PREMIER CAHIER

APPLICATION DES PRINCIPES DE PROJECTION ET DU PRIN- CIPE DE CONTINUITÉ A LA RECHERCHE ET A LA DÉMONS- TRATION DES PROPRIÉTÉS DES FIGURES POLYGONALES MOBILES SOUS DIVERSES CONDITIONS (*).

INSCRIPTION ET CIRCONSCRIPTION DES POLYGONES PLANS MOBILES, A D'AUTRES POLYGONES FIXES.

Proposition I. — Théorème.

Si un polygone d'un nombre quelconque de côtés se déforme de manière que tous ses sommets parcourent autant de droites ou directrices Jîxes, considérées elles-mêmes comme constituant, par leurs rencontres mutuelles, un autre polygone

(*) Les Principes dont il s'agit sont ceux du Traité des Propriétés prnjectivcs, partiellement indiqués ou démontrés dans le premier volume de ces Applications, p. ii6 à 127, 200 à 206, 287, 874, etc., mais qu'on trouvera développés d'une manière plus spéciale dans les Cahiers IV et V de celui-ci.

La plupart des Propositions ci-après ont été établies dans le premier volume, par des procédés mixtes plutôt analytiques que synthétiques; il s'agit ici d'un premier essai d'exposition et de démonstration purement géométriques, destiné à faire suite au VP Cahier du même ouvrage édité en 1862, je veux dire à la deuxième partie du Mémoire que je me II. I

% P' CAHIEK. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

invariable à côtés indéfiniment prolongés ; si, de plus, chacun des côtés du premier, un seul excepté, pivote sur un pôle ou point fixe de sa direction, le dernier côté du polygone variable, celui qui est libre, roulera dans toutes ses positions sur une seule et même section conique.

D'abord on démontre d'une manière très-simple, à l'aide de nos Principes de projection, que la proposition a lieu pour le cas d'un triangle et de deux pôles seulement.

En effet, soit ABC [fig. i ) le triangle fixe, abc le triangle mobile, p et p' les pôles autour desquels les côtés ac et cb sont assujettis à tourner; ab sera le dernier côté libre qui décrira la courbe inconnue par ses intersections successives. En suivant le mouvement de ce côté libre, on s'apercevra sans peine qu'il se confond dans cinq de ses positions avec les di-

proposais, en 1814, d'adresser à l'Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg. Ce fut là, en effet, l'une de mes vives préoccupations après ma rentrée en France à la fin de celte année. Dans ces primitives intentions, l'exposé des théorèmes sur les polygones en général aurait dû être précédé d'un complément indispensable concernant les figures polygonales les plus simples, extrait de la matière du IIP Cahier; mais les démonstrations synthétiques des propriétés de ces dernières figures, en quelque sorte élémentaires, étant aussi faciles que déjà bien connues, j'en ai ajourné la rédaction, quoiqu'elles formassent un préambule indispensable à celle du présent Cahier, que je destinais à entrer dans la composition d'un ouvrage très-distinct du Mémoire que j'avais en vue vers la fin de mon séjour à Saratoff. Ces considérations expliquent et justifient d'ailleurs les renvois assez fréquents que j'ai faits ici aux théories du précédent volume des Applications.

Enfin, je crois devoir faire remarquer que, dès l'hiver de 1814 à i8i5 où je préparais les matériaux de ce P'' Cahier, j'avais pu prendre connaissance des tomes I à IV (1810 à i8i5) des anciennes Annales de Mathématiques, publiées alors à Nîmes, où MM. Gergonne, Servois, Bérard, Lhuilier de Genève, etc., se sont exercés avec succès sur quelques-unes des questions relatives aux polygones, qui m'avaient déjà occupé dans les prisons de Russie; de sorte que je pouvais mettre à profit certains de leurs travaux, auxquels d'ailleurs je me suis efforcé de rendre justice en 1822 dans la Sect. IV, Chap. III du Traité des Propriétés projectiv es des figures.

Nota. — Dans ce volume comme dans le précédent, les renvois au bas des pages, à moins d'un avertissement contraire, datent de l'impression même de i8(i3.

reclions indéfinies de AC, CB, Bp^, p' p et pX, formant, comme le montre la figure, un pentagone circonscrit à la courbe. Supposez maintenant qu'on inscrive une conique dans ce même pentagone, je dis que le côté libre ab, qui forme

avec les cinq autres un hexagone baBp'pXb, sera tangent à cette conique, et que par conséquent celle-ci n'est autre que la courbe sur laquelle roule la droite ab, puisqu'elle sera enveloppée par les mêmes droites ou tangentes.

La conique dont il s'agit peut être regardée {Jig. 2 ) comme la projection d'un cercle qui aurait pour centre le point c considéré dans l'une de ses positions sur AB devenue diamétrale ainsi que acp et bcp'. Soit donc formé l'hexagone inscrit

1 .6.5.4-3.?.. I dont les cinq premiers sommets seront aux points de contact des côtés successifs AC, Ap, pp', p'B, BC, et dont le dernier sommet 2 est déterminé en abaissant perpendiculairement du point de contact 3 la droite 3 . 2 sur la diamétrale ap, et du point de contact i la droite 2. i sur l'autre diamétrale bp' ; car ces droites se rencontrent évidemment en un point du cercle (c) ou i .6.5. . . . Cela posé, si l'on mène au cercle (c), en ce même point 2,

4 P' CAHIER. - PROPUIÉTÉS DESCRIPTIVES

une tangente formant par sa rencontre avec les directions de ACelBC, un hexagone circonscrit A èaBjo'/?, cette tangente se confondra avec ab; car, en remarquant que l'hexagone inscrit 1.2.3.4-5.6 a les côtés opposés parallèles, il est facile de voir que les points où elle coupe les droites BC et CA sont situés respectivement sur les diamétrales ap et bp' . Donc la projection de ab dans la figure primitive, est aussi tangente à la conique inscrite dans le pentagone ACB/?'/?; conséquence, pour le dire en passant, qu'il eût été plus simple de conclurç de la propriété de l'hexagone circonscrit aux coniques, découverte par Brianchon (t. 1", p. 137).

Pour ramener la démonstration du cas général à celui qui vient d'être examiné, je considérerai comme exemple le quadrilatère quelconque ABCD {fig. 3), dans lequel est inscrit un

autre quadrilatère abcd, ayant ses sommets sur les côtés du premier. Je dis que, si l'on déforme ce dernier quadrilatère de manière qu'il reste toujours inscrit dans le premier et que ses trois côtés ab, bc, cd tournent autour des pôles respectifs p, p' et p" , le côté libre ad roulera dans toutes ses positions sur une section conique. •

Tracez les deux droites pp' , p' p" et la diagonale fixe AC que vous prolongerez jusqu'à sa rencontre en a. avec le côté bc du quadrilatère mobile ; joignez enfin a avec le premier sommet a et le dernier d par les droites a a, ad qui couperont respectivement les droites fixes pp' et p' p" en P et P' : ces derniers points demeureront invariables pendant le mouvement du quadrilatère abcd.

