II

entrevoir que l'un est la perspective ou projection centrale de l'autre, et que, par conséquent, il en doit être de même des relations métriques ou descriptives qui leur appartiennent. Or, c'est là encore une présomption facile à vérifier par une nouvelle et très-simple transformation de l'équation primitive ; mais je me contente ici de faire observer qu'il résulte de ces rapprochements une manière nouvelle, très-concise et très-élégante d'énoncer les théorèmes de Newton, de Cotes et de Maclaurin (*) :

« Si l'on fait tourner la transversale 0/r [fig. gS, p. 142) au- » tour de 0 comme pôle, et qu'elle rencontre une courbe » géométrique en autant de points a, b, c,... que le marque

(*) Newton, dans son Énumération des lignes du V ordre, s'est servi, le premier, de la projection des courbes par les ombres, en remarquant qu'elle n'altérait nullement le degré et les affections essentielles de ces courbes relatives à leurs intersections et tangences avec d'autres; mais ni lui ni ses successeurs immédiats, Maclaurin et Waring, n'ont songé à établir un rapprochement quelconque entre les propriétés des diamètres des courbes géométriques et celles des droites lieu des points de moyenne harmonique de Cotes, du moins au point de vue de leurs projections réciproques; le motif en est fort simple: ils ignoraient la correspondance intime qui existe entre ce que je nommais, dès l'époque de 18 16, le centre de moyenne lÊirmonique et le centre de moyenne distcmce relatif au cas où le pôle des transversales rayonnantes passe à l'infini. Et voilà aussi pourquoi je ne pense pas qu'antérieurement à mars 1824 où je présentai à l'Institut de France les Mémoires qui ont suivi de près le Traité des Propriétés projectives, personne ait eu la nette intuition de cette remarquable correspondance, comme quelques auteurs modernes semblent l'admettre par prévention ou ignorance de ce qui caractérise une véritable découverte et une méthode nouvelle de démonstration, soit en Géométrie pure, soit en Analyse algébrique.

Au surplus, ce que je viens de dire des centres de moyenne distance et de moyenne harmonique dont Newton et Maclaurin ne pouvaient connaître le nom, je puis le répéter à l'égard du beau théorème du premier de ces grands géomètres, relatif à la coïncidence du diamètre d'une courbe algébrique avec celui du système de ses asymptotes, quand on prétend le comparer à son analogue relatif aux axes de moyenne harmonique communs à une courbe et à un certain système de ses tangentes. Ce théorème, découvert et démontré algébriquement par Maclaurin, se trouve établi cidessus à notre manière (p. 120 à \'i.'i,M- 81); car, à l'époque où il écrivait, ainsi qu'à celle de Newton, on ne se doutait guère, si j'en crois un

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOaiÉTRIQUES. 147

» son degré m, le centre k des moyennes harmoniques de ces » divers points pris relativement au pôle O, se meut sur une » droite qu'on peut appeler Vaxe ou polaire harmonique de » la courbe par rapport à ce pôle; cet axe se changeant en » celui du centre de moyenne distance des intersections » a, b,c,. . ., nommé diamètre par Newton, quand le pôle pas- » sant à l'infini, les sécantes transversales deviennent paral- » lèles à une droite fixe. »

Démonstration du théorème de Cotes par Maclaurin. — Maclaurin démontre le théorème de Cotes d'une double manière: 1° géométriquement, en partant du cas singulier où la courbe est remplacée par un système de lignes droites dont l'axe ou polaire harmonique s'obtient en procédant de proche en proche, comme je l'ai rappelé ci-dessus; car c'est là une

célèbre apophthegme de philosophie transcendante, tour à tour attribué à Platon, à Descartes, à Leibnitz, à Pascal, etc., que tous les points à l'infini d'un plan ou de l'espace dussent se trouver, non pas sur un cercle ou une sphère dont le centre est partout et la circonférence nulle part, mais bien, comme je l'ai géométriquement établi par les principes de continuité et de projection centrale, sur une ligne droite ou un plan indéterminé de situation, à la limite idéale et fictive attribuée à l'infini de l'espace; c« qui soulève le voile dont étaient jusque-là enveloppées un grand nombre de vérités géométriques ou analytiques.

