CA:C'A'::CS:C'S

relation qui apprend que les rayons CA et C'A' sont toujours parallèles, ce qui ne peut convenir qu'aux deux points de concours des couples de tangentes extérieures ou intérieures, communes aux cercles (C) et (C), soit que ces tangentes subsistent ou ne subsistent pas.

62. Ces deux démonstrations comprennent évidemment tous les cas possibles; car, d'après la propriété dont jouit le point S que l'on considère, ce point doit nécessairement être, ou tout à fait intérieur aux deux cercles, ou tout à fait extérieur à ces mêmes cercles. Dans le premier cas, les transversales passant

DES SECTIONS CONIQUES. 4i5

par ce point rencontreront à la fois les deux cercles ; dans le second, les tangentes issues de ce point seront possibles. On peut donc affirmer généralement que :

c Si un point, situé sur le plan commun à deux circonfé- » renées de cercle, est tel, que les pôles d'une droite quel» » conque passant par ce point soient rangés sur une nouvelle » droite passant réciproquement par le même point, ce point » est nécessairement un de ceux où se coupent deux tan- 9 gentes communes aux cercles proposés. *

63. La difficulté que nous venons de rencontrer dans la démonstration de ce théorème provient de ce qu'il existe d'autres points que les centres de similitude directe et opposée qui jouissent de la propriété examinée , car nous venons de voir qu'il n'y a pas de nécessité que les droites issues de ce point rencontrent à la fois les deux cercles, caractère qui appartient proprement aux deux centres dont il s'agit ; toutefois, comme, dans le cas contraire, ce point doit nécessairement être situé au dehors des deux cercles, il faut, d'après ce qui précède, qu'il appartienne toujours à la mutuelle intersection de deux tangentes communes ; ce sera donc un des quatre points qui sont la rencontre de deux tangentes communes de différente espèce. Or on peut démontrer directement, et nous aurons occasion de démontrer plus tard, qu'en effet chacun de ces quatre points jouit à l'égard des deux cercles de la propriété ci-dessus énoncée (56), propriété qui n'a encore été établie jusqu'ici que pour les points de concours des tangentes communes de même espèce, c'est-à-dire que pour les centres de similitude de ces cercles.

Ainsi, la propriété qui nous occupe appartient à la fois aux six points où peuvent concourir deux à deux les tangentes communes aux deux circonférences de cercle ; ces points forment donc séparément autant de systèmes assujettis à la même loi, et il n'y a de différence entre eux que dans la situalion respective des lignes et dans la réalité ou la non-réalité des points d'intersection qui leur correspondent.

Nous avons beaucoup insisté sur cet exemple particulier, afin de montrer combien l'admission ouverte du principe de continuité en Géométrie rationnelle, peut abréger et même

ji6 Ve CAHIER. — ESSAI SUR LES PROPRIETES PROJECÏIVES faciliier les démonstrations et les recherches. Il est visible, ea . effet, qu'en adoptant les conséquences de ce principe, il n'y a point de nécessité de refaire ia démonstration de l'article 60, et que cette démonstration est aussi satisfaisante que complète. Dans des cas plus compliqués, l'avantage de l'admission du principe est bien autrement évident : nous en rencontrerons de nombreux exemples dans le cours de ces recherches ; il nous suffit d'en avoir donné dès à présent une idée.

64. Les diverses propriétés qui nous ont occupés dans ce qui précède conduisent d'une manière si naturelle, si directe, à celles du cercle tangent à trois autres situés sur un plan, que nous ne croyons pas devoir nous abstenir de les rapporter ici, quoiqu'elles appartiennent à un sujet tant de fois traité par de savants et illustres géomètres. D'ailleurs, comme ces propriétés se rattachent d'une manière intime à la théorie des cordes et des tangentes communes aux circonférences de cercle, et que nous aurons même occasion par la suite de les étendre aux sections coniques en général, je pense qu'on me pardonnera facilement l'espèce de digression qu'elles amènent pour le moment.

