II

Toutes les propriétés géométriques pouvant être censées déduites avec exactitude du raisonnement ordinaire, elles ne doivent évidemment renfermer rien d'étranger aux figures mêmes qu'elles concernent; elles sont nécessairement, dans leur expression algébrique, les plus simples possible.

Pour faire concevoir ce que nous entendons par là, reprenons les données et les hypothèses de la Jig. 117, ii" 4-6, on aura, pour tous les points du cercle (c),

ab = r' — ac .

Voilà une relation primitive, car elle ne peut provenir par aucune transformation d'une autre plus simple qu'elle. En l'élevant au carré, on a nécessairement aussi

ab z=^\r'' — ca ) ;

mais quoique cette relation soit une conséquence rigoureuse de la première, elle dit pourtant plus qu'elle, par la raison

que H — ca au lieu d'être essentiellement positif peut y devenir négatif, sans que cette dernière équation change de forme algébrique; en sorte qu'elle exprime à la fois tout ce que renferme la relation ab = r= — ca et celle-ci — ab = r' — ca , qui est bien différente, puisqu'elle appartient, non plus au cercle lui-même, mais à Vhyperbole équilatère, et construit cette hyperbole par points.

La relation ab = r^ — ca est celle que nous appelons primitive, l'autre ab = (r^ — ca Y n'est que dérivée. Or, je dis que les relations de la Géométrie sont toutes d'une nature simple comme la première.

D'abord, cela peut résulter du fait géométrique même, et l'on peut toujours supposer qu'on n'admette que de semblables relations; mais on peut aussi montrer que cela résulte immédiatement des principes fondamentaux de la Géométrie pure, à l'aide d'un raisonnement déjà employé et -que nous allons reproduire.

4.8. 11 est incontestable qu'il en est ainsi dans les figures

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. un

élémentaires auxquelles peuvent se ramener toutes les autres. Or, nous avons vu que les propositions les plus générales de la Géométrie peuvent se déduire de la combinaison des égalités qui appartiennent aux figures élémentaires. D'ailleurs, il est bien visible que ces combinaisons se réduisent, en dernier terme, à l'élimination de certaines quantités entre les égalités primitives; si donc on a le soin de ne jamais employer pour cette élimination que des méthodes qui ne compliquent pas inutilement les résultats, il arrivera que les équations finales ne diront ni plus ni moins que les relations primitives; par conséquent si celles-ci n'appartiennent qu'à la figure proposée, les autres n'appartiendront également qu'à cette seule figure, et en seront, par cela même, des définitions exactes, des équations caractéristiques. Mais c'est précisément ce qu'il faut admettre dans la recherche de propositions nouvelles, et c'est nécessairement ce qui arrive quand on procède par le raisonnement ordinaire. Donc, les propriétés géométriques sont des relations simples, inséparables, irréductibles à de moindres termes; elles n'appartiennent en toute rigueur, qu'à la figure dont elles émanent. Quant aux équations qui s'en déduisent par voie de multiplication, d'élévation aux puissances, etc., nous en faisons abstraction, et regardons de telles opérations comme non permises au point de vue de la Géométrie ancienne.

Ce que nous venons de dire relativement aux relations de cette nature est précisément aussi ce que l'on observe dans les recherches purement algébriques; car on n'admet jamais pour résultats véritables tous ceux qui proviennent d'éliminations ou de transformations non immédiatement ou implicitement comprises dans les équations primitives; il faut que ces résultats les rendent identiques par substitution directe et ne donnent ni plus ni moins que ces équations. C'est dans l'hypothèse où l'on n'admet que des opérations et des résultats licites, que nous raisonnerons dans ce qui va suivre, afin d'éviter toute équivoque, tout paradoxe, et de détruire par là les nombreux reproches adressés jusqu'ici aux applications de l'Analyse algébrique à la Géométrie.

49. Considérons toujours une figure composée d'éléments géométriques quelconques, séparément soumis à la loi de

continuité et des signes de position, tant dans son état actuel ou primitif que darts ses états corrélatifs ou dérivés; il est indispensable de distinguer attentivement les données des inconnues ou grandeurs restées entièrement arbitraires; les constantes des variables ou indéterminées; les objets fixes des objets mobiles ou susceptibles de changer de position par rapport aux premiers; enfin les constantes Jixes des constantes mobiles, c'est-à-dire variables de position. Par exemple, dans un triangle, la base peut être donnée de grandeur et de position, tandis que l'un des côtés adjacents, aussi donné de grandeur, ne le sera pas de position relativement au sommet fixe par lequel il est assujetti à passer.

