II. 3t

63. Si au lieu de considérer, comme dans l'examen qui précède, le système d'une droite et d'une ligne courbe, on considérait le système de deux lignes courbes quelconques continues, situées à la fois sur une même surface plane ou courbe et se pénétrant d'abord dans le plus grand nombre de points possibles, les circonstances déjà examinées se reproduiraient évidemment de la marne manière et dans le même ordre, lorsque l'on viendrait à faire varier l'une des deux courbes de position ou de forme à l'égard de l'autre, par un mouvement progressif et continu, et sans en changer la nature, ni par conséquent le degré et les propriétés. Ainsi, certains points d'intersection, d'abord réels, pourraient passer à l'infini, se confondre en un seul, ou devenir simultanément et deux à deux imaginaires. Mais il peut arriver, en outre, dans le cas actuel, que la courbe variable, après être devenue tangente à * la courbe fixe, lui demeure encore tangente pendant un certain intervalle, au lieu de s'en détacher brusquement, comme dans le cas qui précède, et qu'alors un troisième, un quatrième point... d'intersection vienne, par un mouvement progressif et continu, à se rapprocher de ceux confondus au point de contact jusqu'à une dislance infiniment petite; les deux courbes acquièrent alors, en ce dernier point, deux, trois,... éléments consécutifs en commun, elles ont un contact ou une oscillation du second, du troisième ordre, et ainsi de suite, pour un nombre quelconque de points réunis en un seul.

chose qu'une branche de courbe fermée, qui a acquis des dimensions infiniment petites; un point de rebroussement, une portion de branche de courbe terminée d'abord par un point multiple ou par la rencontre des deux côtés de la branche, en forme de nœud ou de boucle, et qui a acquis ensuite des dimensions infiniment petites, etc. (a).

(Note de 1818.)

(a) Plus tard, lorsque je me proposai d'approfondir davantage l'étude de* propriétés projeetives des courbes et surfaces géométriques, je rédigeai un assez long article sur ce sujet, qui devait fairo partie de l'introduction à un Traité d'ensemble, pour ainsi dire exclusivement fondé sur l'intuition géométrique et le principe de continuité; mais faute de loisirs indispensables à l'accomplissement d'une pareille œuvre, je fus contraint d'y renoncer, et me bornai à l'occasion, comme on peut le voir dans mon Mémoire souvent cité de i83o, à offrir quelques aperçus ou tentatives éparses de cette espèce. ( Note de i863.)

64. Deux courbes qui ont en commun un nombre pair d'élé- 'ments consécutifs se croisent évidemment en môme temps

qu'elles s'osculent, et elles s'enveloppent, au contraire, aux environs du contact, quand le nombre de ces éléments est impair: cela résulte immédiatement de la continuité; or, il est visible que, dans celte dernière circonstance, les deux courbes pourront se détacher entièrement Tune de l'autre aux environs du contact, en sorte qu'il y a*ura un nombre pair de points qui deviendront imaginaires, tandis que, au contraire, dans l'autre circonstance, elles ne pourront se détacher d'une manière absolue; l'un des points confondus au point de contact devra évidemment demeurer réel. Il y a donc toujours un nombre pair de points qui deviennent imaginaires, soit que ces points perdent leur existence-par groupes de deux, quatre, etc., points, soit que ces groupes deviennent imaginaires à la fois ou isolément, dan» les diverses régions des deux courbes.

I! n'en est pas ainsi des points réels qui perdent leur existence géométrique en passant à l'infini : ces points peuvent indifféremment être en nombre pair ou impair. Si l'on suppose, par exemple, que le point d'osculation qui précède vienne à s'écarter sans cesse de sa position primitive sur la courbe fixe, par un mouvement progressif et continu, jusqu'à s'en éloigner à une distance infinie, il n'y aura évidemment aucune distinction à faire entre le cas où le nombre des points qu'il représente est pair ou impair.

Quand deux courbes ont ainsi plusieurs points communs à l'infini, réunis en un seul, elles sont ce qu'on nomme asymptotiques du premier, du second... ordre, selon que ces points sont au nombre de deux, de trois, etc., etc.