65. Considérons donc le système de trois circonférences' de cercle (C). (C), (C"), Jlg. 161 , situées sur un même pian; on sait qu'à ces trais

cardes répondent toujours six centres de similitude directe ou opposée,

distribués, trois à trois, sur quatre lignes droites ou axes de similitude; examinons en particulier celui de ces axes qui renferme les trois centres S, S', S" de similitude directe , et qui correspond par conséquent aux cercles (c) et (c'), ayant à la fois un contact de même espèce avec les trois cercles proposés (55) ; ce que nous dirons de cet axe sera immédiatement applicable à chacun des trois autres et aux systèmes de cercles tangents qui leur correspondent respectivement. Cela posé, on conclura directement de l'article 57, et sans qu'il soit besoin de recourir à de nouveaux raisonnements, que :

« i° Le centre de similitude s des cercles tangents (c) et [c') est, à la fois, sur chacune des trois cordes communes aux cercles proposés, et se trouve par conséquent à leur intersection mutuelle.

a a° La corde commune aux mômes cercles passe à la fois par S, S', S", et se confond par conséquent avec l'axe de similitude S S' S" des cercles proposés.

» 3° La ligne des centres de ces cercles, qui passe par .v, est par suite perpendiculaire à cet axe.

» 4° Si Ton trace le cercle TT'T" ou (.y), qui a s pour centre et pour rayon une quelconque des tangentes aux cercles (C), (C), (C), issues de ce même point, il coupera à la fois orthogonalement ces trois cercles, et aura SS'S" pour corde commune avec les cercles tangents (c) et (c').

» 5° Si Ton trace les trois cercles (S), (S'), (S") qui appartiennent aux cercles (C), (C), (C) pris deux à deux (55), ils auront respectivement même corde commune avec ceux qui leur correspondent, et couperont à la fois orthogonalement les cercles (c), (c') et (.v); de sorte que, ayant, leurs centres sur Taxe de similitude S S' S", ils appartiendront à la série orthogonale réciproque de ces cercles, et auront par conséquent la droite des centres c et c' pour corde commune (36, 39).

9 6° Les trois points de contact A, À', À" ou fi, B', B", qui appartiennent à chaque cercle tangent aux proposés sont, deux à deux, sur trois droites concourant respectivement aux centres de similitude S, S', S" qui leur correspondent, en sorte que les trois cordes de contact AB, A'B', A"B" sont, dans le même ordre, homologues inverses.

» 7° Ces cordes de contact passent toutes trois par le centre de similitude s des cercles (c) et (c'), c'est-à-dire par le point de concours unique des cordes deux à deux communes aux cercles proposés.

» 8° Les pôles P, P', P" de ces cordes respectives sont tous trois rangés sur la corde commune à (c) et (c'), c'est-à-dire sur Taxe de similitude SS'S" que l'on considère.

» 90 Les cordes Tr, TV, TV, deux à deux communes au cercle (s) et aux cercles proposés, c'est-à-dire les polaires qui correspondent à ces cercles et au point $, vont concourir respectivement aux pôles P, P', P* dont il s'agit.

» io° Les pôles w, *', w* de Taxe de similitude SS'S", dans chaque n. 97

4i8 Ve CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

cercle proposé, sont situés respectivement sur les trois cordes de contact AB, A'B'et A'B".

» ii° Enfin, ces mêmes pôles sont deux à deux homologues inverses, c'est-à-dire qu'ils sont, dans le même ordre, sur des droites passant par les centres de similitude S, S', S" correspondants (59). »

A ces diverses propositions on pourrait joindre la suivante, bien facile à démontrer :

a ia° Les centres des cercles tangents (c) et (c') se trouvent à la fois situés sur trois sections coniques, ayant chacune pour foyers deux des centres des cercles proposés, et pour grand axe la différence des rayons qui leur correspondent respectivement. »

66. Voilà en peu de mots, tout ce qu'on connaît d'intéressant sur le cercle tangent à trois autres décrits sur un plan. Les Propos. III, YUI et IX donnent la solution du problème correspondant, qui appartient à M. Gaultier de Tours (*), mais un peu généralisée; les VII* et Xe donnent une solution qui revient, quant au fond, à celle qu'a présentée du même problème, M. Gergonne, rédacteur des Annales de Mathématiques.

Les mêmes considérations vont nous conduire à une autre solution non moins directe et non moins simple que les premières , et qui jouit avec elles de l'avantage de pouvoir être exécutée avec la règle seule, quand on a la connaissance préalable des centres de similitude qui appartiennent deux à deux aux cercles proposés.

67. Nous venons de voir que le cercle (s), orthogonal à k fois aux cercles (C), (C), (C"), et qui a son centre au point s où se coupent les cordes communes à ces cercles, a lui-même l'axe de similitude SS'S" pour corde commune avec les cercles tangents (c) et (c'); mais, au moyen des remarques de l'article 54, on peut facilement déterminer un cercle quelconque de la suite à laquelle il appartient, ainsi qne (r) et (<?'), sans la connaissance préalable du point s.

