SC ~SD

SA.SD = SC.SB ou ^ = ^!

parce que, dans la substitution de — SC, — SD, à SC et SD, les signes disparaissent algébriquement. Or de là résulte cette conséquence capitale :

Les équations à deux termes entre produits de segments re-

latifs au cercle et qui s'étendent (IP Cahier, p. 69) projectivement aux sections coniques en général, sont rigoureusement applicables à toutes les positions des lignes de la figure : il en est de même des diverses propriétés métriques et descriptives qui s'en déduisent.

^k. D*autre part, le théorème général de Newton sur les produits des appliquées parallèles des courbes géométriques ne comportant aucun signe négatif, et le théorème de Carnot relatif au triangle transversal d'une telle courbe se déduisant du précédent par la considération de la similitude des triangles ou des lignes proportionnelles, il en résulte que le fait cidessus s'étend rigoureusement aussi aux théories exposées dans toute la dernière partie du IP Cahier.

35. En particulier, c'est une grave erreur analytique et géométrique que d'attribuer le signe négatif au second membre de l'équation {fig. 1 14)

mn'=an.nb,

qui exprime que l'ordonnée MN d'un cercle, perpendiculaire en un point quelconque N du diamètre AB, est moyenne pro-

portionnelle entre les segments adjacents et opposés NA et NB de ce diamètre; de sorte qu'on aurait algébriquement

MN :^ — AN.NB, AB = NB-AN,

en attribuant, selon la convention admise en Géométrie analy-^^^ tique, le signe — au segment situé à gauche de l'origine commune Jiî et le signe 4- à celui de droite; ce qui viole et le principe de continuité et la loi des signes de position, tels que

nous les avons définis ou entendus, et conduit, par une fausse interprétation, une fausse extension de la règle des signes algébriques, justement combattue par Carnol, à des conséquences absurdes, qui deviennent manifestes quand on suppose le pied N de l'ordonnée au centre même du cercle.

36. En attachant trop d'importance à l'ancienne dispute relative à l'existence isolée des quantités négatives, imaginaires, etc., M. Carnot, dans sa Géométrie de position, a peutêtre plutôt encouragé que détourné les esprits aventureux, d'ailleurs bien moins géomètres qu'algébristes, à s'occuper de semblables questions qui, par elles-mêmes, sont peu aptes à fortifier et agrandir le domaine de l'Analyse, supposât-on qu'on admît, avec MM. Français et Argand, que le signe \j — i représente en Géométrie la perpendicularité, comme le signe — y exprime l'opposition des dislances (*).

Au surplus, on éviterait sans aucun doute ces difficultés, ces fausses interprétations masquées par des notations symboliques et algorithmiques séduisantes, mais qui jettent comme un voile obscur sur les vérités premières de la Géométrie et de l'Algèbre, rendues par là des sciences spécieuses et mystiques; on éviterait, dis-je, ces difficultés si l'on voulait bien se ressouvenir que, dans le cercle notamment, on a, en réalité, en prolongeant [Jig. 1 14) l'ordonnée MN jusqu'à l'extrémité P de la corde à laquelle elle appartient, non pas simplement

MN =— NA.NB, mais bien

NM.( — NP) = (— NA).NB, ou NM.NP = NA.NP

sans aucun signe algébrique de position, conformément aux principes exposés ci-dessus.

37. Cette conclusion est même tout à fait d'accord avec les vrais principes de l'Algèbre où les signes — et \J — i n'appa-

(*) Foir à la fin de ce IIP Cahier la réfutation que, en 1816, j'avais entreprise des doctrines de MM. Français, Argand, etc., à propos de laquelle on lira avec intérêt une Notice historique, par M. Vallès, dans l'ouvrage intitulé : Etudes phHosophiques sur la science du calcul; Paris, 1 84 1 , p. 186.

