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ce haut degré d'évidence que porte avec lui, dans les circonstances semblables, le principe de continuité, on ne doit pourtant pas oublier que, même alors, son admission est purement gratuite ; car si les figures dérivées restent en corrélation absolue et réelle, quant aux parties dont elles se composent explicitement, avec la figure d'où elles proviennent, elles ne le sont souvent pas, quant aux auxiliaires qu'il faut y introduire pour parvenir, par le simple raisonnement, aux relations définitives ; il arrive, en effet, que ces auxiliaires, par lesquelles on a dû passer, ne laissent plus aucune trace dans ces relations définitives.
Quoi qu'il en soit, il n'y a évidemment aucune difficulté à admettre le principe pour tous les états réels et absolus d'une figure ; or, il résulte de là même qu'il ne saurait y avoir de contradiction à l'y admettre, au moins idéalement, pour tous ceux des états de cette figure où certains objets seraient devenus impossibles, pourvu qu'on ait soin de ne rien prononcer, avant un examen exact et rigoureux, sur l'existence et la nature de ces objets et de ceux qui en dérivent d'après les lois du système. Car si, après un tel examen, on a reconnu qu'en effet certains objets ou certaines grandeurs ont cessé d'être d'une manière géométrique, on sera par là même averti que l'existence qu'on leur supposait est purement hypothétique, et que la relation qui les concerne est elle-même idéale à l'égard de ces objets.
Ainsi le principe de continuité n'exprime dans sa généralité rien que de relatif : en prononçant sur la permanence des relations, il ne prononce nullement sur la nature et l'existence absolue des objets ou des grandeur! que ces relations concernent. Cependant, ces relations cessant d'exprimer quelque chose de réel quand certains objets ont perdu leur existence géométrique, on ne voit pas quel sens on devra leur attribuer ni comment il faudra les interpréter d'une hianière rationnelle dans les applications. Or, je dis qu'alors même elles ne sont devenues ni absurdes ni insignifiantes, et qu'elles servent encore à caractériser et à déterminer la véritable nature du système auquel elles s appliquent, par l'incompatibilité des dépendances qu'elles expriment entre les objets demeurés réels et ceux qui, au contraire, ont perdu toute existence géométrique individuelle.
43. Considérons, en effet, une figure quelconque jouissant d'un certain nombre de propriétés métriques ou descriptives, que nous supposerons n'exprimer actuellement rien que de bien réel et de bien intelligible (M) : on pourra évidemment regarder ces propriétés comme propres à définir et à caractériser la dépendance graphique qui lie entre elles les parties du système que ces propriétés concernent, et, en particulier, on pourra les regarder comme propres à construire numériquement ou graphiquement celles de ces parties qui doivent précisément perdre leur existence géométrique en vertu du passage de la figure actuelle à celles qui lui sont corrélatives, et par conséquent regarder ces parties elles-mêmes comme les inconnues d'un problème.
Pour la figure primitive, ces relations ou propriétés étant par hypothèse concordantes, les objets qu'on suppose inconnus seront définis et construits d'une manière absolue par elles ; dans les figures corrélatives, au contraire, ces relations pourront devenir incompatibles entre elles en ce sens que les constructions correspondantes, cessant de concorder dans leur détermination graphique supposée, manifesteront l'impossibilité actuelle des objets inconnus, ou, si l'on veut, leur non-existence géométrique. Les relations qu'on examine sont donc encore vraies, en ce sens qu'elles expriment l'état véritable du système 9 et qu'elles servent à caractériser ia nonexistence même des objets.
M. Considérons, par exemple, une circonférence de cercle et le système de deux tangentes à celte circonférence ; on sait que leur ensemble jouit de cette propriété que le centre du cercle, le point de concours des deux tangentes et leurs points de contact sont distribués sur une autre circonférence de cercle, ayant la distance des deux premiers points pour diamètre; or, cette propriété cesse d'être absolue quand le point de concours des deux tangentes passe du dehors au dedans du cercle; les deux tangentes correspondantes deviennent en effet impossibles. Cependant, cette propriété n'est pas, pour cela, devenue absurde ou insignifiante ; car, en considérant la dépendance graphique qu'elle exprime comme propre à construire les points de contact et leurs tangentes, lorsque le cercle et le point
34o IV CAHIER. - œNSFDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES de concours de ces tangentes sont donnés , on voit que cette dépendance est encore vraie quand le point de concours est renfermé dans la circonférence du cercle, en ce sens qu'elle cesse naturellement de construire, d'une manière réelle, les points de contact correspondants. En effet, alors les deux circonférences qui doivent les contenir simultanément se trouvent renfermées Tune dans l'autre, et ne sauraient par conséquent s'entrecouper d'une manière effective.
