Ce que nous venons de dire ici de l'Analyse algébrique

344 IVe CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES s'étend évidemment ou peut s'étendre à la Géométrie rationnelle, lorsqu'on ne considère que des relations purement métriques; car, dans ces circonstances aussi bien qu'en Algèbre, les diverses grandeurs sont représentées par des lettres, signes o.u caractères abstraits, incapables en eux-mêmes de rappeler la grandeur absolue des objets qu'ils concernent. A la vérité, ces grandeurs se rapportent à une figure mise actuellement sous les yeux ; mais on peut toujours faire abstraction, par la pensée, de cette figure, et considérer les relations examinées en elles-mêmes, et indépendamment des objets figurés auxquels elles s'appliquent. Dans cette supposition particulière des propriétés métriques, on peut donc continuer mentalement et d'une manière naturelle l'existence de ceux de ces objets qui cessent d'être constructibles et géométriques, par cela précisément qu'ils sont représentés à l'aide de signes abstraits, et il n'y a interruption, ni dans la conception des relations examinées, ni dans l'expression de ces relations.

52. Pareille chose n'a plus lieu à l'égard des propriétés purement descriptives : là les termes sont l'expression des objets figurés eux-mêmes; ils les rappellent continuellement à l'esprit et à l'imagination, et il n'est pas facile de les abstraire par la pensée, de les détacher de ces objets, et, encore moins, de les combiner entre eux, quand ces objets cessent d'exister d'une manière absolue et géométrique.

L'usage et l'habitude de l'Analyse algébrique pendant deux siècles ont heureusement tranché la difficulté, en introduisant et en consacrant, dans le langage ordinaire de la Géométrie, certaines expressions qui rappellent et caractérisent les êtres de non-existence, et font même considérer ces êtres fictifs comme des objets réels dans le raisonnement et la conception. C'est ainsi que l'on a déjà reçu en Géométrie les infiniment grands et les infiniment petits , dont l'existence est purement hypothétique; car, lorsqu'on admet, par exemple, que deux droites parallèles se rencontrent à l'infini, on donne idéalement une existence indéfinie à leur point commun d'intersectioft, et par là aussi on établit l'idée de la continuité dans le mouvement possible de ce point. D'un autre côté, le mot infini rappelle la non-existence géométrique de l'objet dési-

gné, et indique que l'existence supposée est purement idéale. Il est vrai que ces notions ont encore quelque chose de naturel, et répugnent moins que celles des imaginaires ; mais cela provient purement de l'habitude, et la preuve en est que certains géomètres, peu accoutumés aux nouvelles méthodes, refusent encore de les admettre, quelque simples et rigoureuses qu'elles, puissent d'ailleurs paraître.

53. Il importe extrêmement, pour l'admission du principe de continuité en Géométrie, d'y recevoir les expressions figurées qui peuvent servir à caractériser les êtres de nonexistence ; car l'application de ce principe se bornerait, comme nous l'avons déjà fait observer, aux états réels du système que l'on considère ; il existerait des lacunes, des situations particulières, où l'on ne pourrait l'admettre même idéalement, puisque l'on manquerait à la fois d'images dans la conception et de termes dans le discours pour s'exprimer.

D'ailleurs, le but de celte admission est uniquement d'introduire l'idée de la continuité ou permanence indéfinie des lois de la grandeur figurée, continuité qui, pour être souvent fictive, n'en est pas moins propre à caractériser et à faire découvrir les lois véritables et absolues de cette grandeur.

54. C'est évidemment dans les phénomènes de la conjonction réciproque des lignes et des surfaces courbes qu'il faut aller chercher les divers caractères de la non-existence des grandeurs géométriques, et chacun de ces caractères se trouve nécessairement dans le mode par lequel s'est opérée la nonexistence, l'accident qui a précédé et accompagné cette nonexistence. Les expressions figurées naissent, à leur tour, de la nécessité de distinguer ces différents caractères afin de ne pas les confondre; car, de même qu'on a des noms pour exprimer les divers modes d'existence qu'on veut comparer, il faut aussi en avoir pour exprimer ceux de la non-existence, afin de donner à la fois de la justesse et de la précision à la langue du raisonnement géométrique. Enfin, les notions meta* physiques elles-mêmes ont leur source véritable dans la persévérance qu'on a d'appliquer l'idée de la continuité à un état purement idéal d'un système, et d'y étendre les conceptions

et les lois qui n'appartenaient qu'à l'état primitif et réel de ce système.