KjS IIP CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

laissent d'une manière détachée que dans la résolution linalc des problèmes, c'est-à-dire dans la résolution même des équations définitives, ainsi que nous en offrirons divers exemples ci-après. Mais cela ne doit nullement nous empêcher d'examiner à ce point de vue rationnel, ce que devient la loi de continuité et des signes ainsi que les diverses règles ou principes posés précédemment, quand certains points d'une figure cessant de rester réels et constructibles géométriquement dans la transformée par le déplacement graduel et progressif de quelques parties essentielles de celte figure type, les dislances qui se comptent de ces points respectifs étant devenues ellesmêmes impossibles, imaginaires, etc., il n'y a plus moyen de reconnaître à priori la loi des signes de position qui les concerne ou de les distinguer en directes et inverses, progressives et rétrogrades. La même chose aura lieu encore pour tout l'intervalle où ces dislances resteront inconstructibles, idéales, imaginaires, et celui où elles s'évanouissent ou deviennent infinies niomenianément, Iransiloirement; ce qui fait rentrer de telles circonstances dans des cas déjà suffisamment étudiés ou qui le seront à l'occasion, et ne présentent aucune difficulté essentielle sous le rapport des signes de position.

38. Dans cet étal particulier du système, les relations métriques ou descriptives qui concernent les points, les grandeurs géométriques impossibles, sont purement idéales, et si l'on persiste à les considérer dans cette hypothèse, c'est pour maintenir la continuité même dans les intervalles où elle cesse d'exister d'une manière absolue, non dans la forme des équations ou relations métriques, mais dans l'état en quelque sorte physique des grandeurs qui y entrent.

Je le répète, il doit être permis dans de le4s intervalles, de considérer les grandeurs imaginaires comme des inconnues qu'il s'agiraitde construire graphiquement au moyen des équations qui s'j rapportent et les déterminent. Cette supposition est d'autant plus permise qu'alors nécessairement, ces relations sont géométriquement incompatibles pour la série entière des positions de la figure où les grandeurs, les points en question restent imaginaires; sans quoi il existerait des valeurs réelles correspondantes des dislances ou racines inconnues.

propres à conslruire les points dont il s'agit; ce qui est contradictoire et en soi absurde.

Il est donc bien vrai que, pour les états variés d'une figure dont les données constitutives changent par degrés continus et qui, par cela même, est soumise au principe de continuité, les distances, les aires, lignes et dimensions quelconques devenues impossibles graphiquement, doivent être considérées comme indéterminées à la fois de sens, de grandeur et de position ; ou plutôt, il convient de ne rien statuer dans les relations métriques où elles entrent pour tout l'intervalle où elles restent impossibles (*), tandis qu'il est rationnel de continuer à appliquer la règle ordinaire des signes de position aux quantités demeurées réelles et qui seraient devenues inverses en passant par zéro ou l'infini.

39. Éclaircissons tout ceci par un exemple très-simple {Jîg. 11 5). Soient .v^ et s^ deux sécantes extérieures au cercle dont le centre

Fig ii5.

est c\ de ce centre soit abaissée la perpendiculaire co sur la sécante on aura, pour la situation actuelle,

scL.sb = sa.sb ) sa -\- s^ ^= ISO )

système

(*) Remarquons qu'il ne s'agit nullement ici d'impossibilité absolue, mais seulement d'imaginarité relative . transitoire et en quelque sorte temporaire; car nous n'admettons pas l'existence géométrique de quantités négatives, imaginaires, infinies, considérées isolément (p. 168), comme l'entendent quelquefois les géomètres algébrisles, c'est-à-dire d'une manière purement analogique, convenlionnello et |)artant arbitraire.

Supposons que sxp se meuve parallèlement à elle-même jusqu'en x'p', les seules distances s'x' et s'a seront devenues inverses, et, d'après la règle des signes, on aura

— s'cc' .x'p' = — s' a.s'b ] , , ,,, , , / 2" système f.v').

