REGLE
(T. VIII des Annales, ier novembre 1817.)
Monsieur, vous ne trouverez pas indiscrète, sans doute, la liberté que je prends de vous adresser quelques réclamations touchant la comparai-
(*) Cet Art. II est le texte d'une lettre en date du 18 octobre 181 7, annexée à celle qui contenait 1 'addition au précédent Article (t. VIII des Annales, p. 141). Je ferai en outre observer qu'à l'époque dont il s'agit, j'avais en main le texte des premiers Cahiers de ce second volume rédigé pendant l'hiver de 181 4 à i8i5. Toutefois, j'appréhende fort que le présent Article de Philosophie mathématique et peut-être quelques-uns des suivants, venus d'un jeune officier désireux de se préparer à l'avance un nom pour la publication du Traité des Propriétés projectives, n'aient indisposé, malgré ses formelles intentions, le savant rédacteur des Annales de Montpellier contre leur auteur qui, probablement à ses yeux, n'avait point encore acquis le droit de combattre, quoique avec circonspection et courtoisie, les idées philosophiques d'un ancien professeur, déjà justement estimé pour ses services scientifiques.
EXTRAITS DES ANNALES DE MONTPELLIER. /fiy
son que vous établissez {Annales , t. VII, p. 289 et 3*5) entreles résultats de la Géométrie pure et ceux de la Géométrie analytique. L'impartialité dent vous faites profession m'est un garant assuré que tout ce qui peut tendre à éclairer la partie philosophique des sciences exactes doij, indépendamment de vos opinions personnelles et de votre manière particulière d'envisager les choses, trouver un libre accès dans votre journal, principalement destiné, à ce qu'il parait, à recueillir les discussions qui peuvent s'élever entre les géomètres sur l'estime relative que l'on doit accorder aux diverses méthodes propres à agrandir le domaine de la science.
J'admire, avec tous les amateurs de la belle Analyse, la manière élégante avec laquelle vous savez la faire ployer, sans efforts, aux questions les plus difficiles de la Géométrie ; et j'avoue que je ne trouve rien de plus ingénieux que la marche à la fois nouvelle, simple et rapide que vous proposez pour parvenir à leur solution graphique définitive. Je pente que les exemples que vous avez offerts sont bien propres à faire connaître toute la fécondité de l'Analyse, et à la venger, en quelque sorte, des reproches qu'on ne se croit que trop souvent en droit de lui faire; mais je ne saurais cependant admettre sans restriction ceux que yous adressez, à votre tour, aux résultats auxquels conduit J'usage exclusif des considérations géométriques.
Si je ne me suis «pas trompé sur le sens des réflexions qui précèdent ou qui terminent les Articles rappelés ci-dessus, l'Analyse, ou plutôt la Méthode de Descartes, employée d'une manière convenable, aurait l'avantage de conduire, pour la solution des problèmes de Géométrie, à des constructions bien supérieures, pour l'élégance et la simplicité, à celles que fournit la Géométrie pure. En supposant que, par ce mot de Géométrie pure* vous vouliez entendre seulement celle des Anciens, c'est-à-dire celle qu'ont cultivée les Euclide, les Apollonius, les Viète,- les Fermât, les Viviani, les Halley, etc., j'avouerai volontiers que, malgré l'estime qu'elle mérite à plusieurs égards, je suis parfaitement d'accord avec vous. J'ajouterai même que je ne pense pas qu'avec le secours seul de cette Géométrie, on puisse jamais parvenir à quelque chose de bien général. Or, on ne saurait douter que la généralité des solutions ne soit, le plus souvent, la source de leur élégance et de leur simplicité.
Mais si, par Géométrie pure, vous voulez entendre, en particulier, celle où l'on s'interdit simplement l'usage de la méthode des coordonnées, on même de toute espèce de calcul qui permettrait de perdre momentanément de vue la figure dont on s'occupe ; si par là vous voulez désigner cette Géométrie, cultivée par les modernes, dans laquelle, au moyen des notions d'infiniment grands et d'infiniment petits, on parvient à découvrir les relations qui existent entre les diverses parties d'une figure supposée variable; si vous voulez parler enfin de cette Géométrie qui consiste à chercher, dans les propriétés de l'étendue à trois dimensions, la solution des problèmes de la Géométrie plane, pour repasser ensuite de celle-ci à
ce qui concerne la Géométrie de l'espace; je déclare franchement que je ne, saurais admettre avec vous, Monsieur, que cette Géométrie ne puisse donner, à la fois, des solutions aussi simples et aussi élégantes que celles qu'on déduit du Calcul. J'avoue même et j'incline fortement à penser que, traitée a son tour d'une manière convenable, moins restreinte qu'on ne l'a fait jusqu'ici, elle peut fournir, parla voie d'intuition qui lui est propre et pour certaines classes de problèmes, des solutions qui remportent sur celles qu'on déduit de la Géométrie analytique, même dans l'état de perfection où elle est aujourd'hui parvenue.
Je ne répéterai pas, en faveur de la Géométrie pure, ce qu'en ont déjà dit les plus grands géomètres ; j'essayerai seulement, dans ce qui va suivre, de donner des exemples particuliers, propres à confirmer et à justifier l'opinion que je me suis formée sur ce point. Il ne suffirait pas, en effet, dans cette matière, de rapporter des témoignages plus ou moins consacrés, ni même de simples raisonnements, quelque solides qu'ils pussent d'ailleurs paraître ; mais il fautr en quelque sorte, des preuves de faits, des preuves expérimentales, qui puissent entrer en parallèle, pour l'élégance des résultats, avec celles que vous avez vous-même offertes en faveur de la méthode des coordonnées.
Je ne prétends pas, au surplus, que la Géométrie rationnelle ait toujours l'avantage sur l'Analyse, ni qu'on doive constamment la préférer à cette dernière dans les recherches purement géométriques. Je pense, au contraire, avec M. Du pin (Développements de Géométrie, Ira partie, p. a38), que chacune de ces deux sciences a des moyens qui lui soûl propres, et qu'on ue pourrait, sans un grand préjudice pour l'avancement de la science, cultiver l'une ou l'autre d'une manière exclusive. J'ajouterai même qu'il me parait qu'on ne saurait trop s'efforcer de les élever, pour ainsi dire, de front ou à la même hauteur, en employant les principes généraux de l'Analyse à donner aux résultats de la Géométrie toute l'extension qui leur manque d'ordinaire, et qui appartient essentiellement à ceux de la première; tout en se servant réciproquement dans celle-ci des considérations de la Géométrie, soit pour simplifier l'état de la question en la ramenant à des circonstances particulières plus facilement accessibles, soit pour faire le choix d'inconnues le plus convenable, soit enfin pour interpréter et pour développer les conséquences géométriques des résultats de ses calculs.
J'ai tout lieu de croire, Monsieur, que vous souscrirez volontiers à ces dernières réflexions, et que vous les trouverez tout à fait conformes à vos propres idées sur la Géométrie pure et sur la Géométrie analytique. Je crois du moins en avoir pour preuve un grand nombre d'articles que vous avez fournis à votre recueil périodique, et notamment le dernier des articles déjà cités, où vous faites usage de considérations géométriques préliminaires pour simplifier la question, en remarquant qu'une construction qui peut s'effectuer avec la règle seule, pour l'une quelconque
des sections coniques; est par làraème indistinctement applicable à toutes les antres lignes de cette espèce.
. Après cette espèce d'explication qui m'a paru indispensable pour bien faire connaître mes idées et l'intention qui m'anime, je passe aux exemples que j'ai promis d'offrir en faveur de la Géométrie pure. Je me bornerai simplement à indiquer les constructions, sans entrer dans aucun détail sur les raisonnements qui y ont conduit et peuvent servir à les justifier; me réservant de faire connaître, dans une autre occasion, les principes théoriques sur lesquels ces constructions reposent; principes dont le développement excéderait nécessairement les bornes d'une simple lettre.
Le premier des exemples qui suivent paraîtra d'autant plus convenable que c'est précisément, Monsieur, le problème général dont vous avez traité le cas le plus simple à la p. 3a5 de votre VII* volume. Il convient, au surplus , de prévenir qu'il y a près de quatre ans que j'en ai découvert les solutions ci-après. J'étais alors prisonnier de guerre en Russie; et, dès mon retour en France, je m'empressai d'en donner communication à MM. Français et Servois, auteurs de plusieurs Mémoires très-remarquables, insérés dans les Annales.
i° A une section conique donnée et tracée sur un plan, inscrire un polygone de m sommets, dont les côtés, prolongés s'il le fautt passent respectivement par un même nomBre de points donnés, placés arbitrairement sur ce pian, en ne faisant usage que de la règle.
20 A une section conique donnée, et tracée sur un plan, circonscrire un polygone de m côtés, dont les sommets s'appuient respectivement sur un même nombre de droites données, tracées arbitrairement sur ce plan, en faisant usage de la règle seulement.
Je réunis les énoncés de ces deux problèmes, car, encore bien qu'ils soient d'une nature différente, rien n'est plus facile, comme Ton sait, que de passer, au moyen de la théorie des pôles, de la solution de l'un quelconque à la solution de l'autre, sans employer autre chose, pour y parvenir, que le tracé de simples lignes droites. Aussi ne m'occuperai-je principalement et presque exclusivement, dans ce qui va suivre, que de ce qui concerne, en particulier, le premier de ces problèmes où il s'agit d'inscrire à une section conique donnée un polygone dont les côtés passent respectivement par des points aussi donnés.
Ce problème, énoncé ainsi d'une manière générale, se compose essentiellement de deux parties distinctes : l'une appartenant à la Géométrie de situation, et l'autre dépendant simplement de la Géométrie ordinaire. Rien n'indique, en effet, dans l'énoncé, quel est l'ordre ou la succession des côtés du polygone inconnu, relativement à la disposition des points
l7o W CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE
donnés par lesquels ils doivent passer respectivement. Or, il est évident que chacun des arrangements possibles et différents de ces côtés donnera lieu à un problème particulier, tout à fait distinct des autres, dont la solution devra proprement appartenir à la géométrie ordinaire. La première question à résoudre, celle qui appartient tout à fait à la Géométrie de situation, consiste donc à rechercher quel est le nombre et P espèce des polygones, réellement différents quant à la succession des côtés, qu'il est possible de former, en assujettissant ces mêmes côtés à passer par un nombre m de points donnés.