Par le centre de similitude S [fig. i63), menons en effet une transversale quelconque SA dans les cercles correspondants (C) et (C), pour obtenir deux points À et A' homologues inverses (54); par l'un de ces points, par Le point A, par exemple, menons de nouveau la transversale S'A dirigée au centre de similitude S', et rencontrant le troisième cercle (C) au point A" homologue inverse de A; par les points A, A', A" ainsi obtenus, faisons passer une circonférence de cercle, elle rencontrera de nouveau 4cs proposées aux points B, B', B", et appartiendra nécessairement à la suite des cercles (r) et (c')\ car, par construction, elle est

(*) Voir le Mémoire déjà cité (40), où se trouvent aussi exposées d'une manière synthétique les propositions qui viennent de nous occuper.

orthogonale à la fois aux cercles (S) et (S'), n° 55, ce qui no peut avoir Heu à moins qu'elle n'appartienne à la suite réciproque de ces cercles

Fig. i63.

(36, 39) et du cercle (S"), puisque ce dernier a même corde commune avec les deux autres, c'est-à-dire à la suite (c), (c'J.

Il résulte de là immédiatement et de la construction du cercle dont il s'agit, que si Ton trace les droites BB', BB", B'A", B"A', ainsi que les cordes AB, À' B' et A"B*, qui sont communes à ce cercle et à chacun des proposés :

« i° Chacune des premières ira concourir (54, 55) au centre de similitude directe S, S' ou S" des deux cercles auxquels cette droite correspond, en sorte que les trois autres droites ou cordes AB, A'B', A"B" seront deux à deux homologues inverses.

» a0 Ces trois cordes iront concourir respectivement aux points P, P', P" déterminés ci-dessus , pôles invariables des cordes de contact des deux cercles (c), (cr) tangents aux proposés (56).

» 3° La figure ÀA'B'BB'A'A, dont les sommets s'appuient deux à deux sur les cercles proposés et qui est en même temps inscrite au cercle (c") de la suite .que Ton considère , forme naturellement un hexagone fermé dont les côtés opposés vont respectivement concourir aux centres de similitude S, S', S", et les diagonales AB, A'B', A'B", qui joignent les Sommets opposés aux trois points P, P', P" désignés ci-dessus. »

68. D'après cela, réciproquement, si l'on essaye à volonté de construire un hexagone tel que celui qui précède, dont les sommets s'appuient sur les cerclée proposé» et soient deux à deux consécutivement homologues

4*o V* CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

inverses (54) à l'égard des cercles et du centre de similitude auxquels ils appartiennent, il arrivera que :

« i° Cet hexagone viendra naturellement se refermer au point pris pour sommet de départ.

» 2° Cet hexagone sera inscriptible à une même circonférence de cercle, appartenant à la suite que déterminent les cercles tangents à la fois aux proposés.

» 3° Les diagonales qui joignent les sommets opposés de cet hexagone viendront rencontrer Taxe de similitude SS'S" aux pôles invariables P, P\ P" des cordes de contact des cercles tangents dont il s'agit. »

69. Si Ton se proposait seulement de déterminer le pôle P" et la corde de contact qui lui correspond dans le cercle (C), la description de l'hexagone deviendrait inutile; car il résulte de ce qui précède, que si, au lieu de tracer l'hexagone tout entier, on s'arrête aux trois premiers côtés A" A, AA', A'R", en prenant pour sommet de départ un point quelconque A* du cercle que Ton considère, on formera naturellement une portion de polygone A'AA'B", dont les sommets extrêmes A*, B", ceux qui correspondent au cercle (C) que Ton considère, appartiendront à Tune des diagonales de l'hexagone ci-dessus, et seront par conséquent situés sur une droite passant par le pôle P" cherché.

Cette nouvelle propriété peut s'exprimer ainsi :

« Si l'on construit à volonté une portion de polygone A'AA'B" com- » posée de trois côtés, dont les sommets soient consécutivement et deux » à deux homologues inverses, ses sommets extrêmes A" et B" seront » nécessairement à un même cercle (C) et, en général, distincts entre » eux; mais, si l'on trace la droite A"B" qui les renferme à la fois, elle » concourra sans cesse au pôle P" appartenant à ce cercle. »

70. En appliquant aux diverses considérations qui viennent de nous occuper, les conséquences du principe de continuité, on arrive directement à quelques corollaires faciles, qu'il ne sera pas hors de propos d'examiner ici.