Pour le prouver, remarquez que le triangle mobile aba. étant assujetti à avoir ses sommets respectivement sur trois droites fixes AD, AB et AC qui se croisent en un même point A, et ses deux côtés ah ai ha. étant assujettis à tourner autour des pôles fixes p et/?', son côté aoc resté libre, devra (t. I, p. 43oj pivoter dans toutes ses positions autour d'un troisième pôle situé en ligne droite avec les deux premiers p, p' , et qui se trouve par conséquent en P à l'intersection de aa et de pp'.. En considérant l'autre triangle mobile cad, on prouvera de môme que son côté libre ad passe toujours par le point fixe P' situé sur la droite p' p"-

Il résulte de là qu'on peut considérer le côté libre ad du t\uadri\alère ahcd comme le troisième côté d'un triangle aad, dont les deux autres passent toujours par les pôles fixes P, P', et qui reste inscrit dans le triangle invariable ACD ; donc, d'après la proposition précédente, ce troisième côté ad roulera sur une section conique.

Nous venons de remplacer le quadrilatère par un triangle. La môme construction servira évidemment à remplacer un polygone de n côtés par un autre de « — i côtés; celui-ci pourra à son tour être réduit à un polygone de n — 2 côtés avec n — 3 pôles : continuant ainsi, on parviendra à assigner deux pôles fixes autour desquels devront pivoter deux des côtés d'un dernier triangle dont le côté libre sera le même que celui du polygone mobile, et dont les trois sommets s'appuieront sur les deux derniers côtés du polygone fixe et sur la dernière de ses diagonales.

Soit par exemple [Jig. 4), ABCDE le pentagone fixe, et ahcde celui qui lui est inscrit, ae le dernier côté qui reste libre. Prolongez les côtés AE et CD jusqu'à leur rencontre en D', pour former le quadrilatère lixe z\BCD' auquel sera inscrit le quadrilatère mobile abcd. En traçant les lignes marquées sur la figure d'après ce qui précède, on remplacera le pentagone fixe ABCDE par le quadrilatère ACDE et le pentagone mobile ahcde par le quadrilatère aadea, dont les côtés «a et da sont assujettis à pivoter autour des pôles fixes P et P' ; car il est évident que la diagonale ad, qui lui est commune avec le pentagone mobile, aura les mêmes positions que dans le premier cas.. Si maintenant l'on reprend ce quadrilatère et qu'on exécute en-

6 r CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

core une fois la même construction, on finira par le remplacer,

Fig. 4.

comme dans le cas précédent, par un triangle mobile dont ea sera le côté entièrement libre, etc.

Remarque I. — Quand les deux derniers pôles trouvés sont en ligne droite avec E, le côté mobile ae, au lieu de rouler sur une conique, passe évidemment dans toutes ses positions par un point fixe. En effet, soient AE et ED [fig. 5) les deux der-

niers côtés du polygone en question, AD la dernière diagonale, P" et P'" les deux derniers pôles -obtenus situés sur une droite passant par E; aae étant le triangle mobile, ae sera le dernier côté libre. Or on sait (t. I", p. 435) que si l'on trace les droites AP'" et DP" qui se croisent en 0, la droite ae doit passer toujours par ce même point 0 qui, par suite, reste fixe.

Remarque IL — Au lieu, de prendre une position quelconque ahcd {fig. 3 ) du quadrilatère mobile pour construire les pôles P et P', on pourra choisir celle ou h se confond

avecB, ce qui simplifiera la construction. On trouvera de cette manière que, pour obtenir P et P', il suffirait de mener par le point B et par les pôles p, p', p", les trois droites Bp, Bp', Bp", coupant les côtés respectifs du triangle ADC, en a', a. et d', je suppose, et de tracer ensuite les droites aa' et ad' qui, prolongées, couperaient respectivement aussi pp' et p' p" aux deux points P et P' demandés.

Remarque III. — Faisons connaître un autre mode de réduction qui sera mis souvent en usage par la suite.

Soient ABCDE et abcde [fig. 6) les polygones fixe et mobile, p, p' , p", p'", ... les pôles de ce dernier; tracez les droites pp' et p"p"' qui passent l'une par le 1" et le 2* pôle, l'autre par le 3^ et le 4^; prolongez-les jusqu'à leur rencontre en P. Tracez

Fig. 6.

la droite Pc passant par le point fixe P et le 3" sommet c du polygone mobile abcde ; prolongez-la jusqu'à sa rencontre en a avec le i" côté ab. Dans le mouvement du polygone mobile, les côtés du triangle abc tourneront autour des trois pôles y?, // et P qui sont en ligne droite; donc le sommet «

I" CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES décrira une autre droite passant par l'intersection B des lignes BA et BC directrices des sommets b et c de ce triangle.

Pareillement, si vous prolongez Pc jusqu'à sa rencontre en [3 avec le 4^ côté de du polygone mobile, le point [3, différent de a, se mouvra sur une droite C(3 passant par le sommet C. Ainsi le pentagone mobile abcde sera remplacé par le quadrilatère mobile aoc^ea dont les trois pôles seront p, P, p'" et dont les sommets variables a, [3 parcourront les droites fixes Ba et C(3, les sommets a et e décrivant toujours les directrices AE et DE. Cette construction s'appliquera évidemment aux cinq premiers côtés d'un polygone quelconque de n sommets , ainsi remplacé par un polygone de n — i côtés, lequel pourra être à son tour remplacé par un autre de /i — -2 côtés, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à un dernier quadrilatère avec trois pôles, auxquels la construction s'arrêtera ; car elle exige au moins quatre pôles. On sera donc obligé d'avoir recours à la transformation que nous avons d'abord fait connaître pour ramener la question au cas du triangle avec deux pôles.

Cette première transformation est, comme on voit, préférable à la seconde en ce qu'elle ne souffre aucune exception; elle s'applique d'ailleurs au cas où les pôles p, p', p", etc., sont tous ou en partie en ligne droite, tandis que l'autre n'a pas le même avantage.

Remarque générale. — Si les pôles sont tous en ligne droite, il est plus simple de se servir du procédé direct que nous allons faire connaître, pour découvrir les deux derniers pôles sans être obligé de recourir à des pôles auxiliaires.

Prenons pour exemple [fig. 7 ) le cas du pentagone et désignons les mêmes points par les mêmes lettres. Prolongez le premier côté mobile «6 jusqu'à sa rencontre en ce avec le troisième côté cd; les trois pôles p, p', p" étant en ligne droite, le sommet a du triangle a bc parcourra une droite fixe aB passant par le sommet B (t. I, p. 43o) : ainsi voilà déjà le pentagone abcde remplacé par le quadrilatère a oc de , dont les trois pôles p, p" etp'" sont en ligne droite. Pareillement, si vous prolongez le premier côté mobile «a de ce quadrilatère jusqu'à sa rencontre avec le troisième côté de en ^, le sommet (3 du triangle mobile ^ad parcourra une droite invariable j3/r passant par le

point de rencontre k des deux directrices fixes aB et Cl) de ce triangle, puisque ( ibid. ) les trois pôles p, p", p'", autour desquels tournent ses côtés, sont en ligne droite (*).