Cela posé, imaginons qu'on résolve les équations qui expriment les propriétés de l'état primitif du système, équations en nombre suffisant par rapport aux inconnues pour les déterminer de grandeur et de position ; les valeurs ainsi obtenues satisferont, par hypothèse, aux relations primitives en les prenant collectivement avec leurs signes. Si ces signes sont positifs, la position d'abord attribuée aux divers éléments de la figure sera, sans nul doute, la véritable position du système, conformément aux principes généralement reçus. Donc alors les quantités inconnues se trouveront à la fois déterminées de grandeur et de situation.

Mais si, au contraire, le signe algébrique de la valeur finale d'une inconnue quelconque est négatif, c'est, admet-on encore, la preuve que cette inconnue doit avoir un sens opposé à celui qu'on lui attribuait d'abord, et, si cette valeur était imaginaire, ce serait aussi une preuve que les équations d'où l'on part sont incompatibles entre elles pour l'hypothèse faite sur la position relative des points, les signes des données, etc.; le résultat définitif, la figure à découvrir étant elle-même inconstructible géométriquement.

50. La chose est en soi incontestable, en général, d'après les règles de l'Algèbre et les principes précédemment établis pour la loi des signes de position ; mais il peut se présenter bien des difficultés dans l'application, et ces difficultés proviennent moins de l'Analyse algébrique que de la manière restreinte dont on envisage souvent les questions.

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. ai 3

Nous allons essayer, dans les paragraphes ci-après, de parcourir successivement les principales solutions de cette espèce qui sont jusqu'ici (1817) parvenues à notre connaissance. 1° Si les objets connus sont tous fixes, tandis que les inconnus restent seuls indéterminés de situation et de grandeur, il est visible que les conséquences ci-dessus seront directement et rigoureusement applicables, pourvu toutefois que les équations de départ expriment des propriétés effectives du système. En effet, les signes et les valeurs des inconnus étant alors seuls indéterminés, le système obtenu et la figure qui s'y rapporte ne peuvent être en désaccord avec les hypothèses de la mise en équation, que par les signes mêmes et la grandeur absolue ou la situation des quantités cherchées.

Dans les mêmes circonstances, il peut arriver deux cas : ou les distances inconnues se mesurent sur des lignes droites de position fixe et déterminée, ou elles se mesurent sur des lignes droites de situation inconnue; le premier de ces cas ne saurait offrir aucune difficulté, que les valeurs obtenues algébriquement soient positives, négatives ou même imaginaires, pourvu toujours que les équations d'où l'on part expriment les véritables conditions ou propriétés du système cherché.

Examen raisonné et critique de la solution connue de quelques problèmes déterminés relatifs aux points rangés sur une droite fixe.

51. Une erreur que l'on commet facilement et très-souvent dans la mise en équation, c'est de confondre le système cherché avec d'autres systèmes plus ou moins analogues, mais qui en sont réellement distincts géométriquement, sinon algébriquement. Cette erreur est d'autant plus facile à commettre que, sous un certain point de vue, sous celui de l'énoncé verbal de la question notamment, ces systèmes ne semblent différer que par la situation et non par leur nature propre.

Pour en donner un exemple élémentaire, soit abx [fig. 120) une circonférence de cercle, dont le centre est o, sb et s.v deux sécantes, dont l'une sb détermine des segments sa, sb qu'on suppose connus, tandis (pi'on regarde comme inconnus les segments sx et y formés sur l'autre;

du centre o soit abaissée une perpendiculaire oi sur la droite sx : si l'on suppose sxj donnée de direction, is sera aussi connue, et l'on aura tout ce qu'il faut pour déterminer x et j ou sx et sj. En effet, i étant nécessairement le milieu de xj, on a, pour la position hypothétiquement supposée aux points x et jr, remplissant d'ailleurs la condition que ces points soient sur un cercle qui passe par a et b, on a, dis-je,

sa.sb = sx.sjr, 'isi = sx -\- sy.

Ces équations étant des traductions algébriques rigoureuses de l'énoncé doivent infailliblement faire connaître les points x Qi j cherchés. Mais si, au lieu de supposer les points ^ et j d'un même côté du

point .V, on les eût supposés de côtés différents en x' et y', on aurait obtenu les équations

sa.sb = sx' .sy', isi = sy' — sx',

lesquelles diffèrent entièrement des premières et fournissent aussi des valeurs distinctes. En effet, tandis que les premières donnent

SX = si ± \ si — sa.sb, les autres, au contraire, donnent

sx' = — si ± \ si + sa .sb .

Le problème semblerait donc susceptible de quatre solutions réelles et distinctes, ce qui paraît véritablement absurde. D'un autre côté, l'absurdité ne vient pas de ce que l'Analyse a mêlé des racines étrangères à celles

qui appartiennent au problème, car les racines obtenues satisfont algébriquement aux équations primitives correspondantes; elle ne peut donc provenir que de la mise en équation elle-même, ou plutôt encore, de l'hypothèse particulière qui a été faite sur la position des points x' et f' : en effet, l'hypothèse faite en second lieu sur la position de ces deux points, ne saurait convenir à la nature du cercle; car on sait que, dans cette courbe, le point d'intersection de deux sécantes quelconques est à la fois au delà ou en deçà des quatre points d'intersection qui leur correspondent.