Enfin, j'en dirai tout autant encore de ce théorème non moins admirable de Newton, relatif aux appliquées parallèles des courbes algébriques, que Carnot, d'après une considération élémentaire tirée de la théorie des lignes proportionnelles, a étendu à un triangle quelconque transversal des mêmes courbes ; théorème auquel on pourrait en ajouter une infinité d'autres que, avant l'époque de 1820 ou 1822, on ne savait point encore généraliser par les principes dont il s'agit , exposés dans le Traité clés Propriétés projcctives des figures, où j'en ai offert assez d'applications pour mettre sur la voie les lecteurs intelligents, mais que j'ai pris le soin de développer dans les Mémoires déjà mentionnés, sur les centres de moyennes harmoniques et les polaires réciproques^ présentés au commencement de 1824 à l'Académie des Sciences. Pour mieux dire, la limite idéale des philosophes est Xenveloppc des plans ou, ce qui revient au même, de's droites indéterminées de situation à Pinfini^ enveloppe qui peut être une courbe quelconque plane, ouverte ou fermée, réelle ou imaginaire, etc. [Foir^ pour les exemples, le Supplément du Traité des Propriétés projectiles des figures. )

i48 II" CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

conséquence nécessaire des théorèmes des p. 1 19 et 142, dus à Maclaurin, lorsque venant à supposer [Jig. 81) la transversale app' p" . . . mobile autour du point a comme pôle, on admet, au contraire, que les autres transversales «^ g' ç". . ., air'r". . ., restent fixes on immobiles; 1° algébriquement, par des considérations mixtes fondées sur la définition même des courbes géométriques dans le système des coordonnées linéaires de Descarles, et d'où Maclaurin déduit, par des comparaisons analytico-géométriques relatives aux coefficients des deux derniers termes de l'équation qui représente la courbe proposée, les sommes de réciproques des abscisses ou segments formés sur la transversale mobile autour du pôle fixe et qui répondent aux intersections imaginaires avec la courbe. Mais cet ingénieux procédé, né d'un scrupule géométrique alors plausible, peut être re/nplacé par d'autres, indépendants de toute représentation des courbes par les équations algébriques, et qui exigent seulement que les intersections imaginaires soient définies par un système convenable de lignes géométriques distinctes, données sur le même plan; chose toujours possible géométriquement, comme on en a vu des exemples élémentaires dans-le précédent volume de ces Jpplications {\" et V^ Cahiers relatifs aux sécantes et cordes idéales communes aux cercles ou aux coniques).

Démonstration par nos principes. — Quant à démontrer intuitivement et par le principe de continuité l'existence de l'axe conjugué ou harmonique d'un pôle fixe donné sur le plan d'une courbe géométrique, il suffit de considérer que le centre de moyenne harmonique est unique sur chaque transversale ou rayon vecteur; que jamais le lieu de ces centres ne peut passer par le pôle fixe censé hors de la courbe, et qu'en conséquence ce lieu est une ligne droite, etc. (*).

Celte démonstration s'étend au cas où les réciproques de segments dont les sommes définissent le point générateur, sont élevées à des puissances égales, supérieures au i*"" degré et multipliées par des coefficients numériques arbitraires,

(*) Ce genre de considérations, déjà mis on usage à la fin du \" Cahier, a été plus amplement justifié, en 1822, dans le Traité des Propriétés projectives (p. 332, etc.).

pourvu qu'en extrayant la racine de la puissance relative à la réciproque inconnue, on n'oublie ni les signes, ni la multiplicité de sa racine, et que l'on ait, de plus, égard à la multiplicité du pôle des rayons vecteurs, s'il appartient à la courbe dont on recherche le degré à priori ( * ).

Des courbes polaires lieu des origines ou centres contre-harmoniques par rapport à un pôle et à une courbe géométrique arbitrairement donnés sur un plan.

Théorème fondamental. — Soit [fig- 96) une courbe géométrique de degré quelconque m; d'un point fixe/?, considéré

Fig. 96.

comme pôle de rayons vecteurs , soit menée une sécante arbitraire pa, rencontrant la courbe aux m points a, a', a",. . .; qu'on prenne sur cette sécante un point a. tel que

ap m \(xa cca' cca

(*) De telles questions sont aujourd'hui d'un bien faible intérêt au point de vue géométrique, quoiqu'elles aient beaucoup préoccupé Waring, continuateur peu fécond des idées de Newton, de Cotes et de Maclaurin, dans un ouvrage de 1762, intitulé : Miscellanea analytica, publié par souscription à Cambridge, et dans lequel se trouve une incomplète é numération des lignes du 4" ordre ou 3" genre. Je cite cet ouvrage, que je connaissais dès 1816, parce que l'auteur s'y est aussi occupé du problème de mener les tangentes à une courbe géométrique par un point quelconque donné sur un plan , problème dont on verra la solution dans le paragraphe ci-après, à l'aide de procédés algébriques très-différents, et qui assignent au nombre de ces tangentes la limite m (m— i), inférieure de m

r5o II" CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

je dis qu'en faisant mouvoir celle sécante autour du pôle p, la suite de tous les points a d'origine des segments comptés ici du centre de moyenne harmonique relatif à ce pôle et qu'on peut nommer centres de réciproques ou contre-harmoniques, seront situés sur une seule et même ligne géométrique de l'ordre m — i.

