AS (AC -«)=/«. AC

Or, d'après l'énoncé,

AS.AC.sina = 2/';

donc on a, dans l'hypothèse actuelle de la figure,

AC .7?isinrt ,, 77;2 2/' .^ 2rt/-

— -r-^i = %P ou AC -. — ACH : — = 0,

AC — n msina msma

ce qui donne pour première solution les valeurs

IJjh \/l'—2Pmn sina P ±l\/P — s'

msma

en posant l'aire constante et donnée 2/n/^sin« = i•^

Mais si, au lieu de supposer le triangle inconnu dans l'angle SAC, on l'eût imaginé en S'AC dans le supplément a' ~ 100" — a de cet angle, on eût obtenu, en raisonnant d'une manière analogue,

msina msina

valeurs toujours réelles et très-distinctes des précédentes; l'une positive

répondant à l'angle même SAC, l'autre négative appartenant a son opposé au sommet en A, c'est-à-dire située du côté de AC, contraire à AC

Le problème est donc susceptible de quatre solutions différentes et distinctes, toutes réelles quand on a P^ ininsina ou s^, mais dont les unes sont positives et les autres négatives; circonstance d'autant plus digne de remarque que les auteurs qui se sont occupés de la question, tels que Bezout {Cours de Mathématiques, t. II, p. 247), Biot [Géométrie analytique, 6^ édit., p. 66), n'ont pas soupçonné qu'elle pût avoir plus de deux solutions effectives. M. Gaudin (p. 3o du Mémoire précédemment cité) affirme même avoir obtenu les deux uniques solutions de ce problème ; et, comme ses raisonnements pour découvrir la signification de la racine négative que lui donne l'analyse dans le premier cas, semblent justifier une telle assertion, on pourrait reprocher à ces raisonnements de n'être pas, au fond, parfaitement rigoureux, ni parfaitement clairs. Nous croyons, en conséquence, devoir faire ici l'application de la règle des signes de position d'après nos principes.

66. Nous ferons d'abord observer que les solutions du problème se partageant en deux systèmes bien distincts, il devient nécessaire de s'occuper de chacun d'eux séparément. Mais, comme le premier système nous a fourni deux racines essentiellement positives pour A•^</^ il paraît inutile de s'en préoccuper; il est visible, en effet, que ces deux racines appartiennent à l'angler même CAS donné. Considérons donc séparément l'autre système, celui qui a pour point de départ les équations

AS'(AC'-^«) = w.AC', AS'.AC. sin«=2r; .

la première d'entre elles exprime seule une propriété de situation de ce système, car elle a été déduite géométriquement des hypothèses faites sur la figure. Cette équation peut donc exprimer, par la variation des signes des distances qui y entrent, toutes les positions imaginables de la droite MS'C autour du point M.

Ainsi, par exemple, quand AS' et AC [fig- 126) y changeront à la fois de signes en devenant inverses, les points C et S' passeront évidemment dans l'angle opposé au sommet à celui CAS' que l'on considère par hypothèse , mais si AC change seul de signe dans les deux membres, on retombe algébriquement sur l'équation AS(AC— «) = /«.AC aux accents près. D'autre part, à cause de l'équation de condition AS.AC.sin<7= il', ((ui doit coexister avec la précédente, il n'y aura d'admissible, parmi toutes les situations de la droite MC, que celles qui s'accordent pour les signes et pour la grandeur avec cette même équation ; mais on voit que l'accord n'aura lieu que pour les valeurs à la fois positives ou à la fois négatives des distances AS', AC; car autrement on tomberait dans une contradiction manifeste résultant de ce qu'on suppose ici l'aire /' essentiellement

.i3o 111'= CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

invariable de grandeur et de signe. Donc les valeurs qu'on trouvera algébriquement pour ces distances , ne pourront également qu'être toutes les deux positives ou toutes les deux négatives. Or, quand elles sont à la fois positives, l'équation de situation fait connaître que la droite S'C est réellement dans l'angle «' examiné, et, quand elles sont toutes deux négativeg, elle apprend que cette droite est alors dans l'angle opposé au sommet par rapport à «', puisque AC et AS' y deviennent à la fois inverses et changent de sens à l'égard de l'origine commune A. Donc aussi la racine négative trouvée pour AC doit être portée du côté de AC, c'est-à-dire en sens contraire de ce qu'on le supposait dans la seconde mise en équation.

67. Il est donc vrai de dire que, quand la solution algébrique d'un problème géométrique convenablement circonscrit et énoncé, donne à la fois plusieurs racines, les unes positives, les autres négatives, celles qui sont positives résolvent la question dans l'hypothèse même faite sur la position de l'inconnue, puisqu'elles indiquent que cette racine doit être portée dans le sens arbitrairement choisi pour la représenter. Les racines négatives, par là même, indiquent que la grandeur à laquelle elles correspondent doit avoir une situation opposée à celle de l'hypothèse.

