III I

m — 1 \poc pa' px" /?a('"~''

m \pa pa' pa" ' /?«("— ')/ '

c'est-à-dire que la moyenne harmonique des segments poc, pa'..., /?«■'""'), en nombre m — i, qui se rapportent à la courbe des contacts, est égale à la moyenne harmonique de ceux pa, pa'..., /?«("-') qui, sur la transversale commune issue du point p, correspondent à la courbe donnée de degré m. En d'autres termes, on. peut dire que :

3" Relativement au point fixe/? pris pour pivot des sécantes communes mobiles, la courbe proposée (m) et la ligne des contacts m — i ont même axe de moyenne harmonique. Et,

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. iSy

comme il en est ainsi encore de la courbe de degré m — 2 dérivée de la précédente, et ainsi de suite, on voit que cet axe harmonique, commun à toutes les dérivées, n'est autre que la droite, c'est-à-dire l'axe harmonique même auquel se réduit en définitive la dernière des dérivées de degré m — [m — i) = i.

4° A chacun des pointsp du plan de la courbe proposée {m), pris pour pôle , correspond nécessairement un axe , mais un seul axe de moyenne harmonique selon la définition cidessus; donc réciproquement, à une droite quelconque donnée, considérée comme axe harmonique, correspond au moins un pôle conjugué/?, par rapport à la courbe (m), pôle déterminable géométriquement et qui doit décrire une certaine courbe continue quand on assujettit l'axe harmonique conjugué à se mouvoir suivant une loi géométrique donnée, ellemême continue.

5" En particulier, il résulte des relations métriques ou de réciprocité qui lient la courbe des contacts ou des points a à la proposée et au pôle de concours p des tangentes, que les points générateurs a de cette courbe ont pour axes de moyennes harmoniques dans la proposée, des droites qui passent toutes par le pôle fixe p; propriété analogue à celle qui a lieu pour les coniques où la ligne des coniacts est du i" degré, et se nomme, comme on l'a vu, la polaire de p.

Plus généralement, l'enveloppe des axes harmoniques de (m), conjugués aux divers points d'une autre ligne quelconque de degré n, tracée sur son plan, est une dernière ligne du degré

qui s'abaisse au degré (m — i){m — 2 ) quand n= i;de sorte que si la droite correspondante an — i passe à l'infini, les axes de moyenne harmonique étant devenus autant de diamètres de (m), suivant la définition de Newton, l'enveloppe dont il s'agit se réduit au degré {m — i){m — 2), courbe à laquelle on ne peut mener que m — i tangentes seulement, d'un point arbitraire du plan, etc., etc.'

On pourrait faire d'autres rapprochements curieux et non moins remarquables au moyen de l'équation (a); mais je m'arrête aux précédents, et termine par quelques remarques et réflexions essentielles.

i58 IP CAHIER. ^ MÉTHODE DES TRANSVERSALES

Considérations diverses. — Supposons, entre autres, à l'infini le point ou pôle p, et construisons la courbe des points de contact relative à la proposée de degré m; faisons la même chose pour une autre direction quelconque de sécantes parallèles : si parmi les points en nombre (m — 1)% où les deux courbes ainsi construites s'entrecoupent, il en est qui appartiennent à la proposée, ce seront des points singuliers trèsremarquables, soit multiples, soit de rebroussement, conjugués, etc.

En effet, la courbe des contacts passe évidemment par ces points singuliers, et la limite m [m — i) du nombre des tangentes possibles s'abaisse d'autant de fois 2 unités que les droites allant du point donné p aux différents points singuliers renferment de cordes nulles de la courbe (m). Quant aux points d'intersection en apparence étrangers à (m), ils n'en sont pas moins très-importants à étudier, et doivent, comme les points singuliers propres à cette courbe, être totalement indépendants de la direction attribuée aux sécantes parallèles, je veux dire à la position même des points p, sur la droite à l'infini du plan de la courbe {m).