Or, il est aisé de voir que le nombre de ces polygones est
et, quant à la manière de les former, on appellera a, b, c, </,... k les points où doivent passer les divers côtés du polygone, et l'on supposera que ces mômes lettres appartiennent auasi aux côtés correspondants; puis on placera arbitrairement toutes ces lettres, celles a, 6, c, par exemple, sur le périmètre d'un premier cercle; le nombre des arrange* ments divers de ces trois lettres ne saurait évidemment surpasser un, parce qu'on les peut lire indifféremment de droite à gauche ou de gauche à droite. Pour passer de ce premier cas à celui où il y aurait quatre lettres a, b, cy d, il faudrait intercaler la lettre d successivement entre deux des trois premières, ce qui ne donnera évidemment que trois arrangements possibles et réellement différents, qu'il faudra écrire séparément sur trois nouvelles circonférences, afin de ne point les confondre entre eux. On trouvera pareillement les arrangements qui correspondent à une cinquième lettre *, introduite parmi les autres, et l'intercalant, sur chacune des circonférences dont il vient d'être question, entre deux lettres consécutives des arrangements de quatre lettres qu'elles représentent séparément; on obtient ainsi quatre arrangements possibles de cinq lettres, pour chacune de ces circonférences; d'où il suit que le nombre total de ces divers arrangements est de 3.4 = ia. Pour les distinguer les uns des autres, on pourra les écrire, à leur tour, sur autant de circonférences particulières. En continuant ainsi, de proche en proche, on parviendra enfin à obtenir tous les arrangements possibles et différents qui correspondent aux m points donnés; et l'on voit bien que leur nombre sera, en généra], 3.4.5. .. (/w— 1), ainsi que nous l'avions annoncé.
Rien n'est plus facile que de concevoir l'usage qu'on pourra faire de cette espèce de tableau artificiel. Supposons, par exemple, que Ton considère en particulier un arrangement adcb...f; en se reportant à la figure du problème, cela signifiera qu'en faisant passer par a le premier côté du polygone à construire, le second devra passer par dy le troisième parc, le quatrième par b, et ainsi de suite, et enfin le dernier par/.
C'est donc ce polygone particulier, différent de tous les auttes quant
à l'arrangement des côtés relatifs aux points donnés, qu'il s'agira de construire, par la géométrie ordinaire, de telle sorte qu'il soit inscrit à la section conique donnée. Le problème général qui nous occupe, ainsi particularisé, pourra donc s'énoncer de la manière suivante :
Problème spécialisé. — A une section conique donnée et décrite sur un plan, inscrire un polygone de m sommets dont les côtés, prolongés s'il le faut, passent respectivement, et dans un ordre assigné, par autant de points situés arbitrairement sur ce plan, en ne faisant usage que de la règle ?
Je donnerai de ce problème deux solutions, Tune et l'autre entièrement géométriques et assez remarquables, ce, me semble, par leur simplicité et leur généralité. Dans la première, je commencerai par examiner les cas particuliers du triangle et du quadrilatère, et j'indiquerai ensuite les constructions à effectuer pour ramener la solution du cas général à celle de ces derniers (*).
On peut remarquer, au surplus, que la question, dans tous les cas, se réduit évidemment à assigner l'un des sommets du polygone demandé, attendu que, ce sommet une fois déterminé, la solution s'achève, avec la règle seulement, de la manière la plus simple. Nous supposerons constamment, dans tout ce qui va suivre, que les points donnés, pris dans Tordre de succession qu'on aura choisi à volonté, sont /?, /?', /?",... />(m), et que le sommet cherché, que nous appellerons dernier sommet, est celui de l'angle dont les côtés passent respectivement par les deux points extrêmes p etp{mK
Observons enfin qu'une corde de ligne courbe, supposée double et contenant deux points quelconques donnés sur son plan, peut ôtre considérée comme une sorte de polygone à deux côtés seulement et dont les côtés passent respectivement par ces deux points.
Première solution : graduelle. — i* Pour deux points donnés p, p'. Joignez ces deux points par une droite, dont chacune des intersections avec la courbe pourra être prise pour le sommet cherché.
2° Pour trois points donnés p, p\ pf. Inscrivez à volonté, à la section conique, une portion de polygone de trois côtés, dont le premier ab passe par p, le second bc passe par//, et le troisième ed pat jf. Tracez la polaire de l'un quelconque des deux points extrêmes /?, p', de// par exemple ;
(*) Les personnes qui n'ont pas entre les mains le Traité des Propriétés projectives pourront recourir au Ier Cahier de ce second volume des Applications, pour le tracé des figures et les démonstrations géométriques, et au t. Ier (Cah. III à VI) pour les démonstrations analytiques et les discussions indispensables. Quanta ce qui concerne les propositions relatives aux courbes géométriques en général, les lecteurs trouveront dans le II9 Cahier du présent vohrme «les movens de conviction très-mimeants.
et menez par les deux autres />, /?', une droite qui viendra couper cette polaire en q . Menez, par q et c, une sécante coupant de nouveau la courbe, en r. Menez enfin ni, coupant la polaire en P', et m coupant l'autre droite pp'q en P. Alors traçant PP', chacune des intersections de cette droite avec la courbe pourra être prise pour le sommet cherché.
3° Pour quatre points donnés />, p\ p'y pm. Inscrivez à volonté, à la section conique, une portion de polygone de quatre côtés, dont le premier côté ab passe par p, le second bc par p\ le troisième cd par p", et le quatrième de par/?"'. Menez par les deux premiers points/?, p\ et par les deux derniers p'\ /?"', deux droites indéfinies se coupant en q. Menez, par q et cf une sécante coupant de nouveau la courbe en r. Menez enfin /w, re, coupant respectivement les droites indéfinies qpp\ qp'pm en P, P7. Alors traçant PP',. chacune des rencontres de cette dernière droite avec la courbe pourra être prise pour le sommet cherché.
4° Pour des points donnés , au nombre de plus de quatre. Inscrivez, à volonté, à la section conique, une portion de polygone d'autant de côtés qu'il y a de points donnés et dont les côtés passent respectivement par ces points. Soient traités quatre côtés consécutifs quelconques de cette portion de polygone comme il a été dit de la portion de polygone elle-même, dans le cas précédent. On obtiendra ainsi deux points P, P'. En les substituant à ceux par lesquels passaient les quatre côtés consécutifs, on se trouvera avoir.en tout deux points de moins qu'auparavant. En continuant ainsi à diminuer de deux unités le nombre des points donnés, tant qu'ils se trouveront au nombre de plus de trois, on arrivera enfin à n'avoir plus que deux ou trois points, que l'on traitera comme il a été dit au premier ou au second cas.
Deuxième solution : directe. — Le nombre des points donnés étant quelconque. — Inscrivez à volonté et successivement, à la section conique, trois portions de polygones d'autant de côtés qu'il y a de points donnés et dont les côtés passent respectivement par ces points. Soient a, a\ a? les premières extrémités de ces portions de polygones, et k, X', X-" les dernières, respectivement. Soient considérés ces six points comme les sommets d'un hexagone inscrit à la section conique, ayant pour sommets opposés a et X-, a' et X', a* et X*"; les trois points de concours de ses côtés opposés seront, comme l'on sait, sur la même droite, et cette droite coupera la section conique en deux points dont chacun pourra être pris pour le sommet cherché.
Quelque incontestable que soit la supériorité de cette seconde solution sous le rapport de la généralité et de la symétrie, je crois cependant devoir faire observer que, lorsque les points donnés sont peu nombreux, la première semble lui être préférable sous le rapport de la simplicité, car elle exige le tracé d'un moindre nombre de lignes.
Toutes ces constructions ayant une partie arbitraire, on peut profiter de
ce qu'elles présentent d'indéterminé pour les rendre plus simples. Par exemple, on peut faire passer l'un des côtés extrêmes de la portion de polygone par les deux premiers ou les deux derniers des points donnés. Ce côté comptera alors pour deux, et l'extrémité de la portion de polygone .pourra être indistinctement supposée à l'une ou à l'autre de ses extrémités. En appliquant cette remarque au cas du triangle dans la première solution, on aura deux manières de déterminer le point P; sur la polaire p". On.pourra donc se dispenser de construire cette polaire, et la recherche du sommet inconnu se réduira ainsi au tracé de neuf lignes droites seulement.
On voit, par ce qui précède, que, pour un ordre de succession quelconque des points donnés, le problème peut avoir deux solutions au plus. Puis donc que nous avons trouvé d'ailleurs que ces différents ordres étaient au nombre.de 3.4.5... (m — i), il s'ensuit que le nombre des solutions sera au plus de i .a . 3 . . . ( m — i).
Quoique nous ayons annoncé que nous n'insisterions pas sur le second des deux problèmes généraux que nous nous sommes proposés, à raison de l'extrême facilité avec laquelle il se ramène ah premier, nous ne pouvons cependant nous refuser au plaisir de faire connaître une construction directe de' ce problème, tout à fait remarquable par sa parfaite analogie avec celle donnée en dernier lieu pour l'autre. La voici :
Circonscrivez successivement et à volonté à la section conique, trois portions de polygones d'autant de sommets qu'il y a de droites données, et dont les sommets soient respectivement sur ces droites. Soient a, a, a* les premiers côtés de ces portions de polygone, et A, A', k" les derniers respectivement. Soient considérées ces six droites comme les côtés d'un hexagone circonscrit à la courbé, ayant pour ses côtés opposés a et Xr, a' et k\ à* et A", les trois diagonales joignant les sommets opposés de cet hexagone se couperont, comme l'on sait, en un même point, et la polaire de ce point déterminera, par son intersection avec la courbe, deux nouveaux points dont chacun pourra être pris pour le point de contact de cette courbe avec le polygone cherché.
Parmi le grand nombre de cas particuliers que peuvent offrir nos deux problèmes relativement à la situation des points ou des droites donnés, il en est deux qui sont trop remarquables, soit par les circonstances qu'ils présentent, soit par la simplicité de la solution qui leur est relative, pour, que nous puissions nous permettre de les passer sous silence ; ce sont les deux suivants :
i° A une section conique donnée y inscrire un polygone donné de tant de sommets qu'on voudra, dont les côtés passent par un mente nombre de points donnés, situés sur une même ligne droite, en faisant usage de la règle seule?
a° A une section conique donnée, circonscrire un polygone de tant de côtés qu'on voudra, dont les sommets s'appuient sur un égal nombre de
474 VIe CAHIER. -ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE
droites données, concourant en un même point, en faisant aussi usage
de la règle seulement ?