Le genre de raisonnement établi sur les exemples qui précèdent peut évidemment s'appliquer à tous les cas d'une nature analogue; car alors il y aura des équations qui exprimeront les propriétés géométriques du système auxquelles la règle des signes de position demeure applicable, et d'autres relations qui, étrangères à la situation à cause des constantes absolues qu'elles renferment, restreindront le nombre des variations de signes possibles, et excluront ainsi des solutions algébriques et géométriques, toutes celles qui n'appartiennent pas à la figure, au systèmjp examiné en particulier. Or, je le répète, quelles que soient les racines ainsi obtenues, s'il y en a une de négative, elle satisfera, conjointement avec ses conjuguées réelles ou imaginaires, aux équations de situation de ce même système, et appartiendra en conséquence à une position de la figure pour laquelle la distance correspondante sera devenue inverse par rapport à celle qu'on lui supposait en premier lieu.

08. On voit avec quelle facilité les principes établis au commencement de ces recherches conduisent au dénouement de

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. a3i

toutes les difticultés de signes dans l'application de l'Algèbre à la Géométrie, et combien sont peu exactes et rigoureuses les démonstrations qu'on a voulu donner à .priori de la règle ordinairement admise. Si, en effet, nous n'avions pas justifié à l'avance que cette règle existe pour les positions corrélatives d'un système soumis à la continuité, sur quelle base aurionsnous pu appuyer nos raisonnements? Il aurait toujours fallu admettre, tacitement ou non, le principe général qui s'y rapporte; autrement on eût été réduit à démontrer la concordance des résultats pour chacun des exemples considérés en particulier, en reprenant la série entière des raisonnements déjà établis, et en cherchant a obtenir des racines positives à la place des racines négatives, par une extension ou par un changement convenable dans les hypothèses de l'énoncé du problème : par exemple, en prenant pour nouvelle inconnue, non plus la distance trouvée négative, mais une autre distance liée d'une certaine façon à la première, ou encore en changeant l'origine même des distances, etc.

On admet alors, il est vrai, que la racine positive résout immédiatement le problème dans l'hypothèse d'abord établie sur la position des dislances inconnues; or, c'est encore là une' hypothèse qui ne pouvait se justifier que par le fait nlême de la Géométrie, c'est-à-dire en prouvant que les propriétés métriques d'une figure sont immédiatement applicables, sans changement de signe, à toutes ses dérivées qui n'en diffèrent par aucun renversement de position des parties.

69. Pour montrer qu'en effet ce principe d'apparence si évidente, ne peut résulter de connaissances étrangères à la Géométrie, il suffit d'offrir un seul exemple.

Soit ASB {fg. 127) un angle inscrit à la circonférence (C). il s'agit

de démontrer que tous le» angles inscrits qui, sappuyanl sur la corde .4 H.

sont situés d'un même côté de cette corde, ont pour mesure la moitié de l'arc AB.

Voici la démonstration ordinaire :

Supposons, comme dans la figure ci-dessus, que le centre C du cercle soit compris entre les côtés de l'angle S, menons le diamètre OCS et les rayons CA, CB, on aura

ACO = 1 ASC. BCb = aB^, et par conséquent

AÛO + BCO =^ 2 ( ASC + BSC ) ou ACB = a ASB ;

mais, on a également

ACB = arcAOB, donc aASB = arc AOB.

Voilà la démonstration établie pour la situation actuelle de l'angle ASB; mais si l'on vient à déplacer cet angle par un mouvement graduel jusqu'à ce que, Jïg. 128, il ne renferme plus le centre C, la proposition n'est plus une conséquence immédiate des premiers raisonnements, (quoique les deux

Fig. 128.

systèmes soient en corrélation directe; ces raisonnements en efl'et cesseront d'être immédiatement applicables, puisque les lignes auxiliaires CS, SA, SB ayant changé de position entre elles et à l'égard de celles que l'on considère, l'angle ASO est devenu inverse de ce qu'il était; ce ne sera donc plus alors la somme, mais la différence des angles BSO et ASO qu'il s'agira de considérer, et il en sera de même à l'égard des arcs correspondants.

70. Si, j)our un exemple aussi simple que celui qui précède, on ne peut pas affirmer, sans recourir de nouveau à la figure et au raisonnement géométrique, que la propriété demeure applicable à toutes les situations du système quand les parties de ce système conservent la même situation relative les unes à l'égard des autres, comment pourrait-on l'admettre en général et pour une figure quelconque? Le seul moyen d'y

parvenir est évidemment celui dont nous avons fait usage en établissant d'abord la règle des signes pour les figures élémentaires de la Géométrie , puis l'étendant à toutes les figures possibles.

