aient porlé, ainsi que nous l'avons déjà fait voir, sur des expressions implicitement négatives ou imaginaires, a — 6, y/a — 6, qui, ayant ensuite changé de forme par suite des opérations diverses du calcul, soient redevenues réelles et n'aient plus laissé aucune trace d'incompatibilité dans les conséquences finales de ce calcul.

Ce n'est que depuis que îes géomètres adoptèrent ouvertement ces formes extraordinaires et convinrent de les traiter, sans aucune distinction, comme les quantités absolues et réelles, que l'admission du principe de continuité en Algèbre devint, sinon motivée d'une manière rigoureuse, au moins logique et rationnelle dans les conséquences qui en dérivent. C'est, redisons-le, aux immortels travaux d'Euler, de Lagrange et d$s profonds géomètres qui les suivirent, que la science doit d'avoir franchi ce pas vraiment sublime et digne de l'attention la plus sérieuse de nos philosophes. Les doutes qu'élevèrent, dans le même temps, quelques autres géomètres ne purent ébranler la confiance établie; l'Analyse algébrique avait fait, dès lors, des progrès si considérables, Sa certitude avait été constatée dans tant de circonstances différentes par la conformité de ses résultats avec ceux du raisonnement ordinaire, qu'il devint également impossible de rétrograder ou de s'arrêter dans la route déjà ouverte; on continua donc de généraliser et d'abstraire sans cesse les objets des conceptions algébriques. Quels heureux résultats ne sont-ils pas dus à cette marche hardie, mais rapide et sûre, qu'a embrassée pour toujours l'esprit humain ! Que ne doit-on pas en espérer encore pour l'avenir!

(*) Aujourd'hui encore (i863), on repousse de certains calculs et raisonnements les expressions symboliques « ou -, — ou o, sans prendre

garde qu'en les admettant à priori comme limites idéales des grandeurs, elles peuvent donner de la généralité et de l'extension à la langue algébrique, sinon toujours de la clarté et de la rigueur.

SUR LE PRINCIPE DE CONTINUITÉ. 3ag

34. , Ce que nous venons de dire du principe d'extension admis, sans raison suffisante peut-être, par les algébristes, doit aussi s'entendre du principe de continuité tour à tour admis et repoussé de nos jours dans les spéculations de la Géométrie : tant qu'on n'y aura pas adopté ouvertement les conséquences et le langage implicite et figuré auxquels il entraîne inévitablement, tant qu'on n'y recevra ce genre de démonstration qu'avec des restrictions plus ou moins grandes, on tombera dans des difficultés et des contradictions inextricables, et les résultats qui pourront s'en déduire ne seront ni logiques, ni rigoureusement nécessaires. L'admission ouverte de tels principes conduira, il est vrai , à des difficultés singulières, à des vérités paradoxales; mais ces difficultés, ces paradoxes subsistent également dans l'Analyse algébrique et n'ont pourtant point arrêté sa marche ni ses progrès. Est-il raisonnable de repousser en Géométrie ordinaire des notions généralement admises dans la théorie des coordonnées, et dont personne ne conteste plus aujourd'hui la rigueur? Pourquoi deux langages, deux manières différentes de raisonner dans une même science, la science de l'étendue ? Qui empêcherait enfin de recourir en Géométrie à ce précepte de d'Alembert, devenu fameux pour avoir été si souvent répété : Allez en avant, et la foi vous viendra! Mais revenons à l'Algèbre pure dont ces réflexions nous ont un instant écartés.

35. On a pu voir, par ce qui précède, comment les géomètres qui cultivèrent l'Analyse algébrique dès le temps de Viète, époque à laquelle il faut rapporter véritablement l'origine et la naissance de la généralité de cette Analyse (*), on a

(*) Avant cette époque, l'Algèbre n'était que la science des nombres : Viète, l'un des hommes qui honorent le plus la France et l'humanité, a eu l'heureuse et philosophique idée de représenter indistinctement toutes les grandeurs par des caractères alphabétiques, et par là il changea totalement la face des sciences mathématiques; il ouvrit à d'esprit humain une route entièrement nouvelle et sûre, au moyen de laquelle il put désormais s'élever aux plus sublimes abstractions ! L'Algèbre devint dès lors une langue véritable, la langue du raisonnement abstrait et mathématique, mais non pas simplement, comme le veut Newton, une Arithmétique universelle : elle devint la langue de tout ce qui est susceptible de

