KD^KO'+OA.OB

mais, par .construction ,

KD =KC =KO -hOC ,

à cause que le triangle KDC est isocèle, et le triangle KOC rectangle; donc

ÔC^OA.OB,

ce qui est conforme à la définition (32) de la corde idéale commune au cercle (C) et au point C (*), et apprend que tous les points K sont sur cette droite indéfinie.

75. On pourrait pousser plus loin cet examen, mais les rapprochements que nous venons de faire doivent suffire pour justifier, quant à ce qui concerne la circonférence du cercle, les définitions et les nolions jusqu'ici admises. Dans ce qui suit, nous nous occuperons spécialement des principes de projection à l'aide desquels on peut ramener la recherche ou la démonstration des propriétés générales des sections coniques à celle des propriétés de la circonférence du cercle. En nous appuyant sur les diverses considérations présentées au premier paragraphe, nous établirons ces principes d'une manière entièrement géométrique et extrêmement simple, si on compare nos démonstrations à celles qu'on pourrait déduire de la Géométrie analytique. Mais, pour y arriver d'une manière qui soit en même temps naturelle, nous aurons à exposer quelques définitions et quelques notions déjà connues de la doctrine des projections, et c'est à cela que nous consacrerons le commencement du paragraphe ci-après.

§ IIL — Principes de la. doctrine des projections.

76. Dans ce qui suit, nous donnerons toujours au mot de projection le même sens que celui de perspective; ainsi la projection sera centrale.

(*) N'oublions pas que, en conservant à ces lignes droites le nom de coudes, nous entendons par là que le cercle correspondant ait reçu des dimensions infiniment petites, et non pas nulles; car autrement l'expression de corde ou sécante serait non-seulement peu naturelle, mais, encore absurde et opposée aux notions que nous avons jusqu'ici admises (1818).

4*6 Ve CAHIER. - ESSAI SDR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

Dans cette sorte de projection, la surface sur laquelle on projette la figure donnée peut être quelconque ; cette figure elle-même peut être située arbitrairement dans l'espace ; mais cette grande extension étant inutile à l'objet des recherches qui suivent, nous supposerons toujours que la figure donnée et la surface de projection soient Tune et l'autre planes.

Ainsi, que Ton conçoive que, d'un point donné pris pour centre de projection, parte un faisceau de lignes droites dirigées vers tous les points d'une figure tracée sur un même plan; si l'on vient à couper ce faisceau de droites projetantes par un autre plan disposé d'une manière arbitraire dans l'espace, il en résultera sur.ce plan une nouvelle figure, qui sera la projection de la première.

77.. Cette projection ne change évidemment ni la disposition, ni le degré des lignes de la figure primitive, ni, en général, toute espèce de dépendance graphique entre les parties de cette figure, qui ne concernerait que la direction indéfinie des lignes, leur intersection mutuelle, leur contact, etc.; mais elle pourra faire varier seulement l'espèce particulière de ces mêmes lignes, et, en général, toutes les dépendances qui concerneraient des grandeurs constantes et déterminées , telles que : ouvertures d'angles, paramètres, etc. Ainsi, par exemple, de ce qu'une ligne est normale à une autre dans la figure primitive, on ne saurait en conclure qu'elle le soit dans la projection de cette figure sur un nouveau plari.

Toutes ces propriétés de la projection centrale résultent, d'une manière purement géométrique, de sa nature propre et des notions les plus communément admises , et il n'est pas besoin de recourir à l'Analyse algébrique pour les reconnaître et les démontrer; notamment, pour prouver qu'une ligne du degré m reste de ce degré dans la projection, il suffit de remarquer que, la première ne pouvant être coupée en plus de m points par une droite arbitraire tracée dans son plan, il devra nécessairement en être de même de l'autre, puisque la projection d'une droite est toujours une ligne droite passant par tous les points qui correspondent à ceux de la première*

Une figure, dont les parties n'auront entre elles que des dépendances graphiques de la nature des précédentes, c'est-

à-dire des dépendances indestructibles par l'effet de la projection, sera généralement appelée, dans ce qui va suivre» figure projectile.