Ainsi le pentagone abcde se trouve remplacé par le triangle mobile [3«e, dont les sommets s'appuient sur les droites fixes

Fig. 7.

AE, ED, ^k, et dont deux côtés «^ et e j3 tournent autour des pôles p et/?'"; donc le troisième côté libre ae de ce triangle ou le cinquième du pentagone abcde roule sur une conique;

(*) On peut remarquer que. quand les côtés du polygone fixe passent par un même point, les points de rencontre de deux côtés quelconques ou de deux diagonales, ou enfin d'un côté et d'une diagonale, décrivent autant do lignes droites. Lhuilier [Eléments cPanalyse géométrique, etc.) en donne la démonstration pour le cas où les pôles sont sur l'un des côtés

lo P' CAHIER. - PUOPUIÉTÉS DESCIUI'TIVES

celle-ci se réduirait évidemment à un point dans le cas où la droite qui contient tous les pôles passerait par le dernier sommet E du polygone fixe. Ainsi on pourra reconnaître cette circonstance au premier abord (*).

Il est évident que, quel que soit le nombre des pôles donnés, les conséquences précédentes auront toujours lieu; si donc on fait attention que le troisième sommet (3 du dernier triangle se trouve toujours à la rencontre du premier côté ab et du dernier de du polygone mobile, on pourra en conclure cette proposition générale :

Proposition II. — Théorème.

Si tous les côtés d'un polygone mobile sont assujettis à tourner respectivement autour d'un même nombre de pôles Jixes situés en ligne droite, et si, en même temps, on contraint tous les sommets, à l'exception d'un seul, à parcourir des droites Jixes, le dernier sommet resté libre parcourra dans le mouvement général une seule et même ligne droite.

de ce polygone; mais sa déinonstralion [voir § 53, p. 107) suppose que, les côtés iixes restant quelconques, les diagonales passent néanmoins par des points situés sur la droite des pôles; ce qui n'a lieu que quand les côtés directeurs concourent en un même point [a).

[Note (lu manuscrit de i8i5.)

(*) Même chose aura lieu quand il arrivera que p/ passe par le sommet E du polygone fixe [fig. 7). [ISote ancienne.)

(a) Simon Lhuilier, de Genève, esprit étroit au point de vue de la Géométriide Descartes et Leibnitz, de Desargues et Pascal, de Monge et de son École, d'un rigorisme lent et épineux à la manière des commentateurs ou interprètes d'Euclide, d'Apollonius et de Pappus, je veux dire des Fermât, des llalley, des Robert Simson, des Playfair, etc.; Lhuilier eut l'insigne bonheur d'initier aV Analyse géométrique et algébrie/ue, lesens naturellement droit et mathématique de Sturm, homme modeste jusqu'à la timidité, que j'ai appris à aimer, à estimer depuis 1825, où, encore inconnu, il écrivait dans lo Bulletin des Sciences de Férussac, au prix annuel de i5oo francs; mais Lhuilier avait aussi inspiré à notre illustre confrère de fortes préventions contre le principe, la loi de continuité. Ces préventions avaient pour point de départ une objection plus spécieuse que juste, mentionnée dans la Polygonométrie (p. 98 à 100) publiée dès 1789 par le savant professeur de Genève, et qui repose sur un cas d'indétermination relatif à un problème de Géométrie statique, dont les exemples pourraient être variés à volonté, et qui se rattachent h dos causes, à des considérations infinitésimales bien connues.

Dans le cas où toutes les directrices rectilignes concourraient en un même point, la droite parcourue par le sommet libre passerait aussi par ce point.

Après avoir examiné le cas où tous les pôles sont en ligne droite, nous allons nous occuper de celui où, les pôles étant quelconques, toutes les directrices fixes passent par un même point; ce qui nous donne lieu de démontrer la proposition suivante :

Proposition III. — Théorème.

Si tous les sommets d'un polygone mobile abcd... [fig- 8) sont assujettis à parcourir autant de droites Jixes concourant en un même point A, et si de plus tous les côtés, à l'exception d'un seul, doivent tourner constamment autour des pôles Jixes p, p', />",..., le dernier côté libre ad pivotera aussi dans toutes ses positions sur un même point fixe tt.

Nous prendrons pour exemple le quadrilatère. aôcrf de cette fig. 8. Soit tracée la diagonale ac jusqu'au point P de la droite

Fig. 8.

qui joint les deux pôles p et />', je dis que celte diagonale passera dans toutes ses positions par le point P. En effet, le triangle mobile abc, dont les sommets parcourent trois droites AB, AC, AD concourant en un même point, ayant deux de ses côtés ab et bc qui tournent autour des pôles respectifs p et p', sera par là même tel, que son troisième côté libre bc tournera aussi autour d'un pôle fixe, lequel, situé en ligne droite avec les deux autres, se confondra avec P. On démon-

12 r CAHIER. - PUOPUIÉTÉS DESCRIPTIVES

irera d'une manière semblable que le triangle suivant acd, dont deux côtés ac et cd passent par les pôles fixes P et p" , est tel, que son troisième côté ad passe aussi, dans toutes ses positions, par un dernier pôle fixe tt, situé à la rencontre de ce même côté avec la droite Vp" qui joint les deux autres pôles fixes.

Remarques diverses. — On voit que, non-seulement le dernier côté libre ad du polygone tourne autour d'un point fixe, mais qu'il en est ainsi encore pour chacune des diagonales qu'on peut mener d'un sommet à un autre.

D'autre part, la démonstration précédente s'ctendant à un polygone gauche quelconque assujetti aux mêmes conditions, on en conclut que, pour ce cas encore, le dernier côté libre et les diverses diagonales tourneront autour d'autant de points fixes situés dans l'espace ainsi que les directrices convergentes (*).

Dans le cas particulier où les différents points fixes p, p', p",..., considérés comme pôles, seraient situés en ligne droite, le pôle 71 et tous. ceux des diagonales seraient aussi situés sur cette même droite.

Enfin, il est visible encore (t. I, p. i38 et i^o), que si l'on prolonge le premier côté ab et le dernier cd du polygone mobile jusqu'à leur rencontre en a, ce sommet libre du nouveau polygone parcourt, en vertu du mouvement général, une seclion conique, qui se réduira à une droite dans le cas où tous les pôles seront eux-mêmes situés en ligne droite (Prop. II).

Remarque générale.