Si de nouveau a.'p' se meut par la même loi jusqu'en a"^", au delà du point k d'intersection de snh et de co, s"o" sera devenu nul puis inverse, et aura changé de signe; les autres segments étant restés directs, il viendra

a"^", prenant ensuite la position a'"^'", pour laquelle s'" est de nouveau hors du cercle, s'''^'" et s"'h seront seuls devenus négatifs, en sorte que les équations prennent la forme algébrique

( yv.'") (- ,v"'^"') = (- s"'a) (- s"'h] .y"'a"'-.v"'^"'= -2,v"',/"

4^ système (/'

qui se confondent avec les équations (.y) de départ.

Donc a'fi', a"j5<", a"'(5"' finissant par sortir tout à fait du cercle après lui avoir été tangentes, et prenant la position *"o", les points correspondants à a'" et p'" cesseront d'exister ainsi que les distances s"W\ s"'p"'-, mais s'" a, s"'b, s"'o"' seront restées réelles sans devenir inverses et sans changer de signe positif. Si donc on veut persister à conserver les relations primitives, il faudra ne plus rien prononcer sur les signes des dislances imaginaires, et les regarder comme de vraies inconnues. Représentant ces inconnues analogiquement par ^"a"', 5''^'", il viendra

5* système (*'''), imaginaire.

Si ces équations n'exprimaient par elles-mêmes aucune incompatibilité, on pourrait en déduire des valeurs réelles pour .ç"a" et.y"P"; attribuant implicitement les valeurs ainsi trouvées aux distances qui les représentent dans les relations ci-dessus, ces relations seraient satisfaites. Or, alors on pourrait aussi trouver sur s^^o^" deux points réels pour lesquels les distances correspondantes auraient entre elles et avec s'^o'". s^^a, s'^b, les relations examinées.

Soient a'", ^" ces deux points : on aurait donc rigoureusement

5' (bis

Or si, par une marche inverse à celle qui a fait découvrir les relations du 1" système (,v), on remontait de proche en proche, des relations (.v") aux relations primitives qui leur correspondent, on trouverait évidemment que les points réels a", ^" sont à des distances du centre c, égales à celles de ce même centre aux points a et b; d'où l'on conclurait que les points a" et p'" appartiennent au cercle dont le centre est c et qui passe par a et b; car sur le plan de la figure, il n'y a aucun point hors de la circonférence qui jouisse de cette propriété. Il faudrait donc, dans l'hypothèse où les relations examinées {.v") expriment des dépendances réelles, que la droite ^'"o" rencontrât le cercle (c), ce qui est contraire à l'autre hypothèse faite en même temps que la première, à savoir : que la droite s^^o'" soit entièrement au dehors de la circonférence dont il s'agit. Donc les relations (.v) ou {s'") doivent, dans l'état où elles se trouvent, être incompatibles entre elles , en ce sens qu'elles ne fournissent aucune valeur réelle pour les distances .va, s^, ou .y^a'"', s^^'p'".

40. Si. au lieu d'examiner, comme dans ce qui précède, la variation successive des signes pour les diverses positions que peut prendre le système primitif, en le faisant varier d'une manière continue, on se bornait à comparer entre eux directement les états extrêmes {s) et (.y'"), les seuls qu'on ait en vue, il faudrait toujours agir de même et regarder les distances imaginaires comme des inconnues positives, en ayant égard seulement à la variation des signes des distances restées réelles. Ainsi les relations trouvées pour le système [so) étant

soi..sp = sa.sb^ sa.->rs^ = ISO,

celles du système imaginaire (.v'/o'") seront

puisque sa, sb et so sont devenus tous trois inverses.