Ainsi, quand M. Carnot admet qu'une quantité géométrique qui, dans un premier système, était la différence de deux quantités dont la plus petite a été retranchée de la plus grande, devient, dans le système corrélatif, la différence de deux autres dont la plus grande a été, au contraire, retranchée delà plus petite, quand il admet ainsi que celle quantité change de signe dans toutes les équations qui expriment des propriétés du système, il avance précisément ce qu'il fallait prouver, savoir : que les quantités qui changent de sens, changent simultanément de signe dans les relations métriques où elles entrent.

En effet, admettre que cette même quantité, après avoir été la différence directe de certaines distances, en devient la différence inverse, c'.est supposer, en réalité, que la distance dont il s'agit a changé de sens à l'égard de l'origine d'où elle se mesure, et rien de plus. Admettre ensuite que celte même longueur change de signe dans les relations examinées, c'est supposer, à priori ou tacitement, que ces relations demeureraient immédiatement applicables au système corrélatif, sans changement de signe, si l'on venait à remplacer, dans le système primitif, chaque quantité variable par la différence algébrique des lignes dont elle est la différence géométrique. Or cela implique évidemment que les nouvelles formules demeurent invariables de signes pour tous les cas où les lignes qui composent la différence demeurent directes; proposition qui n'est, comme nous l'avons vu ci-dessus, pas plus admissible en toute rigueur, que la proposition même qu'il s'agit de démontrer.

Mais je reprends l'objet principal des précédentes discussions, dont je me suis un instant écarté et qu'il s'agit d'approfondir et de généraliser davantage.

71. Quand une fois on a trouvé toutes les solutions algébriques d'un problème de Géométrie pour la position actuelle des données, on ciend sans peine ces solutions à toutes les situations possibles des mêmes données, en ayant égard à la

continuité et à la règle des signes; car les nouveaux systèmes (le solutions peuvent être censés provenir de ceux de la figure type ou primitive, par le déplacement graduel des données, et les équations de conditions étrangères à la situation, demeurent par hypothèse d'une forme explicite invariable, tandis que les relations métriques qui expriment les propriétés géométriques de la figure varient seules dans les signes des données qu'on supposait d'abord fixes et qui ont ensuite changé de situation entre elles dans le système dérivé, ce qui doit entraîner des changements analogues dans les équations finales du problème.

Ainsi, ayant posé, dans le cas où M et SC [Jîg. 126, n" 65) sont situés dans l'angle CAS, les équations

AS(AC — «) = /«.AC, AS.ACsin«=: %l\ ce qui donne

^^^/^±/v//^-2»msin^^J__/^^ ;^,--p.

m sin n m sin « ^

pour trouver celles qui correspondent au cas [Jig. 129) où M passe en M' par exemple, dans l'angle supplémentaire SAC, on imaginera que ce

Fig. 129.

point M s'y transporte d'un mouvement continu quelconque; le point R passant en R', AR ou n deviendra inverse, mais tout le reste demeurera le même, puisque, par hypothèse, on conserve à SC devenu ic, une position analogue dans l'angle SAC, afin de ne pas modifier les conditions primitives du système. Changeant donc le signe de n = AR dans les formules ci-dessus, il viendra

AS ( AC + //) = m . AC, AS . AC sin « = 2 /-,

AC ^l'±'\l' + -^"'"^^^" ^ [ (/± .//-qr?). Ces dernières racines concernent encore l'angle SAC; or, on doit re-

DE POSlTlOxN EN GÉOMÉTRIE. 235

marquer qu'elles sont absolument de la même forme que celles qui ont été trouvées (65 et 66) pour le second système de solution, celui qui appartient au point M, mais à une droite MS'C [fig- 126) tracée dans le supplément à de l'angle donné «; ce qui doit être, puisque tout est semblable de part et d'autre, et que d'ailleurs le signe du sinus de l'angle a est égal à celui de son supplément a' .

Si l'on plaçait M' dans l'angle opposé au sommet à l'angle donné CAS, /// et n changeraient à la fois de signe dans les formules, et l'on aurait alors pour la solution du problème :

l^ ± lyjl"^ — 1 mn sin a — l

— wsmrt msma

les deux racines seraient ainsi toutes les deux négatives, ce qui apprend ([ue la droite CS ou se, au lieu d'être dans l'angle même CAS, selon l'hypothèse, serait dans son opposé au sommet, etc.

