ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES SECTIONS CONIQUES

(Présenté à l'Académie des Sciences de l'Institut le lundi 1er mai 1820.)

Il n'en est pas de la méthode purement géométrique comme de celle de l'Analyse des coordonnées ; dans celle-ci, tout se ramène immédiatement à des principes connus, à des procédés uniformes de calcul, et il ne reste à celui qui l'emploie qu'à en développer les conséquences d'une manière plus ou moins élégante et rapide ; dans l'autre, au contraire, les principes peuvent entièrement manquer, au moins ceux d'où découle d'une manière directe et immédiate l'objet particulier que l'on a en vue, et, pour remplir les lacunes, on se voit souvent obligé, après plusieurs essais, de reprendre les choses d'un peu haut pour se frayer une route plus facile.

(*) Le Mémoire dont ce Ve Cahier est la copie textuelle, est un extrait abrégé d'une première ébauche ou rédaction du Traite des Propriétés projectiles desjïgures; rédaction qui contenait non-seulement l'exposé des nouveaux principes de projection par des voies essentiellement géométriques, mais encore les applications qui paraissaient le plus propres à initier le lecteur aux nouvelles doctrines concernant les sécantes ou cordes idéales, les intersections imaginaires des courbes et des surfaces, situées à des distances données ou infinies, confondues ou non entre elles. Ainsi, par exemple, on y résolvait un grand nombre de questions dans lesquelles les sections coniques étaient assujetties à passer par des points, à toucher des droites imaginaires en nombre pair ou ayant des contacts doubles ou simples, mais de divers ordres, en des points donnés ou inconnus d'autres sections coniques. D'ailleurs, la' solution de ces questions pouvait, même dans le cas du second degré, s'opérer à l'aide de la règle seule ou de méthodes purement linéaires, pourvu que les systèmes des lignes ou des points donnés fussent convenablement définis, et qu'on assignât sur leur plan commun, un seul cercle tracé et de centre connu.

De telles solutions, et les conséquences qui en dérivent dans chaque cas, étaient très-propres à montrer les avantages géométriques de l'adoption

366 Ve CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

Tel est précisément le cas des recherches que nous voulons entreprendre : comme elles se rattachent nécessairement à des notions jusqu'ici étrangères à la simple-Géométrie, nous nous voyons entraîné naturellement à exposer d'abord ces notions, pour parvenir ensuite, d'une manière à la fois rapide et sûre, à l'objet particulier et véritable de ces mêmes recherches; ainsi, au lieu de procéder de suite à l'examen des principes de projection qui doivent former la base de ce travail, nous nous occuperons d'abord d'exposer les notions générales sur lesquelles ces principes reposent de toute nécessité.

Si cette marche n'a pas l'avantage d'être aussi directe qu'on pourrait le désirer, elle nous fournira, en revanche, l'occasion de présenter, sur les dépendances qui lient entre elles les sections coniques et les lignes droites, un grand nombre de considérations nouvelles qui nous mettront à même de généraliser le langage et les conceptions de la Géométrie; ce qui n'est pas le but le moins important que nous ayons cherché à atteindre en entreprenant ce travail.

Au reste, loin de nous abandonner à tous les développements dont ces considérations sont susceptibles, nous ferons toujours en sorte de ne jamais perdre de vue l'objet véritable

des nouveaux principes de projection et de celui de continuité, jusqu'ici rarement combattu et encore moins mis en défaut, que je sacne. Mais ce genre de questions étant devenu familier aux amateurs de la Géométrie, depuis l'apparition du Traité des Propriétés projectiles des figures, et comportant des développements et des détails qui nécessiteraient un ouvrage tout spécial , nous nous voyons à regret contraint d'y renoncer et de renvoyer le lecteur aux résumés rapides, incomplets, que renferme le Mémoire ci-après et le texte même du Traité dont il s'agit, auquel d'ailleurs ils peuvent servir d'utiles commentaires.

Quant au Rapport fait à l'Académie des Sciences sur le Mémoire que contient ce Ve Cahier, le lecleur est prié de recourir à la fin du volume où il se trouve accompagné d'observations critiques indispensables. Qu'il suffise ici de remarquer que cette considération m'a fait un devoir rigoureux de n'apporter aucun changement essentiel à la rédaction, où il m'a été, par conséquent, impossible de mettre à profit aujourd'hui (i863), comme lors de sa présentation à l'Institut en 1820, aucun des résultats ou conséquences encore inconnues à cette dernière époque et que renferment les précédents Cahiers des t. I et II de ces Applications (i863).

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de nos recherches, et de ne recueillir sur noire route que des vérités qui s'y rattachent de la manière la plus intime, et qui puissent, par la suite, nous être particulièrement utiles. Ainsi, ayant pour objet spécial l'examen des propriété* projectiles des sections coniques, nous nous bornerons à exposer les considérations et les notions qui peuvent appartenir en propre à ces courbes particulières, sans chercher à les étendre aux surfaces du second ordre. On aura lieu de s'apercevoir, d'ailleurs, qu'au moyen des principes posés dans le cours de ce Mémoire, cette extension devient assez facile et assez évidente pour que nous puissions laisser à d'autres le soin de la développer, et nous renfermer dans les justes limites du sujet que nous voulons traiter.