Ainsi le système des dernières équations n'appartient pas à la question proposée, puisqu'il est expressément spécifié, dans son énoncé, que les points inconnus doivent appartenir au cercle contenant a et b. Mais si, négligeant cette condition particulière, on se borne à exiger que le rectangle sx.sj- soit donné à priori, ainsi que le point i milieu de xj, alors le problème aura quatre solutions effectives, qui ont déjà été données cidessus ; car il n'y aura plus de raison pour rejeter l'hypothèse oîi les points X et j seraient situés de part et d'autre du point s.

On aurait donc bien tort ici de croire que les incertitudes tiennent au mode d'opérer, à ce que l'on se sert de l'Analyse algébrique; car si, en traitant la même question géométriquement , il arrivait qu'on ne connût ni la position du centre, ni celle de la circonférence (o), on tomberait évidemment dans une indécision pareille à l'égard de la véritable position des points inconnus a: et y.

D'ailleurs, de quelque manière que l'on procède, on n'échappe point à toute difficulté; puisque si on met le problème en équation dans ces conditions générales, on ne pourra partir que de l'une de ces hypothèses distinctes : ou les points .r et jsont à la fois d'un même côté ou ils sont de côtés opposés du point s; or, dans l'un et l'autre cas, on n'obtiendrait que deux solutions du problème, tandis que réellement il en a quatre, d'après l'énoncé verbal, dès que, dans cet énoncé, rien ne spécifie quelle est la position relative des points cherchés x et j à l'égard du point s, toujours censé donné à priori ainsi que le point milieu i.

52. Dans celle dernière hypothèse comme dans la première, on ne saurait accuser l'Analyse algébrique; car les mêmes raisons qui prouvent qu'elle n'avait pas nécessairement el de son fait, mêlé des racines fausses ou étrangères à celles qui appartiennent au problème, servent aussi à démontrer qu'elle ne saurait en avoir diminué le nombre. 11 est bien évident, en effet, qu'ici les équations de dépari ne peuvent avoir d'autres racines algébriques que celles qui s'en déduisent par les procédés ordinaires du calcul.

Qesi donc encore à la façon dont le problème a été mis en

ai6 nV CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

équation qu'il faut attribuer la limitation des résultats obtenus; c'est parce que cette mise en équation n'exprime pas tout le sens de la question, qu'en tin mot elle est trop restreinte. Il ne faut pas croire, au surplus, que la Géométrie pure se conduise d'une manière différente dans les mêmes circonstances; car on peut s'assurer ici du contraire en cherchant à résoudre le problème d'après les procédés d'intuition qui lui sont propres. Ce qui fait que l'Algèbre, comme la Géométrie, ne donne, dans certains cas, que des solutions partielles, c'est que ces solutions sont séparables et ont quelque chose de distinct; c'est que l'équation générale qui les donnerait toutes simultanément, est décomposable en facteurs rationnels plus simples. Dans toute autre circonstance, la même chose n'aurait plus lieu. Ainsi, par la même raison qu'il y a en Algèbre des racines étroitement conjuguées, des équations indécomposables, il y a aussi en Géométrie des solutions qu'on ne peut séparer autrement que par la pensée et en violant la continuité : tels sont, par exemple, les deux points d'intersection d'un cercle et d'une droite arbitraire, etc.

53. On peut demander comment, dans les circonstances dont il a été parlé, il faudra se conduire pour obtenir les véritables solutions ou équations du problème, celles qui répondent pleinement à l'énoncé verbal de la question. Or voici, si je ne me trompe, un moyen d'y parvenir sans trop d'hésitation.

On tracera quelque part une figure qui soit dans les conditions générales de cet énoncé, et dans laquelle tout sera supposé connu et possible. Cette figure servira de type général pour les diverses questions du même genre. On recherchera ensuite les relations descriptives ou métriques qui appartiennent à cette figure, en choisissant de préférence celles qui lient d'une manière immédiate les inconnues aux données de l'énoncé verbal. Enfin on imaginera que, par un mouvement gradué, les objets qui, dans la figure type, correspondent à ceux de cet énoncé, viennent prendre la situation qu'on prétend leur attribuer en particulier sans violation du principe de continuité, et tout en appliquant la règle des signes de position aux diverses relations considérées, en se rappelant toutefois (38) que, dans lo passage d'une position à

l'autre, les dislances supposées inconnues ne doiveni pas changer de signe.

Appliquons ceci au problème déjà pris pour exemple.

54. Dans ce problème, il s'agit de « déterminer les points d'intersection » d'une droite indéfinie sB [fig. 121) tracée sur un plan, avec un cercle

Fig. 121.

