Ao-f-M — 2P

équation du i^"" degré qui donnera la valeur de Ao.

Dans cette équation, M est le coefficient du terme AC de l'équation ci-dessus. Pour le déterminer, observons qu'il est le second terme du développement de tous les produits du second membre. Or nous avons vu que ce second membre se compose de deux parties : l'une positive, composée des ifi produits

{AC-Ar')(AC-A/-")...(AC-A>î-)...+(AC-Ar)(AC-A/-')...(AC-A/?)...,

l'autre négative, composée des m — 1 produits

(AC-A^-')(AC-AX-")...(AC-A/-),..., (AC-A/-) (AC-Ay?-')...(AC-Ar)....

Le second terme de la première partie aura évidemment pour coefficient m — \ fois la somme des quantités A;-, Ar', Ar",..., prises né- II. 9

i3o ll-^ CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

gativement, et m fois la somme des quantités AX-, AX', ..., c'est-à-dire

-[(m- i)(A7- + AA-'...)+/^i(AX- + AX'...)]AC . Pareillement celui de la partie négative sera

+ [(/7?-2)(Ar + Ar'...) + (/«-3)(A/?-|-A/?-'. ..)AC .

Donc le second terme du développement total que nous avons représenté par — M (AC) prendra la forme

2m-4 2OT-4

-M(AC) =r -[A/- + A/-'+...+3(A/^+AyÇ'...)]AC , el par conséquent on a

M = A/- + Ar' + . . .+ 3 [Kk-\-Kk'. . .). Or P= Ar + A/'-f-... + A/?+Ay?',...,

donc aussi l'équation ci-dessus, a.Ao-f-M — 2P = o, deviendra 'i..ko + kk-\-kk'-\-...~ kr— kr' — ...— o\

d'où ko — -{kr^kr'-Jt-kr"+... — kk — kk'—...),

valeur égale à la demi-somme de tous les segments kr, .. .,kk {fig. 85), formés sur la sécante kr devenue parallèle à la tangente P/?, mais en ayant soin de prendre les segments A^, kk\... d'un signe contraire à celui qu'ils devraient naturellement recevoir.

Première conséquence. — L'origine A étant arbitraire, si, par hasard, on l'avait prise au point o lui-même, resté fixe, la distance ko devrait être telle qu'on eût

or -\- or' -\- or" -\- . . . — ok — ok' . . . = o ;

ce point deviendrait alors le centre de moyenne distance des points /■, /•', A-",. . ., et d'autres points symétriques à X, A',. . ., par rapport à l'origine accidentelle o. On peut remarquer aussi que, dans le déplacement de cette origine, les points /•, /•', /■",..., restent naturellement fixes, mais qu'il n'en est pas ainsi des points symétriques à k^ k' . . .-, de sorte que le point o n'est pas le véritable centre des moyennes distances pour un état quelconque du système ou relativement à toute autre origine.

Enfin on peut s'assurer, d'une manière directe, que le point o, déterminé par ce qui précède, est indépendant de la position particulière de l'origine A.

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. i3i

En effet, pour une autre origine A', située au delà de CA, on aurait

A'o = -(AV+ AV' + AV"+. . .- A'/-. . .);

or A'o = Ao + AA', A'r = Ar + AA',.. ,, A'/- = A/ -f- AA'. . ., d'où l'on tire, en substituant pour avoir Ao,

Ao + AA'=-(//2.AA'+Ar4-A/-'+...-(/;?-2).AA'-A/- A/-'...),

Ao

(Ar + Ar'+...-A/-AX'),

comme par la première formule , chose presque évidente à priori.

Diamètre de Vosculatrice conjugué à la tangente. — Sans nous attacher à la recherche des diverses propriétés du point o, terminons en prouvant que la droite qu'il parcourt dans les différentes positions des transversales ab, a'b\..., quand le pôle C passe à l'infini, renferme le point P de contact de la tangente ?p à laquelle ces sécantes rr" sont parallèles.

En effet, on a pour la position particulière Vp de la sécante {Jig. 85),

Ar = AP, A/-' = AP, Ar"=kp, A/ = A/^,...,

et Ao :=-{Ar + A/-' + Ar"+...— A/- — A/'...) a

= - ( AP + AP + Ap + A// -kp-Ap'...)= AP.