D'après ces idées, on voit comment il faudrait s'y prendre pour parvenir à tracer le tableau fidèle et complet de toutes les notions métaphysiques qui appartiennent à la grandeur figurée; mon intention n'est pas de l'entreprendre, il faudrait plus de hardiesse et de talent que je n'en possède pour oser livrer un tel travail au jugement de la critique sévère des géomètres: il me suffira d'avoir indiqué à de plus habiles que moi la route certaine à suivre, et d'y avoir fait les premiers pas. Je me bornerai en conséquence, dans l'impuissance de mieux faire, à présenter, à la place de ce tableau, quelquesunes des généralités dont il se compose, afin d'offrir au moins des exemples qui puissent éclairer les idées qui précèdent, et leur servir d'appui et de complément nécessaire. C'est par ces exemples que je terminerai cet écrit, dont le but spécial était l'examen du principe de continuité considéré dans son origine, dans sa nature et dans les conséquences diverses auxquelles il entraîne par son admission ouverte en Géométrie.

55. Considérons, en premier lieu, le système de deux lignes droites situées dans un même plan, et admettons (41) que, dans leur position actuelle, elles se rencontrent en un point réel; si l'on vient à écarter une de ces lignes droites de sa position primitive, en lui imprimant un mouvement progressif et continu, toujours dans le même sens et dans le plan primitif, il arrivera bientôt que le point de leur intersection commune, après s'être écarté de son origine à une distance plus grande que toute distance donnée, unira par cesser tout à fait d'être, circonstance qui aura lieu quand ces deux droites seront devenues parallèles; pour conserver, malgré cela, à ce point un signe dans le discours, qui caractérise en même temps le mode de sa non-existence géométrique, on dit qu'il est à V infini sur le plan des deux droites; or, de là dérive aussi cette notion si généralement admise :

« Le système de deux droites parallèles a son point de con- » cours placé à l'infini ; elles convergent à l'infini. »

Cette notion s'étend également à un faisceau quelconque de

droites parallèles situées ou non dans un même plan; ainsi, <( le faisceau de plusieurs droites parallèles, situées ou non » dans un même plan, a son point de concours placé à » l'infini. »

Par la même raison on dit, on conçoit que la distance du point de concours à un point quelconque donné dans l'espace est infinie, et cette distance se mesure évidemment sur une autre parallèle.

Ainsi, en vertu du principe de continuité, on applique ou Ton étend aux systèmes de droites parallèles, dont l'intersection n'est qu'idéale, les mêmes notions que celles qu'on a reconnues appartenir aux droites qui concourent en un point réel. Mais ce n'est pas tout : puisque, dans le cas examiné de deux droites situées dans un même plan, le point de leur intersection réelle est toujours unique, il faut aussi admettre, pour la continuité, qu'il est encore unique quand ces deux droites deviennent parallèles, et de là dérive cette conséquence paradoxale, mais pourtant nécessaire :

« Les deux extrémités d'une droite indéfinie se rejoignent » et se confondent à l'infini. »

56. Substituons aux deux lignes droites précédentes, le système de deux plans quelconques qui se pénètrent d'abord selon une droite réelle; en imaginant, de même, que l'un de ces plans se meuve suivant une loi quelconque, mais continue, de façon qu'il s'écarte sans cesse de sa position primitive, il arrivera un instant où la droite de son intersection avec le plan fixe, aura perdu son existence géométrique, après s'être transportée tout entière à une distance plus grande que toute distance donnée; les deux plans étant alors devenus parallèles et leurs points d'intersection ayant passé à l'infini, il en résulte que « le système de deux plans parallèles a tous ses » points de concours distribués sur une ligne droite à Tin- » fini. »

La même notion s'étend évidemment au système d'un nombre quelconque de plans parallèles.