La même chose se dirait de la relation connue entre l'ordonnée et l'abscisse du cercle, et, en général, de toutes les' relations descriptives ou métriques qui appartiennent aux figures ; la raison en est encore que, d'après la nature même de ces relations, elles ne cessent d'exprimer quelque chose de possible, qu'en même temps que les grandeurs qu'elles sont propres à construire deviennent imaginaires, en sorte qu'elles demeurent toujours d'accord avec l'état véritable de la figure; ainsi, il n'y a ni erreur ni contradiction à admettre, dans tous les cas, ces relations comme propres à définir et à caractériser la nature vraie de cette figure.
45. Remarquons cependant que, quand plusieurs relations sont nécessaires pour déterminer et construire certain objet qu'on regarde actuellement comme inconnu dans la figure, il peut fort bien se faire qu'individuellement ces relations ou propriétés n'expriment rien d'absurde ni d'impossible: c'est ce qui arriverait, par exemple, dans la proposition ci-dessus examinée si, faisant abstraction du cercle donné, on ne considérait que celui qui, passant par le centre de ce cercle et par le point de concours des tangentes, doit contenir les points de contact de ces mêmes tangentes, car ce cercle ne cesserait jamais de subsister : dans ces circonstances, les relations ne deviennent . incompatibles que dans leur simultanéité, et, sous ce point de vue, elles n'en sont pas moins propres à caractériser la nature véritable du système.
On arriverait à des paradoxes fort étranges si, au lieu de considérer le système complet des relations qui définissent et construisent d'une manière directe la figure qu'on examine, on n'avait égard seulement qu'à quelques-unes d'entre elles; car ces relations sembleraient établir des dépendances tou-
jours réelles entre les objets de cette figure, et seraient ainsi en contradiction manifeste avec ce qui se passe en effet.
46. Considérons, par exemple (Jig. 148 et i49» p* ^07), le système d'un cercle O et de deux sécantes SA et SC rencontrant ce cercle en A et B, C et D respectivement : on. a, comme on sait, SA.SB = SC.SD; or, cette relation demeure toujours réelle dans sa forme et dans son énoncé, même quand l'une SC, des deux sécantes, vient à ne plus rencontrerle cercle, ce qui paraît au premier abord contradictoire et absurde; mais cela ne l'est pourtant pas, si l'on considère que la relation examinée ne suffit pas à elle seule, pour définir et construire les deux points C et D, car il y a deux inconnues SC et SD.
Qu'on abaisse en effet, du centre O, la perpendiculaire OK sur la sécante SC, on aura la nouvelle relation
2SK = SC-+-SD,
qui exprime, il est vrai, comme la première, une dépendance toujours réelle, mais qui, étant incompatible avec elle pour toutes les circonstances où la sécante. SK sort du cercle, sert par là même à caractériser et à définir l'état du système, et lui demeure ainsi applicable dans tous les cas possibles.
W. De ce que certaines relations appartenant à une figure donnée sont individuellement réelles, on ne peut donc pas affirmer que les objets auxquels elles correspondent et qu'elles servent à construire, soient eux-mêmes toujours possibles; pour le faire avec certitude, il faut que ces relations soient en nombre suffisant pour les définir et les déterminer d'une manière complète; ainsi, de ce que l'on a trouvé, art. 44, que les points de contact des tangentes examinées doivent se trouver sur une circonférence de cercle toujours constructible et toujours réelle, il ne suit nullement que ces points et les tangentes qui leur appartiennent soient eux-mêmes toujours réels ; et, en effet, ces points devant se trouver simultanément sur cette circonférence et sur la proposée, cesseront d'avoir une existence géométrique toutes les fois que l'une d'entre elles se trouvera entièrement enveloppée dans l'autre. Or, de cette simple remarque il résulte réciproquement que, de ce qu'un objet est actuellement impossible, ce n'est pas une rai-
34a IVe CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES son pour croire que les relations ou les signes qui en dépendent et qui le construisent doivent parla même cesser d'avoir une existence effective: ainsi, dans l'exemple déjà cité, quoique les deux tangentes issues d'un point intérieur au cercle donné soient inconstructibles, le cercle dont la circonférence renferme avec la proposée leurs points de contact n'en est pas moins toujours réel et possible, et il peut en être évidemment de même pour d'autres circonférences de cercle ou d'autres lignes propres à construire ou à définir ces deux points de contact et leurs tangentes.