Solution du premier de ces problèmes. — Inscrivez , à volonté , à la courbe proposée, une portion de polygone dont les côtés passent res-, pectivement par les points donnés. Le nombre de ces points pourra être pair ou impair.
Le nombre des points donnés étant pair, si le polygone ne se referme pas de lui-même, le problème ne pourra pas être résolu ; et si, au contraire, il se referme de lui-même . tout autre se refermera également , et, conséquemment, le problème 6era susceptible d'un nombre indéfini de solutions.
Le nombre des points donnés étant impair, la corde qui joindra les deux extrémités de- la portion de polygone ira couper la droite. unique qui contient les points donnés en un point dont la polaire, par son intersection avec la courbe, déterminera deux points dont chacun pourra être pris pour le dernier sommet du polygone demandé.
Solution du second .problème. — Circonscrivez, à volonté, à la courbe, une portion de polygone dont les sommets s'appuient respectivement sur les droites données. Le nombre de ces droites pourra, selon les cas, être pair ou impair.
Le nombre des droites données étant pair, si les deux côtés extrêmes de la portion de polygone ne se confondent pas en un seul, le problème ne pourra être résolu; et si, au contraire, ils coïncident de manière à former un polygone fermé, ce polygone et tous les autres qu'on pourra construire sous les mêmes conditions que celui-là, résoudront le problème, qui ainsi aura une infinité de solutions.
Le nombre des droites données étant impair, la droite qui joindra le point de concours des côtés extrêmes de la portion de polygone avec le point de concours des droites données coupera la section conique en deux points, dont chacun pourra être pris pour le point de contact de cette courbe avec le dernier côté du polygone cherché.
Toutes les constructions précédemment indiquées sont principalement déduites de deux théorèmes généraux dont nous nous bornerons, pour le présent, à faire connaître renoncé.
Théorème I. — Un polygone quelconque étant inscrit à une section conique, si ton vient à le faire varier de toutes les manières possibles, de façon cependant qu'il ne cesse pas rfétre inscrit à la courbe, et que tous ses côtés, un seul excepté, passent constamment par des pôles fixes; le côté libre restera, élans son mouvement, pareillement tangent à une autre section conique touchant la première en deux points.
Dans le cas particulier où tous les pôles fixes seront situes sur une
même ligne droite et en nombre impair, le côté libre tournera 'constamment autour d'un point fixe situé sur cette droite.
Théorème II. — Un polygone quelconque étant circonscrit à une section conique, si l'on vient à le faire varier de toutes les manières possibles, de sorte cependant qu'il ne cesse pas d'être circonscrit à la courbe,' et que tous ses sommets, un seul excepté, s'appuient constamment sur des droites fixes; le sommet libre décrira, dans son mouvement, une autre section conique touchant la première en deux points.
Dans le cas particulier où toutes les directrices, concourant en un même point, sont en nombre impair , le sommet libre décrit une ligne droite qui concourt aussi en ce point.
Je passe à l'autre exemple que j'ai promis, au commencement de cette lettre, en faveur de la Géométrie pure.
Problème. — Une section conique étant tracée sur un plan, et deux points étant donnés arbitrairement sur ce plan, le premier sur le périmètre de la courbe et le second quelconque ; déterminer autant de points qu'on voudra (Punc autre section conique qui, passant parles deux points donnés, ait, au premier de ces points, un contact du troisième ordre avec la première, en faisant usage de la règle seulement.
Solution. — Soit P le point donné sur le périmètre de la courbe, et soit A l'autre point quelconque.
Soit menée en P, à la section conique donnée, une tangente indéfinie. Soit menée aussi la sécante PA, coupant de nouveau la courbe en Q. Par un autre point quelconque R de cette courbe et par le point Q , tracez une sécante rencontrant en S la tangente en P. Menez enfin PR et SA, ces deux droites concourront en un point M, qui appartiendra à la courbe cherchée. En variant donc la position du point R sur la courbe donnée, on obtiendra tant de points M qu'on voudra de la courbe inconnue.
Si le point A était infiniment éloigné, auquel cas l'osculatrice demandée devrait être une parabole ou une hyperbole, la même construction subsisterait encore , mais alors elle ne pourrait plus s'exécuter avec la régie seulement.
Si, à la place du fwint A, on se donnait une tangente à l'osculatrice demandée, la construction, un peu différente dans sa première partie*, ne perdrait rien d'ailleurs de sa simplicité. Il ne serait pas difficile, au sur* plus, de déduire de la précédente construction toute la théorie des osculations des sections coniques entre elles , mais ce n'est point ici le lien.
Je crois, Monsieur, ces exemples suffisants pour l'objet que j'avais en vue. Mais, pour fixer l'attention d'une manière plus particulière encore, je crois devoir faire observer que les problèmes qui viennent d'être résolus ne sont peut-être pas les plus difficiles de ceux que je suis parvenu à traiter par la Géométrie sans le secours du calcul algébrique. Entre les divers
exemples que j'en pourrais ci 1er, je me bornerai aux deux suivants qui, à raison de l'intérêt qu'ils présentent, semblent se recommander d'une manière plus spéciale.
i° Deux sections coniques étant tracées sur un même plan, construire un polygone de tant de côtés qu'on vouslra, qui soit à la fois inscrit à l'une d'elles et circonscrit à l'autre, en ne faisant usage que fie lamrègle?
2° En un point donné d'une courbe géométrique quelconque tracée sur un plan, mener une tangente à cette courbe, en ne faisant usage pareillement que d'une simple règle ?
J'ai peine à me persuader que la Géométrie analytique puisse parvenir à des constructions générales à la fois plus symétriques et plus élégantes que celles qui précèdent, à raison du grand nombre des données qui doivent simultanément concourir à la détermination des inconnues. Toutefois, Monsieur, après les exemples que vous avez offerts aux articles déjà cités des Annales, il est peut-être prudent de ne rien préjuger sur ce ' point. C'est la faute que j'avais moi-même commise avant de connaître vos solutions, et cela prouve de nouveau qu'on ne doit jamais se hâter d'imputer à l'Analyse des imperfections qui souvent sont uniquement le fait de ceux qui ne savent point en faire un usage convenable (*).
SOLUTIONS DE PROBLÈMES DE GÉOMÉTRIE (** ), SUIVIES D'UNE THÉORIE DBS POLAIRES RÉCIPROQUES ET DE RÉFLEXIONS SUR L'ÉLIMINATION.
(t. VIII des Annales, Ier janvier 1818.)
Quel est le lieu du sommet d'un angle mobile, de grandeur invariable^ perpétuellement circonscrit à une section conique ? Quelle est la courbe
(*) Je supprime ici les réflexions que l'article précédent de philosophie • suggérées à M. Gergonne, et dans lesquelles, pour établir la supériorité des méthodes algébriques sur celles de la Géométrie pure, il rappelait ses élégantes solutions des problèmes relatifs aux cercles et aux sphères tangents à d'antres donnés à volonté sur un plan ou dans l'espace. Mais , f utre que ces solutions avaient été précédées par d'autres purement géométriques qui, sauf le manque de généralité , n'étaient point dénuées d'un certain mérite , le savant rédacteur des Annales aurait dû ne pas oublier que le succès de ses méthodes trigonoroétriques est principalement dû à l'heureux mélange qu'il a su faire des considérations géométriques avec celles de l'Analyse algébrique. Moi-même, je dois le reconnaître, j'ai eu le tort grave de ne pas déclarer que j'avais mis en usage la méthode des coordonnées de Descartes, pour établir les bases premières des théories et solutions géométriques énumérées dans le précédent Article, comme on peut s'en assurer à la lecture du t. I*r de ces Applications*
(**) Ces deux problèmes avaient été proposés à la p. 36 du même volume des Annales, Cahier d'août 1817; j'ai saisi la circonstance toute naturelle de
enveloppe (le la corda de contact, variable de grandeur, de cet angle mobile ?
Ce problème, comme on le voit par l'énoncé, se partage en deux autres très-distincts, et qu'il convient de traiter séparément : je commencerai par le premier, qui paraît le plus facile, c'est-à-dire par celui où il s'agit de trouver le lieu du sommet de l'angle mobile et invariable de grandeur, constamment circonscrit à une section conique.
I. Supposons, afin d'embrasser tous les cas, que la courbe donnée soit rapportée à l'un de ses sommets comme origine ; les axes des x et des y se confondant, l'un avec l'axe principal, l'autre avec la tangente i son extrémité. L'équation sera, comme on sait, de cette forme :
(i) y*+Axt-\-Bx = o.
Appelons a, p les coordonnées variables du sommet de l'angle constant circonscrit à la courbe ; désignons par /?#, m' les tangentes tabulaires des angles que forment, avec l'axe des .r, les deux côtés de cet angle, et soit enfin / la tangente tabulaire de l'angle donné que doivent faire ces deux côtés l'un avec l'autre, nous aurons, d'après l'énoncé du problème, cette première équation de condition :
(a) — -^ — i = A\ ou m — m' = /• (i -f- mm').
v ' i -f- mm' K ' t
Parmi les divers moyens de faire trouver m, m' en fonction des coordonnées a, 6, il n'en est point de plus simple que celui employé par M.Lefrançois, à la p. io5 de son Essai de Géométrie analytique. Nous le raj>pellerons ici en peu de mots, en l'appliquant au cas qui nous occupe.
Qu'on imagine une droite quelconque passant par le point (a, (5), et ayant par conséquent une équation de cette forme :
(3) • jr-p = m(x-*y,
elle rencontrera, en général, la section conique en deux points, dont on obtiendra les abscisses en combinant son équation ( 3) avec l'équation (i)
leur solution, pour obtenir plus aisément du rédacteur la rare faveur de Taire imprimer un extrait des recherches, qui m'avaient dès lors occupé,' sur la théorie des polaires réciproques, et dont, plus tard, M. Gergonne et d'autres ont su habilement tirer un si avantageux profit, sans jamais avouer ni vouloir reconnaître l'emprunt Tait aux méthodes et aux idées du présent Mémoire; procédé scientifique peu honorable sans doute quand il est calculé, volontaire, mais qui, en revanche, permet, au dernier survenu, de passer de son vivant pour un esprit original et inventif, tout en accordant d'ailleurs une scrupuleuse justice aux médiocrités du jour et des temps passés.
