SIXIÈME CAHIER

ARTICLES DIVERS PARTIELLEMENT ENTRÉS DANS LA COM- POSITION DU TRAITÉ DES PROPRIÉTÉS PROJECT l VES ; EXTRAITS DES ANNALES DE MATHÉMATIQUES DE MONT- PELLIER (T. VIII à XII, années 1817 à 1822) (#).

THÉORÈMES NOUVEAUX SUR LES LIGNE3 DU SECOND ORDRE. {Voir t. VIII des Annales, p. 1, iw février 1817.)

On s'est, jusqu'à présent, beaucoup occupé des propriétés des sections coniques concernant, soit la direction, soit la longueur de certaines lignes droites qui en dépendent; mais on s'est peu appliqué, ce me semble, à rechercher les propriétés de ces courbes qui ne seraient relatives qu'à la relation des angles formés par ces mêmes droites. Cependant, on sait depuis longtemps (Newton et Maclaurin) que les sections coniques peuvent être engendrées d'une infinité de manières différentes, par le mouvement d'angles constants qui tournent autour de leurs sommets comme pôles; d'où il paraît naturel d'inférer qu'il doit exister des dépendances mutuelles, trèsremarquables, entre les angles de certains systèmes de droites liées entre elles d'une manière relative à la nature générale de ces courbes. Le cas* du cercle, en particulier, présente un grand nombre de semblables propriétés, soit à l'égard des polygones qui lui sont inscrits, soit à l'égard de ceux qui lui sont circonscrits, soit, etc.: la plupart de ces propriétés sont même connues depuis la plus haute antiquité. Comment donc se fait-il qu'on ait jusqu'ici si peu songé à les généraliser, en cherchant à les étendre à une section conique quelconque? N'en résulterait-il pas, en effet, un grand avantage pour la parfaite connaissance de ces dernières courbes, et n'obtiendrait-on pas de leur rapprochement des solutions élégantes et simples de problèmes difficiles, quand on les attaque par les voies ordinaires?

( * ) Je n'ai point rapporté dans ce Cahier les notes du rédacteur des Annales, quelquefois étendues, et dont le manque d'intérêt ou d'à- propos aurait pu faire suspecter mes intentions scientifiques*

On doit regretter que M. Carnot, à qui la Géométrie est redevable de tant de perfectionnements heureux, n'ait pas donné plus d'extension et plus de développement à l'idée lumineuse qu'il expose au commencement de la Sect. IV de sa Géométrie de position, touchant les figures dans lesquelles on peut déterminer les angles, sans l'intervention des quantités linéaires ou trigonométriques. On conçoit, en effet, que cette théorie ne doit pas se borner aux figures composées de lignes droites seules, et quelle doit s'étendre également à toutes celles dans lesquelles il entre des courbes dont la génération peut avoir lieu par le moyen des angles seulement; pourvu toutefois que le système de droites dont on examine les angles soit lié, d'une manière convenable, à la nature particulière de ces courbes. Un cercle, par exemple, est dans le cas dont il s'agit ; car il peut être considéré comme le lieu du sommet d'un angle constant, dont les côtés tourneraient autour de deux point fixes : aussi sait-on que ce cercle jouit d'un grand nombre de propriétés relatives aux angles de certaines lignes droites, tracées d'une manière convenable sur son plan. Je répète à dessein le mot convenable; car si, par exemple, on considérait un triangle inscrit à ce cercle, il est évident que celle circonstance n'établirait point une nouvelle dépendance entre ses angles, puisqu'un triangle quelconque est toujours inscriptible au cercle. Il n'en serait plus de même si l'on considérait un quadrilatère ou, en général, un polygone quelconque inscrit à ce cercle ; car un quadrilatère, et à plus forte raison un polygone d'un plus grand nombre de côtés, n'est pas indistinctement, comme un triangle, susceptible d'être inscrit à cette courbe particulière.

Ces idées demanderaient à être développées et éclaircies plus que nous ne venons de le faire ; mais une pareille entreprise sortirait des bornes de cet Article ; et nous nous contenterons, pour le moment, de présenter, sans aucune réflexion et le plus rapidement qu'il nous sera possible, une suite de propriétés des sections coniques, relatives aux angles de certaines droites; propriétés qui pourront être envisagées comme l'extension d'autant de propriétés du même genre, correspondant à la circonférence du cercle.