Du reste, il est visible que, puisque tous les points à l'infini de l'espace doivent être regardés idéalement comme sur un plan (58), il est impossible que le nombre de ceux de ces points qui appartiennent en commun aux deux courbes, soit plus grand que celui qui marque le degré même de ces lignes courbes.

65. La position d'une courbe qui devient osculatrice ou asy m ptotique d'une autre n'est pas entièrement arbitraire et

356 IVe CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES

indéterminée; car il faut qu'elle remplisse autant de conditions distinctes qu'il y a de points qui se sont réunis en un* seul, et ces conditions sont assignées à l'avance par la loi de continuité; les points d'osculation étant donnés, ces conditions sont, en effet, que la courbe variable passe par un certain nombre de points infiniment près du premier, tous placés sur la courbe, et dont la position est par conséquent déterminée s c'est ainsi que par trois- points consécutifs d'une courbe on ne peut faire passer qu'une seule circonférence, de cercle, qui par conséquent est osculatrice du second ordre à la courbe proposée, de même que par deux points consécutifs de cette courbe on ne peut également mener qu'une seule ligne droite qui lui soit tangente ou osculatrice du premier ordre. Quant à la détermination effective, à la construction de la courbe osculatrice, elle ne peut s'obtenir qu'au moyen d'une propriété appartenant simultanément au système général des points d'intersection des deux courbes, lorsque ces points sont séparés et distincts, puis étendant ces propriétés à l'état particulier que l'on considère au moyen du principe de continuité.

66. En général, si trois ou un plus grand nombre de courbes se coupent en plusieurs points communs, tous actuellement réels, leur système jouira dans cet état de certaines propriétés métriques ou descriptives, et ces propriétés seront propres, à leur tour, à exprimer l'état particulier du système, elles seront la définition de ce système; or, il résulte du principe de continuité que ces propriétés demeureront applicables à toutes les figures corrélatives de la première (6), que cette corrélation demeure d'ailleurs réelle ou idéale; il n'y a donc pas de distinction à faire entre le cas où les points d'intersection commune sont réels et ceux où ils sont confondus en un seul, imaginaires ou placés à l'infini, soit en tout, soit seulement en partie; la conception de l'un et de l'autre de ces systèmes demeure la même, sous le point de vue idéal, et pareille chose a lieu évidemment pour les surfaces courbes. Ainsi, par la raison que trois courbes, osculatrices d'un certain ordre, peuvent être regardées comme ayant un certain nombre de points communs réunis en seul, ou séparés les uns des autres par des distances infiniment petites, on est en droit

d'affirmer que, dès l'instant où deux quelconques de ces courbes sont osculatrices d'un ordre quelconque à la troisième, elles sont nécessairement osculatrices du même ordre entre elles, et jouissent par conséquent, deux à deux, sous ce rapport, des mêmes propriétés.

Pareillement, de ce que trois surfaces sphériques, qui s'entrecoupent d'une manière réelle, sont telles, que les trois plans de leur section mutuelle concourent en une même droite, on est en droit d'affirmer la même chose de trois sphères qui cesseraient de s'entrecouper en tout ou en partie, et cette conséquence du principe de continuité, quoique au premier aspect étrange et paradoxale, suffit pour prouver que les plans de section idéale n'ont pas cessé de subsister et d'être constructibles ; car, si l'on considère deux sphères entièrement isolées, et qu'on les coupe à la fois par une même troisième, les deux plans de section réelle donneront, par leur pénétration, une ligne droite qui, d'après ce qui précède, devra appartenir au plan de la section idéale des deux sphères données; et, comme il en serait de même à l'égard d'une nouvelle sphère prise à volonté, le plan de cette section idéale se trouvera entièrement déterminé.

67. Quand une fois on a reconnu et déterminé les divers caractères et les notions abstraites ou figurées que peut présenter la conjonction (les lignes, on s'élève, sans beaucoup de peine, à ce qui peut concerner celle des surfaces courbes situées à volonté dans l'espace.