Pour exposer la théorie des cordes réelles et idéales, nous admettrons quelques propriétés connues des sections coniques ; mais nous supposerons expressément que ces propriétés aient été déduites, d'une manière purement géométrique, de la considération du cône oblique à base circulaire, comme l'ont fait lès Anciens, et plus particulièrement Apollonius. D'ailleurs, ces propositions recevront naturellement leur démonstration de principes qui seront exposés un peu plus tard, dans la seconde Section, sans rien emprunter de ceux qui forment la base dé la première. Il nous eût été facile d'éviter cette inversion apparente en changeant l'ordre des matières, et anticipant sur les applications de la doctrine des projections ; mais cette marche eût fait perdre à l'exposition du sujet principal le degré de simplicité et d'uniformité dont il peut être susceptible.

Enfin, nous croyons devoir prévenir expressément encore, avant d'entrer en matière, que les droites, les courbes, les plans, etc., dont il sera fait mention dans ce Ier Mémoire, seront supposés indéfiniment prolongés dans l'espace ou dans le plan qui les contient; le discours fera connaître les cas où l'on n'en considérerait qu'une portion terminée et finie.

§ Ier. — Notions préliminaires sur lbs cordes ou sécantes

1. Une ligne droite située dans le plan d'une section conique quelconque, et qui rencontre la courbe en deux points

368 V CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECT! VES constructibles d'une manière géométrique, se nomme corde ou sécante réelle de cette section conique. Les deux points d'intersection sont appelés également points d'intersection réels.

Dans le cas où la ligne droite sort tout à fait au dehors de la courbe et cesse de la rencontrer, on dit que ses deux points d'intersection avec elle sont imaginaires.

Daps ces mêmes circonstances, en supposant qu'on persiste à regarder la droite en question comme une sécante de la courbe, nous dirons, pour conserver l'analogie entre les idées et le langage, qu'elle est corde ou sécante idéale de la courbe, et nous la distinguerons ainsi de toute ligne droite entièrement inconstructible dans son cours et dans sa direction indéfinie, laquelle conservera la dénomination déjà reçue de droite imaginaire.

2. Les mêmes définitions peuvent s'étendre au système de deux sections coniques situées sur un même plan, et, en général, au système de deux lignes courbes ou de deux surfaces quelconques; mais nous voulons nous borner ici à ce qui concerne le système particulier d'une ligne droite et d'une section conique.

3. Pour concevoir l'objet de ces définitions, il suffit de supposer que la section conique que l'on considère ne soit pas décrite, mais seulement donnée par certaines conditions, et qu'alors on se propose de rechercher les points où elle est rencontrée par la droite réelle, tracée sur son plan ; car on ignore alors si ces points sont ou non constructibles, et il est naturel de persister, dans tous les cas, à regarder cette ligne droite comme une véritable sécante de la courbe, et par conséquent de la traiter comme telle dans le raisonnement géométrique qui sert à faire découvrir les deux points qu'on cherche. Ces définitions, comme on aura lieu de le voir plus tard, servent à agrandir les idées, et tendent à abréger le discours, en caractérisant la non-existence de certaines grandeurs; elles ne sont ni indifférentes, ni inutiles en ellesmêmes, parce qu'elles permettent d'établir un point de contact entre des figures qui paraissent, au premier aspect, n'avoir aucun rapport, et de découvrir sans peine les relations et les propriétés qui leur sont communes.

h. Pour poursuivre l'objet de ces premières définitions,

soient mn et (C), Jig. i5o, la droite et la section conique que

Ton considère ; appelons M et N les points de leur intersection commune, supposée d'abord réelle ; si Ton conçoit une suite de cordes terminées à la courbe, parallèles entre elles et à la droite mn> tous les milieux de ces cordes seront, comme on le sait, situés sur un diamètre unique ÂB, dont le conjugué sera lui-même parallèle à fa droite mn; de plus, quelle que soit la position de cette droite à l'égard de la section conique, le diamètre AB sera toujours constructible et viendra toujours la rencontrer en un point 0 réel; nous appellerons, dans tous les cas possibles, ce point unique centre ou milieu de la corde indéfinie mMN/i, que cette corde, cette sécante soit d'ailleurs réelle comme en mn, ou idéale comme en m'/i'.

5. Aux points M et N, supposés d'abord réels, menons à la courbe les tangentes PM, PN : elles iront concourir en un point P du .diamètre AB, et Ton aura, pour déterminer ce point, la proportion harmonique

OA:OB::PA:PB

or, cette relation définit le point P d'une manière réelle, dans tous les cas possibles, même quand la corde indéfinie mMNn devient idéale et les tangentes PM et PN imaginaires.

(*) C'est la XXXVIIIe proposition du 1er livre des Coniques d'Apollonius de Perge.

