CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

tués sur la circonférence d'un cercle, le troisième sopimet

resté libre décrira une section conique.

a° Si un triangle mobile est assujetti à avoir deux de ses côtés constamment parallèles à eux-mêmes et le troisième à toucher un cercle donné, et si, en même temps, les deux sommets situés sur ce dernier côté doivent parcourir une circonférence de cercle concentrique à la première, le troisième sommet resté libre parcourra encore une section conique.

On voit d'abord que la dernière proposition se ramène à la première. En effet, soit abx (Jig. 32) le triangle mobile dont les côtés ax et bx restent parallèles à des droites données, et le dernier ab, tangent à une circonférence de cercle (C), tandis

Fig. 3a. •

que les sommets a et b sont assujettis à parcourir la circonférence abc concentrique à la première ; soit prolongé le côté bx jusqu'à sa nouvelle rencontre en c avec le cercle abc; soit tracée la corde ac : puisque le côté ab est constant, l'angle acb est aussi constant, mais la droite bc reste parallèle à elle-même dans le mouvement du triangle abx; donc le côté ac du triangle acx reste aussi parallèle à lui-même, et par conséquent le sommet libre x du triangle mobile abx est aussi celui d'un autre triangle acx dont les côtés restent parallèles à eux-

mêmes, et dont deux sommets a et c glissent sur un cercle donné.

Maintenant, pour démontrer que le sommet # parcourt une section conique, soit tracé le diamètre AB qui divise en deux parties égales au point i le côté ac dans toutes ses positions parallèles; soit tracée ensuite, pour chaque triangle cax, la droite ix, tous ces triangles acx et ceux qui, tels que cix9 leur correspondent seront respectivement semblables; donc les carrés des droites parallèles ix seront entre eux comme les carrés des demi-cordes ai. Or, ai étant perpendiculaire à AB, on a

ai =A/X «B;

donc le carré de la droite ix sera au rectangle Ai x *B dans un rapport constant pour chacun des points x de la courbe, et par conséquent cette dernière est une ellipse ayant AB pour l'un de ses diamètres, et les parallèles ix pour ordonnées obliques.

Remarque. — Il n'est pas difficile de voir que Fellipse décrite par le point x est concentrique au cercle proposé et qu'elle a pour diamètre conjugué à AB une droite menée du centre C parallèlement à ix, et dont on aura la longueur en faisant passer la corde ac par ce même centre ; car la droite correspondante ix sera évidemment la moitié du diamètre cherché. On peut d'ailleurs remarquer que les deux autres points de rencontre de l'ellipse et du cercle abc sont sur un autre diamètre de cette ellipse.

Corollaire. — En s'appuyant sur ce qui précède et sur la Proposition XI, on peut énoncer plus généralement le théorème dont nous venons de nous occuper, ainsi qu'il suit :

« Si un polygone d'un nombre quelconque de côtés est in- » scrit dans une section conique, et qu'ayant pris sur la di- » rection de chacun de ses côtés un pôle fixe placé à la ren- » contre de ce côté avec une droite donnée, on déforme ce » polygone en l'assujettissant toujours aux mêmes conditions, » ce qui est possible (Prop. Xï), les points d'intersection des » côtés et des diagonales qui joignent des sommets de rang » pair, décriront chacun en particulier, et en vertu du mouve-