33o IV CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES

pu voir, dis-je, comment ces géomètres parvinrent naturellement, et sans pour ainsi dire le vouloir, à ces formes extraordinaires, à ces êtres de raison qui paraissent contrarier et confondre l'entendement, quand on veut les considérer en eux-mêmes et leur appliquer les notions ordinairement admises pour les êtres réels et absolus. Cela vient évidemment de ce qu'ils ont représenté les grandeurs limitées et finies par des caractères étrangers à ces grandeurs, et qui, n'en conservant plus de traces, laissent, malgré celui qui les emploie, à ces grandeurs , une indétermination absolue qu'elles n'ont réellement pas, éteignent en lui, en quelque sorte, le souvenir de la mesure, du rapport, et le forcent à raisonner d'une manière purement implicite, sur les combinaisons abstraites du calcul , sans lui permettre d'apercevoir quelle est la nature des expressions algébriques qui sont le résultat de ces combinaisons, et par conséquent aussi ne lui permettent pas de re-

rapport, de mesure ; en dépouillant les quantités (le ce qu'elles peuvent avoir d'étranger à l'essence de la grandeur abstraite, elle ramena tout à des lois générales; elle plana également (expression de Lagrange) sur l'Arithmétique et la Géométrie, sans devenir, à proprement parler, une véritable Géométrie; car elle ne raisonne pas sur les formes elles-mêmes, en tant que décrites et figurées dans l'espace; elle n'envisage que les rapports d'étendue qui appartiennent à ces formes, et c'est la Géométrie qui les lui livre d'abord, et qui en interprète ensuite les transformations sur la figure.

Quoi qu'il en soit, et gardons-nous de l'oublier, c'est en essayant de soumettre aux combinaisons du calcul les questions de la Géométrie ordinaire, où toutes les quantités sont nécessairement représentées par des caractères étrangers à la grandeur, que Viète eut l'idée d'introduire les lettres alphabétiques en Algèbre; c'est donc à la Géométrie, ou plutôt aux conceptions géométriques, que le calcul algébrique est redevable de son plus beau perfectionnement. Osons le dire, les perfectionnements ultérieurs qu'a reçus ce calcul depuis Viète, sous le rapport de la généralité et de l'extension de ses résultats, ne furent qu'accessoires et subordonnés à celui-là : telle est la notation des exposants de Descartes, qui, en tant qu'elle servi f d'abord à remplacer l'expression d'un nombre déterminé de facteurs égaux, n'offrit qu'une abréviation précieuse en ellemême, sous le rapport de la facilité des opérations, mais qui étendit bientôt d'une manière prodigieuse la puissance du raisonnement algébrique, dès l'instant où, saisissant l'idée de Viète, on remplaça à son tour l'expo-

SUR LE PRINCIPE DE CONTINUITÉ. 33i

connaître s'il cesse implicitement de suivre la marche rigoureuse du raisonnement explicite ordinaire.

36. Qu'on ne croie pas néanmoins que ces étranges conséquencesde l'Analyse algébrique tiennent uniquement à la faculté qu'elle a de représenter les opérations par des signes conventionnels» ni même à l'emploi qu'elle fait de notations particulières; car, sans faire usage de ces signes et de ces notations, on peut arriver, d'une manière tout à fait directe et également simple, à toutes ces conséquences, en continuant à se servir du discours ordinaire ; il suffit, pour cela, de désigner les quantités absolues qu'il s'agit de considérer, par des dénominations vagues et abstraites, qui fassent perdre de vue l'ordre de leurs grandeurs relatives dans le cours des raisonnements qu'on leur applique (*); car, le résultat 'final de ces raisonnements ne conservant plus aucune trace des transformations

sant numérique par un indice abstrait, en lui-même vague et indéterminé,

par une lettre; car cette lettre ne portant plus avec elle la trace de la

grandeur effective quelle représente, les géomètres s'habituèrent peu à peu

à la regarder comme négative, irrationnelle et même imaginaire, et cela,

quelquefois, sans en avoir l'intention expresse, sans même s'en douter.

On en peut dire, à certains égards, autant de la notation des factorielles

de Kramp; cependant, que signifie cette notation dans l'état actuel de

nos connaissances» quand l'indice est quelconque, par exemple irra-

dnY tionnel , imaginaire? Que signifie le coefficient différentiel -737 d'une

fonction variable de x, quand n est seulement fractionnaire? On n'a pas jusqu'ici encore, ce me semble, eu l'idée de s'en occuper d'une manière directe et approfondie, ou plutôt le calcul n'a pas encore conduit à une telle généralité de conception. Cependant, cette dernière question ne diffère pas essentiellement des deux autres, et, toutes les fois qu'on créera une notation nouvelle, on sera conduit aux mêmes recherches; si l'on trouve ensuite une expression générale et d'une forme «déjà connue en Algèbre qui équivaille à cette notation pour un indice abstrait, elle aura un sens réel et bien déterminé sous le rapport purement algébrique, et elle ne sera plus, dans sa généralité, un objet entièrement illusoire de notre imagination. {Note de 1818.)