72. On voit, par les précédentes discussions, que les angles de deux droites, opposés au sommet, se comportent absolument comme s'ils formaient un seul et même système, une seule et même ligne courbe, tandis que leurs suppléments se comportent comme s'ils constituaient un autre système essentiellement distinct du premier. Cette distinction est en effet conforme à la nature des choses ; car, dans le cas des angles opposés, une droite peut, en se mouvant parallèlement à elle-même, engendrer d'une manière continue les côtés et les autres parties de ces angles, par exemple leurs aires triangulaires, etc., ce qui ne saurait avoir lieu à l'égard de deux angles adjacents ou supplémentaires, qui constituent ainsi véritablement (28) des systèmes en corrélation indirecte sinon complexe.

Si, au lieu de procéder à la solution directement, comme nous venons de le faire, on employait l'Analyse des coordonnées de Descartes, on arriverait absolument aux mêmes conséquences; on n'en obtiendrait pas plus, à la fois, les quatre solutions du problème, et l'on ne trouverait, pour chaque hypothèse établie sur la position de la droite cherchée, que deux solutions seulement qui seraient inséparables entre elles. Les mêmes choses arriveraient à plus forte raison, en procédant d'une manière purement géométrique.

715. En effol, on sait que, dans l'hyperbole nippoitée à ses asymptotes

[fig. i3o), le triangle ACS, formé entre ces asymptotes et une tangente es, est toujours égal en surface au parallélogramme construit sur les demi-axes ou à la puissance de l'hyperbole. De là il résulte qu'un point M étant donné quelque part sur le plan de l'angle formé par ces

Fig. i3o.

asymptotes", pour résoudre par la Géométrie la question traitée ci-dessus algébriquement, il faudrait, du point donné M, mener des tangentes à la courbe; car chacun des triangles interceptés ASC, équivalant à la puissance de l'hyperbole, serait égal à l'aire donnée. On trouverait donc ainsi deux solutions seulement du problème, comme cela a été avancé. Pour obtenir les deux autres, il faudrait considérer à la place de l'hyperbole construite dans les angles opposés aux sommets CAS, CAS', celle qui appartient à leurs suppléments SAC, S'AC. Il est visible, en effet, qu'on obtiendrait deux nouvelles solutions très-différentes des premières, quoique répondant au même point M.

Si l'on recherchait par l'Analyse des coordonnées la courbe enveloppée par les droites SC qui interceptent des triangles équivalents, on ne trouverait non plus qu'une seule hyperbole, et pour trouver l'autre, il faudrait changer l'hypothèse même faite sur la position de SC par rapport à l'angle ou aux droites indéfinies qui en limitent les extrémités. D'ailleurs ces circonstances se présenteraient également si la droite SC devait intercepter des segments AS, AC, dont le rectangle fût constant et donné à priori sans égard au signe de position (p. 26 et suiv.).

74. Plus généralement, lorsque, parmi les conditions d'un problème géométrique, il entre des relations indépendantes de la situation ou de la loi des signes, on peut, comme nous l'avons avancé (65), être sûr que la question est susceptible do plusieurs systèmes de solutions séparables et distincts, et que l'Analyse, pas mieux que la (léotTiétrie, ne les donnera d'une

manière simuUanée; de même aussi la Géométrie, pas plus (|ue l'Analyse algébrique, ne parviendrait à les séparer si réellement ils étaient soumis à une même loi continue, comme cela aurait lieu, par exemple, dans chaque système distinct de solutions.

Quand donc il arrive que l'énoncé verbal d'une question spécifie un système en particulier et le sépare par quelque caractère tranché de ses analogues, une traduction algébrique rigoureuse et qui ne pourra appartenir qu'à ce système seul, fera connaître, tout comme la Géométrie pure, les solutions qui lui sont propres, et rien que ces solutions; car les racines obtenues conviendront, par hypothèse, aux équations de définition et les rendront identiques, si elles appartiennent exclusivement au système examiné. Donc aussi il est inexact de dire, avec M. Carnot, que l'Analyse algébrique amalgame des solutions fausses ou étrangères à celles des questions proposées. Et, quand bien même on arriverait à des résultats imaginaires, ce ne saurait être non plus (58 et 64) un signe qu'elles appartiennent à un système différent.