» dont le centre o est connu, et qui, de plus, doit rencontrer une autre » droite .vA donnée de position aux points « et i de sa direction. »

Quoique cet énoncé ne fasse nullement mention de la position relative des données, toutefois je continuerai à supposer qu'on veuille le résoudre l)our la situation attribuée à \Ajig. 120 ou 121.

D'après ce qui précède, on tracera [fig. 122) une circonférence de cercle quelconque près de la Jig. 121 dont on s'occupe, puis on lui mènera deux sécantes également arbitraires, telles que cd et ah^ se coupant quelque part en .v. Supposant que l'une d'elles ah^ représente la sé-

cante donnée à priori, l'autre cd représentera la sécante inconnue : du centre o du cercle, ayant abaissé la perpendiculaire oi sur cette dernière, elle la partagera eu deux parties égales au point /; ce point sera donc aussi connu, puisque o est censé donné ainsi que la direction indéfinie de cd. Or, pour la position actuelle et toute hypothétique de la figure, on a

scsd = sa. si), sd — se = 7. si.

Telles sont les équations qui servent de type général à la solution du problème; en les résolvant par rapport à se et sd qu'on suppose inconnues, on aura séparément

= — si ± \si 4- sa.sb,

sd ~ si ± \1 si + sa.sb .

Ces formules appartiendront à toutes les situations possibles des lignes de la figure, lorsqu'on y aura égard à la loi géométrique des signes.

Supposons, par exemple, qu'on veuille les appliquer aux hypothèses particulières faites sur les données de la J/g. 121. On remarquera que, dans le passage de cette figure à la suivante^ la distance sa devient seule inverse parmi ces données, relativement à la position qu'elle occupait du côté opposé du point s : cette distance devant donc seule changer de signe puisque w, sd sont des inconnues (53), les formules ci-dessus deviendront, pour le nouveau cas,

se = — si ± V si — sa . sb ,

sd =^ si ± y si — sa.sb.

La première de ces formules donne pour se deux valeurs négatives, et apprend que, dans la Jïg. 121, e a aussi une situation contraire à celle qu'on lui avait supposée dans la figure type, c'est-à-dire qu'au lieu d'être à gauche de ,v, il doit être à droite comme le montre la fig. i'i.%. Quant à la formule qui donne sd, elle fournit les distances absolues, toutes deux positives, déjà trouvées au n" 51 {fig. 110) {*).

55. Tout ceci résulte immédiatement de ce que la figure prise pour type ne diffère que par la situation des parties intégrantes, et non par leur nature propre, de celle que l'on se propose d'obtenir algébriquement d'après l'énoncé verbal, quelle que soit d'ailleurs la situation relative des objets donnés ou connus à priori; aussi les formules trouvées sont-elles applicables à tous les cas possibles, dès qu'on a égard à la mutation des signes de position qui s'y rapportent.

Je ne crois pas qu'on puisse éprouver de difficultés relativement à la

(*) Le texte manuscrit ne contient rien de particulier relativement à l'interprétation des valeurs positives, négatives et imaginaires des diverses inconnues, parce que ce genre de questions se trouve approfondi d'une manière toute spéciale et contrairement aux opinions de Carnot, dans les articles suivants de ce 111<^ Cahier.

manière dont se comportent les signes des inconnues, selon la position : cela dérive naturellement des règles et des lois précédemment établies d'une manière générale. Mais on peut faire une autre question plus difficile en demandant la raison pour laquelle on obtient simultanément les valeurs de se et sd quoiqu'on ne cherche que se seule. Nous répondrons : la raison en est que les points e et cl sont unis entre eux de telle sorte que ce qu'on peut dire de l'un s'applique naturellement à l'autre, qu'en construisant l'un on construit en môme temps l'autre, et que par conséquent se et sd doivent dépendre d'une même équation algébrique. En effet, le cercle (o), fig. im, les détermine d'une manière simultanée et inséparable, à moins qu'on ne restreigne le tracé de ce cercle. A la vérité, on pourrait dire que les distances se et sd entrant symétriquement dans les équations de départ, il n'y a pas de raison pour que le résultat final donne l'une des racines plutôt que l'autre; mais alors aussi on peut demander pourquoi se et sd entrent symétriquement ainsi dans les équations primitives; ce qui revient toujours au même.

56. On conçoit bien maintenant qu'en agissant comme on vient de l'expliquer sur des exemples, on évitera, dans la mise en équation, de confondre la question réelle de l'énoncé verbal avec d'autres questions plus ou moins analogues, mais pourtant distinctes de nature : en effet, par là on aura nécessairement obtenu un système en corrélation réelle et directe avec le système cherché. Cependant il n'est pas toujours nécessaire de tracer une figure à part de celle des données du problème, pourvu que la position hypothétiquement adoptée pour les objets inconnus fasse réellement partie du système indiqué par l'énoncé verbal.