L'équation ci-dessus peut être écrite ainsi :

ap m \a-p — pa c/.p — pa c.p — jJa j

Développant, réduisapt, ordonnant par raj^port à a/», et faisant de plus, pour abréger,

P = pa -\-pa' + pd' + • • • ,

c'est-à-dire égal à la somme algébrique de tous les segments formés, dans la courbe, à partir du pôle fixe y.»,

Q = pa .pn' ->)- pa .pa" -^ , . .-{- pa'.pa" -\-. . .,

la somme des produits deux à deux des mêmes segments ; appelant de même R, la somme de leurs produits trois par trois; T, celle de leurs produits m—i à ni—i; enfin V, le produit total ou complet des mêmes segments, on aura pour calculer /p a, l'équation

{a) V.pa — a^Q.pcc +3R./?a — ...=p[m — i)J.pix± mY = o.

Cette équation, n'étant que du degré m — i, ne donnera sur chaque sécante pa que m — i points tels que a; d'autre part V, ne pouvant s'annuler ni, par suite, a se confondre avec le pôle p pour aucune des positions du rayon vecteur, à moins que ce pôle n'appartienne à la courbe proposée, il en résulte la démonstration du théorème énoncé.

unités à celle indiquée (p. loo de l'ouvrage cité) par Waring; m représentant d'ailleurs le degré de la courbe proposée, dont cet auteur n'a nullement recherché la ligne des points de contact qui, à ses yeux sans doute, comme à ceux même de Maclaurin, ne paraissait pas jouir du degré d'importance qu'on lui accorde généralement depuis la publication de la Notice sur la théorie des polaires réciproques, que j'ai adressée en 1817 au rédacteur des premières annales de Mathématiques. [Voir, à la fin de ce volume, l'extrait de cet article qui a paru dans le tome VIII de ces Annales. ) Je crois d'ailleurs superflu de faire remarquer que les démonstrations de cette Notice sont très-différentes de celles du texte ci-dessus, qui s'appliquent aux surfaces comme aux courbes géométriques, mais qu'il n'entrait nullement dans mes intentions de publier dès l'époque de 1817.

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. i5i

Pour découvrir la forme explicite des coefficients P, Q, . . ., V, soit

-\- f x"-\-gjf-' + /ur-'' + ...-{- A = o;

l'équation de la courbe donnée {^g. 96), rapportée actuellement à la droite fixe quelconque po et à sa perpendiculaire comme axe des x et des j; l'équation relative à la sécante paa" prise pour nouvel axe des .r, sera donnée par les formules de transformation bien connues,

^ = x'cos<p — j'sinip, j — y cos(f -\- x' sin'f,

où cp est l'angle apo des a: et x\ et qu'il faudrait substituer dans la proposée pour faire ensuite y' = 0 dans le résultat; ce qui donnerait une équation dont les segments ou abscisses pa, pa\ pa"^... seraient les racines. Mais, au lieu d'opérer ainsi, on peut faire à l'avance j' = o dans les formules de coordonnées ci-dessus, ce qui donne simplement

x — x'co&<^, j=^'sinçp,

et, en substituant et ordonnant par rapport à <p,

^""(sin^cp-l-ôcosî sin"^' ip + ecos^cp sin"'~'cp +. . .4-/cos'"cp) 4-^""-' (asin"'-'cp + <^cos(j>sin"'-^(5)-|-... + ^cos'"~'!p) +...;

d'où l'on tire respectivement, en nommant D le coefficient de x"",

rtsin"'~'cp4-r/cos?sin'"~'^ + . . .+^cos"'~'<p

^ csin"*-='ff +...+ /* cos"'-^(? „ ,k

Substituant dans l'équation («), il viendra finalement, en observant que

/?a.C0S(j> = a, /?a.sin(j< = ^,

a et p étant les coordonnées de l'origine ou centre contre-harmonique a,

{b) +ûr^'"-'H-rfa^-^. .+g'a"'-'+ 2(c^'"--+. • . + hoL'"--) + ...= wk ,

équation effectivement du degré m — i, comme cela était annoncé.