De tout ce qui précède il résulte :

« Que pour déterminer à priori le diamètre d'une section conique oscu- » latrice en un point P {^g. 86) d'une courbe géométrique donnée sur

Fig. 86.

» un plan, il suffira de tracer à volonté une transversale /•/•" parallèle à

i32 II" CAHIER. — MÉTHODE DES TRANSVERSALES

» la tangente au point P; puis, ayant déterminé sur celte sécante un » point 0, comme il a été dit ci-dessus, de joindre ce point au point P » par une ligne droite PO qui sera le diamètre demandé. »

Réflexions à ce sujet. — W est bien évident que la droite PO étant un diamètre de la conique osculatrice en P, elle divise en deux parties égales les sécantes infiniment voisines menées dans la courbe, parallèlement à la tangente Pyj au ppinl P; c'est la recherche de l'angle formé par cette droite et cette tangente, que s'est proposée Carnot à la page 477 de sa Géométrie de position; il en détermine la valeur par l'analyse différentielle, comme cela se fait pour le rayon môme de courbure. Il propose aussi, en cet endroit, de prendre le rayon de courbure et l'angle dont il s'agit pour les coordonnées variables des lignes courbes indépendantes de toute constante auxiliaire. D'un autre côté, M. Ampère, dans un Mémoire présenté à l'Institut en décembre i8o3 (i4^ cahier du Journal de r École Polytechnique')^ propose de choisir pour coordonnées en chaque point, le paramètre et l'angle du diamètre avec la tangente de la parabole osculatrice du 3'' ordre en ce point. On peut y voir avec quelle peine l'analyse algébrique arrive à des résultats si faciles pour la Géométrie : ainsi, notamment, ce n'est que par des comparaisons délicates entre plusieurs expressions compliquées, qu'Ampère parvient à prouver que cette parabole pour un point quelconque d'une conique, a môme diamètre et même paramètre (*). On verra ci-après, comment ces propriétés sont des conséquences nécessaires de ce qui a été exposé précédemment.

Revenons au sujet dont je me suis un instant écarté.

(*) Ampère et Carnot, sans le savoir, avaient été précédés dans cette intéressante étude relative aux élétnents de la courbure du 3^ ordre des lignes courbes, par le f[éomèlre anglais Maclaurin, dont l'ouvrage déjà cité, antérieur de près d'un demi-siècle à ceux de ces illustres savants, contient la détermination de ce que l'auteur appelle la variation de la courbure par la parabole osculatrice; détermination dont Newton s'était également occupé sous un autre nom, dans son Énuméraiion des lignes du 3^ ordre. La détermination dont 11 s'agit repose sur des considérations géométriques tirées de la définition de la moyenne harmonique, sur laquelle je reviendrai un peu plus loin; or ces considérations offrent une grande analogie avec celles exposées ci-dessus, qui prennent uniquement pour point de départ le théorème de Carnot relatif au triangle transversal, et, comme on sait, ce dernier a pour fondement celui de Newton sur les produits des segments ou appliquées parallèles des courbes géométriques, théorème qui, à son tour, sert de point de départ aux recherches de Maclaurin.

Au surplus, le désir d'abréger et de ne pas grossir inutilement ce volume, me fait supprimer une longue discussion relative à la préférence qui doit être accordée aux équations à deux termes de l'analyse des transversales, sur les modes de représeiilulion des courbes proposés par Ampère et Carnot, ou tout autre mode où l'on prétondrait bannir de leur équation les variables ou coor-

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. i33

Solution finale. — La direction du diamètre de la conique osculatrice du 3"^ ordre en un point donné d'une courbe géométrique étant connue par ce qui précède, rien n'est plus facile que d'achever la solution du problème :