Deux plans quelconques ne pouvant jamais se pénétrer qu'en une seule droite réelle, il faut bien aussi admettre, pour la continuité, qu'elle demeure encore unique quand les deux

plans deviennent parallèles; mais, comme chacun de ces plans renferme tous les points qui sont à l'infini sur l'autre, il en faut nécessairement conclure que, de même que les extrémités d'une droite se rejoignent et se confondent à l'infini, pareille-

' ment aussi les extrémités d'un plan indéfini se trouvent distribuées sur une seule et unique ligne droite à l'infini; mais il y a celte différence ici que cette droite, quoique regardée comme unique, a une situation entièrement arbitraire et indéterminée sur le plan que l'on considère; car, quelle que soit la direction d'une droite donnée sur ce plan, on peut toujours concevoir qu'elle se transporte d'un mouvement continu et parallèlement à elle-même jusqu'à une distance infinie et sans quitter le plan; or il faudra bien admettre alors qu'elle se confond avec la précédente ; ainsi « Tous les points situés à l'infini sur un plan doivent être

. » considérés, d'une manière idéale, comme distribués sur » une seule et même ligne droite, dont la direction est d'aillé leurs entièrement indéterminée. »

57. Maintenant, si l'on considère qu'une surface plane a pour principal caractère d'être toujours coupée par un plan arbitraire suivant une seule et unique ligne droite, située à une distance donnée ou infinie, il faudra également conclure des notions qui précèdent, et toujours par suite de l'admission du principe de continuité en Géométrie, que

a Tous les points à l'infini de l'espace doivent être considé- » rés, d'une manière idéale, comme distribués sur une seule et » unique surface plane située à l'infini , dont la direction est » d'ailleurs entièrement indéterminée. »

Quelque étranges et paradoxales que paraissent ces dernières notions, comme elles déc'oulent, d'une manière nécessaire, de l'admission du principe de continuité en Géométrie, elles doivent inévitablement se reproduire dans toutes les recherches particulières où l'on invoque ce principe, et influencer par conséquent les résultats et les conséquences qu'on en peut déduire. Nous aurons, par la suite, occasion de justifier ces notions au moyen de considérations tirées de la perspective et par des exemples nombreux déduits d'une manière directe de la simple Géométrie.

SUR LE PRINCIPE DE œNTINUITÉ. 349

58. Pour passer à des considérations et à des notions nouvelles, examinons, toujours sous le point de vue qui précède, le système d'une ligne droite et d'une courbe quelconque continue (*), situées Tune et l'autre sur un même plan; supposons encore (M) que, dans leur position actuelle, elles se coupent suivant le plus grand nombre possible de points tous réel? et distincts : si Ton vient à écarter la ligne droite de sa position primitive par un mouvement progressif et continu, mais d'ailleurs quelconque, il pourra arriver que, si la courbe a des branches illimitées, un certain point d'intersection, après s'être écarté sans cesse des autres, finisse par s'en trouver à une distance plus grande que toute distance donnée; alors ce point aura passé à l'infini et la droite sera devenue parallèle à la branche correspondante de la courbe. Cette circonstance rentrant, pour le fond, dans celle déjà examinée pour le cas de deux lignes droites, il devient inutile de s'en occuper de nouveau ; faisons-en donc, pour un instant, abstraction, et reprenons l'examen qui nous occupe.

59. Par suite du mouvement imprimé à la ligne droite, il pourra arriver aussi que deux quelconques d'entre les points d'intersection réels se rapprochent continuellement et finissent par se confondre, en cessant par conséquent d'être distincts; leur distance mutuelle se sera alors évanouie et aura perdu toute existence géométrique. Pour lui conserver, malgré cela, une existence au moins idéale, et, par suite, pour rendre les deux points d'intersection correspondants distincts dans la conception, comme ils l'étaient auparavant, on dit et l'onconçoit qu'ils sont à une distance plus petite que toute distance donnée, à une distance infiniment petite; la droite qui les renferme a alors un élément infiniment petit en commun avec la courbe proposée, elle lui est tangente, ou, ce qui re-

(*) Par ligne continue on entend, en général, une courbe dont tous les points sont soumis à un même mode de génération, c'est-à-dire à une même loi , et dont tous les éléments se succèdent sans intervalle fini et sont par conséquent contigus. Du reste, cette courbe peut se composer de la réunion de deux ou de plusieurs branches distinctes, également continues. La inéme définition s'étend aux surfaces courbes.