Après avoir montré d'ailleurs comment on peut renfermer la mise en équation de la question dans les bornes véritables de l'énoncé verbal, il paraîtrait convenable d'indiquer aussi les moyens propres à faire découvrir à priori tous les systèmes de solutions qui peuvent appartenir à un énoncé général, lorsque, de leur nature, ces systèmes sont séparables et ont quelque chose de distinct. 11 est difficile de donner une règle générale; cependant on peut remarquer que les équations qui appartiennent à ces divers systèmes de nature séparable, doivent, d'après l'hypothèse, ne différer que par les signes de position qui y entrent; car, autrement, elles ne répondraient pas à un même énoncé, mais à des énoncés différents.

D'un autre coté, il est visible aussi que ce ne sont pas les

2'2o m^ CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

données d'un problème qui doivent porter des signes différents; car ces données sont les mêmes pour tous les systèmes corrélatifs, à moins qu'elles n'appartiennent à des objets indéterminés de situation. Ces systèmes ne doivent donc différer que par les signes de position attribués aux inconnues; or, s'il existe plusieurs équations distinctes propres à traduire les conditions du problème, il pourra se faire que les unes définissent la situation des parties du système, tandis que les autres seront des relations métriques entièrement étrangères à cette situation, ou au moins pouvant être regardées comme telles : cela arriverait, par exemple, si le rectangle d'une distance par une autre, devait être égal à un rectangle ou à une aire donnée, etc. Dans ces cas et tous les semblables, les équations qui expriment des conditions étrangères à la situalion demeurant invariables, quelle que soit la position qu'on suppose aux distances et objets inconnus, on obtiendra évidemment autant de systèmes différents d'équations qu'il existera de positions distinctes de ces inconnues, susceptibles de faire varier les signes des termes dans les relations métriques qui définissent la situation.

57. Qu'on demande, par exemple, combien de systèmes différents d'équations appartiennent à la question suivante, dont la correspondance avec celle ci-dessus est facile à apercevoir.

« Trouver sur une droite indéfinie si [Jîg. i23) deux points x et j, tels » que leur distance xr soit divisée également au point /, cl que le rec-

Fig. 123.

k X' s iC 1 1/ B

» tangle des distances de ces points à un autre point s de la droite soit » donné. »

Pour la situation actuellement attribuée aux points .r et > , les équations du problème sont évidemment, en nommant (P l'aire du rectangle

donné,

sx.sy=z rt', ix = ij,

si = SX 4- ix, si = sy — ij.

De ces trois équations, les deux premières sont étrangères à la situation des points .r et r, ot par conséquent invariables dans leur forme; les dernières seules peuvent varier dans les signes parce quelles expriment

des propriétés générales de situation. Si donc on venait à faire varier la situation supposée aux points x et r, elles pourraient changer de forme; et, comme celles-là demeureraient invariables, la question serait autre. Ainsi le point .r, au lieu d'être à droite, étant supposé en x' à gauche de .V, les dernières équations deviendraient

si = — sx' -\- ix', si = sj — iy,

et conduiraient évidemment à des valeurs distinctes pour sx et .9 , par leur combinaison avec les deux premières.

Maintenant, il est aisé de s'assurer que les autres hypothèses que l'on pourrait faire sur la situation des points x et j, ne sauraient fournir d'équations distinctes de celles déjà trouvées ci-dessus. En effet, après les deux suppositions précédentes, il ne reste plus que celles où sy passe à droite de s, ce qui donne

ou si = SX + ox, si = ir' — sy,

ou ■ si = — sx'-'r ix', si = ij' — sy';

équations qui rentrent dans les premières, parce qu'elles n'en diffèrent qu'en «e que sx y est changé en sy et réciproquement.

58. M. Carnol {Géométrie de position, p. 53, n" 58) résout un problème qui offre une grande analogie avec le précédent sous le rapport des difficultés : l'illustre géomètre présente à ce sujet diverses réflexions qui sont loin de s'accorder avec les nôtres. Comme ces réflexions tendent à prouver que l'Analyse algébrique ne donne pas toujours des solutions véritables, et qu'elle peut, de son fait propre, en introduire d'absolument insignifiantes ou même de fausses, je crois devoir discuter ces réflexions avec une certaine étendue, afin de jeter un plus grand jour encore sur ce genre de questions.

Voici le problème dont il s'agit :

« Trouver sur la direction d'une droite ab [Jîg. 124), un point x tel

Fig. 12/^.

le X' a X S

» que le rectangle de xa . xb soit égal à une surface donnée, égale à la » moitié du carré fait sur ab. »

En admettant, avec l'auteur, que le point x soit entre a et b, on a

I — * xa . ,r6 = - ab . ax + xb = ab ;

d'où l'on tire

xa = -ab ± - ah \l — i = - «^ ( i ± \J — i ) . 2 2 2 ^ '

Ces deux valeurs étant imaginaires, l'auteur en conclut que le problème a pu être mal mis en équation^ parce ([ite Von aurait fuit les raisonnements sur une figure qui n était pas celle cjue l'on devait considérer. Il ■établit donc ses nouveaux raisonnements en supposant le point .r au delà de ba en x' \ alors les équations-deviennent

xa.xb =^ - ab , x' b — x'« — ab'.

d'où l'on tire

. xa = -ab ± -\'i ab — - t/Z» (i rt v/3).