7S. Ainsi, que, d'un point s [fig. i3i), il s'agisse de mener deux tangentes au cercle (C) : dans le cas où ce point sera intérieur au cercle, on trouvera pour déterminer algébriquement les points de contact / et t' deux racines imaginaires; cela signifiera tout simplement gue les deux

Fig. i3i.

tangentes sont impossibles dans l'hypothèse actuelle. A la vérité, si, sur le diamètre AB passant par ^, on décrit une hyperbole équilatère, au point s correspondront deux tangentes réelles et des racines en apparence analogues aux premières; mais celte hyperbole formant une courbe entièrement distincte du cercle, et ne pouvant être censée provenir d'une transformation réelle et continue de ce cercle, il n'est ni naturel, ni géométriquement permis de considérer le système des dernières tangentes comme

le corrélatif du premier ou constituant un mémo système dans des positions différentes. En effet, si le point ,v, au lieu d'être pris sur la direction du diamètre commun AB, était pris quelque autre part, en .»•' par exemple, on obtiendrait à la fois deux tangentes pour le cercle et deux pour l'hyperbole ; ce qui annonce bien que les racines trouvées sont quadruples et séparables par couples, ainsi que les courbes elles-mêmes. Quant aux racines négatives, elles n'indiquent pas des solutions d'un système autre que celui des données elles-mêmes, pourvu qu'on regarde les lignes comme prolongées indéfiniment, ce qui est bien naturel et bien conforme à l'idée qu'il convient d'en prendre d'après la notion de continuité : lorsque la Géométrie ordinaire n'envisage qu'une portion plus ou moins étendue de ces lignes, c'est pour faciliter le raisonnement et réduire à priori le nombre des cas possibles, et non par une nécessité absolue.

En un motj si, avec M*. Carnot, on regarde les racines imaginaires comme indiquant des solutions réelles d'un système analogue mais pourtant distinct du proposé, il faut nécessairement aussi admettre que les solutions réelles, quand elles renferment des radicaux, indiquent d'autres solutions encore que celles qu'elles donnent effectivement; notion qui contrarie évidemment toutes les idées reçues.

Nous nous sommes beaucoup étendus sur les exemples qui précèdent, parce que les difficultés qu'ils offrent se reproduisent presque à chaque pas et souvent avec des caractères tout opposés. Nous allons, ci-après, passer à d'autres considérations en continuant de raisonner dans le même esprit d'examen critique, sans trop oublier d'ailleurs qu'il s'agit de la théorie des signes de position appliquée au principe de continuité.

Problèmes dans lesquels les inconnues appartiennent essentiellement à des droites mobiles.

76. Jusqu'ici nous avons, à proprement parler, envisagé les questions géométriques sous le point de vue particulier où les données d'un problème, aux constantes près, étant fixes, les inconnues elles-mêmes se mesurent sur des droites données. Nous allons maintenant nous occuper des questions dans lesquelles les données étant toujours fixes, les distances inconnues se mesurent sur des droites elles-mêmes indéterminées de situation.

Dans ce cas plus général , le problème est doublement indéterminé, et chaque solution ou racine obtenue pour une

position arbitraire donnée du système mobile, peut se re produire sur une infinité d'autres d'après les conditions particulières de l'énoncé. Or, pour cette situation déterminée du système mobile, tout ce qui a été dit précédemment, entre autres dans le cas particulier des droites ou axes fixes, quant au nombre des racines ou solutions et aux signes algébriques que ces racines comportent eu égard à la position des points et des.dislances relatives réelles, imaginaires, etc., tout cela doit s'appliquer nécessairement au cas plus général qui nous occupe. Mais chacune des inconnues répondant à un point du système mobile qui remplit les conditions du problème, quand on fera varier la position de ce système ou de la ligne droite qui renferme les points inconnus, ces points euxmêmes changeront de place et décriront, chacun en particulier, une certaine ligne nommée le lieu de ce point; l'ensemble de ces lignes représentera évidemment tous les points possibles qui satisfont aux conditions du problème dans son état d'indétermination générale.

Offrons quelques exemples.

77. « Sur une droite SD [fig. iSa), assujettie à passer par le point S de n la droite fixe AB, trouver un point x, -tel qu'en le joignant à deux points

» donnés A, B de AB, les triangles SA.r, SB.r qui en résultent soient » semblables entre eux. »

Quelle que soit la situation du point x sur la droite SD, il est visible que ces triangles ne sauraient être semblables dans les hypothèses de la figure, à moins que l'angle Sj^A ne soit égal à l'angle SB.r; mais alors on aurait, en comparant les côtés homologues,

SA : S.r : : S X : SB , d'où S^' = SA . SB ,

24o Iir CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

et, par conséquent, en nommant K' l'aire du rectangle SA. SB,

S.r=±v/SÂ:SB=±:K,

ce qui apprend : i" que la distance du point x au point fixe S est constante, quelle que soit la direction de la droite SD, et 2° que, pour uno même direction de SD, il existe deux points .r, situés l'un à droite, l'autre à gauche de l'origine S. En effet, les relations d'où l'on a tiré la valeur de S.r expriment des propriétés géométriques du système et sont par conséquent assujetties à la règle des signes de position, de sorte que la distance affectée du signe —, est réellement inverse de celle que précède le signe +, supposé correspondre au point supérieur D de la droite mobile SD.

