III I

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Ca \Cr ' C 7^ ' Cr" ' "'^Ck~'

Problème III. — Une courbe géométrique d'un degré quelconque étant décrite sur un plan, déterminer pour un point donné de cette courbe, la position de la conique qui lui 'est osculatrice du 4* ordre.

Nous avons vu ci-dessus (p. 126) que la conique «6 P(^g-. 85 et 93) et la courbe donnée Pr/. . . qui ont quatre points confondus en un seul P, devaient satisfaire généralement à la relation métrique

i4o U" CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

Celte équation ne suffit pas pour déterminer les deux points a et 6 de la conique osculatrice Vab, et il reste encore une quantité entièrement arbitraire, qu'on ne peut obtenir qu'en assujettissant cette courbe à remplir une nouvelle condition; mais parmi l'infinité de coniques osculatrices qu'on puisse considérer, il en est une qui a un contact du 4^ ordre avec la courbe proposée.

Supposons, en vue de la construire, que b se confonde avec r", ou que r" soit l'une des intersections des deux

Fig. 93.

courbes, alors le point correspondant a sera entièrement déterminé, car il suffira de faire C6 = Cr" dans l'équation cidessus, qui deviendra

Si donc l'on faisait tourner la droite Cr autour du point donné r", on obtiendrait successivement tous les points a de la conique osculatrice en P et passant par ce point /■".

Supposons que, au lieu de prendre le point b en un point quelconque de la courbe donnée, on le prenne précisément au point P; alors la section conique sera osculatrice du 4^ ordre avec la courbe en ce point; Cr" deviendra nul, mais l'équation ci-dessus ne changera pas de forme et donnera toujours la valeur de C« ou Va, c'est-à-dire le point de l'oscula-

irice qui se trouve sur la sécante arbitraire Va; puisqu'elle

donne

En faisant varier Pr on aura successivement tous les points a de la conique osculatrice ; on pourra donc la décrire par points. On aura d'ailleurs son diamètre qui passe par le point de contact P, comme cela a été dit ci-dessus; menant donc par le

point P ce diamètre, et le prenant pour la sécante Pa dans une de ses positions, on calculera la longueur du diamètre de la conique cherchée dont ensuite on trouvera facilement le reste.

Exemple des courbes du 3« degré. — On a alors simplement iJ^S' 94)

Pâ

qu'on prolonge la tangente pk jusqu'à sa rencontre avec la courbe en k', et soit menée la sécante particulière Pk'; Pk deviendra égale à Pr dans cette supposition, et l'équation cidessus se réduira à la simple égalité

ï7- = TT—j OU Pa = Pr'.

i42 II" CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

Donc le point A, où la sécante P/r' vient de nouveau rencontrer la courbe, est précisément le 6^ point d'intersection de la conique et de cette courbe, qui se détermine, comme on le voit, par la règle seulement.

CONSÉQUENCES GÉNÉRALES RELATIVES AUX SYSTÈMES DE POINTS, PE DROITES, DE PLANS, DE LIGNES ET DE SURFACES GÉOMÉ- TRIQUES d'ordre QUELCONQUE.

Notions fondamentales relatives aux centres et aux axes de moyenne distance, de moyenne et d'origine harmonique {* ).

Définition de la moyenne harmonique d'après Maclaurin. — Soit (^g-. g5) la relation, toute géométrique,

dans laquelle Ok est appelée par Maclaurin (ouvrage cité, Appendice, p. 20 et suiv.) moyenne harmonique entre les m

Fig. 95.

segments Oa, 06, Oc, . . . comptés sur une droite OA,à partir d'une origine fixe 0, donnée à priori et par rapport à laquelle ia loi ordinaire des signes de position est observée comme

(*) Cette partie du manuscrit, écrite dans l'hiver de 18 16, se composant d'un texte fort laconique, de notes éparses et non encore mises en ordre, j'ai dû en compléter la rédaction, en m'astreignant, comme toujours, à n'en modifier en aucune manière, le sens ni les intentions.

APPLIQUÉE AUX œURBES GÉOMÉTRIQUES. i43

dans toutes les relations, entre réciproques de segments, dont on s'est précédemment occupé (*).

De cette équation on déduit immédiatement la valeur de OA^ en Oa, Ob, Oc,. . ., et, comme Maclaurin le montre dans son Traité, le point k peut être construit de proche en proche, linéairement ou avec la règle seule, par un procédé géométrique fondé sur les propriétés du faisceau de quatre droites convergentes, nommées harmonicales parPh. de La Hire, successeur de Desargues et de Pascal, auquel Maclaurin attribue gratuitement la découverte de ces beaux théorèmes dus aux Anciens : Euclide, Apollonius, Pappus. Mais cette marche indirecte, adoptée par Maclaurin, n'éclaire pas suffisamment la question non plus que la nature géométrique ou algébrique du point h, et il paraît bien évident, par exemple, que si l'on rapportait les segments Oa, 06, Oc, ... de la relation ci-dessus, à une autre origine A de l'axe OA, elle ne conserverait plus la même forme algébrique, ou bien elle définirait un point trèsdistinct de ky et qui serait conjugué harmoniquement à la nouvelle origine A. De plus, il est remarquable que cette même relation devient identique, illusoire, quand on suppose

