rô

4<tt V CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES cette perpendiculaire soient menées les langeâtes AT, AT' au cercle (C), puis la corde de contact TT, polaire du point A : elle ira couper ACen un point W, qui sera réciproquement le pôle de la direction donnée DE (5), car cette droite est parallèle à la corde TT.

Cela posé, concevons la circonférence (P), qui, passant par le point A, coupe à angles droits la série de cercles proposée : elle renfermera nécessairement le pôle B' (il); mais l'angle B'AE est droit, par hypothèse; donc l'extrémité B du diamètre BPB' appartiendra à la droite donnée, et par conséquent le point B', pôle de cette droite et du cercle (C), appartient, de son côté, à la courbe des réciproques de cette même droite (Wj ; théorème que Ton peut énoncer ainsi :

Théorème VIL — La section conique, lieu de tous les points réciproques dune droite donnée à volonté sur le plan d'un système de cercles qui ont une corfle commune, est aussi le lieu de tous les pôles de cette même droite par rapport aux cercles dont se compose le système.

47. Nous ne pousserons pas plus loin, pour le moment, ces considérations sur les suites de cercles qui ont une corde* réelle ou idéale commune : peut-être trouvera-l-on que nous ayons déjà trop dit à ce sujet; ce qui suit concernera principalement les propriétés appartenant aux cordes communes au système simple de deux circonférences de cercle situées sur un même plan.

Rappelons d'abord quelques définitions et quelques propositions généralement connues.

Soient (C) ei(G),jig. i58, deux circonférences de cercle situées sur un même plan; on sait qu'il existe toujours, sur la ligne CC de leurs centres, deux points S et S' par lesquels passent respectivement les deux faisceaux de droites qui joignent les extrémités de deux rayons parallèles quelconques, selon que ces rayons sont dirigés dans le même sens ou en sens contraire par rapport aux centres C et C On sait aussi que ces points sont en même temps ceux où concourent respectivement les tangentes extérieures et intérieures communes aux deux cercles, quand ces tangentes sont réelles et possibles. Afin de distinguer ces points entre eux et de tout

à CONIQUES. *4

autre point du plan des deux cercles correspondants, les géomètres ont donné, depuis quelque temps, le nom de cenlM

de similitude directe au point S où concourent les tangentes extérieures communes', et celui de centre de similitude opposée au point S' où concourent, au contraire, les tangentes intérieures communes.

Ces définitions sont aussi simples que naturelles, puisque deux circonférences de cercle, situées sur un même plan, sont respectivement semblables et semblable ment placées à l'égard de chacun de ces points. On en peut dire autant de l'expression d'axe radical employée pour désigner la corde commune à deux cercles; mais les unes et les autres offrent le désavantage de ne présenter qu'un caractère particulier de l'objet défini, applicable seulement au cas du cercle, et de faire perdre de vue, par conséquent, la dépendance générale et purement graphique qui lie cet objet aux autres parties de la figure : or, le but principal de ces recherches étant de généraliser et d'étendre immédiatement la conception géométrique des ligures, nous croyons devoir ne pas abandonner entièrement la définition primitive et jusque-là généralement admise, de points de concours des tangentes communes; seulement, pour éviter l'espèce de contradiction qui peut avoir lieu, dans certains cas, entre les termes et les objets qu'ils servent à désigner, nous continuerons à employer les adjectifs réel et idéal, qui ne portent que sur la manière d'être de

4o4 V CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

l'objet défini à l'égard des autres qu'on rappelle, et non sur son existence propre, censée toujours réelle. Nous réservons, au reste, le mot imaginaire pour le cas où l'objet en question serait tout à fait impossible. D'après cette remarque, nous appellerons, selon les cas, les points S et S' centres de similitude directe ou opposée, points de concours des tangentes extérieures ou intérieures communes, et nous dirons que chacun de ces points est réel ou idéal, selon que les tangentes correspondantes seront elles-mêmes réelles ou imaginaires.

48. Nous pouvons, au surplus, justifier à priori ce&dernières .définitions, de la même martière que nous l'avons fait pour les cordes réelles ou idéales communes au système de deux sections coniques. Si l'on considère, en effet, deux circonférences de cercle quelconques (C) et (C), fig. i55, situées sur un même plan, et les deux hyperboles supplémentaires de ces cercles, conjuguées à la fois à la direction de la corde commune mn> il paraîtra évicTent que ces hyperboles, étant équilatères et, par conséquent, semblables et semblablement situées sur le plan des deux cercles, devront avoir mêmes centres* de similitude S et S'. Ainsi, comme chacun de ces centres est nécessairement au dedans de l'un des deux cercles quand il est au dehors de l'hyperbole correspondante, et réciproquement, il faut qu'il appartienne 5 la fois à deux tangentes imaginaires communes à ces mêmes cercles, et à deux tangentes réelles communes aux hyperboles, et vice versa, c'est-à-dire que chacun de ces points est, à la fois, point de concours idéal pour les deux cercles et point de concours réel pour les hyperboles correspondantes; et qui justifie la définition admise.