Les considérations préliminaires de l'art. \k nous ont déjà offert l'exemple d'une figure où, certaines parties devenant impossibles, d'autres qui en dépendent d'une manière directe, sont pourtant demeurées réelles; nous pourrions, dès à présent, présenter un grand nombre de circonstances toutes semblables; mais il suffit à notre objet actuel d'en avoir fait la remarque d'une manière générale, et d'avoir ainsi signalé et détruit un préjugé géométrique, à la vérité fort naturel, fnais qui n'a aucun fondement exact : l'admettre en principe, ce serait borner le champ des découvertes, et s'exposer volontairement à des difficultés, à des contradictions continuelles. •
48. Nous pouvons conclure de ces diverses réflexions que, quand les relations ou propriétés qu'on examine sont en nombre suffisant pour construire et déterminer les objets auxquels elles se rapportent, et qui peuvent devenir impossibles dans les figures corrélatives, il ne saurait jamais exister de difficultés véritables à les interpréter et à les admettre; car alors elles indiqueront, soit séparément, soit simultanément, la non-existence des objets de la figure, et serviront ainsi, par leur incompatibilité, à définir et à caractériser, dans tous les cas possibles, le véritable état de cette figure. Les difficultés ne naissent qu'alors que, cessant d'avoir égard à l'ensemble des relations qui définissent directement la figure, on les envisage en elles-mêmes et d'une manière tout à fait individuelle ; en ce cas seulement elles peuvent paraître inintelligibles, et ne plus conserver qu'une signification purement hypothétique et idéale, comme les objets mêmes qu'elles concernent et qui ont perdu leur existence géométrique.
49. La répugnance qu'on éprouve, dans des circonstances semblables, à admettre le principe de continuité, vient uniquement de ce qu'on fait usage du sens de la vue pour aider la mémoire et guider le fil des idées et du raisonnement géométrique; il en résulte en effet, fort souvent, que la nonexistence de certaines parties de la figure devient manifeste, indiscutable, et qu'alors, n'ayant plus aucun moyen de se les représenter à l'imagination, ni aucun terme qui puisse les rappeler à la mémoire, le discours et les idées s'arrêtent indépendamment de la volonté. Cette répugnance cesse d'avoir lieu toutes les fois que la figure se complique ou que les rapports qui en lient les parties se multiplient, parée qu'il n'est plus possible alors de discerner, au simple coup d'œil, si ces rapports entraînent ou n'entraînent pas la non-existence de certaines de ces parties. C'est cette circonstance qui arrive en particulier quand ces» parties sont l'objet d'une recherche faite sur la figure, c'est-à-dire quand elles sont précisément les inconnues d'un problème qu'on se propose sur cette figure (38). C'est encore ce qui a lieu quand la figure n'est pas décrite, et c'est là sans doute une des causes de la généralité des conceptions de cette Géométrie qui considère les objets dans l'espace, et dont notre illustre Monge peut, à de si justes titres, être appelé le vrai créateur.
50. En Algèbre, comme nous l'avons déjà fait voir (29), la difficulté d'admettre dans chaque cas le principe de continuité est entièrement nulle, parce que la non-existence des grandeurs conserve naturellement un signe dans le calcul, et cela indépendamment même delà volonté de celui qui l'emploie; cette non-existence s'exprime et se présente presque toujours sous les mêmes signes explicites que la grandeur absolue et réelle;
car a — b, - — -.*> <Ja — b peuvent indiquer indistinctement
des grandeurs absolues, idéales ou imaginaires; de là vient la possibilité, la nécessité même, d'employer les êtres de raison comme les êtres réels, et de les soumettre aux combinaisons du calcul et aux formes logiques du raisonnement ordinaire.