Ces dépendances elles-mêmes, et, en général, toutes les relations ou propriétés qui subsistent à la fois dans la figure donnée et dans ses projections, seront appelées également relations ou propriétés projectiles.

78. II résulte de la nature même des propriétés projectives, telles que nous venons de les définir, que, voulant établir une semblable propriété sur une figure donnée, il suffira de démontrer qu'elle a lieu pour Tune quelconque de ses projections. Or, parmi toutes les projections possibles de cette figure, il peut en exister qui soient réduites à des circonstances plus simples, et sur lesquelles la démonstration ou la recherche qu'on se propose devienne d'une première facilité et n'exige qu'un léger coup d'œil, ou, tout au plus, la connaissance de quelques propriétés élémentaires de la Géométrie. Par exemple, la figure renfermant, en particulier, une section conique, pourra être regardée comme la projection d'une autre, pour laquelle la section conique sera remplacée par une circonférence de cercle, et cette seule remarque suffira pour ramener les questions les plus générales des sections coniques à d'autres qui soient purement élémentaires.

On conçoit, d'après cela, de quelle importance peut être la doctrine des projections pour toutes les recherches géométriques, et combien les considérations qu'elle offre peuvent abréger et faciliter* ces recherches. C'est ainsi que déjà, quelques géomètres de notre époque démontrent, d'une manière fort élégante, diverses propriétés nouvelles et curieuses de la Géométrie de la règle, qu'il serait aussi pénible que difficile de démontrer de toute autre manière.

79. Une figure étant donnée, tout se réduit, comme on le voit, à rechercher celle de ses projections qui présentera des circonstances plus élémentaires et plus propres par leur simplicité, à faire découvrir les relations particulières que l'on a en vue. La doctrine des projections fournit déjà quelques principes pour y parvenir, mais il s'en faut de beaucoup qu'elle n'en puisse fournir encore d'autres, et notre objet actuel est

4a8 Ve CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

précisément de les rechercher el de les faire connaître, d'une manière purement géométrique, à l'aide des notions établies dans le premier paragraphe de ce Mémoire.

Pour mettre dans cette exposition de Tordre et de la clarté, nous commencerons par rappeler, d'une manière succincte, ceux des principes de projection qui, déjà connus des géomètres, peuvent être utiles à l'objet particulier de ces recherches, à cause de leur extrême simplicité ; nous nous contenterons d'en rapporter l'énoncé sans nous attacher à en donner la démonstration, qui, d'ailleurs, est on ne peut plus facile, pour ne pas dire évidente.

80. Théorème I. — Le système d'un nombre quelconque de droites situées dans un même plan, et ayant un point de concours unique, peut toujours être regardé comme la projection d'un autre système composé d'un égal nombre de droites parallèles, situées aussi sur un même plan.

Il suffit évidemment, pour que cela ait lieu, que le plan de projection soit parallèle à la ligne droite qui joint le point de concours du premier système au centre, d'ailleurs arbitraire, de projection. Réciproquement :

Théorème II. — Le système d'un nombre quelconque de droites parallèles, situées sur un même plan, a toujours pour projection un égal nombre de droites concourant en un point unique, sauf le cas particulier où ces droites demeurent parallèles; ce qui arrive quand le plan de projection est lui-même parallèle aux droites données.

81. Dans l'un et l'autre cas, le point de concours du second système est sur une droite projetante parallèle au plan du premier.

Ces deux propositions donnent l'interprétation géométrique de cette notion généralement admise : les droites parallèles concourent en un point unique à V infini. On voit, en effet, que les points de concours à distance infinie ou à distance donnée, s'échangent réciproquement par l'effet de la projection.

En admettant cette notion, et l'étendant à des lignes courbes quelconques, on peut généraliser ainsi les théorèmes bien connus qui viennent de nous occuper.