Les propositions précédentes renferment. la solution de ce problème : « Dans un polygone donné, inscrire un autre polygone dont les côtés passent par des points aussi donnés. » La construction s'exécutera parla règle seulement, dans les deux cas suivants :

i" Quand les points donnés seront situés en ligne droite :

(*) D'après une remarque consignée à la page 5o4 du P volume (Additions) par M. Mannheim, la position de tous ces points ou pôles fixes est indépendante do celle du point do concours A dos (lircclrices.

DES POLYGONES VARIABLES QUELCONQUES. i3

en laissant libre l'un des sommets du polygone cherché, et faisant abstraction du côté correspondant du polygone donné, il arrivera (Prop. II) qu'en déformant ce polygone de toutes les manières possibles dans ces conditions, le sommet libre parcourra une ligne droite qui, par son intersection avec le côté supprimé du polygone fixe, donnera la position d'un sommet du polygone inscrit, d'où l'on conclura tous les autres;

2" Quand le polygone donné s'évanouit ou que les directrices concourent toutes en un même point , les pôles fixes par où doivent passer les côtés du polygone cherché étant d'ailleurs quelconques, on fera pour un moment abstraction du dernier pôle, et l'on regardera en même temps comme libre, le côté du polygone cherché qui doit passer par ce pôle ; alors, en déformant à volonté ce polygone d'après les conditions énoncées, le côté libre pivotera dans toutes ses positions autour d'un point fixe (Prop. III), et la droite qui joindra ce point avec le pôle dont on a fait abstraction donnera la position de l'un des côtés du polygone cherché, au moyen de quoi on trouvera successivement tous les autres côtés.

Corollaire I. — Quand le polygone abcd..., au lieu de s'appuyer sur autant de droites différentes concourant en un seul point qu'il a lui-même de sommets, s'appuiera seulement sur deux lignes droites quelconques, de façon que ses sommets successifs reposent alternativement sur l'une et sur l'autre de ces droites, la Proposition III, que nous venons de démontrer, pourra encore lui être appliquée; en sorte que, si tous les côtés, excepté un seul, tournent autour de pôles respectifs, le dernier côté pivotera lui-même autour d'un pôle, qui se trouvera en ligne droite avec les autres quand ceux-ci seront également disposés en ligne droite.

Corollaire II. — Dans la même supposition de deux directrices uniques, si on laisse libre un sommet a, tous les côtés étant assujettis à tourner autour de pôles respectifs, ce sommet libre parcourra une section conique, qui se réduira à une simple droite dans le cas où tous les pôles seraient euxmêmes situés en ligne droite.

r CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

DES POLYGONES MOBILES INSCRITS OU CIRCONSCRITS A UNE SIMPLE CONIQUE ET A D'AUTRES POLYGONES.

Proposition IV. — Lemme.

Si un triangle a.xy [fig. 9) est inscrit à une section conique (0), et qu'on le déforme en assujettissant deux de ses côtés XX et ay à tourner autour de points fixes p et p' comme pôles, le dernier côté xy resté libre, roule dans toutes ses positions

sur une autre conique tangente à (0) aux points t et t' où elle est rencontrée par la droite des pôles pp' . En d'autres termes, si le sommet a. d'un angle mobile est assujetti à parcourir une section conique (0), tandis que ses côtés pivotent respectivement autour de pôles fixes, la corde xy sous-tendue par l'angle dans la courbe roulera sur une autre conique.

En effet, la figure peut être remplacée par une autre dans laquelle la conique (0) devient un cercle et la ligne droite pp'

Fig. 10.

passe à l'infini [fig. 10); dans cette nouvelle figure, les côtés de l'angle se rrieuvent parallèlement à eux-mêmes, et par suite cet angle est constant ; donc aussi la corde sous-tendue

DES POLYGONES VARIABLES QUELCONQUES. i5

x' y roule sur un cercle concentrique au premier (0); d'où suit la proposition énoncée.

On voit de plus [fig- 9), que, quand le sommet a. est situé sur la droite /?/>', en t. par exemple, la corde xy se confond avec la tangente en t' à la conique (0); par la même raison elle se confond aussi avec la tangente en t quand a est en V . En outre , on peut s'assurer que dans cette fig. 9, l'enveloppe de xy est renfermée dans la courbe (0); par suite, elle, ne saurait loucher les tangentes en t et t' en dehors de (0); donc elle les touche aux points i et t' eux-mêmes, et, par conséquent, elle touche aussi en ces mêmes points la courbe (0), comme nous l'avions énoncé.

Remarque. — Cette conséquence résulte immédiatement de nos Principes (t. P% p. 4'4)> mais j'ai préféré en donner une démonstration directe afin de faire en quelque sorte la vérification de ces Principes par un exemple sensible.

Proposition V. — Lemme.

Imaginez {Jig. 1 1) qu'on mène à la courbe (0) des tangentes aux sommets x, y, <x du triangle mobile inscrit à cette courbe :

Fig. II.

y'/VV

on formera un triangle circonscrit XYA, dont les sommets X et Y parcourront respectivement deux droites ayant pour pôles

i6 ¥' CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

p' elp, lesquelles passeront par le point k où se coupent les tangentes tk et t'k menées aux extrémités de la droite des pôles p, p'. Quant au troisième sommet A qui correspond au côté xf du triangle inscrit, il restera libre et parcourra une nouvelle section conique tangente en t el t' h la proposée.

On se rendra raison de tout cela en se reportant à la Jig. lo, qui est la projection de celle-ci; il est visible, en effet, que, tandis que la corde variable x'y' roule sur une circonférence de cercle concentrique au cercle (0), le point A où se coupent les tangentes menées aux extrémités x', y' de cette corde, décrit par le même mouvement une troisième circonférence concentrique aux deux premières.

Remarque. — Quand la droite pp' qui passe par les pôles p et p' ne rencontrera pas la conique (0), ou, ce qui revient au même, quand le point k correspondant sera situé dans l'intérieur de cette courbe, les points de contact t, t' qui lui sont communs avec celles considérées ci-dessus n'existeront plus, et par suite ces courbes s'envelopperont les unes les autres sans se toucher. Néanmoins elles se comporteront entre elles comme si elles se touchaient effectivement (t. I*"", p. 200 à 208); circonstance qui offre une application remarquable de tout ce que nous avons dit en général [ibid., p. ^i5, etc.) sur les relations projectives des figures, et nous présente en même temps l'exemple de deux courbes qui ont une corde commune existant géométriquement sans, pour cela, avoir aucun point commun.

Le point k est ici visiblement le pôle de la droite pp'; c'est aussi le sommet de l'angle des deux directrices /rY et kH de la courbe des points A.

Proposition VI. — Lemme.

Soit toujours [Jig. 12.) le triangle mobile (xxy inscrit dans la conique [0) et dont les côtés a.x et cny passent par les pôles p et p', si d'un point quelconque A de cette courbe, on mène deux droites A x, ky aux extrémités de la corde mobile xy et qu'on prenne les points P et P' où elles coupent pp[ pour nouveaux pôles des côtés Kx, ky de l'angle A, la corde xy sous-

tendue par cet angle dans la courbe roulera sur la même section conique que la première.