478 VIe CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE
de cette courbe. En exprimant ensuite que les deux racines de l'équation à laquelle on sera parvenu sont égales , on obtiendra une équation de condition, qui indiquera évidemment que la droite en question est devenue tangente à la courbe; et cette équation étant en oc, p, m et des constantes, donnera précisément, pour l'expression algébrique de /«, les valeurs cherchées m, m'.
Éliminant donc/ entre les équations (i, 3), puis écrivant que les deux racines de la résultante en x sont égales, il viendra, toutes réductions faites,
4 {Aa*+ Bol) m* — 4 [*Aa$+B$) m + (fAÇ* - B*) = o. En désignant donc par /w, m' les deux racines de cette équation, on aura
m+m= Aa>+B«> *mm== AM**
retranchant la seconde de ces équations du carré de la première, il viendra, en extrayant la racine,
. Bx/& + A*2+-Bai.
on aura en outre
,+wwg 4(1'+**) *
substituant à leur tour ces valeurs dans l'équation (s) et carrant, il vient
(4) rtBilpi+A** + B*] = A2liA(xt+pi) + iB*-B*Y.
D'après les conditions du problème, X* est une quantité constante et donnée. L'équation qui précède fournira donc le système des valeurs de* et p qui répondent aux sommets des angles égaux circonscrits à la section conique, et sera par conséquent l'équation même de la courbe cherchée (*).
(*) Je supprime ici une longue note du rédacteur des Annales dans laquelle ^prouve, sur l'exemple de l'ellipse, que l'équation (rj) est en elle-même indécomposable en facteurs du 2e degré; Par contre, je ferai observer que la courbe a deux branches distinctes, représentée par cette équation et symétrique autour du centre de la proposée, mériterait une étude spéciale qui se rattache à la théorie des signes de position et des constantes mobiles dont nous nous sommes occupés dans la dernière partie du IIIe Cahier. Qu'il me suffise de dire que cette courbe, d'une construction géométrique facile et rapide , jouit de eette singulière propriété d'être coupée par chacune des tangentes à l'ellipse directrice, en quatre points réels et distincts, susceptibles d'être déterminés par des opérations graphiques qui ne dépendent que du second degré, c'est-à-dire de la règle et du compas. (Cette note et les trots précédentes datent de i863.)
II. Cette courbe est, comme on le voit, du quatrième degré, et i! est aisé de s'assurer, par un simple déplacement de l'origine sur Taxe des .r, qu'elle est concentrique avec la proposée ; mais c'est à quoi nous ne nous arrêterons pas, non plus qu'à discuter son cours et ses propriétés. Nous nous bornerons à parcourir, d'une manière succincte, les cas particuliers déjà connus où son équation s'abaisse au second degré, et représente par conséquent une section conique ( * ) :
i° Si l'angle mobile circonscrit est nul ou égal à deux droits, ce qui arrive lorsque ses deux côtés se confondent, la constante A est nulle aussi, et l'équation ci-dessus devient
c'est-à-dire l'équation même de la section conique, ce qui d'ailleurs est évident à priori (**).
20 Si la courbe donnée est une circonférence de cercle , A sera égal à l'unité, et l'équation (4) deviendra, en développant et ordonnant par rapportàpaH-a*-4-J?ar
d'où l'on tire
équation qui représente le système de deux circonférences concentriques avec la proposée, comme cela était facile à prévoir.
3° Si l'angle invariable est droit, k sera infini, et l'équation (4 j deviendra
4^(^-r-aa)-4-4^a-^ = o;
c'est l'équation d'une circonférence de cercle, concentrique à la section conique donnée. En supposant que A soit nulle dans cette équation, auquel cas l'équation (i) de la section conique donnée devient y2 -+- Bx = o, et représente une parabole, elle se réduit à cette forme encore plus simple,
4a — i?=ro;
c'est évidemment l'équation de la directrice même de cette parabole.
(*) Voir un Mémoire de Lahire, dans, le volume de l'Académie royale des Sciences, de Paris, pour 1704* (Aïote de 181 7.)
(** ) Dana le cas où A est nul, on satisfait encore à l'équation (4) en posant
c'est l'équation d'une circonférence concentrique avec la section conique, ayant un rayon infini. C'est qu'alors les deux côtés de l'angle invariable circonscrit sont parallèles. (Note de M. Gergonne.)
48o VIe CAHIER, -r- ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE
4° Si, enfin, sans rien statuer sur la valeur de A, on suppose, comme dans le cas précédent, que la courbe donnée soit une parabole, et que, par conséquent, A soit égal à zéro, l'équation générale (4) deviendra, en l'ordonnant,
Sa— Pcr-\ - -a — = o:
équation d'une hyperbole {*) dont le grand axe se confond, pour la direction, avec celui de la parabole donnée, et qui, de plus, a l'un de ses foyers en commun avec cette parabole, comme cela a été énoncé à la p. i3 du présent volume des Annales (t. VIII).
Pour prouver cette assertion, proposons-nous de rechercher les foyers de l'hyperbole dont il s'agit.
On sait qu'un des caractères du foyer d'une section conique, quand elle est rapportée à son grand axe comme axe des abscisses, est que sa distance à un point quelconque de la courbe est une fonction rationnelle et entière.de l'abscisse correspondante. Nommant donc / la distance inconnue de ce foyer à l'origine, on aura, en faisant attention à l'équation ci-dessus de l'hyperbole, pour la distance de ce point à un point quelconque (a, p) de cette même courbe,
^rpîn7)I-v/(»+*,)«,-(»/+^î:~)«+(/,+^)-
Cette, expression ne peut être rationnelle, à "moins que la quantité sous le radical ne soit un carré parfait; /doit donc être telle, qu'on ait
(*) Si, comme le prouve M. Gergonne,, la courbe que représente l'équation d) est réellement du 4e degré, on peut se demander ce qu'est devenue la seconde branche de cette courbe, distincte de l'hyperbole. Or, k n'entrant qu'an carré dans les équatiops de Tune et l'autre courbes et représentant la tangente tabulaire d'un angle constant, il est évident qu'au point de vue géométrique, cet angle peut recevoir, dans le tracé de la courbe lieu du sommet mobile, toutes les ouvertures qui correspondent en général à une même valeur, positive ou négative de i: tel est un angle aigu donné et son supplément, etc. Dès lors, il y a lieu de considérer deux angles circonscrits et distincts comme le suppose la première des notes ci-dessus, et par conséquent, j>our chaque tangente de la parabole directrice, quatre sommets d'angles circonscrits dont deux sur l'hyperbole et deux a l'infini, appartenant à une branche conjuguée à l'hyperbole, doublement rectiligne, elle-même à l'infini; ce qui prouve que tons les mystères de la Géométrie analytique ne sont point jusqu'ici entièrement éclaircis. • (Xote de i863.)
ou, en développant et ordonnant,
16A3/a~8i?(a + Xa)/-iP(4 + 3^) = o, d'où Ton tire pour /ces deux valeurs
/=~~7' '= — JP — *
dont la première est évidemment l'abscisse du foyer de la parabole donnée. Donc, en effet, ce foyer est aussi un de ceux de l'hyperbole qui nous occupe. •
Pour compléter le rapprochement entre ces deux courbes, nous allons faire voir qu'elles ont une directrice commune, correspondant précisément au foyer ci-dessus.
La directrice d'une section conique, répondant à l'un de ses foyers, n'est autre chose, comme on le sait (Brianchon), que la polaire même de ce foyer ; ce caractère la distinguant de toute autre droite tracée sur le plan de cette courbe, il paraît convenable de la désigner par l'expression de polaire focale y qui en rappelle la nature d'une manière plus complète et plus absolue que le mot commun et générique de directrice^ et c'est ainsi que nous en userons dans ce qui va suivre. Afin de déterminer cette polaire dans le cas actuel de l'hyperbole trouvée, soient x\ y' les coordonnées d'un point quelconque, considéré comme pôle ; l'équation de la polaire qui lui correspond sera évidemment (*)
Si l'on substitue pour jr' et x* les valeurs o et — — > qui appartiennent,
comme nous l'avons vu ci-dessus, au foyer de l'hyperbole commun à la parabole donnée, cette égalité deviendra
équation qui appartient précisément à la polaire focale de la parabole dont il s'agit ; comme on s'était proposé de le démontrer.
111. Passons maintenant à la solution de la seconde partie du problème proposé, celle où il s'agit de trouver la nature de la courbe enveloppe de la corde de l'angle mobile et constant, circonscrit dans toutes les positions de cet angle.
(*) Ici, comme dans tout ce qui va suivre, je suppose que l'on ait une connaissance parfaite de la Théorie analytique des pôles, exposée par M. Gergonne, à la page a<)3 du t. III de ce Recueil. (Note de 1817.)
Je remarque d'abord que la corde dont il s'agit n'est autre chose que la polaire du sommet mobile (a, P), et que, de plus, la courbe que parcourt ce sommet est déjà connue par ce qui précède ; d'où il suit que la question se trouve naturellement ramenée à celle-ci :
Le pôle (Pitne section conique étant assujetti à parcourir une courbe donnée, quelle sera la courbe enveloppe de la polaire de ce point, tlans toutes ses positions?
On trouve facilement, par ta théorie des pôles, que, pour la courbe (i), la polaire qui répond à un point (a, p) a pour équation
{5) 2$y+(iJa + £)x+£K = o.
Dans cette équation, p est une fonction de a, en vertu de l'équation ( 4) ; or, d'après la théorie des enveloppes, quand une ligne .varie en même temps qu'un certain paramètre, qui entre dans son équation, on obtient une nouvelle relation appartenant an point correspondant de l'enveloppe, c'est-à-dire appartenant au point où cette ligne la touche, en différentiant l'équation, par rapport à ce paramètre comme variable, et regardant les coordonnées courantes comme constantes. Différentiant donc l'équation (5) par rapport à a, et laissant x et y constantes, il viendra cette nouvelle équation
dor ■
qui servira , conjointement avec celle ci-dessus , à calculer les coordon-
d@ nées x, y d'un point de l'enveloppe, quand a, p et -±- seront connus.
