Concluons enfin, de toutes les discussions qui précè

336 IVe CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES dent, que V extension attribuée aux résultats de F Algèbre pure n'est pas mieux démohtrée dans cette science qu'en Géométrie elle-même ; qu'à la vérité elle s'y présente d'une manière plus naturelle et, pour ainsi dire, à Vinsu du calculateur, mais, qu'elle n'en est pas moins une hypothèse gratuite, justifiée seulement par le fait d'une longue expérience et la conformité de ses résultats avec ceux du raisonnement explicite ordinaire; qu'en un mot, ce principe hypothétique de généralisation et d'extension constitue, jusqu'ici, une de ces vérités premières qu'il est impossible de ramener à des idées et à des notions plus simples, parce quelles ont leur source et leur certitude immédiates dans notre manière de voir autant que dans les faits eux-mêmes, dans la nature des choses.

Concluons aussi que, à moins de vouloir se traîner éternellement sur les traces des géomètres de l'école d'Alexandrie, à moins d'abandonner entièrement la route nouvelle que nous ont ouverte les grands hommes qui font la gloire des temps modernes, il faut, de toute nécessité, adopter ce principe dans la Géométrie rationnelle, avec toute la généralité qu'il comporte, et cela indépendamment de l'Analyse algébrique elle-même, et sans s'inquiéter des notions et des conséquences singulières ou paradoxales qui peuvent en découler; car, si l'on veut être conséquent et logique comme le furent toujours les Anciens, il faut, ou l'admettre ouvertement et dans toute sa généralité, ou le bannir à jamais du domaine de la Géométrie et de celui de toutes les sciences exactes qui se fondent sur l'Analyse algébrique.

CONSÉQUENCES QUI RÉSULTENT DE l' ADMISSION OUVERTE DU PRINCIPE DB CONTINUITÉ EN GÉOMÉTRIE RATIONNELLE.

M. Nous avons examiné, dans ce qui précède, le principe de continuité dans son origine primitive, dans les raisons et les hypothèses qui le firent admettre tacitement ou involontairement dans la Géométrie rationnelle et dans l'Analyse algébrique : il nous reste à l'étudier en lui-même et dans les conséquences générales qu'il entraîne par son admission ouverte en Géométrie pure, afin d'en acquérir une notion assez précise

et assez claire pour prévenir toutes les difficultés et les paradoxes auxquels ce principe, mal entendu, peut facilement conduire dans les applications particulières.

Le principe de continuité, considéré dans la Géométrie rationnelle,'consistant en ce que (21, 22) les propriétés métriques ou descriptives d'une figure donnée demeurent applicables, sauf les variations de signes et de position des parties, à toutes les figures corrélatives définies d'après l'art. 6, ce principe suppose naturellement que, dans la figure type, celle d'où l'on part et à laquelle on rapporte, au moins tacitement, les autres, tes objets et les grandeurs considérés soient tous réels et géométriques; car, par hypothèse, les relations primitives ont été démontrées d'une manière entièrement rigoureuse au moyen du raisonnement explicite ordinaire; l'esprit humain, en effet, ne peut arriver à des vérités certaines et incontestables qu'en procédant du connu à l'inconnu, du réel à ce qui ne l'est pas : c'est là sa marche invariable et nécessaire. Si donc une relation, actuellement donnée entre les objets d'une figure géométrique, concerne déjà un état idéal de cette figure, ou indique des opérations qui ne soient pas absolues, ce ne peut être que parce qu'on en a étendu tacitement la signification à cet état, en invoquant le principe de continuité, ou parce qu'on a fait usage, pour y parvenir, du raisonnement implicite, qui est tout à la fois le fondement et la conséquence de ce principe ; cette relation a nécessairement son origine dans un état antérieur où tout était réel et absolu; voilà-ce qu'il faut admettre, au moins quand il s'agit de procéder d'une manière certaine à l'examen d'une vérité, d'une notion à établir ou justifier, et c'est ce qu'il ne faudra jamais perdre de vue dans ce qui va suivre.

42. D'après la nature même des choses, le principe de continuité est immédiatement applicable à tous les états réels et absolus d'un même système qui se transforme par degrés insensibles, et nous avons vu que, dans ce cas en effet, il se présente d'une manière si naturelle, qu'il peut être regardé comme un véritable axiome, et qu'il a été admis comme tel, au moins d'une manière tacite, dans presque toutes les recherches soumises à l'influence du calcul algébrique. Malgré