En effet, les deux enveloppes auront la tangente xyen commun, et de plus, elles toucheront la courbe (0) aux deux mêmes

Fig. vi.

points t, t', ce qui ne peut avoir lieu sans qu'elles se confondent. Cela se démontre plus facilement encore sur la^g-. 10. Il est visible en effet que l'angle a' x'f de celte figure, peut être remplacé par tout autre angle ayant son sommet sur la circonférence (0), par conséquent de même mesure, de sorte qu'en faisant mouvoir ses côtés parallèlement à eux-mêmes, la corde xy correspondante roulera exactement sur la circonférence décrite par celle du premier angle.

Corollaire I. — On peut [fig- 12) se donner le pôle P à volonté sur pp' ; on en conclura le correspondant P' en traçant un triangle arbitraire ocxfaii moyen des deux premiers pôles /> et/?', joignant ensuite xP par une droite Vx qui donnera le point A, enfin traçant par A et jla droite Af qui coupera/?/?' en P' au point demandé.

Corollaire II. — Cette dernière remarque nous montre que si les trois premiers côtés ja, ocx, xA d'un quadrilatère focxAy inscrit à la courbe (0), passent par trois pôles fixes p', /? et P situés en ligne droite, le quatrième côté A j- passera aussi dans toutes les positions correspondantes, par un quatrième pôle invariable P' de cette ligne droite.

Corollaire III. — De même qu'il y a une infinité de couples de pôles p et/?', P et F, etc., au moyen desquels on peut II. 1

i8 1" CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

obtenir l'enveloppe des cordes xy\ il y a aussi une infinité de systèmes de directrices correspondantes hY et /fX [fi^. i i)qui peuvent déterminer la section conique parcourue par le point A; mais tous ces systèmes ont le point h commun. On pourra se donner à volonté l'une d'elles /rY', pourvu qu'elle passe par le point /r; pour obtenir sa conjuguée /rX', on circonscrira à la courbe (0) un triangle quelconque YAX s'appuyant sur les deux premières /r Y et /rX qui sont données ; le sommet A sera un point de la courbe correspondant à ces directrices. On formera avec les deux mêmes côtés AY, AX adjacents au sommet A, un nouveau triangle AY' X' circonscrit à la conique, et ayant un de ses sommets Y' sur la droite donnée Y' A-, le troisième sommet X' de ce triangle sera un point de la directrice /rX' conjuguée à /rY'.

On peut remarquer qu'à un même pôle P ou à une même directrice /rY' il en correspond toujours deux autres.

Proposition VII. — Lesime.

La courbe sur laquelle roule la corde variable xy [Jig. 1 1 et i3) se réduira à un point quand, dans une de ses positions

Fig. .3.

pour laquelle le triangle correspondant xya subsiste, cette corde xy passe par le pôle If conjugué (t. I", p. 44^) à la droite pp', qui joint les pivots p et p' des deux côtés olx et xy de

l'angle a.

En effet, si, dans cette circonstance, l'on met la figure en pro-

jeciion, de manière que la courbe (0) devienne un cercle et que la droite pp' passe à l'infini, il est visible [fig. 10) que le pôle k deviendra le centre 0 de ce cercle; or la droite x'y' passant par hypothèse par ce point, l'angle x' a' y' correspondant sera droit; donc en faisant mouvoir ses côtés parallèlement à eux-mêmes, le sommet A restant toujours sur le cercle (0), la corde x' y' passera constamment par son centre; donc aussi sa correspondante xy [fig- i3) pivotera sur le point Je, projection de ce centre et pôle conjugué à pp'.

Remarque. — On ne peut pas prendre arbitrairement les deux pôles p ei p' sur la droite polaire de k; mais si l'on se donne sur cette droite l'un d'eux, p par exemple, on trouvera tout de suite l'autre/?' qui lui correspond, ainsi qu'il suit : tracez arbitrairement xy passant par le pôle k de la polaire donnée pp', joignez px qui donnera a, tracez entin xy qui vous donnera le point p' cherché. On obtiendrait ce même point en joignant/? k y pour obtenir a', et ensuite a' h x; cela paraîtra évident si l'on considère la projection {Jig. 10). Il n'est pas difficile de s'apercevoir que les points/? et k sont, à f égard du troisième p', ce que les pôles p el p' sont à l'égard du premier k, en sorte que p' est le pôle conjugué de la droite pk; par la même raison, p est le pôle de kp'.

Corollaire. — De celte dernière remarque il suit que « si » trois points pris sur le plan d'une conique sont tels, que » l'un d'eux pris à volonté soit le pôle de la droite qui joint » les deux autres, on pourra inscrire dans la section conique )) une infinité de triangles, dont les côtés passent par les trois » points en question ».

Toutes ces remarques ont leurs analogues quand on considère un triangle AXY {fig. n) circonscrit à une section conique (0) et dont deux sommets XY sont assujettis à parcourir des directrices fixes k\ et /rX : ainsi par exemple, on a la proposition suivante.

Proposition VllI. — Lemme.

Soit (0),Jig. i4> une section conique, A Y et k\ deux directrices situées sur son plan et tellement choisies que chacune

d'elles passe par le pôle conjugué à l'autre, le troisième sommet oc. d'un triangle ctxy' circonscrit à la courbe et dont les deux autres sommets parcourent ces directrices, décrira dans toutes ses positions une ligne droite a t' t, polaire conjuguée à leur point d'intersection k.

Il est visible, en effet, que dans notre supposition, si l'on détermine la droite tt' polaire du sommet k des deux directrices, le point /? où elle coupera l'une d'elles kY sera le pôle de l'autre /*X; or, il n'est pas difficile de s'assurer, en consi-

Fig. 14.

déraniles diverses positions du sommet libre a du triangle xfcc, qu'il coïncidera dans l'une d'elles avec le point p; donc la section conique, décrite en général par a, devant à la fois contenir ce point et les points de contact t et t' (Prop. IV et V) en ligne droite avec p et p', elle se confondra tout entière avec cette droite.

Remarque. — 11 résulte de ce qui précède un paradoxe assez singulier; puisque la courbe parcourue par le point a doit en général toucher la courbe (0) aux deux points t et t', quand ces points existent réellement, il s'ensuivrait que la droite tt'

décrite par le sommet a. dans le cas actuel devrait aussi loucher la courbe en ces points, ce qui semble au premier abord une absurdité; mais, en y réfléchissant, on verra que la droite tV ou pp' est en quelque sorte la limite des hyperboles qui, susceptibles d'être décrites par le point a, toucheraient la courbe aux points t et t', de sorte que les deux parties de pp' situées en dehors de cette courbe peuvent être considérées comme appartenant aux deux branches de l'une des hyperboles en question, dont les asymptotes, infiniment voisines l'une de l'autre, se confondraient avec les prolongements de tt\ En effet, les points / et t' sont des espèces de limites que le point a ne saurait franchir, puisqu'il ne peut jamais entrer dans la conique; la partie tt' de la droite pp' ne satisfaisant réellement pas à la condition qui définit les sommets a.