On obtiendra la valeur de -p- en différentiant l'équation (4) par rapport à a et p, ce qui donnera
dp iAu+B k% [4^(pa-f-a*)4-4**- &] - ai?*
da~ ap ' ^/•2f4^(f>î4-aî')-f-4^â-i?a]-afir
Substituant cette valeur dans l'équation trouvée ci-dessus, elle deviendra
/ (%J* + B)\P[4J(P + c?) + 4£a — Bt\--*]P\y (6) J 2^pj^XJ[4^(^+«2)H-4#a-^]-a£2j*
Cette dernière équation et l'équation (5) devant, d'après ce qui précède, donner conjointement un point ( x, y) de la courbe cherchée, quand on j mettra, pour a et p, des valeurs qui conviennent à l'équation (4 ), il s'ensuit que, en éliminant a et p entre ces trois équations, on obtiendra, en x et y, 1 équation même de cette courbe.
IV. A ne consulter que lo degré de chacune de ces équations, on voit
que l'équation finale pourrait s'élever jusqu'au 3i* degré; et, en supposant que l'équation linéaire (6) ne se comporte que comme une équation du ier degré, ce qui est assez probable, on voit que cette équation monterait encore au 16* degré. II serait, à ce que je crois, long et pénible d'effectuer en toutes lettres cette élimination, à cause des facteurs étrangers qui, nous le verrons plus tard pour un cas particulier, compliquent nécessairement le résultat final auquel on doit parvenir. J'avoue que je n'ai pas eu le courage de l'entreprendre , quelle que fût d'ailleurs ma bonne volonté de le faire.
Cependant, comme c'est une question fort intéressante en elle-même que celle de trouver, en général, quel est le degré de la courbe sur laquelle roule la polaire d'une section conique, quand le pôle parcourt une courbe de degré donné, et réciproquement, j'ai été entraîné à faire les recherches suivantes, qui, je l'espère, pourront dédommager en partie le lecteur de l'attention qu'il aura bien voulu accorder à l'ébauche infructueuse que je viens de lui offrir.
Théorie des polaires réciproques.
V. Avant d'entrer en matière, j'exposerai, pour l'intelligence de ce qui va suivre, ce théorème général, qui résume en lui-même toute la théorio des pôles et polaires :
Si un certain point est situé sur une ligne droite tracée dans le plan d'une section conique, sa polaire passera par le pôle de cette droite.
Soit a le pôle d'une certaiue droite, assujetti à parcourir une courbe quelconque tracée sur le plan de la section conique qui sert de directrice ou d'intermédiaire ; si l'on suppose que ce pôle a se déplace infiniment peu de sa position primitive sur la courbe parcourue, c'est-à-dire sur celle qu'il est assujetti à décrire, il n'aura pas quitté la tangente au point correspondant de cette courbe; d'un autre côté, sa polaire, d'après le théorème qui précède, n'aura pas quitté non plus un certain point fixe, qui est le pôle même de la tangente en question. Or, ce point est précisément celui où la polaire de a touche la courbe enveloppe, puisqu'il est, par hypothèse, le point d'intersection de deux tangentes consécutives de cette courbe ; donc , de même que chaque point de la courbe parcourue par le point a peut être considéré comme le pôle d'une certaine tangente de l'enveloppe ; pareillement, chaque point de cette dernière peut, à son tour, être considéré comme le pôle d'une certaine tangente à la courbe parcourue par le point a. *
Il résulte de là que les deux courbes dont il s'agît jouissent de propriétés réciproques à l'égard de la section conique qui leur sert d'intermédiaire ou de directrice commune; c'est-à-dire que la courbe des points a peut être considérée à son tour, comme enveloppe commune des polaires des divers points de l'autre, et viceversà; on peut donc appeler l'une de
484 VIe CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTOIE
ces courbes la réciproque de l'autre; et, comme chacune d'elles peut être considérée comme le lieu des pôles des éléments de sa réciproque, on peut, pour plus de précision encore, l'appeler sa polaire réciproque. Cette dénomination permet d'exprimer ainsi, d'une manière très-abrégée, les conséquences des remarques qui précèdent :
La polaire réciproque fPune courbe donnée sur le plan d'une section conicfue, est à la fois le lieu -des pâles tle toutes les tangentes à cette première courbe, et V enveloppe de V espace parcouru par les polaires des points de cette même courbe.
En langage ordinaire, cette proposition s'exprimerait ainsi : Une courbe quelconque étant donnée sur le plan d'une section conique, celle sur laquelle roule , dans son mouvement , la corde de contact de l'angle mobile et variable circonscrit à cette section conique dont le sommet parcourt constamment la courbe donnée, est aussi celle que devrait décrire le sommet d'un autre angle mobile et variable, circonscrit à la section conique, pour que l'enveloppe de l'espace parcouru f/ar sa corde de contact fdt la première courbe elle-même.
VI. Supposons actuellement, afin de reconnaître quel est le degré de la polaire réciproque d'une courbe donnée, que l'on trace arbitrairement dans son plan une ligne droite quelconque ; cette droite la rencontrera, en général, comme l'on sait, en autant de points que son degré renfermera d'unités. Or, d'après ce qui précède, chacun de ces points est le pôle d'une certaine tangente à la courbe donnée; et, par la théorie des pôles (V), cette tangente passe nécessairement par le pôle de la droite arbitraire; donc cette dernière rencontrera la polaire réciproque en autant de points que, par son pôle, on pourra mener de tangentes a la courbe donnée. La question se trouve ainsi ramenée à celle-ci :
VII. Combien, tPun point arbitrairement donné, sur le plan cFunc courbe quelconque, peut-on mener de tangentes à cette courbe?
Dans le cas où la courbe est transcendante, on sait qu'en général on peut lui mener,' d'un point donné, une infinité de tangentes réelles ou imaginaires; donc, la polaire réciproque qui lui correspond sera susceptible d'être coupée en un pareil nombre de points réels ou imaginaires, par une droite arbitrairement tracée dans son plan (VI), et sera par conséquent transcendante elle-même comme la proposée ; mais ce n'est pas là le cas qui nous intéresse. Passons donc à celui où la courbe proposée est purement algébrique.
Dans ce cas, en «désignant par m le degré de la courbe dont il s'agit, le nombre des tangentes possibles, partant d'un même point, sera fini ; et, suivant Waring (*), il ne saurait surpasser le carré de m. Mais nous allons faire voir que le nombre effectif de ces tangentes est, en général
(*) Mhcellanea analrtica, p. ioo.
et au plus /w(/;/—i); ce qui diminue de m le nombre indiqué par ce géomètre.
Supposons, en eifet, qu'on melte en perspective là courbe et le point donnés, de manière que ce point soit situé à une distance infinie; les tangentes, au lieu de concourir, deviendront alors parallèles; de plus, le degré de la courbe n'aura pas varié, non plus que le nombre des tangentes, puisque chacune des tangentes de la 6gure primitive se trouvera remplacée par sa perspective. Il suffira donc de démontrer le théorème énoncé pour le cas particulier où les tangentes doivent toutes être parallèles à une même droite donnée.
d r Le coefficient différentiel du premier ordre ~ d'une courbe plane
quelconque étant l'expression même de la tangente tabulaire de l'angle que forme, avec l'axe des x, la tangente au point correspondant de celle courbe, il suffira, dans le cas actuel, d'écrire que cette expression est égale à une quantité donnée et constante (*) ; ce qui fournira une équation de condition, exprimant la relation qui doit exister entre les coordonnées des points de contact cherchés, et servira par conséquent, con-
(*) En proposant, dans des notes annexées à cet alinéa, de simplifier davantage encore la démonstration en prenant pour axe des x la droite à laquelle les tangentes doivent être parallèles, ce*qui dispense de considérer le dénominateur de l'expression algébrique du coefficient différentiel, le Rédacteur des Annales me paraissait avoir parfaitement saisi l'esprit et la rigueur géométrique de ce mode abréviatif de démonstration. Comment donc se fait-il qu'après s'y être associé, en 1817, pour établir la vérité du théorème ci-dessus relatif aux m (m — 1) tangentes à une courbe plane du degré mf issues d'un point donné, M. Gergonne ait complètement oublié ou méconnu ce théorème en iH'jG, et qu'il ait fallu mes avertissements réitérés et ceux de Bobillier, qui en reportait faussement d'ailleurs le mérite à M. Vallès, pour que l'auteur d'une fictive dualité revint de ses absurdes prétentions à rencontre d'une théorie assez largement ébauchée dans le présent Article des Annales pour que les conséquences en devinssent d'une évidence palpable aux esprits non imbus de billevesées métaphysiques? On le concevra facilement si l'on réfléchit que le théorème en question faisait crouler un vaste échafaudage philosophique, enté sur un principe tiré lui-même d'une incomplète analogie, et dont l'erreur, le- manque de généralité obligaient l'inventeur à substituer au mot degré celui de classe, en cela averti, guidé par mes propres critiques et les observations que contenait déjà le n" VI II du texte ci -dessus. Mais cette tardive rectification de mots n'a point modifié les prétentions de M. Gergonne et de ses admirateurs intéressés, qui se gardèrent bien de reconnaître ostensiblement mes droits, évidents pour tout géomètre nourri des doctrines de l'École de Monge, à la priorité de l'in~ vention du principe de réciprocité polaire, du moins quant aux propriétés descriptives ou de situation des ligures, les seules dont M. Gergonne et se* adeptes se fussent occupés. Je n'avais alors, il est vrai, rien publié de bien explicite sur la dualité de* relations métriques projectiles, (\otc de i8o7j.)
486 VIe CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE
jointement avec celle de la courbe donnée, à déterminer tous ces points de contact. Or, l'expression du coefficient différentiel d'une courbe du degré m est une fonction dont le numérateur et le dénominateur ne sont évidemment que du degré m — i ; donc l'équation de condition dont il s'agit sera elle-même du degré m — i, et l'élimination de x ou de y, entre elle et la proposée, du degré /«, conduira à une équation finale qui s'élèvera, tout au plus, au degré m(m — i)1 comme cela résulte des théories connues. Donc, finalement, on ne saurait mener à une courbe de degré m plus de ///(/// — i) tangentes par un point quelconque de son plan.
Dans la démonstration qui précède, nous n'avons fait usage des considérations de la perspective que pour abréger ; il ne serait pas difficile de démontrer le principe établi, d'une manière directe et tout à fait algébrique ; mais cela nous aurait entraîné dans quelques calculs que , bien qu'ils soient fort simples, nous avons préféré épargner au lecteur.