Par le point donné a de la courbe {fig. 87 ), on mènera la sécante arbitraire «C, et, d'après ce qui a été dit plus haut,

on trouvera la position correspondante du point b, et la co-

données étrangères à leur nature propre. Lorsque j'embrassais ainsi en 1816, avec une sorte d'enthousiasme et de prédilection exclusive, l'idée de la supériorité de l'analyse des transversales sur ces divers systèmes de représentation des lignes courbes par les équations ou relations métriques quelconques, M. Lamé n'avait point encore développé cette belle méthode des multiplicateurs indéterminés mentionnée à la fin du précédent volume, p. 489, et j'étais loin surtout d'imaginer le parti que, dix années plus tard, d'autres amateurs de laiGéométrie tireraient d'une application de l'analyse de Descartes, assez simple et d'apparence assez évidente pour qu'on se dispensât, je le redis ici avec Intention et regret, d'en indiquer la véritable et féconde origine.

Quant aux études de prédilection dont le commencement de ce Cahier contient une ébauche sans doute fort imparfaite, quant à celle notamment qui concerne les lignes du 3^ ordre, elles m'avaient particulièrement séduit à cause de leur élégante simplicité et de leur nouveauté; car, en ce moment, j'ignorais encore les belles propriétés que Maclaurin avait lui-même découvertes sur ces courbes, par la méthode des réciproques de segments; méthode très-distincte d'ailleurs et d'une application moins facile que celle dont j'avais d'abord fait usage, mais qui peut lui servir d'utile et fécond couronnement.

i34 II' CAHIER. — MÉTHODE DES TRANSVERSALES

nique sera entièrement déterminée. Si l'on traçait «C parallèlement au diamètre PD, comme ac', alors les points a et h' étant connus, si par le milieu i de la distance qui les sépare l'on mène une droite paraHèle à la tangente PC, ce sera la direction du diamètre conjugué au premier PD, le centre A sera donc connu ainsi que le demi-diamètre PA ; quant à l'autre AB, il s'obtiendra par cette proportion

PÂ':AB'::-c'a.c'6':Pc''

Si la courbe osculatrice, au lieu d'être en général une section conique passant par un point donné a quelconque, devait être en particulier une parabole, alors ce point a ne serait plus arbitraire; car son conjugué b' , devant être situé à l'infini, serait réellement donné, et l'on aurait ainsi, pour déterminer a, cette nouvelle équation déduite de l'équation générale (p. 126), en y faisant c''b' infini,

Or, c'a étant connue, l'ordonnée correspondante, dans la parabole osculatrice, le serait aussi, et, par suite, le paramètre de cette parabole ; « donc on ne peut mener qu'une seule pa- » rabole osculatrice en un point donné d'une courbe géomé- » trique quelconque. »

Il est visible aussi que, en général, la conique osculatrice et la courbe géométrique correspondante ont le même rayon de courbure, puisque le cercle osculateur a trois points ou deux éléments consécutifs communs avec chacune d'elles, et pareillement que le cercle osculateur intercepte sur le diamètre PAD un segment égal au paramètre de la section conique osculatrice cherchée. Cette dernière propriété est évidemment une conséquence de l'autre.

Comme il existe une infinité de coniques osculatrices du 3^ ordre en un point donné d'une courbe géométrique, on peut demander également que ce soit en particulier, une ellipse ou une hyperbole.

Nous savons (p. 127) que si, autour du point C, on fait tour-

nerCa, et qu'on prenne toujours

Cô

Ck Ck,

la suite des points o n'est autre chose que la corde de contact PT ijig. 88) des deux tangentes issues du point G dans la section conique, c'esl-à-dire la polaire de ce point. Or, on démontre aisément que si l'on menait une parallèle à PT, divi-

Fi{î. 88.

sant la distance Co. en deux parties égales, cette parallèle ou sous-polaire couperait la section conique en deux points quand c'est une hyperbole, qu'elle lui serait simplement tangente si c'est une parabole, enfin qu'elle ne la rencontrerait pas quand c'est une ellipse. Si donc on veut que la section conique soit une hyperbole, il faudra se donner comme tangente une droite parallèle à la sous-polaire et située au delà ; pour la parabole, on prendra la sous-polaire elle-même, enfin pour l'ellipse, une parallèle quelconque au-dessous de la souspolaire. On cherchera ensuite le point de contact a' sur cette tangente représentée ici par C'a', C étant la position correspondante de G sur la tangente donnée en P, pour laquelle Ca

i36 IP CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

et Cb sont devenus égaux, de sorte qu'on a

le centre A se trouvera au moyen de a', en divisant la distance Va' également en o' et traçant la diamétrale C'o'A conjuguée à Pa', etc.