49. Les points S et S', étant déterminés de la même manière par rapport aux cercles (C) et (C), fig. i58, doivent évidemment jouir de propriétés semblables à l'égard de ces cercles. On démontre, en effet, que, quel que soit celui de ces points que l'on considère en particulier, si Ton mène par l'un d'eux S, les transversales arbitraires SA, SB; qu'on trace ensuite les cordes qui correspondent aux quatre points de son intersection avec chaque cercle respectif :

o i° Les quatre systèmes AB et A'B', DE et D'E', AD et

h À'!)', BE el B'E', dont les deux cordes respectives appar- » tiennent à des cercles différents et ont une situation sem- » blable à l'égard des centres C et C et du point S, sont des » systèmes de cordes parallèles.

» a° Les quatre autres systèmes AB et D'E', DE et A'B', » BE et A'D', AD et B'E', dont les deux cordes respectives » appartiennent à des cercles différents et ont une situation » dissemblable à l'égard des centres C, C et du point S, sont » des systèmes tels, que les quatre points qui leur apparx> tiennent respectivement sont sur une seule et même cir- » conférence de cercle différente des proposées. »

Cela étant, puisque les deux cordes des quatre premiers systèmes sont parallèles entre elles, elles concourent à l'infini en un point qu'on peut regarder comme appartenant à la corde idéale commune aux deux cercles à l'infini (29).

En second lieu, puisque les quatre extrémités A, B, D', E' qui appartiennent à deux cordes AB, D'E' de l'un quelconque des quatre derniers systèmes, sont sur une circonférence de cercle, ces deux cordes prolongées iront concourir (37) en un point P de l'autre corde commune aux cercles (C) et(C') située à une distance donnée ou finie.

Si donc nous appelons homologues directes les cordes de l'un quelconque des premiers systèmes, et homologues inverses celles qui font partie de l'un des quatre autres, en remarquant, pour les distinguer entre elles, que celles qui sont homologues directes sous-tendent, du côté de S, deux arcs de cercle qui opposent à la fois leur concavité ou leur convexité vers ce point, et que celles qui, au contraire, sont homologues inverses sous-tendent, du côté de S, des arcs dont la convexité ou la concavité n'est pas dirigée à la fois vers ce point, on pourra énoncer ce théorème général :

Théorème VIII. — Deux circonférences de cercle quelconques étant situées sur un même plan, si, de Vun des points de concours des tangentes extérieures ou intérieures qui leur sont communes, on mène à volonté deux transversales qui les coupent, puis qu'on trace, pour chaque cercle, les cordes qui passent par les points d'intersection respectifs :

i° Les cordes homologues directes seront parallèles, et iront

4o6 V CAHIER. - ESSAI SU» LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

concourir deux: à deux sur la corde idéale à Vinfini commune aux deux cercles;

a° Les cordes homologues inverses iront concourir deux à deux sur Vautre corde commune à ces mêmes cercles, située à une distance déterminée et finie*

50. Quand les deux tran versai es SA et SB viennent à se rapprocher jusqu'à se confondre, la proposition subsiste évidemment toujours; mais alors les quatre cordes AB, DE, À'B', D'E' deviennent des tangentes aux cercles respectifs. Donc :

Théorème IX. — Si, de l'un quelconque des points de concourt des tangentes extérieures ou intérieures communes à deux cercles, on mène à volonté une transversale qui les coupe, puis les quatre tangentes aux points d'intersection correspondants :

i* Les tangentes homologues directes seront parallèles, et iront concourir sur la corde idéale commune à t infini aux deux cercles;

a° Les tangentes homologues inverses iront concourir, à l'inverse , sur la corde commune à ces cercles, située à une distance donnée et finie.

51. Toutes ces propriétés subsistent encore, en vertu de la continuité, quand on vient à supposer que l'un des deux cercles glisse, en variant de grandeur, entre les deux tangentes qui lui sont communes avec l'autre, jusqu'à se confondre avec lui en un seul et même cercle: la corde commune devient alors évidemment la corde de contact du cercle et des tangentes fixes, c'est-à-dire la polaire du point de concours de ces tangentes; les cordes et tangentes, que nous avons appelées homologues directes, se confondant deux à deux; quant à celles qui sont homologues inverses, elles concourent respectivement sur la corde de contact ou polaire : on parvient donc ainsi, par forme de simple corollaire, à toutes les propriétés connues du pôle et de la polaire pour le cas de la circonférence du cercle.