Ces dernières relations diffèrent par le signe des distances «'''a", .v'^S", de celles (.v'^) précédemment trouvées pour le même système, et cela doit être naturellement, puisque l'on n'a pas eu égard à ces signes; mais ces équations n'expriment ni plus ni moins que les premières, et doivent être également incompatibles entre elles. En effet, elles doivent donner les mêmes valeurs pour .y^'a"', .y"^'", mais seulement avec d'autres signes; si donc les unes exprimaient des dépendances réelles, les autres en exprimeraient aussi, ce qu'on a démontré être absurde. Donc elles expriment à la fois des impossibilités géométriques et la non-exis-

tence des points et des distances qu'elles concernent : la même chose arriverait encore si, au lieu de partir du système *o, on partait d'un système quelconque [x'o'); car on aurait, pour ce système {s'o'),

— s'en' .s p' = — s'a.x'b, ,v'[3' — s'x' = 2 s'a',

et, pour le système dérivé (a'^o"),

puisque s'b et s'o sont seules devenues inverses; or ces dernières relations ne diffèrent et ne peuvent évidemment différer que par le signe de .s'^fi'" de celles du système (.v").

M. Dans l'exemple qui précède, nous avons supposé, pour plus de simplicité, que la droite so se mût parallèlement à ellemême, mais il est visible que les conséquences ne varieraient pas quand bien même la direction de cette corde se mouvrait d'une manière entièrement arbitraire aussi bien que sab (*).

En général, on peut supposer le cercle (c) non tracé, cas auquel, ignorant si la droite so le rencontre, on se trouve naturellement obligé de considérer les intersections de cette droite avec le cercle comme inconnues de position, et les distances sa, *{3 elles-mêmes, comme inconnues à la fois de grandeur et de signe, tout en conservant les formules, les équations relatives à la situation primitive arbitraire, de a[3.

Concluons de cet examen particulier et des réflexions générales qui le précèdent, que la règle des signes aura encore lieu pour les étals de \a Jig. ii6, où, en vertu du déplacement de quelques-unes de ses parties, certains points et les distances

(*) Tout cela est parfaitement conforme, pour le fond, aux résultats que fournit le calcul algébrique dans les équations du second degré à racines réelles ou imaginaires, de la forme x'^ — px-\-q = o. Pour s'en convaincre directement, on peut supposer que la sécante sab devienne mobile autour du point fixe ,v, aussi bien que .s-a^, i étant d'ailleurs le point milieu de (tb^ au(i»e1 cas on a évidemment

p — sa -\- sb — i ,v/, q — su . sb, etc.

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. ao3

qui les séparent sont devenus imaginaires, pourvu qu'alors on se rappelle qu'il est inutile de s'occuper du signe même des expressions qui représentent ces dislances imaginaires.

Réflexions générales sur le principe de continuité et la différence caractéristique qui existe entre la Géométrie pure et le calcul algébrique.

42. Avant de terminer le sujet qui nous occupe, je crois devoir ajouter à ce qui précède quelques nouvelles réflexions propres à montrer que la permanence ou continuité des relations métriques et la règle des signes de position jusqu'ici constatée dans certaines figures élémentaires de la Géométrie, s'étendent, par là même, à toutes les figures possibles et à toutes les équations qui s'y rapportent.

La question revient évidemment à faire voir comment les relations métriques en général, peuvent se déduire de celles que nous avons précédemment examinées.

D'abord cela paraît évident à priori, quand on réfléchit que l'Analyse des coordonnées de Descartes n'emprunte elle-même à la Géométrie qu'un très-petit nombre de principes, et qu'en les combinant d'une manière convenable par les procédés algébriques, ils permettent d'arriver à la connaissance de toutes les relations et propositions possibles relatives aux figures composées.

D'un autre côté, et sans recourir à ce moyen, il est visible qu'une telle figure, toujours décomposable en d'autres plus simples ou plus élémentaires, ne jouira d'aucune relation et propriété métrique ou descriptive, si elle n'a été démontrée pour une situation actuelle et donnée, au moyen du raisomiement géométrique aidé ou non des calculs de l'Algèbre. Or, ce genre de raisonnement repose essentiellement sur la décomposition dont il vient d'être parlé ou la considération de figures plus simples, plus élémentaires encore, telles que nous en avons précédemment étudié, et soumises, par hypothèse, au principe de continuité non-seulement en elles-mêmes, mais aussi dans leurs consé(|uences, sans introduction ni mélange (17) d'aucune relation, d'aucune condition géométrique ou algébrique étrangères à la loi des signes de position.