Théorème III. — Une figure plane quelconque, qui renferme un système de droites ou de courbes ayant un point de concours commun, peut toujours être regardée comme la projection d'une autre, du même genre, dans laquelle le point de concours est passé à Hnfini et les lignes correspondantes sont devenues parallèles. Réciproquement :

Théorème IV. — Une figure plane quelconque, qui renferme un système de lignes droites ou courbes parallèles, ou concourant A l'infini, a toujours pour projection une figure de même genre, dans laquelle les lignes correspondantes concourent en un point commun à distance donnée, projection de celui du premier système.

82. Ici, comme dans le Théor. II, le point de concours de la projection peut être situé lui-même à l'infini, comme celui d'où il provient, dans le cas particulier où le plan de projection est parallèle au plan de la figure primitive.

Nous ferons remarquer aussi que, d'après la nature même de la projection centrale (78), si le point de concours que l'on considère était en même temps un point de contact pour certaines lignes de la figure primitive, son correspondant serait également un point de contact pour la projection de ces mêmes lignes; de sorte que, le point passant à l'infini, les lignes en question deviendraient tangentes à l'infini au lieu d'être simplement parallèles ; ce qu'on exprime ordinairement en disant qu'elles sont asymptotiques.

D'ailleurs, elles seraient asymptotiques du premier, du second, . . . , ordre, si les primitives étaient elles-mêmes osculatrices de cet ordre.

83. Théorème V. — Deux ou un plus grand nombre de systèmes de droites situées sur un même plan, et qui concourent, dans chaque système en particulier, en un point unique, peuvent être considérés, quand tous les points de concours sont rangés sur une même ligne droite, comme la projection d'un égal nombre de systèmes particuliers de droites parallèles, mais ayant une inclinaison différente, selon le système auquel elles appartiennent.

Il suffit évidemment, pour que cela ait lieu, que le plan de

43o V CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

projection soit parallèle à celui qui renferme la droite des points de concours de la figure primitive et le centre, d'ailleurs arbitraire, de projection. Réciproquement :

Théorème VI. — Deux ou un plus grand nombre de systèmes particuliers de droites parallèles, situées sur un même plan, ont, en général, pour projection un égal nombre de systèmes différents de droites concourant séparément en un point unique, et tels que tous les points de concours semblables sont rangés sur une seule et même ligne droite.

84. Dans le cas particulier où le plan de projection se trouve être parallèle à celui de la figure primitive, les droites qui étaient parallèles demeurent parallèles ; ainsi, dans ce cas, les points de concours et la droite qui les renferme demeurent tous à l'infini, comme dans la figure primitive.

Les deux propositions qui viennent de nous occuper sont susceptibles d'être ainsi généralisées, au .moyen des remarques que contient l'art. 81.

Théobbmb VII. — Une figure plane quelconque, où entre urne certaine ligne droite, peut être considérée comme la projection d'une autre, dans laquelle la droite correspondante est passée tout entière à l'infini; de sorte que tout systètne de lignes qui concourent en un point de la première droite, sur la figure primitive, est devenu un système de lignes parallèles ou concourant à l'infini dans la projection considérée. Réciproquement :

Théorème VIII. — Une figure plane quelconque, qui renferme un nombre arbitraire de systèmes de lignes, droites ou courbes, respectivement parallèles, c'est-à-dire qui concourent à l'infini dans chaque système respectif, a, en général, pour projection une autre figure dans laquelle les points de concours à l'infini de la première se trouvent rangés sur une seule et même ligne droite, à distance donnée et finie.

