OM : OA.OB :: B' : A

La question ainsi présentée sera, comme on le voit, toujours soluble d'une manière géométrique ; car B et A sont des grandeurs invariables, indépendantes de la position de mn, et le rectangle OA. OB est, à chaque instant, donné ; mais cela suppose que l'on n'ait point égard à la nature particulière de la section conique que Ton envisage. On sait, en effet, que, quand le point O est placé entre A et B, la relation précédente appartient à une ellipse, tandis que, au contraire, elle appartient à une hyperbole décrite sur le même diamètre AB, quand le point O se trouve au delà des points A et B; il est donc facile de confondre ce qui appartient à Tune de ces deux courbes avec ce qui appartient à l'autre, puisqu'elles sont définies par une seule et même propriété.

10. L'analogie que nous venons de reconnaître entre l'hyperbole et l'ellipse se soutient dans un grand nombre de circonstances différentes; notre objet n'est pas d'en faire la recherche particulière, mais de faire quelques rapprochements qui nous seront utiles pour l'objet de ce travail.

Nous appellerons désormais deux sections coniques ainsi conjuguées sections ou coniques supplémentaires l'une de l'autre, parce que, en effet, l'une quelconque d'entre elles répond aux questions faites -sur l'autre, dans le sens que nous venons d'indiquer.

[*) C'est la XXIP proposition du Ier livre des Coniques d'Apollonius.

11 esta remarquer qu'une même section conique a une infinité de supplémentaires, correspondant à l'infinité de systèmes de diamètres conjugués qui lui appartiennent; mais, parmi celte infinité de coniques supplémentaires, il n'y en a jamais qu'une seule qui corresponde à une droite donnée mn9 parce que nous n'admettons que celle dont le premier diamètre AB, ou le diamètre de contact, n'est pas parallèle à la droite mn.

11. Cette définition ne concerne évidemment que l'ellipse et l'hyperbole, mais elle peut s'étendre facilement à la parabole;* en effet, dans cette couvbe(Jig. i5i ), l'ordonnée MO est moyenne proportionnelle entre le paramètre et le segment BO

formé sur le diamètre AB, conjugué à la droite mn; mais, que la droite mn rencontre ou ne rencontre pas la courbe, on peut toujours trouver sur elle deux points qui satisfassent à cette condition \ supposant donc que la droite m/ise meuve parallèlement à elle-même, le diamètre AB, le sommet B et le paramètre demeurant invariables, les points M et N, obtenus comme on vient de l'indiquer, traceront d'abord la parabole MBN, puis une seconde parabole M'BN', d'une situation contraire et ren-. versée par rapport à AB, mais ayant le sommet B, le paramètre et la direction du diamètre AB en commun avec la première, et lui étant par conséquent parfaitement égale.

Je nomme, parla même raison que ci-dessus, ces deux paraboles supplémentaires l'une de l'autre, par rapport à la droite donnée mn.

Une section conique quelconque a donc toujours une conique supplémentaire ; dans ce qui va suivre, il sera question

374 Ve CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES seulement de l'ellipse et de l'hyperbole; mais ce que nous dirons de ce cas général pourra facilement s'appliquer à la parabole, comme cas particulier, et nous nous dispenserons pour cette raison d'y avoir égard.

12. Actuellement, soit «ne section conique donnée (C) {fig* x5o); d'après ce qui précède, toute droite mn, qui rencontre cette section conique en deux points réels, aura, avec sa supplémentaire, tieux points imaginaires, et réciproquement; cette droite sera donc en même temps corde idéale de l'une et corde réelle de l'autre. Pareillement le centre 0 de cette corde (4) sera réel par rapport à l'une et idéal par rapport à l'autre. Enfin, son pôle P, ou le concours des tangentes qui lui correspondent, sera le même par rapport aux deux courbes, et appartiendra à la fois à deux tangentes imaginaires de l'une et à deux tangentes réelles de l'autre. En effet, d'après la définition (5), on a à la fois, dans les deux courbes supplémentaires, pour déterminer le pôle qui appartient à la droite mn9

OA:OB:;PA:PB

Ces rapprochements peuvent servir à justifier les définitions admises, .et en donnent ainsi, dès à présent, une interprétation géométrique à la fois exacte et naturelle.

13. Lorsqu'une ligne droite, située sur le plan de deux sections coniques, passe par deux points réels appartenant à la fois aux deux courbes, on dit qu'elle est corde réelle commune à ces deux courbes.

Nous dirons par analogie qu'une ligne droite située sur le plan de deux sections coniques sera corde idéale commune à ces deux courbes, quand elle sera corde réelle commune aux deux supplémentaires qui lui correspondent à la fois sur le plan de ces mêmes courbes.

Il résulte de cette définition que, pour qu'une droite indéfinie mn (Jig. 1S2) soit corde idéale commune à deux sections coniques ADB, ou (C), A'D'B', ou (C), tracées sur un même plan, il faut :

i° Que les diamètres AB, A'B', conjugués à celte droite dans Tune et l'autre courbe, viennent se rencontrer précisément en un point O de la droile mn ;

DBS SECTIONS CONIQUES. 375.

20 Qu'appelant. À et B les diamètres conjugués qui corres-

pondent à ADE, et A', B' ceux qui correspondent à A'D'B', on ait à la fois (9)

A» : B* :: OA.OB : Om\ A" : B" :: OA'.OB' : Ôm\

ou, en divisant par ordre ces deux proportions, etc.,