Ces deux valeurs étant réelles, l'auteur on conclut (p. 55) qu'elles résolvent la question proposée; mais ensuite il ajoute : « On voit que le » signe imaginaire des racines d'une équation n'annonce pas plus que le

» signe négatif l'impossibilité de résoudre le problème proposé On

1) ne doit considérer la question telle qu'elle a été résolue que ^comme » une question partielle, dont les racines négatives et imaginaires indi- « quent d'autres questions plus ou moins analogues à la première, les- » quelles pourraient être réunies à celles-ci dans un énoncé général » auquel l'équation qu'on trouverait alors serait toujours applicable immé- » diatement et sans aucune modification dans les signes. »

M. Carnot justifie son opinion sur l'exemple même qu'il vient de traiter en prenant pour inconnue non plus xa, mais la distance du point .r à un point k du prolongement de ba. Ayant tiré de cette nouvelle mise en équation, deux valeurs réelles et positives pour l'inconnue ^r, il pense avoir obtenu les deux racines cherchées parce qu'il a donné une extension suffisante aux hypothèses ou conditions du problème. Ces conséquences ne nous paraissent pas exactes.

59. Premièrement, il n'est pas vrai de dire que dans la première hypothèse, celle qui plaçait x entre a et b, le problème ait été mal mis en équation, et qu'on ait établi le raisonnement sur une figure étrangère à celle qu'il s'agissait de considérer. En effet, l'énoncé général de la question laisse la position du point x entièrement arbitraire, et il n'y a aucune incompatibilité entre les hypothèses et l'énoncé; l'Analyse, en donnant deux racines imaginaires, apprend que les données de la question, incompatibles avec ces hypothèses pour le cas actuel, peuvent ne plus l'être pour d'autres valeurs des données.

En effet, si le rectangle de xa.xb devait être égal, non pas à la surface - ab , mais à une surface quelconque P, les équations deviendraient,

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. aaS

en admettant toujours l'hypothèse que .r soit entre a et ^,

xa.xb = /^, x« -h a:^ = ah^ d'où l'on tirerait

expressions qui pourront être tour à tour réelles, toutes deux positives ou imaginaires, selon que k sera < ou > que - ab. Les racines imaginaires trouvées d'abord indiquent donc que le problème, non résoluble pour les données et les hypothèses actuelles, pourrait le devenir en changeant simplement les valeurs absolues de ces données, sans modifier en rien les conditions et les hypothèses.

60. Ces idées s'accordent, comme on voit, avec celles que nous avons données en général des imaginaires (38 et suiv.), en disant qu'elles n'indiquent point des impossibilités absolues, mais bien des impossibilités relatives aux positions et aux grandeurs qu'elles concernent. A la vérité, dans le cas actuel, on pourrait être conduit avec M. Carnet à envisaffer les choses sous un tout autre point de vue, en regardant les hypothèses ou conditions elles-mêmes comme mal établies, puisque, en changeant ces hypothèses et supposant le point x au delà de «6, on obtient deux solutions réelles du problème; mais il est facile de démontrer que cette opinion sur les racines imaginaires en général est inadmissible.

En effet, si les hypothèses étaient mal établies pour le cas actuel, il n'y aurait aucun motif de croire qu'elles fussent mieux établies pour toute autre valeur attribuée au rectangle xa.xb. Or on a vu ci-dessus que ces hypothèses pouvant très-bien convenir à une infinité de grandeurs supposées à ce rectangle et donnant deux valeurs réelles pour l'inconnue xn, il ne serait pas plus exact de dire que les racines imaginaires obtenues, indiquaient d'autres hypothèses propres à rendre le problème possible, c'est-à-dire donnant des solutions géométriques réelles; car on pourrait tout aussi bien admettre que les valeurs réelles trouvées pour le cas de xa.xb = P, indiquent également d'autres solutions du problème et un changement nécessaire dans les hypothèses. En admettant alors que X se trouve en x', au delà de ab, on obtiendrait

or ces valeurs sont toujours réelles.

Ce qui fait qu'en changeant les hypothèses on a obtenu des solutions réelles, c'est, comme on vient de le remarquer, que le problème est sus-

ceptible en général de quatre solutions de cette espèce, séparables en deux groupes distincts, et que l'un de ces groupes peut être imaginaire tandis que l'autre est nécessairement réel. Quant aux racines négatives obtenues dans les différentes hypothèses, elles redressent véritablement ces hypothèses, mais sous le seul rapport de la position, en apprenant que la distance cherchée est inverse de ce qu'on la supposait d'abord: ce sont toujours des solutions réelles et géométriques du problème tel qu'il a été mis en équation.