2o,i IIP CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

C'est ainsi, par exemple, que les formules de la Trigonométrie, plane ou sphérique, se déduisent des plus simples propriétés du cercle et des triangles semblables. Or, il résulte de ces considérations évidentes que toutes les relations ou théorèmes obtenus par la combinaison licite des premières relations ou propositions, seront également soumis au principe de continuité et à la loi des signes précédemment exposés (*).

Que si l'on contestait les déductions de ce genre de raisonnement, je répondrais par cet autre argument : je suppose que, à une époque quelconque de l'enseignement de l'Algèbre et de la Géométrie, l'on y ait introduit, avec les ménagements et la gradation convenables, mais non brusquement, les notions intuitives inévitables de la continuité, de l'infini, de l'opposition de sens et de signes des grandeurs, etc.

43. Ces réflexions me paraissent devoir provoquer une refonte, sinon des éléments de la Géométrie pure, du moins de ceux qui ont pour objet spécial l'application de l'Analyse algébrique, dont les hardiesses, les abstractions contrastent singulièrement avec le caractère timide, réservé de la Géométrie

(*) Par exemple, les formules ou relations fondamentales de la Trigonométrie

Rsin.ç ^ R' , Rcos^ R ^^ , ^ R'

tane.y = j secs = , cots = —. — -. ) cosec* = -. — -,

=" cos^ cos.v sm,y tangi- sin.v

dans lesquelles s est l'arc, R le rayon positif tournant toujours dans le même sens , ces formules n'ayant que deux termes qui ont été obtenus par la considération des triangles semblables, ne comportent par ellesmêmes aucun signe explicite, et les signes implicites, variables avec la position et le sens, doivent constamment s'y détruire; de sorte que si l'on considère comme inconnue la ligne trigonométrique de l'un quelconque des premiers membres, sa valeur de signe et de position sera donnée par le second. Ainsi notamment, la sécante a toujours le signe du cosinus, et, par conséquent, si l'on regarde le rayon mobile du cercle comme unité de longueur, la sécante sera négative pour tous les arcs

compris entre -n:{in + i) et 77 (« + i) ; ce qui s'accorde avec la règle

des signes géométriques, puisque la sécante aura alors une position opposée à celle du rayon toujours censé positif et tournant progressivement dans le sens mémo des arcs positifs, etc.

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. 2o5

des Anciens; car l'esprit, d'abord accoutumé aux restrictions de toute espèce, interprète et s'explique péniblement les généralités de la Géométrie analytique; souvent même elles lui paraissent conirarier les notions les plus rigoureuses et le plus généralement admises : on se forme difficilement de nouvelles idées, parce qu'on ne songe pas à remonter aux principes et à les approfondir. On veut interpréter à priori la nature des solutions positives, négatives et imaginaires, on veut expliquer, démontrer la règle des signes de position, sans faire attention que ces solutions diverses ont pour fondement et explication nécessaire des faits placés à l'entrée même de la science et indépendants de toute vérité antérieure, parce qu'ils sont de véritables axiomes auxquels on ne saurait rien substituer de plus clair.

Ce sont ces faits primitifs qu'il faut d'abord nettement exposer, afin de pouvoir en déduire avec certitude les conséquences les plus générales. Il n'est pas permis, en effet, de prétendre démontrer rigoureusement et à priori un théorème compliqué en esquivant ceux dont il est la conséquence nécessaire, c'està-dire indépendamment de toute donnée antérieure. Les vérités géométriques les plus éloignées sont liées, par une chaîne continue, aux vérités les plus élémentaires, et il est impossible à notre entendement d'apercevoir un rapport compliqué entre des grandeurs quelconques, si l'on n'en montre la filiation, la dépendance intime et rigoureuse avec d'autres rapports précédemment admis ou démontrés, et ainsi de suite jusqu'aux axiomes qui tombant immédiatement sous le sens, n'ont absolument rien avant eux (*).