Notre intention n'est pas de nous arrêter, pour le moment, à ces sortes de propriétés, nous aurons occasion d'y revenir par la suite et de traiter la chose sous un point de vue plus général. Retournons donc à notre objet véritable.

Les propriétés que nous venons de reconnaître ci-dessus, pour }e système de deux circonférences de cercle quelconques, donnent évidemment lieu aux réciproques suivantes :

Théorème X. — Si, d'un point quelconque de l'une ou de Vautre des cordes communes à deux circonférences de cercle, on mène des tangentes à ces cercles, qu'on joigne ensuite deux à deux , par des lignes droites, les points de contact qui appartiennent à des circonférences distinctes :

i° Celles qui joignent des points de contact dont les arcs tournent à la fois leur convexité ou leur concavité du côté de la corde commune, tendent toutes au point de concours de tangentes extérieures communes;

20 Celles qui correspondent à des arcs dont la concavité n'est pas tournée à la fois vers la corde commune, tendent, au contraire, au point de concours des tangentes intérieures communes. *

52. Quand le point d'où partent les tangentes est sur la corde commune à l'infini, ces tangentes sont parallèles, et alors les droites de la première espèce sont celles qui passent par des points de contact situés du même côté de chaque cercle; l'inverse a lieu pour les autres.

53. Il suit de la dernière partie de la réciproque qui nous occupe que, si un point jouissait à l'égard du système de deux circonférences de cercle de la propriété que les cordes homologues directes correspondantes soient parallèles et concourent, par conséquent, à l'infini, ce point serait nécessairement un de ceux où se coupent les tangentes extérieures ou intérieures communes; mais on peut remarquer plus généralement encore, que, dès l'instant où deux courbes quelconques situées sur un même plan jouissent, à l'égard d'un certain point de ce plan, des propriétés dont il s'agit, ces deux courbes sont nécessairement semblables et semblablement situées à l'égard de ce point, qui est ainsi un centre de similitude. Supposant donc que l'une des deux courbes devienne une circonférence de cercle, l'autre sera nécessairement aussi une circonférence de cercle ayant le point en question pour concours réel ou idéal de tangentes communes.

4o8 V CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES 54. Les propositions précédentes donnent lieu à quelques

corollaires faciles que nous allons examiner. Soient (C) et (C), Jig. i5c>, deux circonférences de cercle

situées sur un même plan; considérons en particulier leur

Fig. i5g.

centre de similitude directe S; ce que nous pourrons dire de ce point sera immédiatement applicable au centre de similitude opposée (49). Du point S menons deux transversales arbitraires SA, SD pour déterminer les cordes homologues inverses AD, A'D' concourant en p sur la corde commune MN du système; les quatre points A, A', D, D' appartenant à ces cordes seront situés (49) sur une troisième circonférence de cercle; or, il résulte de là réciproquement que, si par les points A et A', qui se correspondent, on mène une circonférence de cercle quelconque AA'D'D, les deux derniers points D, D' obtenus ainsi appartiendront à une ligne droite DD' dirigée vers S comme la première AA' ; en sorte que les cordes AD et A'D' seront homologues inverses* Si donc on appelle, en général, homologues inverses deux points tels que A et A',

qui sont sur une droite dirigée vers S et appartiennent à des arcs dont la convexité est tournée en sens contraire par rapport à ce même point, on pourra énoncer la proposition suivante :

« Si, par deux points A et A' homologues inverses par rapj> port à S, on mène une circonférence de cercle quelcon- » que (c), elle ira rencontrer de nouveau les cercles donnés » (C), (C) en deux points D et D' homologues inverses comme » les premiers » ( * ).

55. Cela posé, imaginons que du point S on mène la tangente St au cercle (c), puis qu'on trace le cercle (S), qui a S pour centre et St pour rayon, il coupera à la fois orthogonalement le cercle (c) et tous ses semblables, car

S7*= SA . SA' == const. ,

quelle que soit la direction de SA; de plus, ce cercle aura MN pour corde commune avec les cercles (C) et (C), puisqu'il passe nécessairement par les points de leur intersection mutuelle quand ces cercles se coupent (**). Donc (40), si Ton trace la corde tf qui lui est commune avec chaque cercle (c), cette corde ira concourir au point p où se coupent déjà celles AD, A'D' et MN.