(Note de 1818.)

35o IVe CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES

vient au même, elle la touche, Voscule, ou a un contact du premier ordre au point considéré.

Pour chaque point individuel et chaque branche distincte de la courbe proposée, il existe évidemment, en général, une tangente unique, dont la position est assignée encore par la loi de continuité.

60. Notre ligne droite étant devenue, dans sa position* actuelle, tangente à la ligne courbe correspondante, si Ton vient à supposer qu'elle continue à se mouvoir en s'écartant toujours de sa position primitive, il pourra arriver que les deux points d'intersection que Ton considère en particulier, après s'être rapprochés à une distance infiniment petite, perdent tout à coup et simultanément leur existence géométrique, parce que la droite se sera détachée de la portion de courbe correspondante; alors, pour leur conserver une existence de signe, au moins idéale, dans le discours et dans la conception, on dit que « ces deux points sont devenus à la » fois imaginaires, aussi bien que les distances qui les sépa- » rent de tout point réel donné; » et ainsi s'établit l'idée d'une continuité indéfinie dans la commune intersection des deux lignes.

Le système des deux points examinés pourra rester dans cet état imaginaire pendant un intervalle plus ou moins considérable, et par conséquent pour une série de positions successives de la droite mobile qui les porte, jusqu'à ce qu'enfin elle redevienne tangente à la courbe, puis de nouveau sécante, et ainsi de suite d'une manière périodique. Cependant, il peut arriver que cette droite passe tout entière à l'infini : dans ce cas tous les points de son intersection avec la courbe sont évidemment eux-mêmes à l'infini ; du reste, elle pourra alors être tangente à la courbe, avoir des points imaginaires en commun avec elle, tout comme les sécantes qui sont à des distances données, et cela résulte immédiatement encore de l'admission de la continuité (*).

(*) Quoique les points à l'infini cessent véritablement d'exister d'une manière géométrique, il est pourtant essentiel de ne pas confondre ceux qui d'abord étaient réels avec ceux qui, au contraire, étaient imaginaires. Les premiers se distinguent des autres en ce qu'ils retiennent encore

Si la sécante, au lietrde passer tout entière à l'infini, prend une situation telle, que deux des points réels de son intersection avec la courbe, après s'être rapprochés sans cesse, finissent par se confondre en passant à la fois à l'infini, elle sera devenue tangente à cette courbe à l'infini, elle sera ce qu'on appelle une asymptote à cette courbe.

61. Il ne peut arriver évidemment d'autres accidents que ceux reconnus dans ce qui précède, en raison de ce que, par l'hypothèse de la continuité, les points d'une même branche de courbe sont nécessairement contigus ; on peut donc conclure qu'un point d'intersection d'une ligne courbe et d'une droite ne peut perdre son existence individuelle et géométrique que par trois modes entièrement séparés et distincts, mais d'ailleurs susceptibles de se combiner entre eux : ou parce qu'il se rapproche d'un autre point d'intersection d'un mouvement continu, en finissant par se confondre avec lui, ou parce qu'il s'en écarte, au contraire, en demeurant réel à une dislance infinie, ou enfin parce que, après s'être confondu avec le précédent en un seul, il perd, ainsi que lui et pendant un certain intervalle, toute existence géométrique absolue, c'est-à-dire physique et mathématique.

On voit par cette discussion, que, pour établir l'idée de la continuité dans la conjonction de la droite et de la courbe pendant toute la durée du mouvement de cette droite, on est obligé de conserver aux points de leur intersection commune une existence individuelle et purement hypothétique, toutes les fois qu'ils viennent à cesser d'être d'une manière absolue.

11 suit de là que le nombre de ces points d'intersection réels ou fictifs est toujours regardé comme le même dans quelque position qu'occupe la droite qui les porte, ce qui s'étend, comme nous l'avons vu, au cas même où la droite passe tout entière à l'infini. Ce nombre invariable, qui marque aussi le

quelque chose des propriétés qui appartiennent aux points géométriques et absolus. Pour ne pas créer un nouveau terme, nous disons que ce sont des points réels à l'infini et que les autres, au contraire, sont des points imaginaires à l'infini. (Note de 1818.)