(*) Je prie le lecteur de se rappeler (note de la p. 107) que ces réflexions ont été écrites en 1816 pour moi seul, et sans nulle intention de les publier sous la forme qui leur a été conservée ici. C'était, comme on voit, peu après l'époque où l'auteur de la Tcchnie de l'Algorit/imie, fondée sur la doctrine philosophique de la soi-disant raison pure, déjà cité à la p. 495 du précédent volume, essayait, non sans succès, d'attaquer les écrits mathématiques de nos plus grands géomètres, défendus par M. Servois et d'autres; ce qui a conduit de plus jeunes savants algébristes à se laisser entraîner à l'attrait de discuter, de refondre même et de démontrer à priori les plus anciennes vérités mathématiques , celles qui sont dues aux lents et pénibles progrès des siècles antérieurs.

•2oG IIP CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

44. Que penser donc de ceux qui, voulant expliquer la régie des signes de position, commencent par poser ce principe vague : Tout ce qui existe dans le calcul doit exister aussi en Géométrie, par la seule raison que le calcul est applicable à tous les objets que cette science considère ( *). Ce n'est certes pas là un axiome; aussi est-il impossible d'en rien déduire qui soit bien clair ou mathématiquement établi : n'est-ce pas oublier ainsi que le calcul algébrique n'est point, à proprement parler, une science, mais bien un art, un mécanisme assujetti à des règles, à des procédés invariables qui s'appliquent à nos premières conceptions géométriques, lorsqu'elles se bornent à formuler des rapports préexistants entre certaines grandeurs des figures, etc.? Ce mécanisme servant à découvrir d'autres rapports qui découlent des premiers, soulage la mémoire, abrège le travail de l'esprit, mais jamais il ne le dirige; car, dans son mystérieux symbolisme, il cache trop souvent, non pas simplement des erreurs matérielles, mais des contrevérités ou d'insignifiantes vacuités.

Comment appliquerait-on l'Algèbre à la Géométrie, notamment, si l'on ne commençait par raisonner sur les figures pour en déduire les propriétés métriques et élémentaires? Il est néanmoins d'illustres savants qui ont conçu l'espoir chimérique de rendre l'analyse des coordonnées tout à fait indépendante de la Géométrie, et cela faute d'avoir fait la remarque qui précède. Il ne serait guère plus absurde, ce me semble, de prétendre démontrer algébriquement les bases de la Mécanique et les lois du système planétaire, sans partir de la notion expérimentale et physique des forces qui se manifestent à la surface de la terre ou des lois naturelles les plus simples que Kepler et Galilée ont découvertes, en se fondant sur l'observation directe des phénomènes.

Mais il est temps de revenir à notre sujet principal, que les discussions précédentes nous ont fait un instant abandonner,

45. Nous venons de démontrer rigoureusement qu'en admettant la règle des signes en Géométrie, toutes les relations et propriétés métriques relatives à une figure appartiennent,

(*) Gaudin, Essai sur la théorie des signes, etc.; Nantes, 181G, p. 5.

non-seulement à une disposition donnée des parties de cette figure pour laquelle elles seraient géométriquement démontrées, mais encore à toutes les dispositions possibles de ces parties, pourvu que la transformation puisse être conçue comme ayant lieu en vertu d'un déplacement continu.

Il résulte de là que, de même que pour une situation particulière et donnée d'une figure, chaque relation est apte à déterminer une certaine distance ou un certaiii point sur une certaine droite, quand les autres distances qui y entrent sont connues, de même celte relation devient propre, quand on suppose le système variable, à construire la suite des points analogues au premier; ce sera donc la définition génétique d'une certaine ligne, c'est-à-dire son équation, et comme telle, elle devra en renfermer implicitement les propriétés essentielles; car elle construit et détermine parfaitement toutes les parties de la courbe.