85- Ces diverses considérations, déduites uniquement des principes élémentaires de la projection centrale, peuvent servir à interpréter et à justifier même cette notion métaphysique que nous avons déjà fait connaître (27):

« Tous les points situés à l'infini sur un plan peuvent être

j» considérés idéalement, comme distribués sur une ligne j> droite unique, mais indéterminée de situation, d

On voit, en effet, par ce qui précède, que tous ces points sont représentés en projection par ceux d'une ligne droite unique, située, en général, à une distance donnée et finie. Quant à la direction de la droite à l'infini, on doit évidemment la regarder comme indéterminée par rapport à celle des autres lignes de la figure ; car, quelle que soit la direction d'une droite donnée sur un plan, on peut toujours concevoir qu'elle se transporte, parallèlement à elle-même, à une distance infinie sur ce plan, auquel cas elle doit se confondre avec celle qui, selon ce qui précède, renferme nécessairement tous les points à l'infini du même plan.

Cette notion paradoxale reçoit ainsi un sens fixe et déterminé, quand on l'applique à une figure donnée sur un plan, et ►qu'on suppose cette figure mise en projection sur un autre plan quelconque. L'indétermination observée dans la direction de la droite à l'infini vient précisément de l'indétermination même qui existe dans celle du plan qui projette cette droite, au moment où il va devenir parallèle au plan de la figure donnée ; mais on voit aussi que cette indétermination n'a lieu que parce qu'on persiste à donner mentalement une existence réelle à la droite de leur intersection commune, quand ils deviennent tout à fait parallèles et que cette droite passe à l'infini. Au reste, l'indétermination n'existe véritablement que dans la loi ou la construction primitive qui donnait cette droite lorsqu'elle était constructible, et non dans sa direction même, puisque réellement elle cesse alors d'exister d'une manière purement géométrique.

86. Ces observations générales sont parfaitement d'accord avec les remarques particulières que nous avons eu occasion de faire aux nos 2b et 27. On trouvera, peut-être, que nous aurions dû rapprocher entre elles les considérations d'où elles dérivent, en nous occupant d'abord de la projection des figures ; mais, ainsi que nous l'avons déjà fait observer au commencement de ces recherches, en suivant cette marche nous aurions risqué de faire perdre au sujet principal le degré de simplicité et d'uniformité dont il peut être susceptible;

43a Ve CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

Notre objet d'ailleurs, ea présentant ces remarques dès le Ier paragraphe, a été moins de justifier certaines notions de l'infini, que de donner, à l'avance, une idée des conséquences abstraites auxquelles pouvait conduire la considération des cordes communes aux systèmes de coniques.

Revenons maintenant à notre sujet principal, que les discussions précédentes nous ont fait un instant abandonner*

87. Aux principes de projection ci-dessus, dont la démonstration géométrique est facile et généralement connue, nous pourrions ajouter celui qui consiste à dire a qu'une sec- » tion conique quelconque peut être regardée comme la pro- *> jection d'une circonférence de cercle; » mais ce principe n'est autre que la définition même des sections coniques, et il se trouve d'ailleurs implicitement compris dans l'énoncé de ceux qui vont nous occuper.

On peut remarquer, en outre, que, dans tous les principes qui précèdent, rien ne fixe la position du centre de projection dans l'espace : elle est tout à fait arbitraire, et, pour un point quelconque donné, on pourra toujours remplir l'une ou l'autre des conditions prescrites. 11 n'en est pas ainsi des principes qui suivent, ils ne peuvent avoir lieu que pour une série de positions particulières du centre de projection, et, comme la démonstration en est assez difficile et n'est pas encore connue des géomètres, .pous croyons devoir nous y arrêter quelque temps et la donner d'une manière complète.

88. Théorème IX. — Une figure plane quelconque, où entrent une certaine ligne droite et une certaine section conique, peut, en général, être regardée comme la projection d'une autre* pour laquelle la droite est passée entièrement à l'infini et la section conique est devenue une circonférence de cercle; de sorte que, suivant le Théor. VII, tout système de lignes continues qui concouraient en un point de la droite en- question dans la première figure, est devenu un système de lignes parallèles dans la projection, et vice versa.