La construction des lignes courbes et la géométrie descriptive offrent mille exemples de circonstances semblables. Elles se reproduisent, en général, toutes les fois que la courbe décrite par un point mobile, se trouve abaissée à un degré inférieur par quelque condition particulière.

Proposition IX. — Théorème.

Un polygone, abcd...f{fig. i5), étant inscrit dans une conique, si on le déforme de toutes les manières possibles en

Fig.

assujettissant à pivoter autour de pôles respectifs p, p',..., tous ses côtés à l'exception d'un*seul, af, qui restera libre, ce

dernier côté roulera sur une section jconique tangente en deux

points à la proposée.

Considérons d'abord le pentagone abcde formé par les quatre premiers côtés du polygone en question et la diagonale ae qui joint son premier et son cinquième sommet. Par les pôles p et/?' faites passer la droite pp\ joignez pareillement les pôles p" et p'" par la droite p"p"' qui prolongée coupera la première en P'. Par ce point P' et le sommet c, faites passer la droite V ex qui coupera la courbe en un second point x, tracez enfin ax qui viendra couper/?/)' en P, vous formerez le quadrilatère mobile abcx, dont les trois premiers côtés passeront par les trois pôles p, p' et P' situés en ligne droite; donc (Prop. VI, Coroll. II) le quatrième côté ax passera par le quatrième pôle fixe P situé sur la droite/?/?'. Si vous tracez pareillement xe qui coupera la droite p" p'" en P", vous formerez le quadrilatère xcde dont les trois premiers côtés passent par les trois pôles P', p" et //' situés en ligne droite; donc le quatrième côté mobile xe passe aussi dans toutes ses positions par le pôle P" situé sur la droite/?"/)'".

Ainsi le cinquième côté ae du pentagone abcde se confond constamment avec le côté libre du triangle inscrit axe dont les deux autres côtés xa et xe passent par les pôles respectifs P et P'' ; donc le polygone abcdef que nous considérons peut être remplacé par axef, qui a deux côtés de moins et dont tous les côtés, excepté le dernier af qui leur est commun, tournent autour de pôles respectifs.

En traitant ce nouveau polygone de ai — 2 côtés et de n — 3 pôles comme le précédent, on le remplacera par un autre de n — 4 côtés et de n — 5 pôles, et en continuant ainsi on parviendra à remplacer le polygone proposé par un dernier de trois ou quatre côtés avec deux ou trois pôles, selon que le nombre de ses côtés sera impair ou pair.

Cette construction exigeant qu'il y ait au moins quatre pôles, elle ne pourra pas servir à remplacer le quadrilatère par un simple triangle. La suivante remplira ce but :

Soit abcd [fig. 16) le quadrilatère dont il s'agit; /), p' et p" les pôles de ses trois premiers côtés ; on tracera la droite/)/?' passant parles deux pôles p et p'; on tracera pareillement la droite P'P" qui a p" pour pôle, laquelle prolongée, rencontrera la

première en P'; on joindra P' et c, ce qui donnera ^; enfin on tracera les droites xa et xd qui couperont pp' en P etP'P"

Fig. i6.

polaire de p" en P". Je dis maintenant que, pour toutes les positions possibles du quadrilatère mobile abcd, ax et xd passeront constamment par les pôles P et P" déterminés comme on l'a expliqué ci-dessus.

En effet, en considérant le quadrilatère ahcx dont trois côtés passent par trois pôles p, />', P', situés en ligne droite, on verra encore que le côté libre ax doit passer constamment par le quatrième pôle fixe P situé sur la même droite (Prop. VI, Coroll. I). Puis, considérant le triangle mobile cxd, on démontrera sans peine, à l'aide des remarques déjà présentées ci-dessus (Prop. VII), que le côté libre xdAe ce triangle doit passer constamment par le point P"; donc aussi le quadrilatère mobile abcd peut être remplacé par le triangle axd dont deux côtés ax et xd passent par des pôles fixes et dont le troisième ad, qui est resté libre, se confond avec le quatrième côté du quadrilatère.

Donc enfin, quel que soit le polygone considéré, l'on parviendra toujours, par des constructions successives, à déterminer les deux pôles d'un dernier triangle dont le côté libre prendra successivement toutes les positions du côté libre du polygone primitif, et par conséquent (Prop. IV), ce dernier côté roule sur une section conique qui touche la proposée en deux points, lesquels se trouveront, comme on l'a vu, à Fin-

a4 1" CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

terseclion de cette courbe avec la droite qui joint les deux derniers pôles trouvés.

Voici un autre théorème qui est la conséquence immédiate de celui que nous venons de démontrer.

Proposition X. — Théorème.

Quand un polygone ABCD . . . a {fig- i"]) est en même temps circonscrit à une conique (0) et inscrit dans un polygone MNPQ..., à l'exception d'un de ses sommets oc resté libre, si l'on vient à le déformer de toutes les manières possibles d'après ces conditions, le sommet libre a parcourra dans ses diverses positions une même conique touchant la proposée en deux de ses points.

Joignant successivement les points de contact des côtés du polygone mobile par des lignes droites ab, bc, cd,. .., on formera un polygone inscrit abcd..., mobile comme le premier, et dont tous les côtés seront assujettis à passer par autant de

Fig.

points fixes qui seront les pôles des côtés correspondants du polygone fixe donné MNP...., excepté un dernier côté ae correspondant au sommet a. et restant libre avec lui. Or, nous avons démontré (Prop. IX) que ce polygone pouvait être remplacé par un triangle mobile dont deux côtés passeraient par des points fixes ou pivots faciles à assigner, et dont le côté libre se confondrait avec le dernier côté ae du polygone abcd. . .; donc le sommet a, qui correspond à ce côté, par-

DES POLYGONES VARIABLES QUELCONQUES. i5

courra une section conique (Prop. V) louchant la courbe (0) en deux points.

Remarque. — Un cas très-remarquable des Propositions précédentes est celui où tous les points/;, p', p",. . ., sont en ligne droite; alors le polygone MNP. . . [fig. 17) cesse de subsister, parce que tous ses côtés directeurs concourent en un point unique, lui-même évidemment pôle de la ^ro\\e pp' p" ..., qui renferme les pivots du polygone inscrit abcde. . . Nous allons maintenant nous proposer l'examen de ces circonstances particulières.

Proposition XI. — Théorème.