Donnons quelques exemples :

Soient nb, ab' [Jig. 116) des parallèles quelconques comprises dans l'angle A*B formé par deux droites fixes indéfinies .vA et ^B : on a, comme on l'a vu (n° 29) sans signe algébrique,

a'b' ab sb' sb

quelle que soit la position des lignes ou des distances. Or, si Ion suppose (jue l'angle en v et la droite nb restant invariables, a' h' se meuve parallè- - Fig. ..6.

lement à ab, la relation ci-dessus sera apte à déterminer à chaque instant l'ordonnée a'b' , et par conséquent l'extrémité mobile «', si l'on se donne l'abscisse variable sb'; car on aura, m étant une constante,

—- sb = m.sb .

sb

2o8 IIP CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

Cette relation sera donc propre à construire successivement tous les points de la droite indéfinie s A et rien que ses points; ce sera donc l'équation même de cette droite, en ayant égard à la loi des signes de position. Ce serait aussi l'équation de l'autre droite sB, si l'on regardait les distances sa' comme successivement données, et celles de a'b' comme inconnues.

46. Ces considérations géométriques s'appliquent à une relation métrique ou algébrique.quelconque, entre les abscisses et les ordonnées d'une courbe plane, pourvu que celte relation , assujettie à la loi des signes, subsiste dans toutes les positions possibles des coordonnées variables.

Par exemple, dans le cercle (c), yfg. 117, dont c est le centre,

Fis- «'7-

AB une diamétrale, cb — r un rayon quelconque, ba peipendiculaire à AB l'ordonnée, ca l'abscisse de l'extrémité b du rayon, on a algébriquement

■ab

cb = /•'

quel que soit b ; c'est donc l'équation de ce cercle. Je n'insisterai pas ici sur les théories de l'Analyse des coordonnées, qui, au fond, n'est qu'un cas particulier de l'application de l'Algèbre à la Géométrie; ce que nous venons de dire, en effet, des équations entre les coordonnées ordinaires d'une ligne courbe, s'applique aux relations géométriques entre des' distances variables quelconques.

Soit acbd ou (o), J/g. 1 18, un cercle quelconque, nb et cd deux sécantes se coupant en i-; on a, toujours sans signes algébriques,

sc.sd = sa.sb.

Imaginons que les points a, c, d restent fixes, tandis que la droite 'ab

tourne autour du points: l'équation ci -dessus, en ayant égard aux inversions de sens et de signes, donnera, pour chaque position de ab^ un point b du cercle (o) qui passe par «, c, r/, et elle ne donnera aucun point en dehors de ce cercle; ce sera donc son équation génétique, de même que l'équation sm = r constante, serait celle d'un autre cercle ayant pour centre le point fixe s.

Soit encore <ibc un triangle inscrit au cercle (o), ^i(. 119, dont le

Fig. 119.

sommet c vienne à se mouvoir, tandis que a et b restent fixes : on aura, intérieurement au triangle,

angle acb ou c = C const.,

quelle que soit la situation de c sur le cercle, ou, si l'on veut encore,

n-\- b -hC = 100°.

Cette relation est aussi l'équation du cercle (0) ; car, en se donnant a, elle fournit è, et par suite le point correspondant c du cercle, dont, par conséquent, elle construit successivement tous les points en considérant a et b comme variables.

Il en est évidemment de même de toutes les propriétés possibles des figures à l'égard des lignes qu'elles sont supposées construire; mais il est à remarquer qu'une même équation relative à une figure donnée peut souvent être la définition de plusieurs lieux, selon la nature des quantités qui y entrent. Cela arriverait notamment pour les figures qui nous ont occupés ci-dessus, si l'on changeait les hypothèses concernant le mode de description. Il faut donc, dans chaque cas, distinguer attentivement les grandeurs et les points censés fixes, des grandeurs et des points qui doivent être mobiles ou variables en vertu de la liaison admise; autrement, on ne saurait prononcer sur la nature des lignes que représentent les relations examinées. Or cela peut arriver dans toutes les questions géométriques où la nature et la loi du déplacefcient des parties constituent la donnée essentielle.

47. H nous reste à faire sur les relations métriques appartenant aux figures, une remarque générale qui nous sera Irèsulile par la suite.