Pour démontrer ce principe d'une manière complète, et qui ne laisse absolument rien à désirer sous le point de vue purement géométrique, nous supposerons qu'il s'agisse de résoudre Ta question suivante :

Étant données à volonté, sur un plan, une droite MN et

une section conique (C), Jig. i65, trouver un centre et un

Fig. if>5.

plan de projection tels, que la droite donnée 5|N soit projetée à l'infini sur ce plan, et que la section conique (C) y soit en même temps représentée par un cercle.

Supposons le problème résolu. Soit S le centre de projection; concevons le cône oblique qui aurait son sommet en ce point et pour base la section conique donnée : ce sera la surface conique projetante de cette courbe; concevons pareillement, par le même point, un plan qui passe par la droite donnée MN : ce sera le plan projetant de cette droite. D'après les conditions du problème, il doit exister un certain plan de projection qui coupe la surface conique projetante suivant une circonférence de cercle, et le plan projetant suivant une droite à l'infini, c'est-à-dire qu'il doit être parallèle à ce dernier plan; or, ces deux conditions sont incompatibles si le plan projetant et la surface du cône projetant se pénètrent. Donc :

«r i° La droite donnée MN doit être située tout entière au » dehors delà section conique (C), c'est-à-dire qu'elle doit *> en être corde ou sécante idéale. »

En second lieu, si ces conditions sont remplies par rapport à un certaifi plan, elles le seront évidemment aussi pour tous les plans parallèles; car les sections parallèles de la surface ii. a8

434 Ve CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES projetante sont nécessairement toutes semblables, et par conséquent circulaires, dans l'hypothèse actuelle.

Considérons en particulier, une de ces sections circulaires. Soit M'N' la trace de son plan sur celui de la base (C); cette trace sera parallèle à MN d'après ce qui précède, et, en supposant qu'elle rencontre cette base, elle y interceptera une corde M'N' qui sera commune à cette courbe et à la section circulaire correspondante; le milieu ou centre 0' de la corde M'N' sera d'ailleurs, comme on sait, situé sur le diamètre AB, conjugué à la direction de MN, et pareille chose aura lieu à l'égard de toute autre section circulaire parallèle à la précédente; de sorte que tous les centres 0' des cordes M'N', qui leur sont communes avec la section conique (C), se trouvent être distribués sur le diamètre AB, conjugué à leur direction commune et à MN.

Cela posé, concevons par le sommet S et par le diamètre AB un plan SAB que nous appellerons plan diamétral; ce plan coupera évidemment en deux parties égales toutes les cordes terminées à la surface conique projetante, et qui sont parallèles à M'N' ou MN. Donc sa trace sur le plan de chaque section circulaire M'N' sera un diamètre D'E' de cette section, perpendiculaire, en son milieu CK, à la corde correspondante M'N', et, par conséquent, sa trace SO sur le plan projetant SMN, parallèle à ceux de ses sections circulaires , sera aussi perpendiculaire sur le milieu 0 de la corde idéale MN; car elle est parallèle aux* cordes M'N'.

On conclut de là, que le sommet S doit nécessairement se trouver sur une certaine droite SO perpendiculaire à la corde idéale MN au centre 0 ; c'est-à-dire, en observant qu'il y a nécessairement une infinité de perpendiculaires semblables toutes situées dans un même plan, que :

< i° Le centre inconnu de projection doit être situé dans » le plan élevé perpendiculairement au centre O de la corde d idéale MN. »

Considérons actuellement ce qui doit se passer en particulier dans le plan diamétral SAB. Soient SA et SB les arêtes du cône projetant situées dans ce plan; D'E' la trace de ce plan sur 'celui de la section circulaire M'N', terminé de part et d'autre aux arêtes dont il s'agit. D'après ce qui précède, cette

trace est un diamètre du cercle correspondant, perpendiculaire sur le milieu 0' de la corde M'N' appartenant à ce même cercle ; de sorte qu'on a

Mais les lignes D'E' et SO étant parallèles, les triangles AO'D', AOS sont semblables, aussi bien que les triangles BO'E', BOS, et, par conséquent,

SO:OA::0'D':0'A, SOiOBcîO'E'iO'B,

ou, en multipliant par ordre,

s52:OA.OB::0'D,.0'E':0'A.O/B, et enfin

SO rOA.OB-.-.O'M' :0'A.O'B::B>: A»,

A et B étant les demi-diamètres conjugués à la direction de la sécante idéale MN (9).