(*) On pourrait, par exemple, désigner, dans le discours ordinaire, par les mots rouge, blanclie, noire, etc., les diverses quantités que l'on considère, et c'est ainsi, comme on sait, qu'en Usèrent dans leur Algèbre

33a IV CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES

qu'il aura fallu faire subir aux rapports primitivement donnés, et n'étant même plus que l'indication générale des relations nouvelles qui existent entre les grandeurs indéterminées du système, il arrivera alors ce qui arrive dans l'Analyse algébrique elle-même, qu'on se verra, malgré soi, entraîné à regarder ces relations comme appartenant et demeurant applicables à tous les états possibles du système; rien, en effet, ne rappellera, dans le discours qui traduit ces relations,

l'échelle de grandeur des objets sur lesquels il porte.

Quand une fois oïl a admis cette extension indéfinie des résultats du raisonnement, on se voit bientôt jeté dans les considérations métaphysiques des quantités négatives, infinies, imaginaires, qui en sont la conséquence nécessaire, et

les géomètres indous, longtemps avant qu'on songeât à employer les lettres en Europe. [Voir la Notice curieuse publiée par M. Terquem dans le IIP volume de la Correspondance polytechnique.) C'est encore ainsi que les algébristes du xvic siècle parvinrent à la résolution des équations du 3e et du 4e degré. A cette époque , les lettres n'étant point encore introduites dans le calcul, on ne pouvait évidemment arriver à des résultats généraux et applicables à tous les cas, qu'au moyen du langage ordinaire, et de là sans doute dérive le nom de formule appliqué à toute expression algébrique qui indique une série d'opérations à effectuer en général sur certaines grandeurs pour en trouver d'autres. L'inconnue du problème se désignait alors par le mot casa (chose), et il est digne de remarque que cette seule dénomination abstraite a suffi pour donner au raisonnement toute l'indétermination possible et pour le rendre purement implicite. Aussi les algébristes furent-ils conduits, dès les premiers siècles, aux formes négatives et imaginaires. C'est donc à cette seule idée de remplacer les grandeurs par des indices abstraits, que l'Analyse algébrique doit sa puissance et sa prodigieuse généralité; c'est par là qu'elle se distingue véritablement de la théorie des nombres ou de l'Arithmétique proprement dite, « L'Algèbre, dit notre illustre Lagrange (page vi » de l'introduction au Traité de Ut résolution des équations) n'est pas » précisément Y Arithmétique universelle; son objet n'est pas de trouver » les valeurs mêmes des quantités cherchées , mais le système d'opéra- » tions à faire sur les quantités données pour en déduire les valeurs des » quantités qu'on cherche dans les conditions du problème, » Elle a pour but, en d'autres termes, non l'évaluation, mais la détermination générale et la construction des inconnues au moyen des quantités données.

(Note de 1818.)

ainsi la connaissance des unes et des autres aurait pu précéder, de longtemps, la découverte de l'Algèbre proprement dite.

37. On doit voir par là, si je ne me trompe, que si l'emploi de telles considérations ou qualifications a jusqu'ici constitué le caractère propre de l'Analyse algébrique, celui qui la dislingue éminemment des autres sciences de la grandeur, ce n'est pas un motif pour croire qu'on ne puisse en introduire l'usage dans ces sciences, et en particulier dans la Géométrie rationnelle, sans en altérer le degré de ligueur ou de certitude et sans y introduire les procédés du calcul algébrique ; car il suffit qu'on y admette le raisonnement purement implicite ou les conséquences de ce genre de raisonnement, tout en repoussant d'ailleurs l'emploi des opérations en quelque sorte hiéroglyphiques, mnémoniques et mécaniques qui appartiennent en propre à ce genre de calcul.

38. Dans le fond, cette manière de raisonner et de procéder à la recherche de vérités nouvelles ne diffère pas autant qu'on pourrait le croire de celle qui a été adoptée, dans certaines circonstances, par les Anciens, marche à laquelle ils donnaient, comme nous, le nom d'analyse (*). Par elle, en effet, ils admettaient, à priori, comme vraie et existante telle proposition, telle construction qu'il s'agissait de démontrer ou de découvrir; partant ensuite de celte hypothèse, ils parvenaient, par une série de raisonnements bien liés, à ramener l'objet de la question à une proposition ou à une construction plus explicite ou plus élémentaire. Quand cette dernière expression du raisonnement se trouvait être une vérité ou une construction déjà connue et démontrée, quand enfin le résultat, la conclusion n'offrait en soi rien d'absurde, de contradictoire ou d'impossible, la proposition de l'hypothèse était justifiée, l'objet de la construction était établi ; c'est-à-dire

(*) Voir le Discours préliminaire de la Géométrie de M. Lacroix, page 3 de la 3" édition : ce savant professeur y rapporte la traduction d'un passage du VIP livre des Collections mathématiques de Pappus, qui renferme une définition complète de Y analyse et de la synthèse employées par les Grecs dans les recherches mathématiques.