Quand le point S est intérieur aux cercles (C) et (C), la tangente St et le cercle (S) deviennent imaginaires, mais la propriété subsiste toujours. En effet, la corde //' n'est autre

(*) Tout cercle qui coupe orthogonalement les cercles (C) et (C) appartient évidemment à la suite des cercles (c), car son centre est sur la corde commune MN, et ses points d'intersection avec les proposés sont les points de contact des tangentes égales issues de ce centre (39), par où 1 on voit (Théor. X) que le cercle orthogonal dont il s'agit appartient à la fois aux cercles (c) qui correspondent à S et à ceux qui correspondent au centre de similitude opposée S'. (Note de 181 8.)

( ** ) Ce raisonnement s'appuie sur l'admission du principe de continuité; mais au moyen de la note qui précède, on peut démontrer la même chose d'une manière tout à fait directe ; il en résulte, en effet, que le cercle (S) est orthogonal à tous ceux de la suite réciproque à (C) et (C), ce qui ne peut avoir lieu sans qu'il fasse partie de la suite que déterminent ces derniers (39). (Item.)

4io Ve CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

chose que la polaire de S, laquelle, subsistant toujours (5), doit aussi toujours jouir des mêmes propriétés.

Réciproquement, quand un cercle, d'ailleurs quelconque» est orthogonal au cercle (S) qui vient de nous occuper, il fait nécessairement partie des cercles (c), c'est-à-dire que les points de son intersection avec les proposés sont deux à deux homologues inverses (54) et, par conséquent, placés dans le même ordre sur des droites dirigées vers S. Pareillement, tout cercle qui a un contact semblable ou de même espèce avec chacun des cercles (C) et (C) est évidemment tel (37, 5i), que « la droite qui joint ses points de contact passe par le centre d de similitude directe S » ; donc il appartient aussi à la suite des cercles (c) et jouit des mêmes propriétés qu'eux; seulement les cordes AD et A'D' sont devenues nulles ou tangentes aux cercles correspondants.

56. Admettons maintenant une nouvelle circonférence (c'), décrite comme la première : elle jouira des mêmes propriétés relatives; de plus, elle jouira conjointement avec elle de propriétés appartenant simultanément à leur système; par exemple, les cordes AD et BE, qui leur appartiennent, ainsi qu'à (C), iront concourir (37) en un point P de la corde mn qui leur est commune, et il en sera de même des cordes correspondantes À'D\ B'E'. Pareillement, puisque les tangentes aux cercles (c) et (c'), issues du point S, sont toutes égales (55), ce point appartient aussi à la corde commune mn (36); donc

or Les trois points P, P' et S sont sur une même ligne droite » corde commune au système des cercles (c) et (c'). »

Deux systèmes de cordes respectivement homologues inverses, tels que AD et A'D7, BE et B'E', déterminent toujours deux circonférences de cercle (c) et [cr ); on peut donc énoncer généralement ainsi ce théorème, qui se rattache d'une manière intime à ceux des articles 49 et 50 :

Théorème XI. — Les points de concours P et V de deux systèmes de cordes respectivement homologues inverses AD et BE, A'D' et B'E' sont sur une droite passant par le centre de similitude correspondant S, c'est-à-dire qu'ils sont eux-mêmes . homologues inverses à l'égard de ce point (54).

57» Le cas particulier où les cercles (c) et {&) deviennent tangents, de même espèce, aux cercles donnés (C) et (C')est surtout remarquable en ce qu'il y a réciprocité complète entre les deux systèmes qu'ils forment. II est visible, en effet, que les cercles (C) et ( C ) sont réciproquement tangents de même espèce, aux cercles (c) el(c'); en sorte qu'ils jouissent, à l'égard de ces cercles, de leur centre de similitude directe et du cercle orthogonal qui a son centre en ce point, de toutes les propriétés qui viennent de nous occuper.

Soient donc (c) et (cf)9Jig. r6o, deux cercles quelconques ayant aux points A et A', B et Br un contact de même espèce

Fig. 160.

à l'égard de chacun des cercles donnés (C) et (C); il résultera de cette simple remarque et de tout ce qui précède, que :

« i° Les droites AA; et BB', qui sont les cordes de contact » dans [c) et (c7), iront concourir au centre de similitude di- » recte S des cercles (G) et (C );

i> *° Les droites AB et A7 B', qui sont les cordes de con- » tact dans (C) et (C), iront au contraire concourir au centre » de similitude s des cercles [c) et {</ );

» 3* Les pôles p et />' des cordes de contact ÀÀ' et BV