V CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

lions semblables de ce système. Enfin, ce principe s'étend évidemment à un nombre quelconque de sections coniques et de circonférences de cercle ayant un double contact ; on peut donc énoncer ce principe général :

Théorème XVII. — Une figure plane , qui renferme un nombre quelconque de sections coniques , ayant un double contact commun , peut, en général, être regardée comme la projection d'une autre dans laquelle les sections coniques sont devenues des circonférences de cercle, toutes concentriques entre elles, et ayant une corde de contact commune à l'infini, projection de la première.

100. Les principes de projection que nous avons fait connaître jusqu'à présent donnent lieu à beaucoup d'autres, également propres à étendre les conceptions géométriques et à interpréter certaines notions abstraites de l'infini; mais il serait aussi long qu'inutile de les rapporter dans ce paragraphe, à cause de l'extrême facilité avec laquelle ils peuvent se déduire des premiers. Nous nous bornerons, en conséquence» à en citer quelques-uns pour servir d'exemples.

Quand on met une section conique en projection sur un nouveau plan, de façon qu'une de ses tangentes passe à l'infini sur ce plan, elle devient nécessairement une parabole; cela résulte immédiatement de la définition de la parabole, en tant qu'on la considère comme section du cône.

Réciproquement, si l'on met une parabole en projection sur un nouveau plan quelconque , elle se changera en une conique ayant pour une de ses tangentes la projection de b droite à l'infini sur son plan.

Cela posé, considérons le système de deux sections coniques quelconques situées sur un même plan : elles auront, en général, des tangentes communes; donc, si Ton met la figure en projection sur un nouveau plan, de façon que l'une de ces tangentes passe à l'infini , les sections coniques deviendront, d'après ce qui précède, des paraboles ayant une tangente commune à l'infini sur ce plan. Donc :

Deux sections coniques quelconques, tracées sur un même plan, peuvent, en général, être regardées comme la projection de deux paraboles ayant une tangente commune à V infini;

DES SECTIONS CONIQUES. 44o

et réciproquement deux paraboles quelconques ont pour projection, sur un plan arbitraire, deux coniques ayant pour tangente commune la projection de celle à l'infini des paraboles .

101. Deux sections coniques quelconques, situées sur un même plan, se coupent, en général, en quatre points : il existe donc aussi, en général, un quadrilatère à la fois inscrit à ces courbes. Cela posé, si Ton circonscrit à ce quadrilatère une troisième section conique, qui ne rencontre nulle part la droite joignant ses deux points de concours des côtés opposés, et qu'on mette la figure en projection sur un nouveau plan, de façon que cette dernière conique devienne un cercle et que la droite passe à l'infini (88), le quadrilatère de la projection inscrit à ce cercle aura ses côtés opposés parallèles : ce sera donc un rectangle, à la fois inscrit aux coniques projections des proposées, lesquelles, devenues concentriques, auront même direction d'axes principaux.

Deux sections coniques tracées sur un même plan peuvent, en général, être regardées comme la projection de deux autres, qui, étant concentriques, ont même direction d'axes.

11 n'est pas indispensable que Ton prenne, comme dans ce qui précède, une troisième section conique auxiliaire : on peut choisir l'une des deux proposées; mais alors sa projection devient un cercle. Ainsi, on peut énoncer ce théorème, qui nous sera particulièrement utile :

Théorème XV1I1. — Deux sections coniques tracées sur un même plan peuvent, en général, être mises en projection de façon que l'une quelconque d'entre elles devienne une circonférence de cercle concentrique à la section conique, d'ailleurs quelconque, qui répond à Vautre (*).

