OA:SO::PA:PD, OB:SO::PB:PE = PD

d'où

OA:OB::PA:PB

DES SECHONS CONIQUES. 43g

relation qui esl précisément celle qui définit le pôle de la droite MN (5), puisque d'ailleurs ÀBO est le diamètre conjugué à cette droite.

De là ce corollaire, qui nous sera utile.

Théorème XI. — Si l'on projette une section conique et une ligne droite sur un nouveau plan, de façon que la section conique devienne une circonférence de cercle et que la droite passe à l'infini, le pôle de cette ligne droite aura pour projection le centre même de la circonférence de cercle dont il s'agit. Réciproquement , si l'on projette une circonférence de cercle sur un nouveau plan quelconque, son centre aura pour projection le pôle de la ligne droite qui représente celle à 1* infini sur le plan de ce cercle.

90. Nous nous sommes beauco.up étendus sur la question à laquelle donne lieu le principe du n° 88, parce qu'elle est vraiment élémentaire, et qu'elle sert de base à toutes celles qui vont suivre; nous terminerons ce que nous avons à en dire, par faire observer que les raisonnements employés pour parvenir à sa solution demeurent, à quelque chose près, applicables à tous les cas possibles, même à celui où la section proposée est une circonférence de cercle. Le principe dont il s'agit est donc général quelle que soit la section conique que l'on considère, et il en est ainsi de toutes les conséquences dérivant de la proposition qui a servi à l'établir.

On peut remarquer, au surplus, que, dans le cas particulier du cercle, la section circulaire devient une section souscontraire du cône projetant, et que le rayon SO du cercle qui renferme à la fois tous les sommets auxiliaires de pareils cônes, est précisément égal à la tangente OT, menée du centre de la corde idéale MN à la courbe de base(C); circonstance qui rend extrêmement facile, pour le cas particulier du cercle, la construction du lieu des sommets auxiliaires S.

91. Théorème XII. — Une figure plane quelconque qui renferme une certaine section conique et un point, peut, en général, être considérée comme la projection d'une autre, pour laquelle la section conique est devenue un cercle, ayant précisément pour centre la projection de ce point.

Ce principe est un corollaire très-simple du Théor. XI.

44o Ve CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECT1VES

En effet, soient (C) et P (fi g. i65) la section conique et le point que Ton considère: si l'on détermine la droite MN, polaire de P, elle sera évidemment telle, qu'en lui appliquant, ainsi qu'à la section conique (C), la question résolue dans ce qui précède, le cercle de projection aura précisément pour centre (89) la projection du point donné P.

On voit, d'après cela, que la projection sera possible toutes les fois que le point P se trouvera situé dans l'intérieur de la section conique, ce qui laisse d'ailleurs sa" position entièrement arbitraire, et que, au contraire, la projection cessera d'être réelle ou deviendra purement idéale toutes les fois que ce point sera pris, d'une manière également arbitraire, au dehors de cette même courbe. Ainsi, le principe qui nous occupe est assujetti, en tout, aux mêmes conditions et aux mêmes limitations que celui du n° 88; comme lui, il est applicable à toutes les sections coniques possibles, et, en particulier, à la circonférence de cercle.

92. THfiORfeME XIII. — Une figure plane quelconque qui renferme deux sections coniques, peut, en général, être regardée comme la projection d'une autre, pour laquelle les sections coniques sont devenues des circonférences de cercle.

Ce principe peut être regardé comme un corollaire immédiat et presque évident de ce qui a été dit aux n°* 13, 14 et 88 ; car, d'après le n° 14, deux sections coniques situées sur un même plan ont, en général, des cordes idéales communes, et, d'après le n° 88, il paraît évident que, si l'on met l'une de ces coniques en projection , de façon qu'elle devienne un cercle, et que l'une des cordes idéales en question passe à l'infini, l'autre de ces coniques deviendra nécessairement, aussi une circonférence de cercle sur le plan de projection.

Quoique cette démonstration soit satisfaisante en elle-même, il nous paraît cependant utile, pour l'objet ultérieur de ces recherches, de faire voir qu'il n'existe, en effet, sur le plan des deux courbes, que les seules cordes idéales communes qui puissent remplir les conditions de l'énoncé du principe. Pour cela, nous nous proposerons de résoudre d'une manière complète la question suivante :

Étant données deux sections coniques quelconques sur un

même plan, déterminer la suite des centres et des plans de projection tels, que ces sections coniques soient représentées sur ces dernier* suivant deux circonférences de cercle (*).

Soient (C)et(C') les (jeux sections coniques données; nommons toujours S le centre auxiliaire de projection; il s'agit de déterminer ce centre de façon que les surfaces coniques projetantes, qui ont les courbes (C) et (C) pour bases, soient susceptibles d'être coupées chacune par un même plan, suivant une circonférence de cercle.