370 V CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES En effet, il en résulte que le point P et le point 0, centre toujours réel de celte corde (k), jouissent de la même relation réciproque à l'égard des points A et B de la courbe ; si donc la corde ou sécante mMNn devient idéale en m'n', son centre restant réel et sortant de la courbe en P, on pourra construire le point 0, qui lui correspond sur le diamètre AB, en menant inversement, de P, deux tangentes à cette courbe, puis la corde qui joint les deux points de contact; car, d'après la proposition qui précède, celle corde viendra renconirer le diamètre AB en un nouveau point 0, tel qu'on aura la proportion

réciproque

r PA:PB::OA:OB,

identique avec la première.

Ainsi, les points 0 ei P, qui jouissent des mêmes propriétés à l'égard de la courbe, sont tels, que chacun d'eux est réciproquement, mais tour à tour, le concours des tangentes qui correspondent à la corde passant par l'autre.

Le point P, toujours réel, jouit à l'égard de la section conique et de la droite mn, d'un grand nombre de propriétés remarquables; sa considération est très-imporlanle dans les recherches, ël c'est à cause d'une de ces propriétés qu'il a reçu des géomètres le nom de pôle de la droite mn ; nous pourrons faire usage de celte dénomination, à cause de sa simplicité, sans d'ailleurs nous attacher, quant à présent, à l'idée qu'elle entraîne d'après son acception ordinaire ; mais nous dirons aussi, toujours dans la vue de généraliser le langage et les conceptions, et afin de rappeler, d'une manière plus particulière, l'origine du point P : qu'il est le point de concours réel ou idéal des tangentes aux extrémités de la corde MN, selon que ces tangentes sont elles-mêmes réelles ou imaginaires. La droite mn, 'toujours réelle, quant à sa direction indéfinie par rapport à P, prendra, selon ces diverses circonstances, le nom de corde, de sécante de contact, réelle ou idéale. D'après l'usage actuel, cetie droite pourrait aussi s'appeler la polaire du point-P.

(J. Nous venons de voir que les points 0 et P, dont l'un est le centre de la corde MN et l'autre son pôle, jouissaient réciproquement de la même propriété à l'égard des points A et B ; or, il résulte de celte réciprocité qu'à mesure que le point O

s'approche du centre C de la courbe, son correspondant P s'en écarte, au contraire, sans cesse, et qu'enfin, quand le point O s'est confondu avec C, le point P s'est transporté à une distance infinie sur le diamètre AB; mais alors la corde MN est devenue un diamètre de la courbe dont le conjugué est AB; donc « le pôle d'un diamètre quelconque d'une section coni- » que est situé à V infini sur le conjugué à ce diamètre; les » tangentes MP, NP, qui renferment ce pôle, sonl, de leur côté, » devenues parallèles et concourent à Yinfini. »

7. Réciproquement aussi, quand le point O ou la sécante mn s'écarte à l'infini sur le plan de la courbe (C), le pôle P se confond avec le centre de cette dernière; en sorte que a toute » droite située à l'infini sur le plan d'une section conique, a j> pour pôle le centre même de la courbe, d

8. Dans ces circonstances, les «points M et N sont passés à l'infini ; ils so/it réels pour l'hyperbole, imaginaires pour l'ellipse. Les tangentes MP, NP deviennent elles-mêmes impossibles pour l'ellipse, mais demeurent réelles pour l'hyperbole et reçoivent le nom d'asymptotes. Ainsi :

« Les asymptotes d'une section conique ne sont autre chose » que des tangentes aux points à l'infini de son cours, elles » passent à la fois par son centre, et sont toutes deux imagi- » naires pour l'ellipse et réelles pour l'hyperbole. »

Dans le cas particulier de la parabole, le centre C est luimême à l'infini ; les asymptotes sont donc alors tout entières à l'infini , elles se confondent nécessairement avec la sécante mn, qui devient par là tangente à la courbe; ainsi :

« La parabole a deux asymptotes confondues en une seule » à l'infini, c'est-à-dire qu'elle a une tangente située entière- » ment à l'infini, ou enfin deux points confondus en un seul » à l'infini. *>

Ces notions sont déjà bien connues; notre intention, en les rappelant ici, est de les rapprocher sous un point de vue qui puisse conduire sans peine aux considérations nouvelles qui .doivent former la base de ce travail.

9. Revenons maintenant au cas général où la sécante indéfinie mit a une situation quelconque sur le plan de la

37* Ve CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES courbe (C), et proposons-nous de déterminer les points M et N où elle rencontre cette courbe, que nous supposerons non décrite et seulement donnée par le système de ses diamètres conjugués AB et DE, dont l'un a une direction parallèle à là droiie MN. La question reviendra évidemment à chercher sur cette droite un point M, tel que le carré de OM soit au rectangle OA.OB dans un rapport donné, celui du carré des diamètres conjugués;- appelant donc A2 le carré du diamètre principal AB, et B' celui de son conjugué, on aura, pour déterminer le point M,