(*) On arriverait plus directement aux mêmes conséquences en faisant attention qu'on peut mettre les deux sections coniques en projection sur un nouveau plan, de façon que Tune d'elles devienne une circonférence de cercle, ayant pour centre la projection du point d'intersection de deux des cordes communes qui appartiennent à leur système (94); car il est visible que ce centre serait commun à la fois au cercle et à l'autre courbe, puisqu'il diviserait en parties égales deux cordes qui leur appartiennent simultanément. ( Note de 1818.)

il. 29

45o Ve CAHIER. - ESSAI SDR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

102. On démontrerait avec presque autant de facilité, que deux sections coniques situées sur un même plan, peuvent être mises en projection sur un nouveau plan, de façon qu'elles deviennent semblables et semblablement situées sur ce plan. On peut prouver, en effet, que si Ton met ces sections coniques en projection, de façon que l'une des cordes qui leur sont communes passe à l'infini, elles seront nécessairement devenues semblables et semblablemenl placées sur le nouveau plan (26). Au surplus, on ramènerait aisément ta démonstration de ce principe à des considérations du genre de celles que nous avons mises en usage au n° 88, ce qui offrirait l'avantage de faire connaître, d'une manière directe, le Heu des centres auxiliaires de projection, et les conditions que doit remplir le plan de projection correspondant.

Il deviendrait fastidieux de multiplier davantage les exemples. Ce que nous venons de dire suffira pour mettre sur la voie propre à en faire trouver d'autres, quand cela sera jugé nécessaire pour faciliter une recherche relative à une certaine figure. On voit d'ailleurs qu'il dépendra tout à fait de la sagacité du géomètre de choisir dans chaque cas particulier, parmi tous les principes que peut fournir la doctrine des projections, ceux qui seront susceptibles de conduire plus directement ou plus facilement au but qu'il se propose d'atteindre. La partie de ces recherches que nous destinons aux applications pourra tenir lieu de préceptes généraux à cet égard. Dans ce qui nous reste à dire sur la doctrine des projections, nous nous bornerons à présenter quelques réflexions propres à résoudre certaines difficultés et à étendre les conséquences géométriques auxquelles l'usage de cette doctrine peut faire parvenir.

103. La plupart des théorèmes ou principes qui viennent de nous occuper, sont susceptibles d'une plus ou moins grande limitation, c'est-à-dire qu'ils sont vrais pour une série de positions indéterminées des parties de la figure que chacun d'eux concerne, mais qu'ils peuvent cesser de l'être d'une manière absolue et géométrique, pour une série d'autres positions, également indéterminées, de ces parties. Nous avons vu , en effet, que la projection d'une figure dans des conditions données pouvait devenir, en certains cas, impos-

sible, imaginaire, quoiqu'en d'autres aussi généraux elle fût possible et réelle.

H résulte de là que les propriétés projectives qu'on pourra déduire de nos principes, d'après ce qui a été enseigné au commencement de ce paragraphe, ne seront elles-mêmes des conséquences absolues et rigoureusement nécessaires des raisonnements établis, que pour une série de positions indéterminées de la figure comprises entre certaines limites, tandis que pour une autre série de positions pareillement renfermées entre ces limites, mais qui sont au delà quand les autres sont en deçà et réciproquement, pareille chose ne saurait plus avoir lieu, à cause que la projection correspondante aura cessé d'exister d'une manière absolue et purement géométrique. Ainsi, les propriétés examinées seront démontrées d'une manière rigoureuse, pour les premières de ces positions, mais elles cesseront de l'être pour les autres.

Toutefois, on ne doit pas se hâter de conclure que l'objet des raisonnements primitifs étant devenu illusoire, la propriété ait par là même cessé de subsister ; car les deux séries de positions que l'on considère renferment toutes eeiles que peut prendre la figure, sans changer les conditions qui la déterminent, et, par hypothèse, ces positions sont telles, qu'on peut regarder à volonté les unes comme provenant des autres, par le mouvement progressif et continu de certaines parties de cette figure, sans violer la liaison et les lois primitivement établies entre elles. Or, quand deux figures géométriques sont ainsi liées entre elles, les propriétés de l'une sont directement applicables à l'autre, sauf les modifications qui peuvent survenir dans les signes de position ou dans la réalité et la grandeur absolue des parties, modifications qu'il est toujours facile de reconnaître à l'avance, à la simple inspection de la figure, Cest là ce qui constitue en effet, pour la Géométrie, le principe de continuité 9 généralement adopté dans les recherches qui se fondent sur l'Analyse algébrique. Or ce principe, que nous avons déjà mis en usage plusieurs fois dans le cours de ee Mémoire , alors que son application était conforme aux idées déjà reçues en Géométrie, peut se justifier d'une manière générale et rigoureuse, en se fondant sur des considérations à priori, elles-mêmes à l'abri de toute objection.