61. Secondement, il n'est pas exact non plus de dire que, parce que dans la seconde hypothèse on a trouvé deux racines réelles, on aitj par là môme, obtenu toutes les solutions du problème ; pour l'affirmer, il faudrait avoir parcouru toutes les hypothèses admissibles. Il ne l'est pas davantage de prétendre qu'on puisse réunir les divers cas dans un seul énoncé général, auquel les équations alors obtenues seraient toujours applicables sans modification dans les signes.

Car, par exemple, en prenant une nouvelle origine k [fig. 124 ) en deçà de ab, le nombre des hypothèses possibles sur la position du point x, n'est pas changé, et chacune de ces hypothèses donne des équations différentes tout aussi bien que si l'origine était prise en a. Aussi arrive-t-il que, quand le problème est susceptible de quatre solutions réelles, la nouvelle mise en équation ne donne encore que les solutions partielles du problème.

Concluons de là que les racines négatives indiquent (38 et suiv.) des solutions réelles, en même temps qu'un changement dans les hypothèses sur la situation des inconnues, et que, à l'inverse, les imaginaires indiquent que, pour les grandeurs actuelles des données du problème, les solutions examinées sont véritablement impossibles, quoiqu'elles puissent devenir possibles et constructibles géométriquement en changeant ces grandeurs sans changer les hypothèses. Dans aucun cas, on ne peut affirmer avoir obtenu intégralement les solutions du problème quand ces solutions sont séparables et offrent quelque chose de véritablement distinct.

Ce qui fait encore qu'ici, comme dans les questions examinées plus haut, les changements d'hypothèses relatives à la position de l'inconnue ont pu fournir des solutions nouvelles, c'est que, parmi les équations primitives, il en est qui, étrangères à la situation et aux hypothèses qui la concernent, sont purement relatives à la grandeur constante ou absolue des données, tandis que, d'autre part, il s'en trouve aussi qui

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. aaS

ne concernant que la silualion mutuelle des parties, sont par conséquent variables dans les signes. Ces dernières relations, sans conditions de grandeurs absolues, expriment véritablement les propriétés générales du système qu'il s'agit d'étudier; les autres sont des conditions de mesure (17) étrangères auxquelles on veut l'assujettir. Pour qu'une relation métrique exprime une propriété géométrique de la figure ou du système considéré, il faut que les grandeurs y puissent changer de signe en même temps que de position; alors le changement d'hypothèse n'influerait plus sur le nombre des solutions effectives, le système examiné devenant distinct de tout autre, étales hypothèses admises ne pouvant influer que sur les signes et les valeurs relatives des inconnues.

62. M. Carnot reproche encore (p. 58) à la doctrine ordinaire d'affirmer que le calcul doit redresser de lui-même l'erreur qu'on pourrait avoir commise en exprimant algébriquement les conditions du problème. En cela je pense qu'il a parfaitement raison; car, s'il arrive, comme dans les précédents exemples, que le problème ait plusieurs solutions séparables et distinctes, il est bien évident que le calcul ne donnera que ce qui concerne l'un quelconque de ces systèmes de solutions sans rien redresser. Cependant, comme dans le même cas on n'aura réellement commis d'erreur qu'en prenant un système pour un autre, on aura vraiment obtenu par le calcul toutes les racines ou solutions qui lui appartiennent, puisque ces solutions seront inséparables; de plus, ce calcul fera connaître si la position supposée à l'objet inconnu est conforme ou non à celle qui peut avoir lieu, et en cela encore il redressera l'erreur commise. Dans le cas le plus général où les solutions appartenant au problème seront toutes inséparables, le calcul fera connaître évidemment celles qui ont le sens admis par l'hypothèse , ou celles qui ont un sens contraire, ou enfin celles qui sont susceptibles de devenir impossibles, imaginaires pour certaines conditions ou données relatives à la position, à la grandeur et aux signes.

D'après ces considérations, je n'admettrai pas, avec M. Carnot, que des figures, dérivées l'une de l'autre par voie de continuité, puissent être géométriquement en corrélation com-

2a6 IIP CAHÏKU. - SUR LA LOI DES SIGNES

plexe, c'esl-à-dire imaginaire selon ses définitions, qui s'appliquent au cas où certaines données constantes et fixes, n'auraient par elles-mêmes aucune existence réelle et géométrique, mais purement algébrique et hypothétique, comme il arrive, par exemple, quand on vient à changer arbitrairement une constante telle que «' en — a', ou a en a\l — i, etc., et, en général, quand on modifie la nature même des conditions et des équations algébriques fondamentales d'un problème géométrique : toutes celles que je prétends étudier ou examiner ici se rapportent essentiellement à ce que M. Carnot nomme corrélation directe ou inverse, la seule que l'on ail à considérer dans la recherche des Propriétés projecti>tes des figures et dans l'Analyse des transversales.