Si tous les côtés d'un polygone ahcd. . .f (Jig. 18) inscrit à une conique, pivotent sur les pôles respectifs p, p', p",. . ., situés en ligne droite à l'exception du côté af qui reste libre, ce dernier côté passe dans toutes ses positions par un dernier pôle situé sur la droite qui contient les premiers, quand toutefois ceux-ci sont en nombre impair.

Considérons pour exemple le cas particulier de cinq pôles p, p', p", p'", p^" donnés en ligne droite. Soit tracée la diagonale ad qui forme avec les trois premiers côtés le quadrilatère inscrit abcd, les trois côtés ab, bc , cd passant par des

Fig. 18.

pôles p, /?' et //' situés en ligne droite, il arrivera que le quatrième côté ad passera aussi dans toutes ses positions par un même pôle P s'itué sur la droite pp' p" (Prop. VI, CoroU. II). En considérant le quadrilatère suivant adef, on prouvera de même que son côté libre a/ tourne dans toutes ses positions autour d'un pôle P' situé sur la droite pp' p" • • • , comme il s'agissait de le démontrer.

Or, il est visible que la même démonstration s'appliquera à

i6 l" CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

tout polygone d'un nombre de côtés pair avec un nombre impair de pôles; car on pourra toujours le partager en plusieurs quadrilatères par des diagonales partant du point a et qui tourneront dans toutes leurs positions, autour d'autant de points fixes situés sur la droite des pôles; donc la proposition énoncée a lieu dans toute sa généralité.

Corollaire I. — Dans le cas où le nombre des côtés du polygone inscrit serait impair et où, par •conséquent, celui des pôles, toujours en ligne droite, serait pair, le dernier côté ne tournerait plus autour d'un point fixe, mais il décrirait, comme dans le cas général , une section conique touchant la proposée aux deux points t et /', où celle-ci est rencontrée par la droite des pôles p, p', p",. . .

En effet, si l'on considère le dernier triangle afe formé par le côté libre, le dernier côté fe qui tourne autour d'un pôle i\\Q p^^ et la dernière diagonale ae de ce polygone, il est évident qu'en retranchant ce triangle du polygone entier, il restera un polygone qui rentrera dans le cas précédent. Donc le dernier côté de ce polygone ou la diagonale ae du proposé tourne dans toutes ses positions autour d'un pôle situé sur la droite/?/?'/?"..., d'où l'on conclura que le côté libre «/du triangle aef roule sur une conique (Prop. IV) touchant la proposée aux points t et t'.

L'on voit par ce que nous venons de dire, qu'on aura tout de suite les deux pôles du triangle mobile ae/dont le côté af engendre la courbe; car l'un de ces pôles /?"" est donné, et l'autre s'obtiendra en prolongeant la diagonale ae jusqu'à sa rencontre avec la direction pp' p"

Corollaire II. — Il suit encore de ce qui précède, que toutes les diagonales de rang pair d'un polygone inscrit, tournent par l'effet du mouvement général, autour d'autant de pôles situés sur la direction pp' p", et que toutes celles d'un rang impair roulent sur des sections coniques qui touchent la proposée aux deux mêmes points t et t' (*).

(*) Nous avons déjà donné une démonstration géométrique directe et générale de la Proposition précédente, ainsi que de celle qui suit, dans le IV^ Cahier des anciennes Notes (t. I, p. 208). [Manuscrit de 181 4.)

Proposition XII. — Théorème.

Quand tous les sommets d'un polygone mobile ABCDEa ijig. 19), circonscrit à une conique (0), sont assujettis, sauf un seul X qui reste libre, à parcourir autant de droites respectivesKM, KN, KP,..., concourant toutes en un même point K, le dernier sommet oc parcourra lui-même une ligne droite Ka passant par le point de concours K des premières, si toutefois, le nombre des côtés de ce polygone est pair, ou que le nombre des directrices KM, KN,. . . est impair.

En effet, formez le polygone inscrit abcdef, ayant pour sommets les points de contact du polygone circonscrit, il ne sera pas difficile de démontrer que tandis qu'un sommet A du polygone circonscrit parcourra la directrice KM, le côté ab du

polygone inscrit qui lui correspond tournera autour d'un point fixe p; donc tous les côtés du polygone inscrit abcd.. ., à l'exception du côté af, resté libre puisqu'il correspond à a, pivoteront chacun autour d'un point fixe, et ces points seront évidemment situés sur une même droite, puisque leurs polaires respectives KM, KN,..., se coupent en un seul et même point K; de plus, il est visible que ce dernier point sera le

pôle conjugué à pp'p" ■ • ■ Donc, puisque le nombre des pivots en ligne droite du polygone inscrit est impair, son côté libre «/"(Prop. XI) pivotera dans toutes ses positions sur un même point P, de la droite ûxepp'p". . ., qui renferme tous les autres, et par suite, le sommet a qui lui correspond parcourra, comme tous les autres sommets du polygone circonscrit, une ligne droite Ka, laquelle passera évidemment par le point K.

Corollaire. — Quand le nombre des côtés du polygone circonscrit est impair, on prouve, à l'aide de la Proposition précédente (CoroU. I), que le sommet a parcourt une section conique touchant la courbe (0) aux deux points de contact des tangentes menées du point K à cette courbe.

Remarque. — Nous ne nous attacherons pas à démontrer toutes les conséquences particulières des propositions précédentes, qui sont aussi intéressantes que multipliées, à cause de la grande facilité avec laquelle ces conséquences pourraient se déduire des propositions générales auxquelles elles correspondent; nous nous bornerons à faire observer, que ces propositions auraient encore lieu dans le cas où deux ou plusieurs pôles se réuniraient en un seul comme dans celui où une ou plusieurs directrices se confondraient en une seule.

Soit, par exemple, le quadrilatère abcd inscrit dans une conique iO),Jig. 20; si l'on fait mouvoir ce quadrilatère en

assujettissant ses côtés opposés ab et cdà passer constamment par le même point fixe pp", tandis que le côté bc est astreint à

pivoter autour de p' comme pôle, il en résultera que le quatrième côté ad, resté libre, pivotera aussi autour d'un même point placé sur le prolongement de la droite/?'/?" : il est visible, en effet, que les pivots des trois côtés ab, bc et cd satisfont à la condition d'être en ligne droite.

Par la même raison, si un quadrilatère abcd, circonscrit à une conique (0), Jig, 21, est assujetti à avoir ses sommets op-

Fig. 21.

posés a et c sur une droite KM, tandis que le troisième b parcourt une autre droite K'M', le dernier sommet libre d décrira dans toutes ses positions une troisième ligne droite Kc? passant par le point K, où se coupent les deux premières.

Proposition XIII. — Problème.

Étant donnés une section conique {(d) et n points situés saison plan, inscrire dans cette courbe un polygone dont les côtés passent respectivement par les points donnés, en ne se servant que de la règle quand la courbe est décrite.