VIII. L'équation de condition dont il a été question ci-dessus, étant en général du degré m — i entre les coordonnées x et/ des points de contact, représente évidemment une courbe de ce degré qui coupe aux mêmes points la courbe proposée. Si, par exemple, celle-ci est une conique, on aura/w — 1 = 1; d'où il suit que les points de contact, au nombre de deux seulement, se trouveront sur une certaine droite, qui sera évidemment la polaire du point de départ des tangentes. Si la courbe donnée était du troisième degré, le nombre des points de contact serait six, et la courbe qui couperait la proposée en ces points serait une section conique. Ces deux- courbes, la proposée et celle qui la coupe suivant les points de contact des tangentes issues d'un môme point, jouissent en général de propriétés nombreuses et remarquables ; mais ce serait sortir du sujet qui nous occupe que de les faire connaître ici (*).
IX. Nous venons de voir que, d'un point pris à volonté sur le plan d'une courbe géométrique du degré «i, on ne peut mener plus de
(*) Ceci 8e rapporte aux théories géoraétrico- analytique» qui terminent le III* Cahier de ee volume (p. 1/19 etsuiv.), rédigé ^ans l'hiver de 1810 à 1816. Ces mômes théories ont été reprises et développées avec succès, en 1827, par Bobillier, esprit intelligent et singulièrement actif, déjà cité dans le premier volume de ces Applications, et qui, après avoir épousé les idées de M. Gergonne, voulut bien enfin reconnaître sa propre injustice à mon égard, dans une correspondance et des relations particulières datant de 1828 à 1829; époque où il se lia d'une amitié sincère avec moi par l'intermédiaire de M. Bardin, professeur à l'École régi m en taire d'artillerie de Met/., et bien au fait de me* anciens travaux de Géométrie. Certainement, la réciprocité polaire cl d'autres grands principes de Géométrie, découverts dès avant 182} et dont on a déduit, sans prononcer mon nom, tant de théorèmes cl de corollaires évidents, mais
m{m — i) tangentes à cetle courbe; donc (VI) la polaire réciproque d'une courbe donnée, de degré m, ne pourra être rencontrée, à son tour, en plus de m (/w — 1 ) points, par une droite quelconque, tracée arbitrairement sur son plan; et tel sera par conséquent, en général, le degré de cette même courbe.
Prenons pour exemple particulier le problème qui fait le sujet de cet article. Nous avons vu (I) que le sommet mobile de l'angle constant, perpétuellement circonscrit à une section conique donnée, parcourait, dans toutes ses positions, une courbe du quatrième degré ; donc, dans ce cas, le degré de la courbe enveloppe de l'espace parcouru par la corde de contact ne saurait être au plus que 4(4 — 1 ) = la : ce degré pourra d'ailleurs être moindre, attendu que la courbe parcourue par le sommet de l'angle n'est pas la plus générale de son degré ; mais, vu ta complication des éliminations à effectuer (IV), c'est déjà quelque chose que d'avoir prouvé que la courbe enveloppe ne saurait être d'un degré plus élevé encore.
Quoique la réciproque d'une courbe donnée soit en général du degré m (m — 1 ), quand le degré de celle-ci est m, on ne peut cependant lui mener, d'un point pris arbitrairement sur son plan, que m tangentes au plus; bien qu'il semble (VII) que le nombre des tangentes possibles, pour une courbe de ce degré, soit m [m — 1 ) [rn( m — 1 ) — 1 ]. Mais c'est que cette courbe n'est pas générale, c'est-à-dire qu'elle est d'une espèce particulière parmi toutes celles du même degré, et qu'une courbe du degré m n'a pas toujours et nécessairement m ( m — 1 ) tangentes possibles concourant en un même point, pris à volonté sur son plan. La parabole cubique, par exemple, n'a au plus que trois tangentes, soit réelles, soit imaginaires, passant par un point arbitraire, quoiqu'une courbe du troisième degré puisse en général en avoir six, comme nous l'avons vu cidessus. On peut s'assurer toutefois que, même dans ce cas particulier, la courbe de contact est encore une section conique, comme dans le eus général ; mais sa nature et sa situation sont liées à celles de la parabole cubique de manière à ne couper celle-ci qu'en trois points au plus.
étrangers au but général que je cherchais à atteindre; certainement ces principes sont devenus aujourd'hui l'objet d'une infinité de démonstrations géométriques ou algébriques, élégantes et faciles; mais, envisagés comme point de départ d'autant de doctrines philosophiques et de duplication des vérités connues, ils ont acquis une universalité d'application et une portée que l'on nierait en vain, et qui est entièrement comparable à celle de la doctrine des projections centrales ou de l'homologie, dont Jacobi et quelques esprits d'élite ont fait comprendre l'influence, même pour les progrès ultérieurs de l'Analyse algébrique Ceci me dispense de revenir sur leur extrême importance, et répond à bien des dénigrements, d'injustes dédains, ou à des insinuations obliques, qui, pour l'époque actuelle, ont été l'origijic de tant de confusion, de méprises et d'oublis plus on moins volontaires. (\'ote de i8fî^.)
488 VIe CAHIER. — ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE
X. La dépendance intime entre une courbe donnée et sa polaire réciproque est extrêmement remarquable, comme on a pu le voir par tout ce qui précède ; nous ajouterons de plus, pour compléter ce rapprochement, que : i° les points d'inflexion de Tune correspondent aux points de rebroussement de. l'autre, et réciproquement; i° les points situés à l'infini sur l'une correspondent aux points de contact de l'autre avec les tangentes partant du centre de la section conique directrice ; 3° ces points de contact sont précisément les pôles des asymptotes de la première, et ces mêmes tangentes les polaires des points situés à l'infini où ces asymptotes la touchent; 4° quand la proposée a une ou plusieurs branches paraboliques, c'est-à-dire une ou plusieurs branches dont les asymptotes sont entièrement à l'infini, la réciproque a un même nombre de branches passant par le centre de la section conique directrice ; 5° cette réciproque est ouverte ou fermée, suivant que de ce centre on peut ou ne peut pas mener des tangentes à la courbe dont il s'agit ; et le nombre de ses branches infinies est précisément égal au nombre de ces tangentes possibles; 6° les points multiples de la courbe donnée sont les pôles des tangentes communes à la fois à plusieurs branches de la réciproque, et précisément à un nombre de branches marqué par Tordre de multiplicité des points dont il s'agit. Les points de contact de ces sortes de tangentes sont des points singuliers très-remarquables dans lfcs courbes, en général ; et Ton voit qu'ici ces points de contact sont les pôles des tangentes aux points multiples de la courbe primitive ; 7° etc.
Toutes ces conséquences découlent naturellement des n°* V et VI qui précèdent, et il me parait inutile de m'y arrêter davantage. Je terminerai ce que je me proposais de dire sur les polaires réciproques, en faisant connaître, au moyen d'un exemple particulier, assez remarquable, le parti qu'on en peut tirer pour la recherche ou la démonstration géométrique de certaines affections des lignes courbes, en général. Voici cet exemple :
XI. Deux courbes géométriques, F une du degré m, et ? autre du degré n, étant tracées sur un même plan, le nombre des tangentes qui leur sont communes est en général et au plus mn(m— i)(n — 1)(*).
(*) Qui ne voit nettement, dans cette simple et originale application, la manifestation d'un principe, non de dualité universelle, vague et indéfinie, mais de réciprocité polaire, rigoureuse, générale et embrassant l'ensemble des propriétés descriptives ou de situation, c'est-à-dire indépendantes de toutes grandeurs absolues et déterminées, en un mot caractérisées par l'épithète de projectires; les seules, je le répète, envisagées par M. Gergonne et ses fervents disciples ? Qui ne voit encore que cette doctrine s'étend tout aussi bien au cas de l'espace qu'à celui du plan, puisque Monge, proclamé devnnj un savant auditoire, immortel par l'immortel Lagrange, a non-seulement défini groniétriqnemejii
Pour le prouver, traçons dans le plan de ces deux courbes une section conique quelconque, et regardons-la comme la directrice commune aux polaires réciproques qui correspondent aux deux premières ; ces polaires seront (IX), en général, l'une du degré /n(/w — i), et l'autre du degré /z(/i — 1) ;
le plan polaire d'un point, Y axe polaire conjugué ou réciproque d'une droite quelconque par rapport à une surface du second degré, mais qu'il a également établi, cette fois par des équations algébriques, les théorèmes relatifs, soit au cône du degré mem — i), circonscrit à une surface donnée de degré/», soit à sa courbe de contact située sur une surface polaire de degré m — 1 seulement; théorèmes d'une généralité admirable, dont quelques esprits étroits, d'ailleurs fort peu doués du sens analytique, ont vainement contesté la rigueur de démonstration? {Annales de Montpellier, t. XV, 18.2/1 à i8a5, p. i33.)
De telles objections, si peu fondées au point de vue de la philosophie des sciences, et quelques autres inspirées par la lecture du Rapport de M. Cauchy sur la Théorie des propriétés projectiles (voir VIe et VIIe Cahiers), n'ont-elles pas servi de moyen d'excitation et d'encouragement à la pédantesque mais tardive manifestation (t. XVI et XVU des Annales, 1826 et 1827) du principe métaphysique de dualité? Or ce principe, en dehors de la théorie géométrique des pôles et polaires réciproques, ou des autres procédés de démonstration algébriques imaginés depuis 1827, c'est-à-dire longtemps après mes démonstrations propres, ce principe constituait- il, je le demande encore, autre chose qu'une simple induction, tirée du rapprochement d'un petit nombre de théorèmes particuliers parmi lesquels on distinguait ceux de Brianchon, dont l'énoncé remarquable était restreint aux figures hexagonales entièrement détachées de la directrice des pôles et polaires? L'exposé, en double colonne, des applications de cette dualité dans les endroits cités des Annales, manquait donc totalement de rigueur pour les courbes et les surfaces de degré quelconque ; aussi, dans son état d'abstraction métaphysique, avait- il réellement besoin d'être rectifié, traduit et justifié par les procédés connus de l'Analyse ou de la Géométrie.
Mais, si cette dualité douteuse et ses énoncés à double colonne réclamaient une telle contre-épreuve, il n'en était nullement ainsi de la réciprocité polaire, fondée à priori sur l'intuition et le raisonnement géométriques; d'autant plus que la loi des signes de position et le principe de continuité sur lesquels la méthode de Descartes repose inévitablement, constituent de véritables pétitions de principe dès qu'on prétend bannir la notion de l'iniini, et ont eux-mêmes, comme le témoignent une foule d'écrits modernes, besoin d'être justifiés, ou tout au moins discutés d'une manière logique et sérieuse. C'est ce que j'ai tenté dans les IIIe et IVe Cahiers de ce volume, d'une date antérieure à celle de 1817, où j'adressai le présent Article aux Annales de Mathématiques,
D'après cela, n'est-U pas évident que la prétendue découverte et les démonstrations analytiques diverses du principe de dualité données depuis 1827, n'ont rien pu ajouter de bien essentiel aux doctrines dont il s'agit ici, et qui se trouvent suffisamment développées dans mes publications de 18» 2 et i8i/|, peutêtre déjà trop souvent citées, mais que des discussions où la vérité n'a point toujours été respectée, ont rendu indispensables après tant d'années de silence obligé, de ma part?