Nous rappellerons d'abord la proposition suivante, dont la démonstration (p. 49 du Ve volume des Annales) est due à l'illustre Maclaurin (Geometria organica^ sect. III, p. 10a) :

« Si l'un des côtés d'une équerre passe constamment par l'un des foyers » d'une section conique, et que son sommet parcoure la circonférence » décrite sur le premier axe comme diamètre, s'il s'agit de l'ellipse et » de l'hyperbole, ou la tangente au sommet, s'il s'agit d'une parabole, » l'autre côté de l'équerre sera constamment tangent à la courbe. »

Soit PNN' ou (C),J/g. i66, la circonférence décrite sur le premier axe, et F le foyer de la section conique dont il s'agit; Tr, T/', //' étant trois tangentes quelconques à cette courbe, et FN, FN', ¥n trois perpendiculaires abaissées respectivement du foyer F sur ces tangentes; leurs

pieds N, N\ /?, seront, d'après ce qui précède, sur ia circonférence (C). Prolongeons les Irois tangentes jusqu'à leurs rencontres respectives en

T, /, /', et les deux perpendiculaires FN, FN', jusqu'à leurs nouvelles intersections, en P, P\ avec la circonférence (C). Traçons enfin /iN, nK, et F/, F;'.

Puisque les angles *, N' du quadrilatère nVN't'/i sont droits, ce quadrilatère est inscriptible au cercle ; donc

angF/'/i = angFN'/* = ' arc./iNP'.

On prouverait pareillement que le quadrilatère /iFNftz est aussi inscriptible au cercle; donc

ang.Fi/i = ang.FN/i = -arc./iN'P.

De ces valeurs des angles F/*/?, Ytn du triangle /F/', on conclut

ang*F/'= icirNN'PP'N-iarc«NP' - ±arc«N'P= iarcPQP'. 0 a 2 2 a

Supposons donc que, les tangentes T/, Tt' restant fixes, la tangente tt devienne mobile; les perpendiculaires FN, FN' ne varieront pas, ni conséquemment Tare PQP', compris entre elles; donc l'angle tFt' restera de la même grandeur, pour toutes les positions de la tangente mobile #'•

La démonstration est encore plus simple pour le cas de la parabole; mais alors l'angle constant f F*' devient précisément le supplément de l'angle T des deux tangentes fixes. On peut donc énoncer généralement ce théorème :

i . L'angle sous lequel on voit, de Pun des foyers d'une section conique, la partie d'une tangente mobile interceptée entre deux tangentes fixes 9 est toujours constant pour toutes les positions de cette première tangente.

Dans le cas particulier de la parabole, cet angle constant est le si ment de f angle formé par les deux tangentes fixes.

Parmi les conséquences nombreuses auxquelles ce théorème peut conduire, nous nous contenterons de rapporter les suivantes, parce quelles 'offrent quelque chose de simple et de facile à saisir.

Supposons que, dans une de ses positions, la tangente mobile tt' vienne à se confondre avec Tune des deux tangentes fixes, avec TN par exemple ; les points /', t se confondront alors, l'un avec T et l'autre avec le point de contact de cette tangente et de la courbe ; pareille chose arriverait si la tangente mobile se confondait avec l'autre TN' des tangentes fixes. Donc

2. Si, de l'un des foyers d'une section conique, on mène des droites tant au sommet de r angle formé par deux tangentes quelconques à la courbe qu'aux points de contact des deux côtés de cet angle avec elle, la première de ces deux droites divisera en deux parties égales l'angle formé par les deux autres.

Ce théorème devant avoir lieu quelle que soit la position des deux tangentes en question, il sera vrai encore dans le cas où un ou plusieurs des trois points ci-dessus seront situés à une distance infinie; ce qui conduit à plusieurs conséquences sur lesquelles il est inutile de s'arrêter.

Si l'on se donnait le foyer F d'une section conique et trois tangentes quelconques TN, TN', tt', l'angle tFt' serait déterminé de grandeur, et par conséquent, en le faisant tourner autour du foyer donné F, la droite tt' qui le sous-tend deviendrait mobile, et roulerait, d'après ce qui précède, sur la section conique elle-même, dont on aurait ainsi une infinité de tangentes. Le dernier des théorèmes donnerait ensuite, pour chacune des tangentes mobiles et des tangentes fixes, le point où cette tangente vient toucher la courbe.