Il résulte de là que tous ces points jr et leurs opposés x' sont situés sur une circonférence de cercle unique dont S est le centre, et la constante drK, un double rayon. Réciproquement, puisque le cercle en question représente le lieu de tous les points x et x\ il donnera par sa rencontre avec une rayonnante quelconque D les deux points x et x\ qui appartiennent à cette droite. On pourra donc regarder l'équation

Sa:=±/SA.SB==bK

comme propre à représenter l'intersection d'une circonférence de cercle dont le centre est S et le rayon K avec l'un quelconque de ses diamètres, et il en sera de même de toute expression de la forme

Si l'on avait cherché le point x d'une manière purement géométrique, on eût trouvé, tout aussi bien que par la règle des signes algébriques, les deux solutions dont le problème est susceptible; car le point x est évidemment le point de contact d'un cercle passant par A et B, avec la droite SD donnée de direction, et l'on sait que, par deux points, on peut en effet tracer deux cercles tangents à une droite donnée.

78. Supposons, pour second exemple, que la droite SD (7%. iSa), au lieu de tourner autour d'un point fixe situé sur la direction indéfinie de la droite AB, reste [fig. i33) constamment parallèle à elle-même, et que l'on doive toujours avoir entre S.r et les segments SA, SB formés sur la direction fixe de AB, par son point de rencontre variable S avec l'appliquée CD, la relation purement géométrique

S.r'=SA.SB ou Sx=:±v/SA.SB.

Cette expression changeant avec la position de S, indique, selon ce qui

précède, qu'il existe sur la direction de CD, deux points tels que x et x,, situés à la rencontre de cette droite et du cercle dont le centre est S, et

qui a pour rayon la valeur absolue de v^SA-SB. Faisant donc mouvoir la droite CD parallèlement à elle-même, les points x et j;, varieront aussi et décriront, comme on sait, une hyperbole à deux branches, pour toutes les positions situées en deçà ou au delà de AB.

Au surplus, quelle que soit la manière dont la droite CD ou SD change de position dans le plan de AB, en continuant de posséder avec cette droite l'origine commune S, qui, dans certains cas, peut être fixe, la formule

S^'=SA.SB ou S^ = ±v/SÂ7SB

n'en sera pas moins l'équation d'une certaine ligne ou d'un système de lignes continues renfermant tous les points qui remplissent les conditions du problème dans son état d'indétermination hypothétique.

79. Dans ce qui précède, les relations primitives, celles d'où l'on déduit les valeurs de Sjc, sont censées exprimer des propriétés géométriques du système, assujetties à la loi des signes pour chacune des positions de la droite mobile CD; s'il en était autrement, il pourrait arriver que les solutions et racines ainsi obtenues ne comprissent pas toutes celles du problème envisagé dans son énoncé le plus général, parce que ces solutions seraient séparables en plusieurs groupes ou systèmes ; mais alors, comme on l'a vu (64 et suiv.), le lieu cherché serait lui-même susceptible d'être partagé en lieux distincts, dont le tracé s'obtiendrait pour chaque groupe, ainsi qu'on vient de l'expliquer, et cela bien que leur ensemble appartînt à une équation primitive unique et géométriquement assujettie à la loi de continuité et des signes de position. Or, toute la difficulté, dans chaque cas, est de bien distinguer entre eux les différents groupes de solutions ou de racines, qui semblent parfois s'exclure ou se confondre mutuellement, à moins que l'énoncé verbal de la question n'en limite lui-même II. 16

l'étendue, soit explicitiment, soitpar malentendu ou manque de généralité et d'extension, comme les énoncés purement géométriques en montrent do fréquents exemples.

Supposons notamment que l'énoncé du problème ci-dessus (78), soit conçu en ces termes :

« Trouver {Jîg. i34) la suite des points x tels que, en menant de cha- » cun d'eux une parallèle CSD à une droite fixe donnée, puis deux autres

» droites xA, xB à deux points fixes A et B, les triangles SrA, SxB, f> formés par ces droites et par AB, soient semblables entre eux. »

D'après cet énoncé et la position particulière attribuée aux lignes de la figure, on a (77) entre ces lignes la proportion

— j SA: Sa^ :: Sj: : SB ou Sx =rSA.SB;

ce qui donne, sur chacune des parallèles indéfinies CD, deux points x et x^ par une construction graphique qu'il est inutile de rappeler à cause de sa simplicité. Mais, comme cette relation exprime à la fois une propriété de situation et une propriété métrique de la figure, elle est, par là même, assujettie à la règle établie dans les n™ 29 et suivants, d'après laquelle les signes de position doivent se détruire réciproquement dans les égalités de cette espèce.