Mais, avant de nous occuper de sa discussion, il est bon d'examiner encore ce qui arrive dans le cas particulier où l'on suppose le pôle p à l'infini, et par conséquent les sécantes aa" toutes parallèles entre elles; le point générateur a de chaque transversale prenant alors, comme dans la recherche de la p. 128, un caractère tout particulier très-distinct d'ailleurs de

i52 IP CAHIER. - MÉTHODE QES TRANSVERSALES

celui qui appartient au centre de moyenne harmonique, puisqu'il n'est point unique, et que sa détermination dépend d'une équation du degré m — i .

Faisant en effet a.p infini dans l'équation de définition ci-dessus, du centre contre-iiarmonique, elle devient

aa' .a.a" . . .-[-aa.a«". . . + -\-aa.a.a' . . .,

Soit oo'x [fig. 97) une droite ou axe fixe quelconque, o' étant une nouvelle origine de segments , on aura

[ov. — oa][ov. — oa' )[oa. — oa" ) — o.

Posant pour abréger oa = a7, et faisant attention que o remplace ici le p de \^fg' 96 comme origine des segments, cette équation devient, d'après les notations déjà admises,

/wx"'-' — ( w — I ) P j;'"-=' -f. (,« 2 ) . Qx"-' — . . . ± T = o ;

c'est, comme on voit, la différentielle de l'équation

j^' p^-' 4. Qa7«-2 . . . ± T.r rp V = o,

dont le rapprochement avec celle ( a ) du cas général, porte à soupçonner que le lieu des points a dont on recherche l'équation, n'est autre que la courbe même des points de contact des tangentes, ici parallèles, menées du pôle fixe p à la courbe proposée [m).

Il n'est pas difficile de voir, en effet, que l'équation {a) on [h) est précisément celle que l'on obtiendrait en cherchant à déterminer en général ces diverses tangentes.

Courbe polaire des contacts ou tangences. — Appelant ce et j3 les points de contact qu'il s'agit de découvrir, on aura,

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. i53

pour exprimer qu'une tangente à la courbe (i) passe par le pôle p, origine des axes coordonnés des x et y [Jig. 97 ),

^ dot.

L'équation de la courbe devant être satisfaite par les coordonnées x et (3, il en résulte la relation de condition

de laquelle on tire, par la différentiation,

f/^ hf-'->t-{d-^-xea) ^'"-'+. . . + ffl/a'"-'+(/«— i)ff^"'"'+. ■ ■ + ^ ^~"~'w^"'-'-h(/w— i)(fl' + éa)^'"-'+(/«— 2)(c + r/a + ea'')Ss"'-'4-...'

substituant dans l'équation ci-dessus, il vient

m ^'" + mh a. ^"'-' + me a^ p"'-^ + • • •

+ {m-i)ap'"-'-\-{m—i)cp"'-'-[-{>n—i)dp'"-''-\-...+ io^ = o;

multipliant enfin l'équation primitive [c) par m, et retranchant de cette équation celle qui précède, on retombera sur l'équation {b), ou

a^m-' | 2 c p"'' ^ + dx p'"-"" + . . . +g-a"'-'+ . . . + (/« — i ) / a + ntk = o,

d'abord obtenue par la définition directe de la courbe comme lieu des points, tels que a, qu'.on pourrait nommer les contre-harmoniques du pôle p des rayons vecteurs ou transversales de la proposée ; le point a lui-même pouvant se nommer point d'origine des segments.

Problème. — D'un point p donné sur le plan d'une courbe géométrique de degré quelconque m, mener graphiquement les tangentes à cette courbe. On prendra les points d'origine ou centres contre-harmoniques a des intersections a, a',... {Jig. 96), relative aux diverses sécantes pa, issues du point/? considéré comme pôle ; la courbe de degré m — i, que ces points (x formeront, viendra rencontrer la proposée [m] précisément aux points de contact des tangentes cherchées. Malheureusement, sauf pour le i" et le 2^ degré, celle solution est à peu près inexécutable par des procédés graphiques.

Dans le cas d'une courbe du S** degré, la polaire de contact dont il s'agit étant simplement une conique, on pourra se contenter d'en trouver cinq points quelconques au moyen de

i54 IP CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

trois transversales arbitraires, et l'on construira le reste de la courbe par des procédés linéaires bien connus (t. I, p. i38). Dans ce même cas, l'équation ci-dessus, propre à déterminer directement la position des deux points a, sur chaque transversale issue d'un point donné p, se réduit à celle-ci :