(Note fie 1818.)

334 IVe CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES

qu'on avait déterminé la dépendance explicite qui lie la proposition de l'hypothèse à des propositions déjà connues, et celle qui subsiste entre les quantités inconnues d'où Ton part avec les quantités données; le but de l'analyse se trouvait ainsi rempli.

Pour établir cette série de raisonnements, les Anciens se voyaient naturellement forcés d'admettre dans le discours et la conception, des grandeurs indéterminées ou implicites, c'est-à-dire des lignes et des combinaisons de lignes dont on ne connatt, en réalité, ni la position, ni la grandeur absolue, ni même, bien souvent, l'existence géométrique. Les raisonnements établis sur les unes et les autres n'avaient donc aucun des caractères qui constituent le raisonnement explicite; la proposition et la construction de l'hypothèse pouvant être impossibles, les lignes inconnues et les auxiliaires pouvaient l'être elles-mêmes; mais, dans le cas contraire, comment affirmer que telle ligne auxiliaire adoptée dans la figure, rencontre effectivement telle ou telle ligne supposée connue, donnée à priori, et qu'en conséquence telle ou telle relation métrique ou descriptive auxiliaire, admise dans le discours ou le raisonnement, se rapporte effectivement à des objets, à des grandeurs réelles? Sans doute que les Anciens avaient recours à l'inspection attentive de la figure; mais s'il arrive que le tracé de cette figure avertisse, dans quelques cas très-simples, de la non-existence de certaines lignes, cela ne saurait plus avoir lieu quand la figure est tant soit peu compliquée, et encore moins quand les lignes n'en sont pas construites et seulement déterminées par certaines conditions, comme de passer par des points donnés; d'ailleurs, les lignes auxiliaires ou inconnues ne sont qu'hypothétiques et n'ont pas la situation qui leur convient. Si ces dernières lignes faisaient partie intégrante de la proposition ou de la figure à laquelle il s'agit de parvenir, les circonstances diverses qu'elles pourraient présenter à l'égard des autres, donneraient naturellement lieu à examen de la part du géomètre qui prétend être rigoureux, parce que ces circonstances influent directement et modifient le résultat qui s'y rapporte; les lignes auxiliaires, au contraire, ne laissent plus aucune trace et disparaissent du résultat final.

Ainsi, les Anciens ont, comme nous, employé le raisonne-

ment sur des quantités implicitement imaginaires, infinies, etc., qui n'avaient dans le discours et dans la pensée qu'une existence de signe, et c'est par la contemplation scrupuleuse et souvent pénible de la figure, qu'ils ont pu éviter l'emploi explicite et manifeste de ces sortes de quantités, à peu près comme le faisaient les algébristes des xvie etxvue siècles, quand les formes négatives et imaginaires se présentaient à eux à la suite des calculs ou de quelque substitution particulière faite dans une formule. Aussi les uns et les autres ne se fiaient-ils pas tellement à la forme du raisonnement analytique, qu'ils ne se crussent obligés de le refaire en employant une marche inverse, la synthèse, dans laquelle on part d'une proposition ou d'une construction déjà connue, pour s'élever de proche en proche jusqu'à la vérité ou la proposition à laquelle on veut parvenir.

39. Les philosophes ont beaucoup disserté sur la véritable signification des mots analyse et synthèse, sans qu'ils soient parvenus à s'entendre d'une manière parfaite; les uns n'ont vu qu'analyse là où les autres ne voyaient que synthèse, et réciproquement.

On n'est guère mieux d'accord en Géométrie : tantôt on nomme indifféremment synthèse et analyse les deux marches inverses, progressive et rétrograde , du raisonnement ordinaire ; tantôt on appelle analyse tout mode de raisonner qui s'appuie sur le calcul algébrique, tandis que Ton nomme au contraire synthèse celui où l'on se refuse l'usage du même calcul. 11 semble cependant que, si l'on voulait s'en tenir à la définition donnée par les Grecs dans le passage cité des Collections de Pappus, il ne saurait plus y avoir aucun sujet de discussion ni de doute ; car celte définition est aussi claire qu'elle est complète. Quoi qu'il en soit,c'est pour éviter toutes ces difficultés et pour rendre nos discours plus concis que nous avons mis en usage les mots : raisonnement implicite, raisonnement explicite, afin de distinguer entre elles, d'une manière positive, les deux formes générales sous lesquelles il est possible de raisonner en mathématiques.