45a Ve CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

10fr. En Géométrie pure, son admission ouverte ne saurait donner lieu à aucune difficulté sérieuse; car, si la propriété examinée, par hypothèse établie pour une situation non singulière mais indéterminée des parties de la Qgure, ne concerne que des objets actuellement réels et constructibles, elle aura lieu d'une manière absolue et géométrique; dans la supposition contraire, elle cessera d'être applicable à ces objets d'une manière purement géométrique , sans, pour cela, devenir ni fausse, ni absurde à l'égard des objets demeurés réels; de sorte que, si Ton conserve mentalement une existence de signe ou d'expression aux objets impossibles, la propriété devient simplement idéale à l'égard de ces objets. C'est précisément dans ce sens que j'ai entendu dire, jusqu'ici, qu'une propriété, une relation quelconque est vraie , en général , alors même qu'elle l'est pour une série indéfinie de positions de la figure, en cessant de l'être pour d'autres soumises à la même loi.

105. D'ailleurs, il est essentiel de remarquer que certains objets qui ont avec d'autres, devenus impossibles, une dépendance connue et donnée, ne deviennent pas pour cela euxmêmes inconstructibles; car ces objets peuvent être liés à des parties différentes de la figure par des dépendances plus générales, et qui demeurent toujours réelles.

Ainsi la corde indéfinie qui passe par les deux points de contact d'une section conique et des tangentes, issues d'un certain point, demeure toujours constructible et réelle (5), quoique ces tangentes elles-mêmes puissent devenir imaginaires, quand ce dernier point passe à l'intérieur de la courbe : la même chose a lieu, comme nous l'avons vu, à l'égard de la corde commune à deux cerclés ou à deux sections coniques situées sur un même plan, etc. En général, on peut poser pour principe propre à faire reconnaître, à l'avance, les objets figurés qui peuvent demeurer réels, quand les parties qui les construisent deviennent imaginaires, que ces objets doivent nécessairement dépendre, d'une manière symétrique et simultanée, d'un nombre pair de ces dernières. La considération de ces sortes d'objets est extrêmement importante en Géométrie, et nous ne craignons pas d'avancer qu'elle seule peut parvenir à donner une. interprétation satisfaisante de certains résultats

étranges de l'Analyse algébrique, concernant les grandeurs susceptibles de devenir imaginaires.

106. En ayant égard à ces diverses remarques, ainsi qu'à celles qui se trouvent répandues dans le cours de ce travail, nous regarderons donc comme générales et applicables à toutes les situations, les propriétés géométriques qu'il sera possible de déduire des principes de projection qui viennent d'être exposés, quand bien même ces principes pourraient cesser d'avoir lieu géométriquement pour certaines dispositions des parties de la figure, et qu'en conséquence sa projection pût devenir imaginaire. *

Ainsi, par exemple, toutes les propriétés projectives qui appartiennent au système de deux circonférences de cercle concentriques, appartiennent aussi au système de deux sections coniques ayant un double contact, que ce contact soit d'ailleurs réel ou idéal ; nous avons vu, en effet (22), que l'un de ces cas ne diffère pas essentiellement de l'autre, et qu'ils sont assujettis à la même loi; de sorte que, sans violer cette loi et sans particulariser les deux courbes, on peut faire coïncider celles d'un système avec celles de l'autre par un mouvement progressif et continu.

Pareillement, toutes les propriétés projectives dont jouit le système général de deux circonférences de cercle situées sur un même plan, appartiennent aussi au système de deux sections coniques quelconques également situées sur un seul plan, et ces propriétés demeureraient applicables à la circonstance même où les deux courbes se couperaient en quatre points réels; circonstance pour laquelle leur projection, suivant des cercles, serait évidemment impossible. Nous en dirons autant des autres principes exposés dans le cours de ce paragraphe, que pour cette raison nous avons énoncés sous une forme indépendante de toute restriction.

107. Nous le redisons encore avant de terminer, en regardant comme générales et applicables à tous les cas, les propriétés qui peuvent découler de nos principes, nous n'entendons pas pour cela prétendre qu'elles ont un sens toujours absolu et réel, mais seulement qu'elles ne peuvent, à proprement parler, devenir fausses, ni entraîner, par conséquent,