Ces considérations, qui se rattachent à la théorie ordinaire des pôles et polaires des coniques, ont, d'autre part, une relation très-intime avec le peu que nous apprend jusqu'ici l'analyse infinitésimale relativement aux points singuliers des courbes, notamment aux points de multiple inflexion, de multiple rebroussement, etc., aux points d'extrême grandeur, servant de limites, de sommets à ces courbes dans des positions pour lesquelles les coefficients différentiels des ordonnées, des abscisses, ou de toute autre fonction déterminée de ces variables, deviennent plusieurs fois nulles, infinies, et prennent la forme algébrique de l'indétermination (*).

(*) Voir à la fin de ce volume (Cah. VI) l'extrait d'un article sur la théorie des polaires réciproques^ imprimé en 1817 dans le Journal Mathématique de Gergonne, et où l'on trouvera l'empreinte de quelques-unes de ces idées, de celles surtout qui concernent la polaire des contacts, lieu des centres contre-harmoniques, mais envisagée sous un aspect purement analytique à la manière de l'époque; attendu que, à propos de la solution accidentelle des problèmes proposés dans les Annales de Montpellier, je

Voici les énoncés de quelques autres propositions relatives aux propriétés des axes et des centres de moyenne harmonique et qui dérivent immédiatement de celles qui précèdent.

Fragments résumés relatifs aux centres, aux axes et plans de moyenne distance ou de moyenne harmonique des courbes et des surfaces.

• I. Définitions. — Si l'on prend pour base d'un faisceau de lignes droites convergeant en un même point s [fi§. gS, p. 142), considéré commesommet ou centre de projection d'un système de points a, 6, c, ... en nombre w, rangés sur une même droite, et pour lesquels le point k est un centre de moyenne Imrmonique ou de réciproques de segments relativement à un point 0 de la même droite, pris pour origine de ces segments, on formera un faisceau Iiarmonique ou harmonical ( mot adopté par de LaHire pour les coniques), dans lequel les projetantes sk et sÇ) sont respectivement ce que je nomme les axes de moyenne et d'origines harmoniques du faisceau, axes qui jouissent de la propriété d'être coupés par une transversale rectiligne arbitraire, en un nouveau système de points harmoniques, analogue au système primitif des points de base.

Nota. — Lorsque l'axe des origines harmoniques est donné à priori, celui des centres ou moyennes harmoniques s'en déduit par des constructions linéaires, dépendantes uniquement de la Géométrie delà règle. Dans l'hypothèse inverse, la détermination de l'axe des origines dépend de la résolution d'une équation de degré m — i ou du tracé d'une courbe de ce degré, ayant un point multiple de l'ordre m — 2, elle-même constructible linéairement par points isolés et successifs [*).

IL Théorème. — ^\^ pour une courbe de degré quelconque m [Jig. 98), on détermine \axe de moyenne harmonique pq du faisceau des tangentes à cette courbe, issues d'un point quelconque /> d'une droite arbitraire 00',

ne voulais point entamer l'exposé de théories que je me proposais d'approfondir et de publier lorsque des circonstances m'en offriraient la possibilité matérielle et l'occasion propice; le peu que j'ai dit dans ce même article, des polaires réciproques et de la courbe des contacts, a d'ailleurs suffi pour mettre sur la voie, neuf années après, d'autres savants moins empêchés, ou plus favorisés que moi ( t. XVI, XVII et XVIII des mêmes Annales\

i*'\ \o'\r la démonstration de ces propositions dans le tomeVlll du Journal de Crelle (p. 5i, 117, 2i3, 370), qui contient la première partie du Mémoire déjà cité sur V Analyse des transversales, présenté en septembre i83o à l'Institut, et auquel les recherches de ce II* Cahier ont servi de point de départ et d'appui.

i6o n" CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

située dans son plan et prise pour axe fixe des origines harmoniques du faisceau, le premier de ces deux axes, mobile avec le point p de con-

Fig. 98.

vergence des tangentes, ira concourir, dans toutes ses positions, en un point (/T, fixe comme la courbe [m) et le second des axes dont il s'agit.

ni. Théorème. — Si, d'un autre point quelconque p' de l'axe des origines oo\ on mène des rayons ou projetantes vers les points de contact a, b, €,. . . des tangentes ci-dessus, elles formeront un nouveau faisceau dont l'axe des moyennes harmoniques, conjugué à l'axe fixe 00'^ coïncidera avec l'axe pareil des tangentes issues de /?', et pivotera, par conséquent, aussi sur le pôle immobile 7, lequel, pour ce motif et d'autres encore, peut être nommé le centre harmonique général de la courbe géométrique [m], relativement à la droite invariable 00'.