Considérons, en effet, deux surfaces quelconques, mais assujetties dans leur cours à la loi de continuité : elles se pénétreront, en général, en plusieurs branches de lignes courbes, appartenant à leurs diverses nappes, et que je supposerai actuellement être réelles et distinctes; or, si l'une des deux surfaces vient à varier de forme et de situation dans l'espace à l'égard de l'autre, par un mouvement continu qui n'en change ni la nature, ni les propriétés primitives, il pourra se faire que l'une des branches d'intersection s'étendant sans cesse , finisse bientôt pas passer tout entière à l'infini ; alors les nappes correspondantes seront devenues parallèles dans leur cours illimité, elles pourront être regardées idéalement comme

ayant en commun une section plane à l'inUni (58), mais dont la situation, bien qu'unique, est arbitraire et indéterminée.

Si Ton suppose, au contraire, que la branche examinée se rétrécisse sans cesse et finisse par se réduire à des dimensions infiniment petites, les deux surfaces auront au point correspondant un élément plan tout entier en commun, et seront tangentes ou osculatrices du premier ordre en ce point.

La surface variable, continuant à se mouvoir dans le même sens, finira bientôt par s'isoler, aux environs du contact, de la surface restée fixe, et alors la branche devenue d'abord infiniment petite cessera tout à coup de subsister d'une manière géométrique ; elle deviendra entièrement imaginaire, et continuera de rester telle pendant un certain intervalle et pour une série de positions successives de la surface variable.

68. On retombe ainsi sur les divers caractères de non-existence que nous avons déjà reconnus appartenir à la mutuelle intersection des lignes, et. l'on ne peut évidemment en obtenir d'autres en poursuivant l'examen qui nous occupe; la raison en paraîtra toute simple, si l'on considère que l'une et l'autre des deux surfaces données peuvent, à chaque instant, être regardées comme engendrées séparément par les traces de deux lignes courbes variables situées dans un même plan, mobile de situation dans l'espace. C'est d'après de semblables considérations que l'on dit que deux surfaces' quelconques sont osculatrices d'un certain ordre en un point donné, lorsque les sections planes, faites par ce point dans ces surfaces, sont elles-mêmes respectivement osculatrices de cet ordre. Pour le cas du contact du premier ordre, cette notion coïncide évidemment avec celle qui résulte de l'examen qui précède; on peut faire voir la même chose pour les contacts des ordres supérieurs au premier.

Supposons, en effet, que l'une des branches d'intersection communes aux deux surfaces étant devenue infiniment petite et s' étant évanouie au point de leur contact mutuel, une autre branche d'intersection se rapproche de ce point en restant d'une grandeur finie, jusqu'à n'en être éloignée, vers une certaine portion de son cours, qu'à une distance infiniment petite : il est visible que les deux surfaces seront devenues mu-

SUR LE PRINCIPE DE CONTINUITÉ. 35g

tuellement osculatrices du ae ordre dans le sens même de la définition qui précède ; car, toute section plane faite dans les deux surfaces par le point de contact commun donnera nécessairement deux lignes courbes, ayant d'abord deux points communs réunis en un seul ,au contact, puis un troisième point à une distance infiniment petite des deux autres, résultant de la pénétration du plan qui renferme les deux courbes et de la seconde branche dont, par hypothèse, le cours passe à une distance infiniment petite du point de contact que l'on considère.

Si la seconde branche, au lieu de passer simplement par le point de contact ou à une distance infiniment petite de ce point, se rétrécissait sans cesse et finissait par avoir des dimensions infiniment petites et par se confondre tout à fait avec la première au point de contact, les sections planes faites par ce point deviendraient évidemment osculatrices du 3e ordre, et il en serait de même des deux surfaces qui les renferment. En faisant intervenir successivement d'autres branches de Tintersection commune des deux surfaces, on s'élèverait sans peine aux contacts des ordres supérieurs.

