V.pa — 2Q./>a-t-3V = G, dans laquelle
V = pa-+- pa' -h pa"^ Qz= pa. pa' -f- pa . pa" -\-pa' . pa", V = pa.pa' .pa",
et d'où l'on tire immédiatement
Q±v/Q^— 3PV
p, a, a' , a" étant donnés par la courbe supposée décrite, toute la difficulté serait de trouver a géométriquement; chose ici très-facile, notamment quand le point p est à l'infini ou sur la courbe du 3* degré dont il s'agit, car la détermination de /?« ne dépend plus alors que d'équations d'une forme et d'une construction très-simples.
Intersections de la courbe proposée avec la polaire de contact. — Voici comment on peut démontrer direclement et géométriquement qu'en effet, quand la polaire, lieu des centres contre-harmoniques, coupe la proposée en un certain point, ce dernier est nécessairement un point de contact ou l'équivalent. Il suffit pour cela de prouver qu'en chacun de ces points l'équation de définition (a, ou a) est naturellement satisfaite. Prenant pour exemple la courbe géométrique du 3" degré, on mettra cette équation sous la forme
pet [{pet. — pa) [pa. — pa'') + [py. — pd) [px. — pa") -\-[px — pa')[pct. —pa")] — Z{poi.— pa) [pat. — pa') [px — pa") — o,
et remarquant que, si a et a', par exemple, se confondent, ce qui suppose p«'=: /7a, l'équation ci-dessus acquiert le facteur poc — pa commun à tous ses termes, et que, par conséquent,
APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. i55
si l'on égale ce facteur à zéro, on aura, par cela même, l'une des racines poc de l'équalion, c'est-à-dire
poc = pa z=zpa',
qui indique précisément que le point a s'est confondu avec a et «' sur une même branche ou sur deux branches distinctes de la courbe proposée.
Réciproquement, pa ne saurait être égal h pa ou pa', etc., sans que la sécante devienne tangente; car alors, en introduisant cette hypothèse dans l'équation ci-dessus, elle deviendra
pa{pa — pa'){pa — pa") = o,
qui ne peut être satisfaite qu'en faisant
ou pa = pa' ou pa = pa";
c'est-à-dire qu'alors la sécante pa louche nécessairement la courbe proposée aux points a et a' ou a et a", respectivement confondus entre eux.
Propriété essentielle des deux courbes et de leurs dérivées polaires contre-harmoniques. — Laissant de côté l'examen intéressant de ce qui arrive quand le pôle ou point de convergence p des tangentes à la courbe donnée est à l'infini ou sur cette courbe même, je me contente de faire remarquer :
1° Que la polaire de contact dont on vient de s'occuper est le lieu des points x tels, qu'en les prenant respectivement pour origine des segments relatifs aux transversales qui y passent, ou, si l'on veut, pour pôles fixes de ces transversales, j les axes de moyenne harmonique correspondants (théorème de Cotes) pivoteront autour du point de convergence p des tangentes comme pôle réciproque des points a ou centres contre-harmoniques de p; de sorte que tontes les droites qui passent par ce même point p, peuvent être considérées comme autant A'axes de moyenne harmonique ayant pour pôles respectifs, à l'égard de la courbe proposée base des contacts, les points a mêmes de la courbe des contacts.
2° Que, dans l'équation générale (a), d'abord obtenue et qui donne les valeurs pcc répondant aux centres contre-har-
i56 IP CAHIER. -■ MÉTHODE DES TRANSVERSALES
moniques a, on a, en appelant a, a', a!' les points qui répondent aux m — I racines de celte équation,
^ —pa.pa'...pa'<'"-'^-{-p<x'.p(x". . /;«("-=')+...,
somme des produits m — 2 à m — 2 des m — i racines,
-— . =pa.pa. .pa . . .pa.^'"-^',
le produit des mômes racines; d'où l'on tire généralement
[ni — 1 ) T I . T I 1
in\ px poc! pot!' * poc^"'-^>
relation digne de remarque et dans laquelle
ï = pa .pa' .pa" . . .pa^"'~-^ -\-- ■ •
est la somme des produits m — i à m — 1 , tandis que
Y =pa.pa' .pa" . . ./?«^'"~'^
est le produit total ou complet des m segments relatifs aux intersections de la transversale j9a a [Jig- 96) avec la courbe proposée. Or, de là on conclut, par un rapprochement facile,
