V CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVKS

» seront situés, ainsi que s, sur la corde MN commune au

» système des cercles (C) et (C) (Théor. X);

)> 4° Les pôles P et P' des cordes de contact AB et A'B' » seront au contraire situés, ainsi que S, sur la corde mn » commune aux cercles (c) et (c');

» 5° Le cercle (S), qui a S pour centre, et pour rayon une d tangente quelconque S/ aux cercles (c) et (</), passe par les » points d'intersection des cercles (C) et (C) et a par consé- » quent MN pour corde commune avec eux; de plus, la *> corde //', qui lui est commune avec l'un quelconque des » cercles (c) et (c* ), et qui est aussi la polaire du point S dans » ce cercle, passe par le pôle correspondant p (55);

» 6° Les mêmes choses ont lieu à l'égard du cercle (*} et des » cordes qui lui sont communes avec (c), {c')t (C) et (C); » ainsi, par exemple, sa corde TT', commune avec (C), ou » la polaire de s dans ce cercle, passe par le pôle P de AB;

» 70 Enfin les pôles r et tt' de la corde mn9 commune aux » cercles (c) ei (c'), sont rangés respectivemeni sur les cordes » de contact AB et A' B' appartenant aux cercles (C) et (C), » et pareille chose a lieu pour la corde MN. »

Cette dernière conséquence se démontre en observant que, puisque P est le pôle de AB dans le cercle (C), par exemple, la droite S m, qui passe par ce point, doit avoir réciproquement pour pôle un point de AB (51).

58. Deux cordes homologues inverses quelconques, telles que AB et A'B', déterminent évidemment toujours deux circonférences de cercle (c) et(c') tangentes aux cercles (C) et(C'); mais nous venons de voir que les pôles de ces mêmes droites sont rangés sur une nouvelle droite passant par le centre de similitude S ; donc on peut énoncer ce théorème :

Théorème XII. — Les pôles respectifs P et P' de deux cordes homologues inverses quelconques AB et A'B', sont rangés sur une ligne droite passant par le centre de similitude correspondant S, c'est-à-dire qu'ils sont eux-mêmes homologues inverses à regard de ce point.

59. Quand les deux transversales SA et SB viennent à se confondre en une seule, les cordes homologues dont il s'agil

DES SECTIONS CONIQUES. 4i3

peuvent également se confondre avec elles ; les points P et P' deviennent, dans cette hypothèse, les pôles de la nouvelle sécante, et comme sa direction demeure pourtant arbitraire, il en résulte ce nouveau corollaire :

Théorème XIII. — Les pôles de toute ligne droite, passant par l'un des points de concours des tangentes à la fois communes à deux circonférences de cercle situées sur un même plan, sont rangés sur une nouvelle droite passant réciproquement par ce point.

60. Cette proposition, qui est, comme la précédente, une conséquence très-simple de celle de l'article 56, est tellement caractéristique, que, dès l'instant où elle subsiste à l'égard de deux cercles et d'un point situés sur un même plan, il faut nécessairement que ce point soit un de ceux où concourent les tangentes communes à ces cercles. Il est visible, en effet, que lorsque la transversale qui passe par ce point devient tangente à l'un des deux cercles, elle devient nécessairement aussi tangente à l'autre, car les deux pôles correspondants se trouvent alors à la fois sur cette transversale.

61. On pourra objecter contre cette démonstration qu'elle n'est applicable qu'au cas où le point que l'on considère est extérieur aux cercles qui lui correspondent; mais, outre que l'extension d'un cas à l'autre peut avoir lieu directement, en invoquant le principe de continuité, puisque les systèmes correspondants sont assujettis à la même loi et ne diffèrent que par la transposition des parties, on peut encore choisir un tour de démonstration qui soit indépendant de la condition dont il s'agit ; mais alors les conséquences seront de nouveau restreintes au cas où la transversale, passant par le point donné, serait susceptible de couper à la fois les deux cercles.

En effet alors, et en vertu de la propriété ci-dessus, ce point est nécessairement placé quelque part sur la ligne des centres; cela résulte immédiatement de la discussion. Soient donc (C), (C) et Sies deux cercles et le point donné {fig. 161); SA une transversale arbitraire passant par S, mais rencontrant à la fois les deux cercles; traçons les tangentes aux points d'inter-

m V CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES section, afin d'obtenir les pôles P et P' de la droite SA; menons enfin les rayons CA, C'A7 et les droites CP, C'P% qui

Fig. 161.

sont nécessairement perpendiculaires à la droite SA, et par suite parallèles entre elles; on aura évidemment

CA=CD.CP, CA'^C'D'.CP', d'où ^ ^

CAa:CA,a::CD.CP:C'D\CF;

mais les triangles respectivement semblables CDS et G' If S, CPSetC'P'S donnent

CD : CD':: CS : C'S, CP:C'P'::CS:C'S; donc