69. Nous pourrions ici reproduire, pour les surfaces, les diverses notions que nous avons vues se rapporter aux simples lignes continues, mais cette discussion deviendrait fastidieuse par sa longueur, et il sera très-facile d'y suppléer; nous terminerons en conséquence par faire observer que, si deux branches, au lieu de s'évanouir, demeuraient finies en se rapprochant dans toute l'étendue de leur cours jusqu'à se confondre, ou, si l'on veut, jusqu'à se trouver à une distance infiniment petite, les deux surfaces acquerraient par là un contact du ier ordre suivant toute une ligne courbe; elles deviendraient osculatrices. du a% du 3"... ordre, suivant la même ligne, si une, deux. . • branches venaient, par un mouvement continu, se réunir aux deux premières. Si, dans ces diverses circonstances, les lignes de contact passaient tout entières à l'infini, les surfaces correspondantes deviendraient asymptotiques du i#r, du 2% du 3e ordre. . . , elles s'osculeraient suivant toute une section plane qui leur serait commune à l'infini (58).

S6o IVe CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES

70. Dans l'examen rapide que nous venons de faire des objets de noft-existence, nous n'avons point rencontré les quantités inverses ou négatives; la raison en est toute simple» c'est que ces êtres, qui appartiennent proprement au calcul algébrique, n'expriment que des modifications réelles arrivées dans l'état du système, tenant à un simple changement d'ordre des grandeurs absolues, ou de disposition dés objets qui composent ce système, et non pas à l'impossibilité de construire et de représenter géométriquement ces objets. Car, de ce que, en vertu des changements arrivés dans une figure, un point aura passé de la droite à la gauche d'une ligne ou d'un autre point du système, il n'y a pas là de modification assez essentielle pour qu'on ne puisse étendre la conception des relations purement métriques du premier système à celui qui lui est corrélatif, et les regarder l'un et l'autre comme un seul et même système réel, considéré dans des positions différentes.

Toutefois, si ces modifications n'influent que très-légèrement sur la conception géométrique du système, et qu'il soit inutile d'y avoir égard quant aux relations descriptives, elles n'en sont pas moins très-importantes quant aux relations purement métriques, puisqu'en vertu de ces modifications de telles relations peuvent cesser d'être immédiatement applicables au nouvel état de la figure; certaines grandeurs qui y entrent devant elles-mêmes changer de signe, et passer d'un état positif à un état négatif.

71. Les notions dont l'examen vient de nous occuper, combinées entre elles, conduisent à un grand nombre de conséquences également abstraites qu'il serait peut-être intéressant de parcourir et d'énumérer; notre but, comme nous l'avons déjà dit, n'a été que d'en donner une esquisse fort légère, afin de faire voir, d'une manière générale, comment elles découlent sans peine et naturellement de la seule admission du principe de continuité en Géométrie.

Au reste, la plupart de ces notions ne sont, à proprement parler, que des définitions de mots imprimés aux divers caractères que peut présenter la conjonction des formes géométriques ; elles ne peuvent actuellement servir qu'à rapprocher

entre eux ces différents caractères, et à les présenter à la conception sous un même point de vue, sous une unité d'origine; elles demeureraient éternellement stériles si on ne les appliquait, au moyen du principe de continuité, à des propriétés déjà connues, à des lignes ou à des surfaces dont la loi métrique ou descriptive, et par conséquent la définition génétique, fussent à l'avance bien connues.

Néanmoins, ces notions peuvent conduire à des vérités générales et nouvelles appartenant à touies les formes possibles de l'étendue, et qui deviennent par là très-propres à comparer ces formes entre elles, et à ramener ainsi l'étude de celles qui sont compliquées à la contemplation de celles qui sont élémentaires et déjà bien connues. Les écrits géométriques de nos jours sont pleins de ces vastes et utiles vérités; j'en citerai un seul exemple, pour montrer comment elles se rattachent toutes aux notions qui viennent de nous occuper :

a Lorsque deux surfaces ont dans toute l'étendue d'une )> ligne courbe un contact de l'ordre m, un plan tangent à » cette courbe, et qui coupe les deux surfaces, y produit deux )> sections qui ont un rapprochement de Tordre 2/n + i au » point de contact. »