IV. Théorème. — Si l'on fait pivoter, à son tour, l'axe des origines harmoniques 00' autour d'un point fixe quelconque p de sa direction, le centre q des moyennes harmoniques changera, mais les points de contact rz, 6, c,..., des tangentes issues de p restant immobiles, ce centre q décrira la courbe même des contacts conjuguée à /j, et dont, comme on l'a vu, le degré est généralement /« — i.

Remarque. — Les théorèmes ci-dessus s'étendent, sans aucune difficulté, aux courbes à double courbure et aux surfaces géométriques situées dans l'espace, en observant que nos définitions (I) s'étendent ellesmêmes au faisceau de m plans qui ont une droite commune de convergence en .V [fig. 95), et seraient coupés par un plan fixe Qkk des origines contre-harmoniques. Ainsi notamment :

V. Théorème. — La fig. 98, représentant une courbe à double courbure ou une surface géométrique de degré quelconque /«, figure dans laquelle 00' représente également un plan arbitraire pris pour pktn des origines harmoniques, et le point/» une droite quelconque située dans ce plan, de laquelle partent les m—i plans pa, pb, pc,... tangents à la

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. iGi

courbe ou surface (/»); enfin pq représentant le plan des moyennes harmoniques de ce faisceau de plans tangents, par rapport au plan des origines oo', tous ces plans pq et leurs analogues passeront par un point unique q de l'espace, que l'on peut encore nommer le centre général et unique de moyennes harmoniques de la courbe ou de la surface proposée relativement au plan oo' .

Nota. — Des théorèmes analogues ont lieu quand on substitue aux faisceaux de plans tangents, les cônes enveloppes d'une courbe ou d'une surface, issus de chacun des points d'un plan d'origine oo\ et l'on entrevoit, à priori, que leur système possède, relativement à un axe ou à un plan donné d'origines harmoniques, une infinité de diamètres ou d'axes harmoniques qui viennent tous converger en un centre commun et unique de moyennes harmoniques, jouissant de propriétés entièrement analogues à celles des pôles, polaires et plans polaires des courbes et des surfaces du second degré. Ces propriétés se convertissent en d'autres relatives aux centres, axes, diamètres et plans diamétraux ordinaires ou de moyennes distances, quand les points, les droites, ou les plans d'origines harmoniques sont censés à l'infini ; et comme, dans ce cas, les propositions diverses qui viennent d'être indiquées sont d'une démonstration facile, elles peuvent, au moyen de nos principes de projection centrale et de continuité, servir de points de départ à l'étude des propriétés les plus générales, qu'il convient d'ailleurs de faire précéder des théorèmes analogues relatifs au cas, plus élémentaire encore, où les courbes et les surfaces géométriques dont il s'agit se réduisent simplement à des systèmes de points, de droites ou de plans donnés quelconques, etc. (*).

Addition au IP Cahier, par M. Mannheim (mars i863).

Déterminer l'expression du rapport des rayons de courbure en deux points quelconques d'une courbe du 3* ordre.

Coupons la courbe du 3* ordre par un triangle ABC [fig. 99). En vertu du théorème de Carnot, on a la relation

. j ka.ka'.ka''.^b.^b'.M".Q.c.Cc'.Cc"

= Ac.Ac'.Ac".Cè.C^»'.C6".B«.Ba'.B«",

C*) C'est ce que j'ai fait dans le Mcnioire sur les centres de moyennes harmoniques, présenté en mars 1824 à l'Institut de France, et postérieurement imprimé dans le tome 111, p. 21 3, du Journal Mathématique de Crelle.