Au lieu de se donner une position de la tangente mobile tt\ on peut ne se donner que l'angle constant tFt'; et alors, en faisant mouvoir cet angle autour de son sommet F, sans en changer la grandeur, les conséquences seront encore les mêmes. Donc

3. Si, sur le plan d'un angle fixe donné, on fait tourner autour d'un point arbitraire et fixe, pris pour sommet, un angle quelconque invariable de grandeur, et qu'on trace ensuite, pour chacune de ses positions, les deux droites qui sous-tendent à la fois l'angle fixe et l'angle mobile, cliacune des deux séries formées par ces droites enveloppera, en particulier, une seule et même section conique, ayant précisément pour foyer le sommet fixe de r angle mobile, et les deux côtés de l'angle fixe pour tangentes. En outre, si l'on abaisse du foyer des perpendiculaires, tant sur les deux côtés de l'angle fixe que sur toutes les autres tangentes appartenant à une même série, les pieds de ces perpendiculaires seront sur une même circonférence de cercle ayant le premier axe delà courbe pour diamètre.

Dons le cas particulier où l'angle mobile est égal à l'angle fixe ou en est le supplément, Tune des deux courbes devient une parabole, et le cercle qui ui correspond dégénère en une tangente au .sommet de cette parabole.

Cinq droites quelconques étant tracées sur un même plan, la section conique qui les touche toutes à la fois est, comme Ton sait, déterminée et unique, et Ton en peut aisément trouver les foyers avec la règle et le compas. Donc, si l'on considère deux de ces cinq tangentes comme représentant les deux tangentes fixes dont il a été question ci-dessus, et les trois autres, terminées à celles-là, comme représentant la tangente mobile dans trois de ses situations., on aura résolu, avec la règle et le compas, cette question assez difficile quand on prétend l'attaquer d'une manière directe.

4. Trouver le point duquel on verrait sous le même angle les parties de trois droites données sur un même plan, interceptées entre deux autres lignes droites aussi données sur ce plan.

Ce problème est analogue à celui que M. Garnot a résolu, dans sa Géométrie de position (p. 38i,art. 327), et l'on voit que sa solution donnerait aussi celle de cet autre problème fort intéressant : Trouver directement te* foyers d'une section conique inscrite à un pentagone donné.

Jusqu'ici nous n'avons encore considéré que ce qui se passe à l'égard de l'un des foyers d'une section conique; mais il est évident que les mêmes propriétés ont lieu relativement à l'autre foyer ; car les raisonnements cidessus demeurent les mêmes dans les deux cas. Nous n'avons donc plus, pour le moment, qu'à nous occuper des propriétés qui peuvent appartenir simultanément au système de ces deux foyers.

Soient F, F' [fig. 167) les deux foyers dont il s'agit, (C) la circonférence du cercle décrit sur le premier axe comme diamètre, enfin TN, TN' deux

tangentes quelconques à la conique; d'après ce qui a été démontré plus haut, l'angle sons lequel on verrait du foyer la partie d'une troisième tangente arbitraire comprise entre les deux autres, aurait pour mesure la

46o VI* CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

moitié de Tare PQP', intercepté sur la circonférence (C) par les prolongements FP, FP' des perpendiculaires FN, FN' abaissées du foyer F sur les deux «tangentes TN, TN'. Par la même raison, l'angle sous lequel on verrait, de l'autre foyer F', cette même partie de la troisième tangente, aurait pour mesure la moitié de l'arc QPQ', intercepté sur la circonférence (C) par les prolongements F'Q, F'Q' des perpendiculaires F'M", F'M abaissées du foyer F' sur les deux tangentes TN', TN. Appelant donc F le premier de ces angles, F' le second, on aura

F = i arcPQP', F' = i arc QPQ' = i arcPQ' -f- - arc PQ.

Or, à cause des parallèles, symétriquement placées par rapport au centre

du cercle, on a

arcPQ = arcMN' et arcPQ'= arcMN; donc

F'=iarcMN-hiarcMN'= ^arcNMN';

mais on a aussi

F+F' = i arc PQP' -4- - arcNMN';

ang. NFN' = - arc PQF + - arcNMN' ;

donc F+F'= ang.NFN' ou F+F'=. 2000 — T,

puisque, dans le quadrilatère TNFN', les deux angles opposés N, N' sont droits.

Nous avons supposé, dans ce raisonnement, que les deux foyers F, F étaient intérieurs au cercle, et c'est ce qui arrive pour l'ellipse. S'ils lui étaient extérieurs, ainsi qu'il arrive pour l'hyperbole , on trouverait que ce n'est plus la somme, mais la différence des angles F, F' qui est égale au supplément de l'angle T.