Imaginons, pour un moment, que la question soit résolue, si en effet elle peut l'être, et qu'on connaisse par conséquent la position du sommet S et celle du plan qui doit couper les deux cônes correspondants suivant des cercles; concevons, de plus, qu'on mène par ce sommet un plan parallèle au précédent, ce plan viendra couper celui des deux courbes (C) et (C) suivant une certaine ligne droite que j'appelle X, qui nous est inconnue, et dont nous nous proposons actuellement de déterminer la position.

D'après ce qui a été démontré au n° 88, la droite inconnue X, qui se trouve nécessairement projetée à l'infini sur le plan des deux cercles, doit être telle que, si on la considère comme corde de la courbe (C), et que, par son centre, on lui

(*) Cette question intéressante a été proposée, à peu prés dans les mêmes termes, aussi bien que la démonstration du principe qui en est la conséquence, à la page ia8 du tome VII des Annales de Mathématiques. M. Brianchon s'est même servi, longtemps auparavant, de ce principe dans un Mémoire inséré au X* cahier du Journal de î École Polytechnique, mais sans en faire connaître d'ailleurs la démonstration. Je ne sache pas que, depuis l'appel fait aux géomètres dans les Annales, personne soit encore parvenu à une démonstration ou à une solution bien satisfaisante. L'ébauche purement algébrique qui en a été publiée dans le volume déjà cité des Annales est plutôt propre, en effet, à faire sentir la difficulté de la question qu'à la résoudre. Au reste, cette difficulté tient au fond même des choses, et dépend très-peu de la marche algébrique que Ton peut mettre en usage; car l'Analyse doit naturellement conduire, dans tous les cas, pour la courbe lieu des centres auxiliaires de projection , à une équation du 12* degré, décomposable en facteurs du a* degré, représentant autant de circonférences de cercle, mais inséparables d'une manière purement rationnelle. ( Note de 1 81 8. )

44* Ve CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES élève un plan perpendiculaire, ce plan passe par le sommet S; même chose doit avoir lieu à l'égard de la droite X, considérée comme corde de l'autre section conique (G7). Or, d'un même point S on ne peut abaisser qu'un seul plan perpendiculaire à une droite donnée; la droite X doit donc être telle, que son milieu, quand on la considère comme corde de la courbe (C), et son milieu, quand on la considère comme corde de (C'J> se confondent en un seul et même point.

11 a été, en outre, démontré au même endroit, que la distance de ce point au sommet S doit être égale à la demi-corde interceptée par X, dans la section conique supplémentaire qui lui est conjuguée relativement à (C), et, par conséquent, aussi égale à la demi-corde qu'elle intercepte dans la supplémentaire correspondante de (C). Donc ces deux cordes doivent être égales entre elles et se confondre, puisque d'ailleurs elles ont même point milieu; ce qui ne peut avoir lieu évidemment, à moins (13) que la droite X ne soit une corde idéale commune à la fois aux sections coniques (C) et (C ).

Maintenant, si l'on applique à la droite X, ainsi déterminée de position sur le plan des courbes (C) et (C), la solution obtenue au n° 88 cité, soit qu'on la combine avec la courbe (C) ou avec la courbe (C), le centre ou la suite des centres S de projection ainsi trouvés, rempliront toutes les conditions du problème à l'égard des plans de projection correspondants; plans dont la direction est constamment parallèle à celle du plan qui renferme la droite connue X et le centre de projection considéré en particulier.

En rapprochant ces conséquences de celles du n° 88, on en déduit la proposition suivante.

Théorème XIV. — Tous les points de l'espace qui sont susceptibles de projeter à la fois, suivant des cercles, deux sections coniques quelconques situées sur un même plan, sont distribués sur autant de circonférences de cercle déterminées qu'il y a de cordes idéales communes aux deux courbes proposées. Ces circonférences sont situées dans des plans respectivement perpendiculaires sur le milieu de cliacune de ces cordes f elles ont précisément ces milieux pour centres, et pour diamètre respectif la partie interceptée par chaque corde

idéale dans les sections coniques supplémentaires des proposées, qui correspondent à cette même corde. Enfin, le plan de projection qui donne à chaque fois des sections circulaires, est parallèle à celui qui passe par la corde idéale et par le centre de projection considéré en particulier,

93. Nous aurions pu énoncer cette proposition d'une manière moins restreinte, en disant qu'il y a autant de circonférences de cercle, lieux des centres auxiliaires de projection, qu'il existe de cordes communes aux deux sections coniques proposées; car la dernière condition de l'énoncé détermine quelles sont celles de ces circonférences dont les diamètres étant imaginaires, sont, par là même, impossibles à construire (*). On voit, en effet, que ces circonférences appartiennent aux eordes réelles communes aux deux courbes, puisque ces cordes ne sauraient couper les sections supplémentaires correspondantes. Au reste, on peut remarquer que, malgré que ces circonférences soient devenues imaginaires, néanmoins leurs centres et les plans qui les contiennent sont toujours demeurés réels et constructibles (89).