En effet, par le point dont il s'agit et que j'appelle T, concevons un plan quelconque qui coupe de nouveau la courbe de contact aux points T', T*,..., il coupera aussi les deux surfaces suivant «Jeux lignes passant par les mêmes points T, T', T",..., et ayant, en chacun d'eux, un contact de l'ordre m, ouw + i points communs réunis en un seul (70). Cela posé, concevons que le plan, d'une direction d'abord* arbitraire tourne autour de T, de manière que le point suivant T' s'en rapproche sans cesse par un mouvement continu, jusqu'à se confondre avec lui en un seul, auquel cas le plan dont il s'agit sera évidemment devenu tangent à la courbe de contact; les deux intersections faites dans les surfaces par ce plan, qui, d'après ce qui précède, ont m -j- i points communs confondus en un seul, soit en T ou en T', en auront acquis 2(m-+-i) en commun au point de contact du plan, et seront par conséquent osculatrices de l'ordre 2 ( m -h 1 ) — i en ce point.

Si le point T" venait à se réunir aux deux premiers, c'està-dire si le plan sécant devenait osculateur de la courbe de

36a IVe CAHIER. - CONSIDERATIONS PHILOSOPHIQUES

contact, ses deux intersections avec les surfaces données auraient évidemment 3 (m 4-1) points communs réunis en un seul, elles seraient osculatrices de l'ordre 3(m+i) — i.

Enfin, les mêmes raisonnements prouvent que, si au plan on substitue une surface coupante quelconque ayant au point T un rapprochement de Tordre n avec la courbe de contact, elle déterminera, dans les surfaces données, deux lignes d'intersection qui seront osculatrices de Tordre (m -f- i)(n + 1) — 1 au même point T (*).

72. Dans ce qui précède, nous nous sommes efforcé de nous élever à toute la hauteur des notions abstraites qui découlent de l'admission du principe de continuité en Géométrie; nous avons cherché parla à donner une idée générale ei précise de l'influence qu'il exerce dans toutes les recherches où on l'emploie, et de l'importance qu'il peut un jour acquérir s'il est admis dans la Géométrie rationnelle, sans aucune restriction et dans toute l'étendue des conséquences qui lui sont propres. Dans un travail que nous nous proposons de faire paraître à la suite de cet écrit, et qui était d'abord destiné à en faire partie, nous chercherons à présenter des vérités plus particulièrement utiles; en faisant usage des conséquences du principe qui vient de nous occuper, nous tâcherons, autant que possible, de ne pas abandonner la marche du raisonnement ordinaire ; nous éviterons surtout de nous jeter, dès les premiers pas, dans les considérations métaphysiques des imaginaires, auxquelles l'esprit ne saurait s'accoutumer que peu à peu et par tine gradation insensible dans les idées. Par là nous ne risquerons pas de devenir inintelligible; nous imiterons la prudence et la circonspection des algébristes, qui n'adoptèrent qu'à la longue, et après bien des tentatives et des succès, les conséquences abstraites du principe de continuité.

(*) Dupin, Développements de Géométrie , pages m6 à a3a. (Voir à la page suivante, une heureuse application de ce genre de considérations à la théorie de la courbure des surfaces.)

ADDITION AU IVe CAHIER PAR M. MOUTARD (i863).

Nous aurions pu joindre à la démonstration du n° 71, page 36 ! , celle de plusieurs autres théorèmes tirés de l'ouvrage de M. Dupin, ou d'anciennes Notes manuscrites; mais cela eût été d'une faible importance scientifique et aurait inutilement surchargé ce volume;. il m'a paru bien plus profitable pour les lecteurs amis de la nouveauté, d'insérer à la suite de ce Cahier, l'extrait d'une lettre beaucoup trop modeste, que M. Moutard a bien voulu m'autoriser à publier, et qui aurait encore gagné en intéiêt si l'état avancé de l'impression et de la mise en pages, lui avait permis d'en développer davantage les remarquables conséquences géométriques.

« Frappé, dit notre savant professeur, de la simplicité avec laquelle » vous démontrez, à l'aide de notions uniquement basées sur la continuité, » le théorème de M. Charles Dupin, relatif à deux surfaces qui ont dans » toute rétendue d'une ligne courbe un contact d'ordre m , j'ai essayé » d'appliquer les mêmes notions à l'étude du contact d'un ordre quel- » conque de deux surfaces en un point unique, et, en suivant pour ainsi » dire pas à pas votre mode de démonstration (p. 36 1), je suis parvenu » aisément à retrouver un théorème qui me paraît digne d'intérêt et » que j'avais précédemment rencontré à l'occasion d'autres recherches.