Considérons toujours, comme dans ce qui précède, le système de trois circonférences de cercle quelconques situées sur un même plan, et supposons qu'on leur ait mené les tangentes qui leur sont deux à deux extérieures communes, afin d'obtenir, par leurs intersections respectives, les trois centres de similitude directe S, S', S" qui leur appartiennent. Cela posé, imaginons que l'une des circonférences dont il s'agit glisse entre les deux tangentes qui lui sont communes avec l'une des deux autres, jusqu'à s'en rapprocher à une distance d'abord infiniment petite, puis ensuite nulle, c'est-à-dire jusqu'à se confondre avec le cercle fixe; concevons que, par suite du même mouvement, la dernière circonférence glisse également entre les deux tangentes qui lui sont communes avec le cercle

DES SECTIONS CONIQUES. 4*i

fixe, mais de manière cependant que le centre de similitude qui lui appartient, ainsi qu'au premier cercle variable , reste toujours à la même place, chose évidemment possible, il arrivera nécessairement que cette circonférence se rapprochant sans cesse de celle qui reste fixe, finira par s'y confondre en même temps que l'autre qui en dirige le mouvement : or, dans ce nouvel état du système, les divers objets de la figure devront jouir entre eux des mêmes propriétés que dans la figure primitive, pourvu qu'on ait égard aux modifications qui auront pu s'y opérer; donc, si l'on observe que les trois points S, S', S" peuvent tUre remplacés par trois points quelconques situés en ligne droite, on conclura immédiatement des n°° 68 et 69, ces deux nouveaux théorèmes appartenant à la Géométrie de la règle :

« i° Trois points en ligne droite étant donnés à volonté sur le plan » d'une circonférence de cercle , si l'on essaye d'inscrire à cette circonfé- « rence un hexagone dont les côtés respectivement opposés concourent aux » trois points en question , cet hexagone se refermera de lui-même sur » la courbe, quel que sçit le sommet ou le côté qu'on ait choisi pour » point de départ.

» a° Les mêmes choses étant données, si Ton inscrit, à volonlé, dans » ce cercle, un quadrilatère dont les trois premiers côtés concourent res- » pectivement aux points donnés, le dernier côté, resté libre, ira sans » cesse concourir en un quatrième point fixe, situé sur la droite qui ren- * ferme les trois autres. »

71. Le premier de ces théorèmes n'est, au fond, que la proposition connue sous le nom de YJiexagramme mystique de Pascal ; quant à l'autre, il fait partie d'une proposition beaucoup plus générale que nous avons énoncée, sans démonstration, dans un article inséré au tome VII des Annales de Mathématiques. Notre dessein, en les présentant ici, n'a pas été de les examiner en eux-mêmes, puisque nous nous proposons d'y revenir d'une manière générale par la suite, mais de faire voir seulement, par un exemple remarquable, comment l'admission de la continuité en Géométrie peut servir à étendre les conceptions et les idées, et comment aussi elle sert à établir une liaison étroite et intime entre des vérités et des figures en apparence distinctes.

Au reste, on pourrait déduire des considérations qui précèdent d'autres conséquences également remarquables, mais qui ne seraient pas ici à leur place, et nous feraient tout à fait perdre de vue l'objet véritable de ce paragraphe, dont nous nous sommes déjà beaucoup trop écartés; seulement, nous ferons remarquer, en terminant, que ces considérations sur les cercles tangents à trois autres s'appliquent immédiatement au système d'un nombre quelconque de circonférences de cercle également tangentes à deux autres sur un plan ; en sorte que la théorie qui précède, uniquement basée sur les propriétés des cordes réelles ou idéales communes,

4aa V* CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTTVES

donne tout ce que Ton peut désirer de plus général sur les cercles qui se coupent ou se touchent sur un même plan.

72. Toutes les propriétés que nous avons jusqu'ici établies pour le cas général de deux circonférences de cercle quelconques situées sur un même plan, subsistent évidemment, en tout ou en partie et avec les modifications convenables, dans les diverses circonstances particulières que le système de ces cercles peut présenter ; c'est une conséquence nécessaire et ici tout à fait évidente du principe de continuité. L'examen de quelques-unes de ces circonstances va nous servir à justifier, à posteriori, les notions exposées au commencement de ce paragraphe.