Supposons donc que SD se meuve parallèlement jusqu'à ce qu'elle vienne en S'D' entre A et B, l'abscisse S'A sera devenue inverse ou négative dans l'hypothèse de la figure, et la relation ci-dessus prendra la forme

Sjc = — SA.SB, Sa: =± y/- SA. SB,

qui indique qu'il n'existe alors, sur la parallèle correspondante S'D', aucun point qui remplisse la condition exigée ; et en effet, les deux cercles qui (77), passant par A et B, seraient tangents à l'appliquée parallèle S'D',

deviennent alors inconstructibles. Que si, au contraire, la parallèle SD ou CD se transporte en S'D" ou CD", à droite et au delà de AB, les segments SA, SB, changeant à la fois de sens et de signes, conduiront à des valeurs réelles ou possibles de S^. Le lieu des points ^ est donc, dans les hypothèses de la 7%. i33, une seule et même hyperbole : il eût été une ellipse {^g. iSa) décrite sur AB comme diamètre conjugué à la direction de la droite CD, si, dans cette figure type ou primitive, on eût supposé CD en CD' entre A et B; l'énoncé de la question exigeant d'ailleurs, chose bien naturelle, que les relations qui s'en déduisent géométriquement expriment des propriétés de situation véritables de la figure ou des points cherchés, il ne pourra plus y avoir lieu à équivoquer, et la courbe définie par l'équation

si* = SA. SB

sera unique ; dans le cas contraire, cette même relation pourra appartenir à plusieurs courbes distinctes (*).

80. Conséquences. — On voit, par cette discussion, que si, en Géométrie, on prétendait ne pas avoir égard aux signes de position dans les figures corrélatives, on pourrait être entraîné

(*) Comme mêle fait remarquer avec raison M. Moutard, il existe dans ce <jul précède une sorte de confusion provenant de ce que l'énoncé géométrique du problème se fonde sur la similitude de deux triangles qui ne peuvent être équiangles, à la manière ordinaire, quand le point S {Jig- i3/|) passe à 1 intérieur de l'intervalle AB. Dans ce cas, en effet, l'angle BSD cesse d'être conimiiii aux deux triangles ASar, BSx, et devient le supplément de ASD ou ASjt-; par suite, l'angle AjtS et le côté AS changent de signes et de sens; mais, d'après nos principes (24 etsuiv.), les angles intérieurs des triangles, au lieu d'être égaux, sont suppléments respectifs l'un de l'autre et ont môme sinus, ce qui entraîne également la proporiionnaliié des côtés homologues, véritable caractère de la similitude des triangles en général. Dès lors aussi la construction des points x et x', pour le cas où l'appliquée CSD vient en C'S'D', dépend non plus du contact de deux cercles passant par A et B tangents à cette appliquée, mais bien de la rencontre de celle-ci avec une circonférence unique décrite sur AB comme corde, et ayant pour centre le point commun aux perpendiculaires élevées en son milieu et au point S de la droite CD' ; car en traçant ce dernier cercle, on

s'assure qu'en effet, l'équation de condition Sj: = SA. SB est satisfaite sans

contradiction dans les signes de position. Les deux systèmes de construction cidessus établissent d'ailleurs un caractère distinctif entre les propriétés de lellipse et de l'hyperbole, et il est digne de remarque qu'en appliquant aux diamètres conjugués de l'ellipse et de l'hyperbole en général , le genre de considérations critiquées pour le cas particulier du cercle, dans les n"* 33 et 36, on serait induit k conclure que le cor/Jicicnt algorithmique y/— i n'est point exclu-

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u44 IIP CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

à de graves erreurs, puisqu'il arriverait de confondre entre elles des courbes très-distinctes, bien que jouissant de certaines propriétés communes quand on fait abstraction de la situation relative des points et des lignes.

Donnons-en un nouvel exemple :

« On demande quelle est la suite des points .r [fig. i35 et i35') tels, » qu'en menant de chacun d'eux, comme le montrent ces figures, deux » lignes droites xk et orB à deux points fixes A et B, la somme des angles » a et p formés par ces lignes avec des droites fixes AK et BK soit égale à )i un angle constant k donné, en sorte qu'on ait

Pour la situation de \^ fig. i35, le point .r appartient évidemment à une circonférence do cercle; car on déduit facilement de l'énoncé que

FijT. i35. . Fig. i35'.

l'angle en x du triangle AB^ est lui-même constant; mais si l'on voulait admettre la même relation pour toutes les situations possibles des lignes de la figure, -sans avoir égard aux changements qui s'opèrent dans les signes de position, le point x pourrait cesser d'appartenir à cette courbe, et cela arrive notamment dans les hypothèses de la fig. \ 35'.