En appelant donc, pour abréger, angles vecteurs d'une même droite les angles sous lesquels cette droite est vue des deux foyers d'une section conique, on aura ce théorème , dont l'analogie avec un autre théorème très-connu est digne de remarque :

5. Lorsqu'une tangente à une section conique se termine à deux autres tangentes à la même courbe, la somme des angles vecteurs de cette première tangente, dans l'ellipse, et leur différence dans l'hyperbole, est constante et égale au supplément de r angle des deux tangentes fixes ( *).

(*) L'angle dont il s'agit ici est celui qui comprend les deux foyers entre ses côtés dans l'ellipse, ou qui n'en comprend aucun dans l'hyperbole.

Note additionnelle de i863. — L'énoncé général de la Propos. V, mise à

Quand ia section conique devient une parabole, on a F = o, et par conséquent F— aoo° — T, ce qui s'accorde avec ce que nous avons dit plus haut. Pareillement, quand elle devient un cercle, on a F = F, et par conséquent iF=ioo° — T, comme on peut le vérifier à priori. Le cas où T serait nul ou égal à 100 degrés offrirait aussi des circonstances remarquables ; mais nous ne nous y arrêterons pas.

Revenons à la propriété qui fait le sujet principal de cet article, et examinons en particulier les conséquences qui en résultent pour le cas où la section conique est une parabole.

Soient [fig. 168) F le foyer ; TM, TN deux tangentes quelconques don* nées, et mn une troisième tangente mobile de la parabole dont il s'agit.

D'après ce qui a été dit plus haut, V angle vecteur m¥n est toujours constant et égal au supplément de l'angle MTN des deux premières tangentes; donc ce même angle sera égal à l'angle mTn, et par conséquent, si l'on trace FT, le quadrilatère FT/w/i sera inscriptible au cercle. De là suit ce théorème :

6. Un triangle étant circonscrit à une parabole , si on lui circonscrit 9 à son tour, une circonférence de cercle, elle passera nécessairement par le foyer même (le la courbe.

Donc, si l'on se donnait à volonté une quatrième tangente m* ri à la parabole, on obtiendrait immédiatement son foyer en circonscrivant des circonférences de cercle à deux quelconques des quatre triangles formés par les rencontres mutuelles de cette nouvelle tangente avec les trois au-

profit par divers géomètres postérieurement à 1817, me parait entièrement neuf et original ; mais on peut voir, par les citations des nos 467 et 469 du Traité des Propriétés projectiles des figures , que les corollaires relatifs au cas de la parabole et des triangles circonscrits, appartiennent en partie au célèbre géomètre allemand Lambert. ( Voir aussi l'Art. Correspondance du VIIe Cab. )

46a VIe CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

très. Le point d'intersection de ces quatre circonférences» qui n'appartient à aucune des tangentes données, est évidemment un point unique par où elles .passent toutes à la fois ; car une même parabole ne saurait avoir deux foyers à une distance finie.

" Nous venons déjà de voir que l'angle m F n est égal à l'angle mT/i, qui est opposé à mn dans le triangle mXn ; mais il est visible que ce même angle pourrait n'être qu'égal à son supplément, suivant la position de ce dernier; donc

7. Un triangle quelconque étant circonscrit à une parabole , l'angle sous lequel on voit, du foyer de la courbe 9 chacun des trois côtés de ce triangle est le supplément de l'angle opposé du même triangle ou lui est égal, suivant que le foyer se trouve out ne se trouve pas compris entre les côtés de cet angle, indéfiniment prolongés.

Puisque le quadrilatère YnmT est inscriptible à un cercle, quelle que soit la tangente mobile mnt l'angle FT/n sera toujours supplément de son opposé F/un, et égal, par conséquent, à l'angle Vnt\ mais l'angle Yïm est invariable, puisque, par hypothèse, TM et TN sont fixes; donc

8. Si Pun des côtés d'un angle invariable passe constamment par le foyer d'une parabole , et que son sommet parcoure une tangente quelconque à la courbe, l'autre côté de l'angle mobile sera aussi constamment tangent à la courbe.

On peut aussi énoncer ce théorème ainsi qu'il suit :

9. Si du foyer d'une parabole on abaisse, sous un même angle donné, des obliques sur toutes les tangentes à cette courbe, les pieds de ces obliques se trouveront appartenir à une seule ligne droite, tangente elle-même à la parabole*

Ces théorèmes ont leurs analogues, pour le cas d'une section conique quelconque. Alors les pieds des obliques appartiennent à une même circonférence de cercle touchant la courbe en deux points.