» Considérons deux surfaces qui aient en un point À un contact d'or- » dre m, et concevons qu'un plan sécant mobile se rapproche indéfini- » ment du point A. Parmi les points communs à ce plan et à la ligne » d'intersection des deux surfaces , il y en a m -h i qui viennent à la li- » mite se confondre en A, puisque les sections des deux surlaces par les » plans qui contiennent  ont, en général, un contact d'ordre m.

» Ceci étant vrai pour toutes les directions du plan sécant, on en con- » dut que la ligne d'intersection des deux surfaces a, en général, /// + i » branches réelles ou imaginaires qui se croisent en À.

» Imaginons maintenant qu'un plan passant par À {ourne autour de ce » point jusqu'à ce que l'une de ses intersections avec l'une des m -f- 1 » branches vienne à se confondre avec lui ; il est clair que l'ordre du » contact des sections que ce plan détermine dans les deux surfaces se » trouvera élevé d'une unité, et sera par conséquent 01-f-i. Dans sa » situation finale, ce plan contient la tangente en A à l'une des branches » de la courbe d'intersection, et n'est d'ailleurs soumis à aucune autre » condition.

» Enfin, faisant tourner de nouveau ce plan autour de cette tangente » jusqu'à ce qu'il devienne ose u la leur de la branche correspondante, un

364 IVe CAHIER. - CONSIDÉRATIONS, ETC.

» nouveau point d'intersection des deux courbes, suivant lesquelles ce » plan coupe les surfaces, viendra se confondre avec Ar et l'ordre du » contact encore élevé d'une unité sera devenu m -+- a.

» En résumé, nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

» Lorsque deux surfaces ont, en un point A, un contact de l'ordre m, » elles se coupent en général suivant une ligne gaucfie dont m -+- 1 bran- » cites réelles ou imaginaires se croisent en A. Un plan quelconque, con- » tenant l'une des tangentes menées en A à ces m -f- i branches, coupe » les deux surfaces suivant des courbes dont le contact en A est d'un » ordre immédiatement supérieur m -f- 1 ; enfin , parmi tous les plans » sécants qu'on peut mener par l'une de ces tangentes, il en existe un, » à savoir le plan oscillateur de la branche correspondante, pour lequel » les sections ont un contact d'un ordre encore plus élevé m -+- a.

» Parmi les nombreux corollaires que Ton peut déduire de ce théorème » général en y joignant quelques autres considérations, je me bornerai à » citer les suivants :

» Si autour d'une tangente quelconque menée à une surface en un » point A, on fait tourner un plan} et que dans cliacune de ses positions » on construise la conique qui a en A avec la surface un contact du » 4* ordre, il existera en général deux positions, réelles ou imaginaires, » du plan sécant, pour lesquelles le contact montera au 5e ordre. L'en' » semble de toutes ces coniques forme d'ailleurs une surface du a* ordre, » en général, simplement osculatrice à la proposée.

» Par c.Jiaque point d'une surface continue, il est en général possible h de mener 27 coniques, ayant avec la surface, en ce jx>int, un contact »> du 6e ordre.

» Dans le cas particulier où la surface donnée est du 3e degré, les po- » sitions singulières du plan sécant mené par une tangente quelconque, » pour lesquelles le contact avec une conique peut monter au 5" ordre. » sont celles qui contiennent les asymptotes de l'indicatrice relative au » point où la tangente considérée perce de nouveau la surface. On peut » ajouter que le plan tangent en ce dernier point contient la courbe d'in- » tersection de la surface osculatrice formée par toutes ces coniques avec » la polaire du a0 degré du point A par rapport à la surface du 3e ordre » donnée.

» Ces derniers énoncés ont besoin de quelques modifications pour » s'étendre aux surfaces algébriques de degré quelconque, mais ce n'est » pas le lieu d'insister sur ce point. »