35a IVe CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES

plus grand nombre possible de points tf intersection réels, est te qu'on nomme le degré de la courbe (*).

62. Nous pouvons, dès à présent, faire sentir l'utilité et la justesse des notions qui précèdent, eu présentant quelquesunes des conséquences générales qui en découlent, et en faisant voir leur liaison avec des vérités déjà connues et reçues des géomètres algébristes; parla nous jetterons quelque jour sur ces notions abstraites, et nous ferons voir comment, considérées même dans l'Analyse, elles doivent leur origine à l'admission du principe de continuité.

Soit une ligne courbe continue quelconque tracée sur une surface plane, d'après l'art. 57, tous les points à l'infini sur cette courbe doivent être regardés idéalement comme distribués sur une ligne droite unique, et, d'après l'article qui précède, le nombre de ces points est égal à celui qui marque le degré de la courbe, pourvu que l'on conserve une existence distincte, au moins hypothétique, à ceux de ces points qui sont confondus ou imaginaires. Or, il résulte immédiatement de là que si, d'un point donné sur le plan de la courbe, on conçoit des droites qui passent respectivement par ceux de ces points qui sont à l'infini, ces droites, qui seront parallèles à ses diverses branches et dont la position est assignée par la loi de continuité, se trouveront être en nombre égal à celui qui marque le degré de cette courbe, proposition qui dérive immédiatement aussi des principes reçus dans l'Analyse des coordonnées.

Pareillement, si l'on conçoit une tangente ou asymptote en chacun de ces points à l'infini, le nombre de ces asymptotes sera encore égal à celui qui marque le degré de la courbe; mais, de ces asymptotes, les unes seront imaginaires, les autres réelles et géométriques, d'autres enfin placées entièrement à l'infini; les premières correspondront à des branches entièrement fermées ou tout à fait imaginaires, les secondes à des branches hyperboliques, et les troisièmes à des branches paraboliques.

(*) Quand ce nombre est infini, la courbe est dite transcendante; elle est simplement géométrique dans le cas contraire. (Note de 1818.)

Le nombre de ces dernières sera évidemment égal à celui des asymptotes qui sont tout entières à l'infini; or, on doit alors considérer idéalement ces asymptotes comme réunies en une seule (57), avec la droite qui renferme tous les points à l'infini du plan; donc le nombre des branches paraboliques sera précisément égal à celui des points de contact distincts de la courbe avec cette droite ; chacun de ces points devant compter pour deux, leur nombre total sera, au plus,' moitié de celui qui marque le degré de la courbe.

D'après ces notions, les courbes du second degré ne peuvent avoir, au plus, que deux asymptotes; ainsi elles ne sauraient offrir que ces trois caractères distincts : deux asymptotes réelles ou deux points distincts et réels à l'infini, deux asymptotes imaginaires ou deux points imaginaires à l'infini, enfin deux asymptotes réunies en une seule à l'infini ou deux points consécutifs à l'infini.

Ce que nous disons ici d'une courbe unique peut s'appliquer aussi au système de plusieurs courbes situées sur un plan.: ainsi, par exemple, deux paraboles ordinaires, situées sur un même plan, peuvent être regardées idéalement comme ayant une tangente commune à l'infini.

Ces notions cadrent parfaitement avec celles que l'on peut déduire de l'Analyse des coordonnées; leur avantage est de rapprocher entre elles les diverses affections qui appartiennent aux courbes d'une même famille, et de déterminer, à l'avance, les caractères spécifiques qui les distinguent entre elles.

En terminant, nous ferons remarquer que nous avons fait abstraction, dans l'examen qui précède, de tous les accidents particuliers qui peuvent avoir lieu dans le cours de la courbe, comme il arrive aux points d' inflexion et de rebroussement , aux points multiples et conjugués; mais ces points ayant des positions singulières et distinctes, rien n'est changé aux conséquences générales qui précèdent, et une nouvelle discussion serait, sinon inutile, au moins peu nécessaire (*).

(*) Cette discussion serait d'ailleurs facile, car le caractère de chacun des points singuliers peut se déterminer d'une manière tout à fait directe à l'aide du principe de continuité. Ainsi, un point conjugué n'est autre