On peut déduire de ce qui précède, plusieurs conséquences faciles et très-remarquables.

10. Toutes les paraboles inscrites à un même triangle quelconque , ont leurs foyers sur la circonférence d'un même cercle, circonscrit à ce triangle.

Chaque point de la circonférence dont il s'agit peut, d'après cela, être considéré comme le foyer d'une parabole inscrite au triangle auquel cette circonférence est inscrite. Donc

11. Si, d'un point quelconque de la circonférence d'un cercle dreonscrit à un triangle donné, ou abaisse, sous un même angle arbitraire, des obliques sur les directions des trois côtés de ce triangle, leurs pieds seront situés sur une seule et même ligne droite.

Ce dernier théorème est une extension de celui de R. Simson, rappelé à la p. a5i du t. IV des Annales, par M. Servois, qui l'emploie à résoudre d'une manière très-élégante un problème de Géométrie pratique concernant les alignements sur le terrain.

Ce qui précède suffirait sans doute, pour établir la vérité de ce que nous avon^ avancé au commencement de cet Article, touchant l'avantage qu'il y aurait à considérer, d'une manière plus spéciale qu'on ne l'a fait jusqu'ici, les propriétés des sections coniques qui n'ont rapport qu'aux angles seuls de certains systèmes de lignes droites dépendantes de ces courbes; mais, par l'effet de la négligence des géomètres sur ce point, la matière est si riche, que nous ne pouvons nous refuser, malgré l'étendue de cet Article, à présenter encore quelques recherches du môme genre, particulières à la parabole, et remarquables surtout par leur analogie avec certaines propriétés des polygones réguliers inscrits et circonscrits au cercle.

Soient (fig. 169) /le foyer d'une parabole mnopq; bo> bn deux tangentes quelconques à cette parabole, la touchant aux points respectifs o, n.

Qu'on trace les rayons vecteurs fo, fn correspondant à ces derniers points, et la droite fb, joignant le foyer au point de concours des deux tangentes; d'après les Théor. n et V, les angles bfn, bfo sont égaux entre eux et au supplément de l'angle nbo, d'où il suit que leur somme nfo est double de ce supplément, et que, dans le quadrilatère nbof, on a

/== 4000— 26; comme on a d'ailleurs

il s'ensuit qu'où doit avoir aussi

Supposons présentement que abcd... soit un polygone circonscrit à la parabole, et dont tous les angles soient égaux entre eux ; en menant des rayons vecteurs tant aux sommets a, &, c, </,... qu'aux points de contact /n, /z, o, p, 7,... il résultera de ce qui précède :

464 VIe CAHIER. — ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

42. 1° Que le rayon vecteur dirigé vers cliacun fies sommets, divisera en parties égales l'angle de ceux gui se termineront aux deux points de contact entre lesquels ce sommet se trouve compris;

a° Que le rayon vecteur dirigé vers chacun des points de contact, divisera aussi en parties égales l'angle formé par ceux qui se termineront aux sommets entre lesquels ce point de contact se trouve compris;

3° Que, par conséquent, tous les angles formés autour du foyer parles rayons vecteurs consécutifs sont égaux entre eux; d'où il suit que chacun de ces angles doit être égal à quatre angles droits divisés par leur nombre, lorsque le polygone est formé.

Rappelons-nous présentement cette proposition, démontrée parle marquis de l'Hôpital (*) :

« La suite des sommets mobiles d'un angle de grandeur donnée et con- » stante, circonscrit à une parabole, forme une seule et môme section 9 conique, dont un des foyers se confond précisément avec celui de la * parabole. »

Et cette autre, démontrée par M. Brianchon (Xe Cahier du Journal de l9 École Polytechnique y p. i4) :

« Si le sommet d'un angle mobile et variable est assujetti à parcourir » une première section conique, et que ses côtés soient assujettis à en » toucher une seconde, la corde de contact avec celle-ci en enveloppera » une troisième. »

En remarquant, de plus, que, dans le cas actuel, cette troisième section conique a un foyer commun avec la première, on pourra encore conclure :

4° Que le polygone circonscrit a notre parabole est lui-même inscriptible à une autre section conique qui a un foyer commun avec elle, et qui est évidemment une hyperbole;

5° Qu'enfin si Von joint les points de contact consécutif s par des cordes de manière à former un polygone inscrit, ce polygone sera lui-même circonscriptible à une nouvelle section conique, qui sera évidemment une ellipse dont le foyer coïncidera également avec celui de la première.