Telle est la relation qui doit exister entre les lignes de la figure, pour que les sections que Ton considère soient des circonférences de cercle; or, cette relation apprend que la distance SO doit être égale (9, 12) à la demi-corde interceptée par MN dans la section conique supplémentaire de la proposée, qui correspond à la direction de cette droite; donc cette distance est constante, et, par conséquent ( * ) :

a 3° Le centre S de projection doit se trouver sur une cir- » conférence de cercle décrite du point 0 pour centre, avec fi l'ordonnée de la section supplémentaire dont nous venons » de parler pour rayon. »

i*«a>MM^t^

(*) La marche que nous venons de suivre pour établir cette proposition est entièrement rigoureuse et ne souffre aucune restriction ; car on peut toujours supposer qu'on ait choisi la corde M'N', de façon à rencontrer la section conique; mais on peut y arriver d'une manière beaucoup plus directe et plus simple, en invoquant le principe de continuité. En effet, O'M' étant une ordonnée commune à la fois au cercle de la section circulaire et à la coniqne (C), on doit avoir, quelle que soit cette section,

O'M' ou 0'D\OE':0'A.O'B::Ba:Aa,

A et B étant les demi-diamètres conjugués à la direction de MN. Or, pour

436 Ve CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PRQJECTIVES

Comme il n'y a aucune autre condition à remplir, on peut conclure qu'il existe une infinité de positions du centre auxiliaire S, qui satisfont aux données de la question proposée; mais, pour cela, il faut que la droite donnée MN, sans cesser d'avoir une situation générale et indéterminée à l'égard de la courbe, soit pourtant de l'espèce de celles que nous avons nommées cordes idéales, c'est-à-dire qu'elle ne doit pas rencontrer cette courbe; autrement, en effet, le rayon SO et, par suite, la circonférence qui renferme le centre de projection deviendraient entièrement imaginaires.

Ainsi, la proposition énoncée en tête de cet article est vraie pour une série de positions générales et indéterminées de la droite que l'on considère, et elle cesse de l'être pour une autre série de positions semblables de la même droite, ou, si l'on veut, elle devient purement idéale pour les positions qui correspondent à cette série. C'est dans ce sens seulement que nous avons prétendu dire, dans l'énoncé, que le principe avait lieu en général, à peu près comme on pourrait dire que, a d'un » point donné sur le plan d'un cercle, on peut, en général, » mener deux tangentes à ce cercle ». Cette manière de s'exprimer étant universellement admise dans l'Analyse des coordonnées, nous ne croyons pas qu'on puisse la récuser en Géométrie, ni, par conséquent, avoir des doutes sur le sens que nous lui attribuerons dans ces recherches.

La construction du problème que nous venons de résoudre dérive immédiatement de tout ce qui précède, et ne peut offrir aucune espèce de difficultés; au lieu delà rapporter ici, nous résumerons en peu de mots les conséquences ci-dessus qui la déterminent, en les énonçant sous la forme d'un théorème, comme il suit.

