SA'.SB' = SK.SL

propriété qui ne peut convenir qu'à une section conique, puisque d'ailleurs la suite des points F, milieux des cordes A' B', est nécessairement sur une droite diamétrale unique EF (*).

La section conique, qui renferme à la fois tous les points A', B', passe évidemment par les points K et L, qui représentent les cercles limites du système dont mn est la corde commune, quand ces points existent, c'est-à-dire quand mn est corde commune idéale aux cercles de ce système (39); dans le cas contraire, la droite des centres ne rencontrant plus les cercles (P), les points K et L deviennent imaginaires; mais la direction indéfinie de cette droite n'en demeure pas moins une corde idéale commune à la section conique et aux cercles dont il s'agit, comme on pourrait facilement s'en assurer d'une manière directe et comme cela résulte d'ailleurs du principe de continuité, puisque cette droite jouit des mêmes propriétés dans tous les cas possibles (4-0).

(*) Cette dernière assertion paraîtra évidente si Ton considère que la double apothème II' aux cordes AB et A'B; du cercle (P) demeure toujours parallèle à elle-même, et qu'elle est toujours divisée également au point de son intersection avec la corde commune mn du système de cercles dont on examine les propriétés. Quant à l'autre, elle le devient pareillement, en faisant attention que la courbe passe nécessairement par les points K et L; en sorte que le rectangle des ordonnées SA', SB' est dans un rapport constant avec celui des abscisses correspondantes SK, SL, proposition qui n'est qu'une extension de celle qui a été mise en usage à l'article 13 du Ier paragraphe, et qui revient à la XVir du Livre III des Coniques d'Apollonius. (Note de 1 8 1 8 ).

DES SECTIONS CONIQUES. 4oi

Ainsi, nous pouvons énoncer ce théorème :

Théorème VI. — Tous les points qui sont réciproques de ceux d'une droite donnée sur le plan d'un système de cercles, ayant une corde réelle ou idéale commune, sont situés sur une seule et même section conique passant par les deux points réels ou imaginaires, limites des cercles du système.

45. Si Ton se donnait une autre droite quelconque sur le plan des cercles du système, la section conique correspondante passerait encore par les points K et L ; elle aurait donc la droite OD des centres pour corde réelle ou idéale commune avec la première. Il est visible d'ailleurs que le point, réciproque de celui où ces deux droites se coupent, est également un point appartenant à la fois aux deux courbes.

Quand la directrice donnée se confond avec la ligne des centres des cercles du système, les polaires des points qui s'y trouveat deviennent évidemment toutes parallèles entre elles et à la corde mn de ce. système ; elles concourent donc toutes à l'infini , et la conique des réciproques se réduit ainsi à un ppint situé à l'infini sur cette corde.

11 résulte de cette remarque que la section conique qui renferme les réciproques d'une droite quelconque donnée, passe elle-même par le point dont il s'agit; car cette droite a nécessairement un de ses points placé sur la ligne des centres du système. Ainsi, toutes les sections coniques pareilles passent à la fois par les points limites du système et par celui qui est situé à l'infini sur la corde commune à tous les cercles dont il se compose.

Enfin, quand la directrice ED (Jig. 157) devient parallèle à la corde commune mn, la section conique des réciproques dégénère elle-même en une ligne droite, qui est évidemment parallèle et symétriquement placée à l'égard de la corde mn, car alors A' B' se confond avec le diamètre fixe El' F, quel que soit le cercle (P) qu'on ait choisi pour l'obtenir (44).

46. Soit toujours DE {Jig. i56, p. 397) une droite donnée sur le plan d'un système de cercles (C), (G ) ayant une corde commune mn ; du centre C d'un cercle quelconque du système soit abaissée la perpendiculaire. CA sur DE; du pied A de