49° VIe CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE donc ces courbes se couperont, en général, en mn (m — 1) [n — i ) points. Or, chacun de ces points, en tant qu'il appartient à Tune des réciproques, est (V) le pèle d'une certaine tangente à celle des courbes données qui lui correspond, et en tant qu'il appartient à l'autre de ces mêmes réciproques, il est aussi le pôle d'une certaine tangente à la seconde des courbes données; donc, un même pôle ne pouvant avoir qu'une seule et unique droite polaire, ce point d'intersection des deux réciproques sera précisément le pôle d'une tangente commune aux deux courbes proposées. De plus, il est visible qu'à son tour toute tangente commune à ces courbes est nécessairement la polaire d'un certain point commun aux deux réciproques; d'où il suit que le nombre de ces tangentes communes sera précisément égal à celui des points d'intersection des deux réciproques, c'est-à-dire ;w/i(/w — 1)(« — i), comme on s'était proposé de le démontrer.
Quant aux courbes polaires elles-mêmes, bien qu'elles soient d'un degré plus élevé que leurs correspondantes, elles ne sauraient évidemment avoir plus de ma tangentes communes, puisque leurs réciproques primitives, étant respectivement des degrés m et /?, ne sauraient se couper en plus de mn points.
Nous pourrions transporter les généralités qui précèdent dans l'espace, mais il sera plus convenable de descendre de ces mêmes généralités au cas particulier où la courbe donnée est une section conique, comme la directrice ;' parce qu'il se rattache au second des problèmes qui ont été l'occasion sinon l'objet principal de cet article. Nous terminerons par rechercher, d'une manière générale, l'équation de la polaire réciproque, pour ce cas particulier, tant parce que cet objet n'a point encore été rempli d'une manière purement algébrique, que pour faire connaître la cause de la complication des équations du problème général qui nous a occupés dans le n° III.
XII. Nous avons vu ci-dessus ( VI ) que le degré de la polaire réciproque dune courbe donnée est, en général, égal au nombre des tangentes que l'on peut mener d'un point quelconque à cette dernière ; or, dans le cas actuel d'une section conique, le nombre de ces tangentes est visiblement deux; et il n'est pas besoin, pour cela, de recourir à l'art. VII; donc la polaire réciproque d'une section conique donnée est elle-même une autre conique; ce qu'on peut aussi (V) énoncer en cette manière :
Si le pôle d'une section conique se meut sans cesser ^appartenir à une autre section conique, sa polaire ne cessera pas non plus de toucher une troisième conique, différente des deux premières.
Et réciproquement,
Si la polaire d'une section conique se meut, sans cesser d'être tangente à une autre section conique, son fjàle ne quittent pas non fylits une troisième conique, différente des deux premières.
Ces deux théorèmes rentrent pour le fond, comme nous t'avons assez fait voir, dans une proposition unique, qui ne diffère pas de celle citée à la p. 4^4 de ce volume. Le raisonnement qui précède en fournit une démonstration nouvelle, purement géométrique, et qui me parait aussi directe que simple ; elle s'étendrait avec facilité au cas où les sections coniques seraient remplacées par des surfaces du second ordre, situées arbitrairement dans l'espace, ce qui donnerait lieu au beau théorème démontré pour la première fois par M. Brianchon, à là p. 3o8 du XIIIe Cahier du Journal de ï École Polytechnique.
XIII. D'après ce qui a été dit ci-dessus (X), la polaire réciproque d'une section conique donnée sera ouverte ou fermée, selon que, du centre de la section conique directrice on pourra ou on ne pourra pas mener des tangentes à la section conique donnée. Il suit de là que cette polaire sera une ellipse, une parabole ou une Jijrperbolc, suivant que le centre de la directrice sera situé au dedans, sur ou bien en dehors de la section conique donnée. En remarquant en outre, d'après le même article, que les points de contait dont il vient d'être question sont précisément les pôles des asymptotes de la polaire réciproque de cette même section conique, on en pourra conclure que la corde de contact qui joint ces deux points est, dans loua les cas possibles, la polaire même du centre de la réciproque à la courbe proposée.
De plus, si l'on fait attention (V) que deux sections coniques étant réciproques, les points de l'une sont les pôles des tangentes de l'autre, par rapport à la conique directrice, on en conclura aussi que ceux où l'une d'elles coupe cette dernière conique indiquent précisément sur celte courbe, les points de contact des tangentes qui lui sont communes avec l'autre.
Deux sections coniques étant données, rien ne sera plus facile, comme on le voit, que de déterminer les quatre tangentes qui leur sont communes. Il suffira, en effet, de regarder Tune d'elles comme la directrice par rapport à l'autre, puis de chercher sur cette directrice les points où la coupe la réciproque de la première, et ces points seront ceux où elle est touchée par les tangentes en question. On pourra d'ailleurs tracer la polaire réciproque dont il s'agit, soit en en recherchant le centre et les asymptotes, s'il y a lieu, au moyen de ce qui a été dit ci-dessus, soit en en déterminant cinq points, à volonté, avec la règle seule, puis en traçant ensuite, au moyen de Y hexagone mystique de Pascal, la section conique qui passe par ces cinq points.
Réflexions sur V élimination, h propos des problèmes de la p. 476.
XIV. Nous avons fait connaître (Il ) les cas pour lesquels la courbe parcourue par le sommet d'un angle mobile, mais constant, perpétuellement
49* VIe CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE
circonscrit à une section conique donnée, se réduisait elle-même à une autre section conique. 11 résulte de ce qui précède que, dans les mêmes cas, la courbe enveloppe de l'espace parcouru par la corde de contact de l'angle mobile se réduira aussi à une conique. . Examinons, en particulier, le cas où la section conique donnée est une parabole ; nous avons vu qu'alors le lieu de tous les sommets est une hyperbole, dont Taxe principal se confond, pour la direction, avec celui de cette parabole, et qui a un de ses foyers et la polaire focale correspondante confondus avec ceux de cette même courbe.
Puisque la courbe pai courue dans le cas actuel n'a aucune de ses tangentes passant par le centre de la parabole qui lui sert de directrice, c'est-à-dire n'a aucune tangente parallèle à Taxe de cette parabole, on en conclut de suite (XIII) que la polaire réciproque correspondante est entièrement fermée, et ne saurait, par conséquent, être qu'une ellipse. Je dis de plus, que cette ellipse a un «de ses foyers et la polaire focale correspondante en commun avec les deux premières.
En effet, si l'on se rappelle que, dans une section conique quelconque, la droite qui passe par l'un des foyers et celle qui joint le pôle de cette droite avec le même foyer, sont perpendiculaires entre elles, quel que soit d'ailleurs celui des systèmes de ces droites qu'on ait choisi en particulier, on pourra en conclure, pour le cas actuel, que, si d'un point pris, à volonté, sur la polaire focale commune à la parabole et à l'hyperbole proposées, on mène à ces courbes quatre tangentes, deux pour chacune, les quatre points de contact seront situés, à la fois, sur une seule et même ligne droite, passant par le foyer correspondant, laquelle sera évi- » demment la polaire de ce même point. Cela posé, appelons T le point de la polaire focale d'où partent les tangentes (*); P, P' les points de contact appartenant à la courbe parcourue, c'est-à-dire à l'hyperbole; D, D' ceux qui appartiennent à la courbe qui sert de directrice, c'est-à-dire à la parabole; F le foyer commun à ces mêmes courbes; enfin, E, E' les points où la droite PP' rencontre la courbe enveloppe, c'est-à-dire l'ellipse. Il ne sera pas difficile de voir (V, VI) que le point E de l'enveloppe est le pôle de la tangente TP à l'hyperbole; et par conséquent, que le point P de contact est, à son tour, le pôle de la tangente en E à l'enve- - loppe ; or, le point P d'une droite PP' a nécessairement pour polaire (V) une droite passant par le pôle T de la première ; donc la tangente au point E de l'enveloppe passe par ce même point T; et, comme pareille chose peut se démontrer à l'égard de son correspondant E', il s'ensuit que, par rapport à la section conique enveloppe, considérée en ellemême et indépendamment des deux autres, le point F est précisément le pôle de la droite qui sert de polaire focale commune à celles-ci.
(*) Le lecteur est prie de suppléer la ligure.
Maintenant, si Ton se reporte à l'observation d'où Ton est parti dans le raisonnement qui précède, on pourra en conclure que, relativement à la section conique enveloppe, le point F est tel, que la droite EE' qui passe par ce point, et celle TF qui joint le pôle de cette dernière au même point, sont perpendiculaires l'une à l'autre, quelle que soit d'ailleurs la droite EE' qu'on ait choisie en particulier; or, il n'existe, comme l'on sait, sur le plan d'une section conique donnée, d'autres points que les foyers mêmes de cette courbe qui jouissent d'une semblable propriété (*). Donc le point F est en effet le foyer de l'ellipse enveloppe ; et par conséquent, cette ellipse a ce même foyer et la polaire focale qui lui correspond, en commun, avec les deux autres sections coniques.
La première de ces deux conséquences a été avancée d'une manière gratuite, à la p. 464 de ce volume; et nous avons été bien aise d'en donner en passant la démonstration, sans faire usage d'autres principes que ceux déjà exposés dans le présent Article, et sans même sortir du sujet principal qu'on s'y propose. Au reste, on pourrait démontrer, en suivant à peu près la marche qui précède, qu'en général la section conique réciproque d'une autre ne saurait avoir même foyer avec elle et avec celle qui Leur sert de directrice commune, à moins que ces dernières n'aient, à la fois, même polaire et même foyer, comme ci -dessus.
£V. Proposons-nous maintenant, pour terminer d'une manière conforme à ce qui a été annoncé, de démontrer d'une manière purement algébrique le théorème du n° XII, afin de faire connaître, par un exemple particulier, en quoi consiste la difficulté que nous avons rencontrée (III, IV) au sujet du degré de l'équation finale.