En adoptant cette généralité dans les expressions, généralité qui ne saurait induire en erreur d'après ce qui précède, et faisant en outre attention que, quand on projette deux sections coniques suivant des circonférences de cercle, la corde commune correspondante passe- entièrement à l'tnGni sur le plan de ces cercles, on pourrait énoncer ainsi brièvement le principe de projection qui fait le sujet du û° 92 :

Deux sections coniques situées sur un même plan, et qui ont une corde commune quelconque, peuvent , en général, être regardées comme la projection de deux circonférences de

(*) On pourrait rendre cet énoncé plus concis encore et plus conforme à l'esprit de l'Analyse, au moyen de la remarque que contient la note du n° 88; car, selon cette remarque, le carré du diamètre du cercle, qui appartient aux centres auxiliaires, devrait être égal au carré de la corde commune que l'on considère, pris avec un signe contraire. Toutes ces circonstances sont fidèlement retracées par l'Analyse des coordonnées, qui donne, dans tous les cas, six circonférences de cercle correspondant awx six cordes communes aux deux sections coniques dont il s'agit (1818 ).

444 V* CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROIECTIVES cercle, pour lesquelles la corde, commune est tout entière passée à l'infini sur leur plan*

9(k Notre objet, en cherchant ainsi à étendre le sens et l'énoncé des divers principes qui se présentent, est, nous le répétons encore, de généraliser les conceptions de la simple Géométrie et de les rapprocher de celles de l'Analyse algébrique. Nous justifierons plus tard cette extension d'une manière entièrement satisfaisante, en démontrant rigoureusement l'identité de nature qui règne entre les cordes réelles et idéales; car, si nous prouvons qu'elles répondent aux mêmes questions, qu'elles se déterminent et se construisent de la même manière, il paraîtra évident qu'il n'y a aucune distinction à faire entre elles, et qu'on peut appliquer aux unes ce qu'on a dit des autres, pourvu qu'on ne prononce pas sur la réalité des lignes et des points qui en dépendent.

Nous reviendrons, à la fin de ce paragraphe, d'une manière générale sur ces diverses remarques.

95. Théorème XV. — Une figure plane, qui renferme un nombre quelconque de sections coniques, ayant une corde commune, peut, en général, être regardée comme la projection d'une autre, pour laquelle la corde commune est passée à l'infini et les sections coniques sont devenues autant de circonférences de cercle d'ailleurs quelconques.

Ce principe est une conséquence évidente des propositions qui précèdent; car si la corde dont il s'agit ne rencontre aucune des sections coniques qui lui correspondent, ce qui ne particularise nullement l'état du système, elle sera nécessairement telle, qu'en cherchant à la mettre en projection sur un nouveau plan, de façon qu'elle y passe entièrement à l'infini et que l'une des sections coniques proposées y devienne un cercle, toutes les autres sections coniques se changeront pareillement en des circonférences de cercle (88).

Quoique les circonférences de cercle de la projection proviennent de sections coniques qui ont une corde idéale commune, il ne faut pas croire qu'elles aient, pour cela, entre elles une position particulière; car on peut démontrer réciproque* ment qu'un système de cercles quelconques, situés à volonté sur un plan, a toujours pour projection un système composé

d'un même nombre de sections coniques ayant une corde idéale commune.

En effet, ces sections coniques peuvent être considérées, à leur tour, comme ayant pour projection les cercles dont elles proviennent; or, nous avons démontré en toute rigueur (92) que deux et, par suite, un nombre quelconque de sections coniques situées sur un même plan, ne pouvaient être projetées suivant des circonférences de cercle qu'autant que la droite X, qui, sur le plan des sections coniques, est la projection de celle a l'infini du plan des cercles, ne soit une corde idéale commune au système de ces sections coniques.

La remarque que nous venons de faire est parfaitement conforme aux notions posées d'une manière directe dans le second paragraphe; nous y avons, en effet, prouvé que deux ou un plus grand nombre de circonférences de cercle quelconques pouvaient toujours être regardées comme ayant une corde idéale commune à l'infini.

En combinant cette remarque avec celles du n°88, concernant l'identité des lignes droites situées à l'infini sur un plan, on en conclut naturellement ce corollaire général :

Quand on projette deux ou un plus grand nombre de sections coniques situées sur un même plan, et ayant une corde idéale commune, de façon qu'elle* deviennent toutes des circonférences de cercle, la corde dont il s'agit , passant à l'infini sur le nouveau plan, devient nécessairement une corde idéale ou imaginaire commune à la fois à toutes les circonférences qui lui correspondent.

96. Au surplus, les conséquences dont il s'agit étant indépendantes de l'espèce particulière des sections coniques que l'on envisage (90), demeurent immédiatement applicables au cas où ces sections coniques sont, en tout ou en partie, des circonférences de cercle ayant une corde idéale commune à distance donnée et finie; et comme, dans le cas particulier où les sections coniques sorit toutes des circonférences de cercle,' il y a nécessairement réciprocité entre la figure primitive et sa projection , on voit que :

Deux ou un plus grand nombre de cercles, tous situés sur