sÏTement le signe de la perpendiculariié ; mais qu'il peut tout aussi bien représenter Vohliquiié des droites dirigées sous un angle d'inclinaison quelconque- D'après cela, il me paraît difficile de s'expliquer rationnellement comment M. Cauchy, notre célèbre et très-habile transformateur de formules, d'équations algébriques, ait appuyé de l'autorité de sa plume élégante et facile, l'interprétation exclusive du signe \j — i , en se fondant sur un genre de considérations géométriques pour le moins discutables au point de vue des principes (Comptes rendus de l'Académie des Sciences, i85o, t. XXII, p. i3i et 192).

En effet, de la situation représentée par la^/îj^-. i34 on déduit, en appelant M et N les angles constants MAB, NBA,

/' '\. Xx ang X = 200" — ^ AB — xBA = 200"' — M + a — N + p

ou

X = -loo" — M — N + a + p = 200° — M — N H- X',

tandis que pour la seconde position {/îg. i35) du point .r, on aura

ang^ = 1 00° — j? AB — xBA = 200° — M-f-a — N — p ou

relation différente de celle qui a d'abord été obtenue, à tel point que l'une apprend que l'angle x est constant, et l'autre qu'il est variable. On peut, en outre, s'assurer que la première correspond au cercle et la seconde à l'hyperbole équilatère : la véritable solution embrasse donc l'ensemble des deux courbes, dès que l'énoncé verbal ne spécifie pas la position à laquelle correspond la relation examinée a + ^ = /■; mais, si l'on entendait assujettir celte même relation à la loi des signes de position ou de continuité, il n'y aurait plus qu'un seul lieu géométrique relatif à chacune des figures distinctes choisie en particulier (*).

Remarque. — On pourrait multiplier à l'infini les exemples, ce qui servirait à faire découvrir les propriétés communes aux courbes de diverses espèces. Dans d'autres circonstances, il pourrait aussi arriver qu'on n'obtînt qu'une portion limitée ou une simple branche d'une courbe, comme on en a des exemples dans la cissoïde et la conchoïde des Anciens, etc.

81. Examen de la loi des signes de position dans le système des coordonnées de Descartes. — Les diverses relations

( * ) 11 est arrivé plus d'une fois à ma connaissance, et sans doute à celle de beaucoup d'autres, que, dans les examens d'admission aux diverses Écoles et dans des compositions de concours pour des prix de mathématiques spéciales, le même problème de Géométrie analytique, mis en équation par les élèves sous des aspects ou conditions distinctes quant à la position hypothétique des lîgnes inconnues de la figure, ait conduit à des solutions différentes, contradictoires même dans les résultats. Bien souvent aussi, il est arrivé que, faute d'une attention suffisante de la part de l'examinateur ou des membres du jury, on ait adopté comme seule bonne et rigoureuse la composition qui offrait des résultats conformes à ceux que l'on connaissait déjà, et qui avaient été préparés à l'avance par des professeurs étrangers ou non au concours.

métriques examinées ci-dessus sont ce que, d'après l'usage général, j'ai déjà appelé les équations des lignes correspondantes; mais on voit combien on peut être induit en erreur sur la nature véritable de la ligne représentée; car, selon qu'on suppose à la figure telle ou telle situation, selon qu'on prétendra rendre l'équation applicable simultanément à toutes ces situations sans avoir égard à la mutation des signes ou fen y ayant égard, elle pourra correspondre (74- et suiv.) tantôt à une ligne ou portion de ligne courbe, tantôt à une autre ligne, et tantôt aussi elle peut appartenir à la fois à deux ou plusieurs lignes distinctes géométriquement , c'est-à-dire qu'elle est apte alors à en construire successivement et séparément tous les points.

On doit voir par là encore, si je ne me trompe, combien est grande l'erreur de ceux qui prétendent expliquer la règle des signes de position dans le système des coordonnées de Descartes, à priori et par convention, c'est-à-dire sans recourir aux notions premières de la Géométrie. Ils sont nécessairement obligés de supposer tacitement celte règle toute démontrée, ou de l'admettre par analogie avec ce qui se passe dans les courbes déjà connues telles que la circonférence de cercle, la ligne droite, etc. Aussi les démonstrations qu'ils veulent établir ainsi pèchent-elles toutes en ce qu'elles supposent, d'une nranière plus ou moins déguisée, ce qu'il s'agissait précisément de prouver, à peu près comme il arrive dans les prétendues théories des parallèles où l'on cherche à éviter toute notion de continuité ou de l'infini.