Théorème X. — Une section conique et une ligne droite étant

la section circulaire in&niment petite SMN, qui passe par le sommet

S, O'D'.O'E' devient SÔ , et O'A.O'B se change, de son côté, en OA.OB, en sorte que la relation trouvée prend cette nouvelle forme

SÔ'lOA.OB'.rB'lA*, comme il s'agissait de le démontrer. {Note de 1818. )

données à volonté sur un plan, la suite de tous les centres de projection susceptibles de projeter la figure sur un nouveau plan, de façon que la droite passe à V infini sur ce plan et que la section conique y devienne en même temps une circonférence de cercle, est distribuée sur une autre circonférence de cercle, unique et dont le plan est perpendiculaire sur le milieu de la droite donnée, considérée comme corde de la section conique correspondante, qui a précisément ce point milieu pour centre, et pour diamètre réel la corde interceptée par cette droite dans la section conique conjuguée à sa direction et supplémentaire de la proposée (*). Quant à la direction du nouveau plan de projection, elle est parallèle à celle du plan qui renferme à chaque instant la droite donnée et le centre auxiliaire de projection.

89. La question qui vienl de nous occuper donne lieu à quelques observations intéressantes qu'il ne sera pas hors de propos de faire connaître.

Nous ferons d'abord remarquer que le centre et le plan du cercle qui contient tous les sommets des surfaces coniques projetantes, ne cessent jamais d'avoir une existence réelle» quoique cette circonférence puisse d'ailleurs devenir imaginaire. La raison en est qu'il règne une très-grande analogie entre la question que nous avons résolue (fig. i65) pour la section conique (C) et celle où l'on se proposerait la même question pour la section supplémentaire correspondante à la droite donnée MN; car tout ce qui a été dit de l'une peut s'appliquer immédiatement à l'autre, de sorte que le centre et le plan du cercle qui renferme les sommets auxiliaires S, appartiennent à la fois et indistinctement à toutes les deux; seulement, cette circonférence elle-même devient imaginaire pour l'une quand elle est réelle pour l'autre, et vice versa. D'ailleurs on peut facilement s'assurer que le même centre et le même

(*) Algébriquement, cela revient à dire que le carré de ce diamètre est égal au carré de la corde interceptée dans la section conique donnée par la droite correspondante, mais pris avec un signe contraire ; de sorte que ce diamètre est réel ou imaginaire selon que l'inverse a lieu pour la corde correspondante. ( Note de 1818.)

438 Ve CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

plan de projection donnent simultanément une circonférence de cercle pour Tune des sections coniques, et une hyperbole

équilatère pour l'autre; car la relation O'M' =0'D,.0/Er, d'où nous sommes partis dans le cas du cercle, peut aussi appartenir à l'hyperbole équilatère, dont O'M' est l'ordonnée et D'E' le diamètre principal, pourvu que le point 0' soit supposé dans le prolongement et non sur la direction même de ce diamètre.

Ce qui vient d'être observé pour le centre et le plan du cercle qui renferme le sommet auxiliaire S, a également lieu pour le point P, projection unique, sur le plan de la base (C), de tous les centres I des sections circulaires M'N'D'E'; c'està-dire que ce point ne cesse pas d'être réel quoique le sommet S devienne tout à fait impossible. En effet, d'après l'observation précédente, il doit appartenir à la fois à la section conique proposée et à celle qui lui est supplémentaire par rapport à la direction de MN; en sorte qu'il est tantôt la projection des centres des sections circulaires, et tantôt la projection des centres des hyperboles équilatères correspondantes à la section conique proposée. Mais on peut, en outre, démontrer que le point P est entièrement invariable sur le plan de cette section conique, en faisant voir qu'il est le pôle de la corde ou sécante idéale MN.

D'abord il est visible que tous les centres I des sections circulaires D'E', sont placés sur une droite unique passant par S et située entièrement dans le plan diamétral correspondant SAB, en sorte que le point P, qui est un de ces points, se trouve situé sur le diamètre AB, conjugué à la direction de la droite indéfinie MN.

Secondement, si, au lieu de considérer, comme dans l'article pTécédent, une section circulaire quelconque M'N'D'E', on s'occupe en particulier de celle TT'DE qui correspond à P, on obtiendra, par la comparaison des triangles ÀPD et AOS, BPE et BOS, respectivement semblables, à cause des parallèles DE et SO,