(*) Ceci est une pure convention, permise néanmoins comme définition à priori de la moyenne harmonique . Quant à la loi même des signes de position, telle qu'on l'admettait dès l'époque de Maclaurin, elle consiste» comme on a dû s'en apercevoir par ce qui précède , en ce que les réciproques des segments dirigés en sens contraire, par rapport à l'origine commune, doivent prendre des signes différents. Mais il n'est pas nécessaire, comme le fait Maclaurin dans V Appendice à son Algèbre posthume, de s'inquiéter, à l'avance et pour chaque cas , de la nature des signes de réciproques qui entrent dans la somme à considérer; il suffit, ainsi que nous l'avons constamment fait dans ce Cahier, de raisonner d'après l'hypothèse générale où les termes sont positifs dans les deux membres de l'équation primitive de définition, ce qui a lieu quand on suppose une position extrême ou extérieure au point d'origine des segments. Ainsi il s'agit ici de sommes envisagées au point de vue ordinaire purement algébrique ou implicite des signes, dont toute la difficulté, dans chaque cas d'application et en général, consiste à montrer l'accord qui existe entre la loi de mutations de ces signes et les changemens mêmes de position des points correspondants de la figure, conformément au principe de continuité. Or tel est le but que, dès 1 8 16, je m'étais proposé d'atteindre. (/^o/> le III* Cahier ci-après.)

i44 n* CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

le point 0 à l'infini ou simplement confondu avec l'un quelconque des points donnés a, b, c,. . . .

Changement de l'origine des segments. — Afin d'éviter de tels inconvénients, il est indispensable de transformer l'équation qui définit le point k de manière qu'elle puisse s'appliquer à une autre origine A, sans altérer la position inconnue de ce point par rapport aux points donnés a, b, c,. . . .

Or on a, par exemple, en supposant A tout à fait au dehors et à droite de ces points,

OX = AO-A/-, Or^ = AO-Ar/, Ob = KO - Ab,. . ., puis, en substituant dans la relation proposée.

fTTÏ w +

AO-AX W — Aa^kO — kh^kO — Xc^'"'

d'où l'on tirera AX- quand AO sera donné à priori, et réciproquement.

En réduisant tous les termes de cette dernière équation au même dénominateur, on peut lui donner la nouvelle forme

m (AO - Aa) (AO - Ab) [AO - Ac). . . = (A0-AX-)[(A0-A^)(A0-Ac)...4-(A0-A«)(A0-Ac)...-f-...].

Développant d'après la théorie des équations, appelant P la somme des simples segments ou racines A<7, Ab, Ac,.., Q la somme de leurs produits deux à deux, . . . , R celle de leurs produits m — i à m — i; enfin S leur produit total ou complet, il vient

//2(ÂÔ'"-P.ÂÔ""' + Q.IÔ""'-...±R.A0zfS) = (AO - A/) [mJo"~' - (/« - 1 ) P . ÂÔ"'"' ^- {m - 2) Q .ÂÔ'""' - . . . ± r] :

réduisant, le ferme /«AO disparaîtra naturellement, et il restera, en ordonnant par rapport à AO,

(P-»2AÂ)A0 -{-[(/«-i)P.A/-2Q]A0 -f-...=F(R.AX-A«S) = o.

Cas où le centre de moyenne harm,onique se change en un centre de moyenne distance. — Si l'on fait AO infini dans cette

équation, après l'avoir divisée d'abord par AO , elle cessera

de devenir identique, et donnera pour calculer la valeur correspondante de A A-,

n ./ ., AaH-A6-f-Ac-|- . . .

P — mAA=o, ou \k= ;

c'est-à-dire que le point 0 étant à l'infini, son conjugué harmonique k se trouve être le centre de moyenne distance des points a, b, c,. . ., selon la définition adoptée par Carnot, d'après Lhuilier de Genève, et qui suffit pour caractériser la nature et les propriétés géométriques du point k, que par analogie, je nomme le centre de moyenne harmonique des points a, b, c,. . ., relativement àj'origine particulière 0, des segments. Mais il y a plus encore, les nombreuses propriétés du centre de moyenne distance, qui, au fond, sont les mêmes que celles du centre de gravité, conduisent pour le centre de moyenne harmonique à beaucoup d'autres intéressants théorèmes auxquels on n'avait pas songé jusqu'ici (1816) (*).

Propriétés, relations fondamentales projectiles, des centres de moyenne distance et de moyenne harmonique. — Qu'il me suffise ici de rappeler que l'une des propriétés les plus remarquables du centre de moyenne distance consiste en ce que, si l'on y place l'origine des abscisses ou segments, la somme de ceux qui sont situés à droite de ce point devient précisément égale à celle des segments situés à gauche. Or, c'est réellement ainsi que Newton, dans son Énumération des lignes du 3* ordre, définit le point milieu des appliquées parallèles des courbes géométriques dont le lieu constitue la droite nommée diamètre par ce grand homme, d'après l'analogie offerte par les coniques ou lignes du second degré, analogie poussée beaucoup trop loin, comme on le verra ci-après, quand on veut l'étendre avec Newton, jusqu'à la définition même des sommets et du centre des courbes géométriques en général.

D'autre part, la correspondance intime entre lé centre de moyenne distance et celui de moyenne harmonique laisse

(*) Voir le Mémoire sur les centres de moyennes harmoniques, t. III, p. 21 3, du Journal de C relie , où la définition de ces points est étendue au cas où les réciproques des segments sont multipliés par des coefficients numériques quelconques.