Et d'abord, on peut remarquer, en général, qu'il existe entre les cordes communes à distances finie et infinie, toutes deux ayant constamment lieu à la fois (31), une dépendance tellement intime, que; quand l'une est donnée, l'autre s'ensuit nécessairement et par une même loi; caria même construction, appliquée à chacune d'elles (51), donne simultanément les deux centres de similitude des cercles correspondants; or chacun de ces points est propre, à son tour (50), à donner simultanément des systèmes de droites concourant sur l'une et l'autre corde commune.

Cette liaison intime entre les deux cordes qui nous occupent, peut servir à justifier à posteriori et pour le cas du cercle, la définition admise à l'article 20 pour les cordes communes qui se rencontrent au dehors du périmètre des deux courbes; car elles forment naturellement ici un système de cordes conjuguées entre elles. Au reste, la dépendance qui lie entre eux les deux centres de similitude est non moins remarquable, et porte également à leur appliquer le nom de points de concours conjugués des tangentes communes. Nous étendrons plus tard le sens de cette définition, quand nous en viendrons à considérer les propriétés des cordes et des tangentes communes aux sections coniques en général. .

73. Pour passer maintenant à l'examen de quelques cas particuliers, supposons que les deux circonférences proposées deviennent concentriques.; d'après l'article 33, les deux cordes communes qui leur appartiennent, se confondent alors en une

seule située à l'infini. Or celte circonstance se retrace parfaitement à l'aide des considérations générales ci-dessus.

En effet alors, les centres de similitude directe et opposée se réunissent au centre commun des deux cercles , et si Ton trace par ce point, des transversales arbitraires pour obtenir des cordes homologues suivant la définition, il arrivera évidemment que celles qui sont inverses, et qui précédemment allaient concourir sur la corde commune à distance donnée, seront parallèles aux cordes homologues directes qui leur correspondent, et par conséquent concourront avec elles en des points à l'infini, ce qui exige que les cordes communes, elles-mêmes, se soient confondues à l'infini.

On voit qu'ici les propriétés des cordes homologues, directes ou inverses, acquièrent un grand degré d'évidence, à cause de la symétrie des deux cercles autour de leur centre commun. Or il en est de même de toutes les autres propriétés générales dont on s'est occupé dans ce qui précède, et chacune d'elles, en particulier, peut servir à prouver réciproquement que les cercles concentriques se comportent comme si leur corde commune ordinaire était passée à l'infini.

74. Concevons actuellement que l'un des deux cercles, au lieu de devenir concentrique à l'autre, comme dans la supposition précédente, acquière des dimensions infiniment petites ou se réduise à un point. D'après ce que nous avons vu (32), le système correspondant devra conserver encore, outre sa corde idéale commune à l'infini, une autre corde idéale commune à distance donnée, laquelle jouira des mêmes propriétés à l'égard de ce système.

Qu'on trace, par exemple, une circonférence de cercle quelconque passant par le point qui représente le cercle infiniment petit, la corde qui lui est commune avec ce dernier cercle sera évidemment la tangente au point en question ; jjuant à la corde commune à ce petit cercle et à celui du systènve proposé, elle devra concourir avec la première, sur la corde idéale commune de ce système, comme cela résulte du cas général, et pourrait facilement se vérifier à pridri.

Pareillement, si du point dont il s'agit, qui représente évidemment à la fois le centre du cercle infiniment petit et les

4*4 Ve CAHIER. — ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES deux centres de similitude du système, on mène une transversale arbitraire rencontrant le cercle donné en deux points, puis qu'on trace les deux tangentes qui correspondent à ces points et les deux parallèles à ces tangentes passant par le point donné, lesquelles, de leur côté, représenteront (49) les tangentes du cercle inûniment petit, homologues aux premières, il arrivera que les tangentes homologues non directes ou qui se rencontrent, iront concourir sur la corde idéale commune au système du point et du cercle proposé (50).

Pour démontrer en particulier cette dernière assertion d'une manière tout à fait directe, soient (C ) et ( G'), jig. 164, le cercle

Fig. i(î/|.

et le point proposés, CD une transversale arbitraire passant par C et rencontrant le cercle (C) en E et D ; parole point C soient menées les parallèles C'K et CL aux tangentes ET et DT, qui correspondent au cercle (C) et à la sécante CD : elles rencontreront les tangentes dont il s'agit aux points K et L qui, d'après l'hypothèse, appartiendront à la corde mn commune au système du point C et du cercle (C).

Considérons en particulier le point K, et abaissons de ce point la perpendiculaire indéfinie KO sur la ligne des centres CC; en regardant cette perpendiculaire' comme une corde idéale du cercle (C), on aura (28)