Appelons, comme nous l'avons déjà fait dans ces mêmes articles, a, p les coordonnées courantes de la section conique donnée dont on veut trouver la polaire réciproque, afin de les distinguer de celles de la section conique qui sert de directrice, désignées à l'ordinaire par x,y.
(*) Cette propriété du foyer offre une parfaite analogie avec une propriété bien connue du centre du cercle, et me paraîtrait, pour cette raison, devoir être substituée aux définitions peu naturelles d'où partent les auteurs do Géométrie analytique pour parvenir à la détermination de ce point remarquable des sections coniques. Elle présente d'ailleurs l'avantage de permettre d'aborder la question d'une manière générale, purement algébrique, et de faire parvenir ainsi, dans tous les cas possibles, à la détermination directe de ce foyer. En suivant cette marche, on trouve qu'il existe quatre points semblables, remplissant également les conditions demandées, situés deux à deux sur les* axes de la courbe; 'mais il arrive que l'un de ces deux couples, qui correspondent respectivement à ces axes, étant réel, l'autre de ces deux couples est par là même imaginaire, et par conséquent inconstructible; conséquence remarquable, et bien différente de celle à laquelle on parvient par les voies ordinaires. (Note de 1817.)
circonscrit à une section conique donnée, se réduisait elle-même à une autre section conique, il résulte de ce qui précède que, dans les mêmes cas, la courbe enveloppe de l'espace parcouru par la corde de contact de l'angle mobile se réduira aussi à une conique. . Examinons, en particulier, le cas où la section conique donnée est une parabole ; nous avons vu qu'alors le lieu de tous les sommets est une hyperbole, dont Taxe principal se confond, pour la direction, avec celui de cette parabole, et qui a un de ses foyers et la polaire focale correspondante confondus avec ceux de cette même courbe.
Puisque la courbe pai courue dans le cas actuel n'a aucune de ses tangentes passant par le centre de la parabole qui lui sert de directrice, c'est-à-dire n'a aucune tangente parallèle à l'axe de cette parabole, on en conclut de suite (XIII) que la polaire réciproque correspondante est entièrement fermée, et ne saurait, par conséquent, être qu'une ellipse. Je dis de plus , que cette ellipse a un «de ses foyers et la polaire focale correspondante en commun avec les deux premières.
En effet, si Ton se rappelle que, dans une section conique quelconque, la droite qui passe par l'un des foyers et celle qui joint le pôle de cette droite avec le même foyer, sont perpendiculaires entre elles, quel que soit d'ailleurs celui des systèmes de ces droites qu'on ait choisi en particulier, on pourra en conclure, pour le cas actuel, que, si d'un point pris, à volonté, sur la polaire focale commune à la parabole et à l'hyperbole proposées, on mène à ces courbes quatre tangentes, deux pour chacune, les quatre points de contact seront situés, à la fois, sur une seule et même ligne droite, passant par le foyer correspondant, laquelle sera évidemment la polaire de ce même point. Cela posé, appelons T le point de la polaire focale d'où partent les tangentes (*); P, P' les points de contact appartenant à la courbe parcourue, c'est-à-dire à l'hyperbole ; D, D' ceux qui appartiennent à la courbe qui sert de directrice, c'est-à-dire à la parabole; F le foyer commun à ces mêmes courbes; enfin, E, E' les points où la droite PP' rencontre la courbe enveloppe, c'est-à-dire l'ellipse. Il ne sera pas difficile de voir (V, VI) que le point E de l'enveloppe est le pôle de la tangente TP à l'hyperbole; et par conséquent, que le point P de contact est, à son tour, le pôle de la tangente en E à l'enveloppe ; or, le point P d'une droite PP' a nécessairement pour polaire ( V ) une droite passant par le pôle T de la première ; donc la tangente au point E de l'enveloppe passe par ce même point T; et, comme pareille chose peut se démontrer à l'égard de son correspondant E', il s'ensuit que, par rapport à la section conique enveloppe, considérée en ellemême et indépendamment des deux autres, le point F est précisément le pôle de la droite qui sert de- polaire focale commune à celles-ci.
{*) Lo lootcur t*»t prie de suppléer la figure.
EXTRAITS DES ANNALES DE MONTPELLIER. 4g3
Maintenant, si l'on se reporte à l'observation d'où l'on est parti dans le raisonnement qui précède, on pourra en conclure que, relativement à la section conique enveloppe, le point F est tel, que la droite EE' qui passe par ce point, et celle TF qui joint le pôle de celte dernière au même point, sont perpendiculaires l'une à l'autre, quelle que soit d'ailleurs la droite EE' qu'on ait choisie en particulier; or, il n'existe, comme l'on sait, sur le plan d'une section conique donnée, d'autres points que les foyers mêmes de cette courbe qui jouissent d'une semblable propriété (*). Donc le point F est en effet le foyer de l'ellipse enveloppe ; et par conséquent, cette ellipse a ce même foyer et la polaire focale qui lui correspond, en commun, avec les deux autres sections coniques.
La première de ces deux conséquences a été avancée d'une manière gratuite, à la p. 464 de c® volume; et nous avons été bien aise d'en donner en passant la démonstration, sans faire usage d'autres principes que ceux déjà exposés dans le présent Article, et sans même sortir du sujet principal qu'on s'y propose. Au reste, on pourrait démontrer, en suivant à peu près la marche qui précède, qu'en général la section conique réciproque d'une autre ne saurait avoir même foyer avec elle et avec celle qui leur sert de directrice commune, à moins que ces dernières n'aient, à la fois, même polaire et même foyer, comme ci -dessus.
XV. Proposons-nous maintenant, pour terminer d'une manière conforme à ce qui a été annoncé, de démontrer d'une manière purement algébrique le théorème du n° XII, afin de faire connaître, par un exemple particulier, en quoi consiste la difficulté que nous avons rencontrée (III, IV) au sujet du degré de l'équation finale.
Appelons, comme nous l'avons déjà fait dans ces mêmes articles, «, p les coordonnées courantes de la section conique donnée dont on veut trouver ta polaire réciproque, afin de les distinguer de celles de la section conique qui sert de directrice, désignées à l'ordinaire par x, j.
(*) Cette propriété du foyer offre une parfaite analogie avec une propriété bien connue du centre du cercle, et me paraîtrait, pour cette raison, devoir être substituée aux définitions peu naturelles d'où partent les auteurs de Géométrie analytique pour parvenir à la détermination de ce point remarquable des sections coniques. Elle présente d'ailleurs l'avantage de permettre d'aborder la question d'une manière générale» purement algébrique, et de faire parvenir ainsi, dans tous les cas possibles, à la détermination directe de ce foyer. En suivant cette marche, on trouve qu'il existe quatre points semblables, remplissant également les conditions demandées, situés deux à deux sur les' axes de la courbe; mais il arrive que l'un de ces deux couples, qui correspondent respectivement à ces axes, étant réel, l'antre de ces deux couples est par là même imaginaire, et par conséquent inconstructible; conséquence remarquable, et bien différente de celle à laquelle on parvient par 1*6 voies ordinaires. (Note de 1817.)
Puisque Tune et l'autre de ces deux courbes sont du second degré, nous pourrons représenter, en général, l'équation de la première par
(s) a$* + %b3& -\- C7* + *(($ + %eiL+-f = o,
el celle de la seconde par
(s') aY+ib'xy + c'x7 + arf'r-f- *e'x+f = o.
D'après les conditions du problème, la réciproque de la courbe donnée (s) doit être telle, que chacune de ses tangentes ait précisément pour pôle un point (a, 6) de cette dernière; mais on trouve facilement que l'équation de la polaire d'un point (a, p), par rapport à la section conique directrice (/), est
j(«'P4-^3t-h^')4-x(ô'f5-»-r'a4-e')4-<fp4-ef,a-4-/l = o, ou
(a) P{à,f+b,x+d') + *{b'jr + c'x+e') + <i'jr+e'x+f'=oi
telle est donc aussi celle d'une tangente à la courbe cherchée.
En la difîérentiant par rapport à a et p seuls (*), et laissant x et r constants selon la théorie des enveloppes (III), la nouvelle équation
^.[jx+b'x+d') + by+c'x + J=o,
ainsi obtenue, appartiendra, avec la première (a), au point où la droite
que celle ci représente touche la courbe cherchée. Substituant ensuite la
dS valeur de -p> tirée de l'équation (s), il viendra
(b) (bp+ca + c)(ay+b'x + d,) — {ap+ù*)+d)(b9f+ctx + ct) = o.
Le système des équations (a), (b) représentant un point quelconque de l'enveloppe ou réciproque, quand on attribue à a et p des valeurs qui conviennent à l'équation (.v), il est visible qu'on obtiendra l'équation même de cette courbe, en éliminant a et p entre ces trois équations. En faisant, pour rendre cette élimination plus facile,
a'jr+ b'x H- d' = /?, b*y+ c'x + e = qy e'x -+- d'jr+f = r,
( * ) On pourrait, dans le cas actuel, se passer aisément du secours du calcul différentiel, en faisant attention que te point de contact cherché est précisément (V) le pôle d'une tangente correspondante de la courbe donuée; mais nous avons préféré nous rapprocher de la marche suivie au n° III, afin de rendre immédiatement applicables au cas général de cet article les observations que nous aurons à faire, dans le ras particulier qui nous occupe.
(JVofe de 1817.)
EXTRAITS DES ANNALES DE MONTPELLIER 4g5
celles (a) et (b) deviendront respectivement, en les ordonnant,
y;p-|-ya4-r=o, {bp — aq) p-\-(cp — bq) OL-\-cp — dq = o.
On tire de là
— l p{<l<I + br—ep) — agr o 7(*fy~r- br—ep) + r{cp— ibq) ~~ cp* — ibpq -h oq2 ' r ~" r//1— - a 6/J9 -h tf<7a '
ce qui donne, en posant de nouveau, pour abréger,
dq + br — ep = B, rp1 — a bpq -+- aq* = D,
pB — agr * __ qB + r(cp—*bq) "*" Z) ' P~~ /)
Substituant ces expressions à la place de a et p dans l'équation (*), chassant les dénominateurs, développant en particulier les termes non affectés de D, les ordonnant par rapport à 2?, observant £n6n que l'expression cp* — ibpq ■+- aq7 peut être remplacée pari), il viendra
B*.D — ibrB.D+acr*D+*d[r(*bq — rp) — Bq]D