63. Ce qui précède fait voir clairement, ce me semble, que, quand on a obtenu algébriquement deux racines ou valeurs de l'inconnue d'un problème, on peut, en toute sûreté, affirmer que ces racines sont des solutions véritables du problème tel qu'il a été mis en équation, aussi bien que des solutions véritables de l'énoncé verbal de la question, pourvu que la mise en équation en soit la traduction fidèle, et cela même quand ces racines sont négatives, imaginaires, etc. Néanmoins on ne pourra pas dire avoir résolu complètement la question dans le sens général de l'énoncé, si, de sa nature et par de simples mutations de signe ou de position, elle est séparable en plusieurs autres et susceptible de divers systèmes de solutions entièrement distincts.

Ne craignons pas de le répéter : parce que, dans certains cas, l'Analyse algébrique ne saurait donner toutes les solutions d'un problème, il ne faut pas croire que cela tienne à son essence propre, mais bien à la nature même des choses; car on peut prouver par une infinité d'exemples, que, dans les mêmes circonstances, la Géométrie ne saurait, de son côté, renfermer toutes les solutions en une seule.

64. En particulier, reprenons le problème ci-dessus dans lequel il s'agit de trouver sur une droite ab [Jîg. 124) un point x tel, que le rectangle de xa.xh soit égal à une surface donnée /?^. Il est évident, d'après les propriétés connues du cercle, qu'on résoudra aussi la question en décrivant [fii^. 125) sur nh comme diamètre, une demi-circonférenco. puis on

DE POSltlON EN GÉOMÉTRIE.

menant à ah, à une distance XY égale à \/xa.xb = /î , la parallèle A'B'; car cette parallèle viendra rencontrer le cercle en un point y, par exemple, tel qu'en abaissant de ce point l'ordonnée rx, son pied .r sera l'une des solutions demandées, puisque l'on aura

xa . xb = XY = /^ .

On obtient ainsi deux solutions x et x' du problème; mais cette construction ne saurait en donner plus de deux remplissant les conditions propo-

yL'—i

sées : ce sont les mêmes d'ailleurs que l'on obtiendrait en traçant au lieu de la sécante A'B' sa parallèle symétrique par rapporta ab. et qui répond à la valeur négative du radical ci-dessus \/xa.xb.

Pour en obtenir (60) deux autres X et X', il faut substituer au cercle une hyperbole équilatère décrite sur le même diamètre principal ab\ c'est-àdire qu'il faut avoir recours à un expédient tout à fait distinct du premier; cet expédient manquerait évidemment si l'on ignorait que l'hyperbole équilatère, en corrélation complexe avec le cercle selon la définition de M. Carnot, jouit d'une propriété qui lui est commune avec cette courbe; ainsi on serait porté à croire, d'après un premier aperçu, que le problème n'a d'autres solutions effectives que les deux qui ont d'abord été trouvées. Dans le cas actuel ce serait certainement une erreur, puisque l'énoncé du problème laisse la position du point x entièrement indéterminée ou arbitraire par rapport k a ei b.

On voit aussi par là, ce que nous avons avancé d'une manière générale, que les solutions imaginaires n'indiquent pas plus que les solutions réelles sil existe d'autres solutions du problème. Car, de ce que la parallèle A'B' ne rencontrerait pas le cercle, on pourrait être tenté de conclure qu'il n'existe effectivement aucune solution du problème; tout comme on pourrait croire qu'il n'en existe que deux seulement, quand cette même droite le rencontre en deux points réels.

65. Au surplus, on pourrait multiplier beaucoup les exemples par lesquels on serait conduit aux mêmes difficultés d'interprétation; dans tous, elles tiennent à la séparabilité des solutions algébriques ou géométriques, provenant de ce qu'il existe (17) dans l'énoncé du problème des condi-

228 ni" CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

lions indépendantes de la position des points ou des lignes. Nous n'en offrirons plus qu'un seul , remarquable parce qu'il a été approfondi par un savant qui s'est occupé, après M. Carnot, de la règle des signes en Géométrie (Gaudin, 2" partie, p. 28).

« D'un point M [fig- 26), dont la position est donnée par rapport aux » droites fixes AC et AS formant un angle connu CAS ou n, mener, dans

Fifj. 126.

» cet angle, une droite CMS, de manière que le triangle intercepté ACS » soit égal à une surface donnée P. »

Soit abaissée du point M l'ordonnée MR = m parallèle à AS, sur AC dont elle retranche l'abscisse AR = «, on aura, par la similitude des triangles ACS, RCM,

AS : MR = m : : AC : RC= AC - AR = AC - n ;

ce qui donne l'équation de situation