Exemples relatifs aux simples coniques.

Appliquons maintenant ce qui précède à une section conique arbitrairement donnée, et à laquelle il s'agit de mener une osculatrice du 3" ordre.

Dans ce cas {Jig. 89), l'on a pour un point quelconque C de la tangente au point P,

Cb

Donc les polaires de ce dernier point, pour les deux coniques, se confondent en une seule droite passant par le point de tangence P. Quand le point C est pris à l'infini sur la tangente en P, la polaire en question devient un diamètre commun aux

Fig. 89.

deux courbes; ce qui est encore évident puisque la somme des ordonnées est nulle pour l'une et l'autre coniques.

Il est aisé de voir aussi que si l'on traçait les droites «P et 6P qui rencontrent la conique donnée en A et B, les droites

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. iSy

correspondantes AB et ah devraient concourir au même point c; car sa polaire, par rapport au système de PaA et P6B, doit nécessairement se confondre avec celle ci-dessus, commune aux deux coniques, ce qui ne peut avoir lieu à moins que AB ne passe par C. Ceci offre, comme on le voit, un moyen simple de décrire l'osculatrice du 3^ ordre par points, quand le point a, par exemple, sera donné. En effet, après avoir mené arbitrairement la transversale Cab et tracé Pa, qui coupe la conique donnée en A, il suffira de mener CA qui coupe cette même courbe en B, puis de tracer la droite PB, qui coupera dab au point b de la conique osculatrice.

« On peut donc, avec la règle seule, déterminer la section » conique, passant par un point donné, osculatrice du 3^ ordre » en un point d'une autre conique décrite. »

Remarque. — Si l'on regardait PAB comme la base d'un cône dont le sommet se projetât en P, la conique osculatrice ne serait autre chose que la projection de l'intersection de cette même surface par un plan passant par la tangente en P à la première {Développements de géométrie, par M. Dupin).

Osculatrice parabolique. — Dans ce cas [fig- 90), le point a de l'osculatrice du 3^ ordre peut être supposé à l'infini, et la

Fig. 90.

transversale C« doit être prise alors parallèlement au diamètre PQ; la construction subsiste toujours, mais ne s'exécute plus avec la règle seule, puisqu'il faut tracer des parallèles à des droites données. Le point A {fig. 89) se confond alors

i38 IP CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

avec l'extrémité Q du diamètre PQ, et la construction, toujours applicable, se réduit à ceci :

« Tracez arbitrairement Ca parallèle à PQ; joignez CQ, qui » coupe la conique donnée en B; tracez PB, elle coupera Ca » au point b de la parabole osculatrice. »

Égalité des paramètres. — Prouvons à priori que nos deux coniques osculatrices ont même paramètre p, relativement au

diamètre commun. En effet, qu'on mène {^g. 91) Cr parallèle au diamètre PQ et touchant la conique donnée en r, on aura

Il 2 22

or, pour l'autre conique osculatrice en P,

Ca-hCb Ca

PO' ou a' =

2 aCa — a

CP h' b'^ ^, , ,„ Ca .b'

Ca.Cb Ca.Cb a" ~"a(2G« — a)'

2 b"^ 1 6' donc enfin p = ——= — , c. o. f. d.

On voit que cela a lieu indépendamment du point a que l'on se donne à volonté.

Quand la courbe donnée est une parabole {Jîg. 92), la démonstration devient encore plus facile; car alors Cb étant infini,

7r- = -: d ou il résulte que La = - = rT-- Ca a ^ 2 Cr

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. i3^

or aq =ip.Vq :=p.Ca = ~ pa=Or ::=b\

d'où l'on lire finalemenl

Paramètre relatif à une courbe géométrique quelconque. — Pour un point donné P il se calculera facilement; car en

menant une parallèle Cr à PQ, qui rencontre la courbe en r, r',. . ., et la parabole osculatrice, en a, on aura (p. i34)