Addition au précédent article, extraite d'une lettre adressée fie Metz, au Rédacteur des Annales, en date d'octobre 1817.

J'ai avancé, dans les énoncés des deux dernières propositions de cet Article, que les coniques qui correspondent aux polygones inscrits et circonscrits à la parabole donnée avaient pour un de leurs foyers le foyer même de cette parabole. Comme je n'en ai point apporté de démonstra-

(*) Traité analytique des sections coniques, liv. VI II.

tion, îi me semble qu'il vaudrait mieux supprimer, dans l'énoncé, ce qui est relatif aux foyers, et terminer l'article par ce qui suit :

Nous avons déduit ces deux dernières propositions de théorèmes déjà connus, afin d'être plus courts; mais nous aurions pu en donner une démonstration géométrique directe et très-simple, fondée sur des considérations particulières d'un autre genre que celles qui précèdent. Nous regrettons de ne pouvoir la rapporter ici.

En suivant toujours la marche géométrique, on démontrerait pareillement que :

6° Les sections coniques, correspondant aux polygones inscrits et circonscrits à la parabole donnée, ont Punc et P mitre pour forer commun le foyer même fie cette parabole.

7° Si l'on Joint, par des lignes droites, cluicun îles sommets du polygone circonscrit avec le foyer commun ci-dessus, ces droites renfermeront précisément les points de contact des côtés correspondants du polygone inscrit, avec Ut section conique que ce polygone enveloppe.

Os dernières propositions complètent entièrement ce que nous avions à dire touchant l'analogie qui existe entre les propriétés de certains polygones inscrits et circonscrits au cercle et à la parabole.

Au reste, on pourrait étendre beaucoup les recherches qui précèdent. Nous nous bornerons à citer seulement quelques-unes des propositions auxquelles nous sommes parvenus, en faveur de la liaison intime qu'elles ont avec celles qui font le sujet de cet Article.

. iZ. Si, autour d'un point pris sur le périmètre a? une section conique, on fait mouvoir un angle constant, de grandeur arbitraire, dont le sommet est en ce point, et qu'on trace ensuite successivement toutes les cordes de la courbe qui sous-tendent cet angle, le système de ces cordes enveloppera une seule et même section conique, laquelle se réduira à un point, quand l'angle générateur sera droit (*).

Quand l'angle générateur est variable suivant certaines lois, on trouve que la corde mobile peut tourner autour de pôles distincts, dans plusieurs cas très-remarquables. Nous renverrons, pour quelques-uns d'entre eux, au Mémoire de M. Frégier (Annales, t. YI, p. 3aa).

14. Si y autour fPun point pris à volonté flans le plan d'une section conique, on fait mouvoir un angle droit tlont le sommet soit en ce point, et qu'on trace ensuite successivement toutes les cordes de la section co« nique qui sous-tendent cet angle, le système de ces cordes enveloppera une seule et même section conique, qui se réduira à un point quand le pôle fixe sera pris sur le périmètre même de la section donnée.

(*) Cette dernière remarque a déjà été faite par M. Frcgter qui l'a démontrée par l'Analyse (Annales, t. VI, p. i3i\

il. 3o

466 VIe CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

Celte proposition s'étend évidemment au cas où la section conique donnée serait remplacée par un cercle; mais alors ce cas particulier est accompagné de quelques circonstances remarquables :

15. La courbe sur laquelle roule la corde mobile a précisément pour foyers le i>6le fixe et le centre du cercle donné.

Si, pour cJuique position de la corde mobile, on mène, à ses deux extrémités, des tangentes au cercle donné, le point de concours de ces tait" gentes ne cessera pas de rester sur une autre circonférence de cercle, non concentrique à la première.

16. Si un quadrilatère est, en même temps, inscrit à un cercle et circonscrit à un autre, les cordes qui joindront les points de contact des côtés opposés se couperont à angle droit, et précisément au point d* intersection des deux diagonales. Quand on viendra ensuite à déformer ce quadrilatère, il ne cessera pas de' rester inscrit et circonscrit aux deux cercles dont il s'agit; et le point où se coupent à la fois les deux diagonales et les cordes qui réunissent les points de contact opposés demeure invariable de position.

Ainsi que je l'ai déjà dit plus haut, je ne rapporte l'énoncé de ces propositions qu'en faveur de leur analogie avec quelques-unes des premières.

BBFLBX10N8 SUE LUSAGE DE L'AIfALYSB ALGEBRIQUE EN' GBOMBTOIB , ET