V CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTTVES

Gomme il n'y a aucune autre condition à remplir, on peut conclure qu'il existe une infinité de positions du centre auxiliaire S, qui satisfont aux données de la question proposée; mais, pour cela, il faut que la droite donnée MN, sans cesser d'avoir une situation générale et indéterminée à l'égard de la courbe, soit pourtant de l'espèce de celles que nous avons nommées cordes idéales, c'est-à-dire qu'elle ne doit pas rencontrer cette courbe; autrement, en effet, le rayon SO et, par suite, la circonférence qui renferme le centre de projection deviendraient entièrement imaginaires.

Ainsi, la proposition énoncée en tête de cet article est vraie pour une série de positions générales et indéterminées de la droite que l'on considère, et elle cesse de l'être pour une autre série de positions semblables de la même droite, ou, si l'on veut, elle devient purement idéale pour les positions qui correspondent à cette série. C'est dans ce sens seulement que nous avons prétendu dire, dans l'énoncé, que le principe avait lieu en général, à peu près comme on pourrait dire que, a d'un » point donné sur le plan d'un cercle, on peut, en général, » mener deux tangentes à ce cercle ». Cette manière de s'exprimer étant universellement admise dans l'Analyse des coordonnées, nous ne croyons pas qu'on puisse la récuser en Géométrie, ni, par conséquent, avoir des doutes sur le sens que nous lui attribuerons dans ces recherches.

La construction du problème que nous venons de résoudre dérive immédiatement de tout ce qui précède, et ne peut offrir aucune espèce de difficultés; au lieu de la rapporter ici, nous résumerons en peu de mots les conséquences ci-dessus qui la déterminent, en les énonçant sous la forme d'un théorème, comme il suit.

Théorème X. — Une section conique et une ligne droite étant

la section circulaire inâniment petite SMN, qui passe par le sommet

S, O'D'.OE' devient SÔ' , et O'A.O'B se change, de son coté, en OA.OB, en sorte que la relation trouvée prend cette nouvelle forme

sô' : OA.OB ::B2: A',

comme il s'agissait de le démontrer. (Note de 1818. )

données à volonté sur un plan, la suite de tous les centres de projection susceptibles de projeter la figure sur un nouveau plan, de façon que la droite passe à V infini sur ce plan et que la section conique y devienne en même temps une circonférence de cercle, est distribuée sur une autre circonférence de cercle, unique et dont le plan est perpendiculaire sur le milieu de la droite donnée, considérée comme corde de la section conique correspondante, qui a précisément ce paint milieu pour centre 9 et pour diamètre réel la corde interceptée par cette droite dans la section conique conjuguée à sa direction et supplémentaire de la proposée (*). Quant à la direction du nouveau plan de projection, elle est parallèle à celle du plan qui renferme à chaque instant la droite donnée et le centre auxiliaire de projection,

89. La question qui vient de nous occuper donne lieu à quelques observations intéressantes qu'il ne sera pas hors de propos de faire connaître*

Nous ferons d'abord remarquer que le centre et le plan du cercle qui contient tous les sommets des surfaces coniques projetantes, ne cessent jamais d'avoir une existence réelle, quoique cette circonférence puisse d'ailleurs devenir imaginaire. La raison en est qu'il règne une très-grande analogie entre la question que nous avons résolue (fig. i65) pour la section conique (C) et celle où l'on se proposerait la même question pour la section supplémentaire correspondante à la droite donnée MN; car lout ce qui a été dit de l'une peut s'appliquer immédiatement à l'autre, de sorte que le centre et le plan du cercle qui renferme les sommets auxiliaires S, appartiennent à la fois et indistinctement à toutes les deux; seulement, cette circonférence elle-même devient imaginaire pour l'une quand elle est réelle pour l'autre, et vice versa. D'ailleurs on peut facilement s'assurer que le même centre et le même

(*) Algébriquement, cela revient à dire que le carré de ce diamètre est égal au carré de la corde interceptée dans la section conique donnée par la droite correspondante, mais pris avec un signe contraire ; de sorte que ce diamètre est réel ou imaginaire selon que l'inverse a lieu pour la corde correspondante. ( Note de 1818.)