On pourrait résoudre ce problème en observant que si l'on fait abstraction, pour un moment, de l'un des points donnés, et qu'on inscrive à volonté dans la courbe un polygone dont tous les côtés, à l'exception d'un dernier, passent par les points donnés, le côté libre (Prop. IX), correspondant au point dont on a fait abstraction , roule dans toutes ses positions sur une conique facile à construire ; de sorte que, pour résoudre le problème proposé, il suffira de mener à cette dernière courbe, parle point en question, une tangente de laquelle on déduira

3o l" CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

un polygone inscrit dont les côtés passeront évidemment par les points respectifs donnés, et qui sera par conséquent une des solutions du problème proposé. D'ailleurs, de ce que d'un point donné on peut mener en général deux tangentes à une section conique et qu'on n'en peut mener davantage, il résulte qu'on ne pourra non plus trouver que deux polygones inscrits à la courbe proposée et dont les côtés passent par des points donnés.

La solution précédente, quoique générale et en apparence très-simple, a l'inconvénient d'exiger l'emploi du compas et de constructions assez multipliées ; la solution suivante n'a pas les mêmes désavantages.

Soit (0), Jig. 22, la conique donnée ; p, p', p" ,. . ., les points par lesquels doivent passer les côtés du polygone cherché. Construisez de proche en proche, en partant du point arbitraire a, les côtés successifs d'un polygone ahcd..., passant chacun par

Fig. 22.

un des points donnés; s'il arrivait qu'en traçant le côté/g" passant par le dernier pôle j»"", le polygone se fermât de lui-même, c'est-à-dire si le point g se confondait avec le point a d'où l'on est parti, il est visible que le polygone abcd. . .fg [fig. 22) ainsi construit serait une des solutions du problème qui nous occupe ; mais généralement ce polygone ne se refermera pas de lui-même. Soit donc tracé le dernier côté ag qui ne passe par aucun des points fixes ou donnés, on formera ainsi un premier polygone abcd...fg inscrit à la conique proposée et dont tous les côtés, à l'exception d'un seul ag, passeront par les points p, p', p", . . . , arbitrairement donnés. Cela posé, concevons que l'on fasse varier le sommet a de

DES POLYGONES VARIABLES QUELCONQUES. 3i

toutes les manières possibles, le côté libre ag variera aussi (Prop. IX); mais il touchera dans ses positions diverses une même section conique; or, il est visible que si, parmi les positions qu'il peut prendre autour de cette courbe, il en existe pour lesquelles sa longueur ag, comprise dans la conique (0), soit nulle, les polygones abcd..., qui leur correspondent, seront les polygones mêmes demandés. Celte circonstance aura évidemment lieu pour les deux points où la conique auxiliaire décrite par ag touche la conique proposée ; la recherche qui nous occupe est donc finalement ramenée à trouver ces deux points.

Nous avons démontré (Prop. IX) qu'il est toujours possible de trouver, par des constructions successives dépendantes de la Géométrie de la règle, les pôles P et P' de deux des côtés d'un triangle inscrit axg, dont le côté libre ag roule sur la même section conique que celle qui serait parcourue par le côté ag, considéré comme appartenant au polygone ci-dessus abc.ga. Or, nous avons démontré (Prop. IV) que cette courbe touche la conique donnée (0) aux deux points t et t', où cette dernière est rencontrée par la droite PP' qui joint les deux pôles P et P' du triangle mobile axg; chacun de ces points est donc le dernier sommet de l'un des deux polygones cherchés, sommet d'où l'on déduira d'une manière facile et par la règle tous les autres éléments de ces polygones, qui seront ainsi entièrement déterminés.

Remarque. — D'aprèl cela, le problème sera susceptible de deux solutions, d'une seule, ou sera impossible, selon que la droite PP' rencontrera la section conique donnée en deux points, en un seul, ou ne la rencontrera pas du tout.

Si la section conique (0) n'était donnée que par cinq quelconques de ses points, on trouverait encore par la règle seule, les pôles P, P' : les intersections de cette courbe avec la droite PP' s'obtiendraient ensuite comme nous l'avons indiqué aux p. 367 et suiv. du t. I" de ces Applications ou de toute autre manière. Une fois les points t et t' connus, on achèverait les polygones demandés par des constructions qui n'exigeraient plus que le secours de la règle.

La solution du problème précédent a occupé un grand

nombre de géomètres distingués ; mais ils ne sont parvenus à le résoudre que pour le cas du cercle et en faisant usage du compas. On trouve cependant une solution par la règle, du cas particulier de trois points et d'un cercle, dans les Annales de Mathématiques de Nîmes {\. I, 1810). M. Servois (*), en en donnant la démonstration, l'a étendue au cas d'une section conique quelconque et de trois points arbitraires. Nous ferons connaître plus loin celle qu'on déduit, pour ce cas particulier, de la solution générale exposée ci-dessus : nous en ferons autant pour celui où l'on se donnerait quatre points au lieu de trois, parce que la solution relative à ce cas est remarquable "par son extrême simplicité.

Proposition XIV. — Problème.

Inscrire [Jig. 28) dans une conique décrite (0), un triangle dont les côtés passent respectivement par trois points donnés p, p' , p", en ne faisant usage que de la règle.

Tracez arbitrairement les trois premiers côtés ab, bc et cd

Fig. 23.

d'un quadrilatère inscrit dans la courbe, passant par les points

{*) On sait que c'est à M. Gergonne et à son camarade d'artillerie l'abbé Servois, mon professeur en 1806 au lycée de Metz, que l'on doit les dénominations de pôle et de polaire appliquées à un point et à sa conjuguée harmonique, dénominations que j'ai adoptées dans le texte cidessus, d'après l'exemple qu'ils en ont donné dans les t. I, p. SSy, et II, p. 297 des Annales citées. [Note ancienne rectifiée.)

donnés p, p', p" ; tracez également la droite P'P", polaire du point j9"; joignez les deux autres points fixes /?,/?'par la droite indéfinie pp' qui coupe P'P" en P"; tracez de même P"c, qui rencontre la courbe en un second point xi enfin, tirez ax et dx, qui vous donneront les points P et P' par leurs intersections avec les droites pp' et P"P'. Cela posé, les points t et t', où la droite PP' ainsi obtenue viendra rencontrer la courbe, indiqueront l'un et l'autre des sommets des deux triangles cherchés, desquels on déduira par conséquent la position même de chacun de ces triangles.

Cette solution se simplifie beaucoup en remarquant, d'après la Prop. VII, que les points P', P" et p" sont tels, que l'uA quelconque d'entre eux est le pôle de la droite qui joint les deux autres. Ainsi P' {Jig. i^) est le pôle de la droite p"V" conte-

Fig. 24.

nant le pôle inconnu P", et par conséquent toute droite P'/?'/? émanant de ce point P', coupera la courbe en deux points T, T', tels, que les tangentes TA et T'A, qui leur correspondent, se rencontrent en un point A de la droite p"V" . Or ce point est évidemment celui où se coupent les deux droites AB et AC, qui ont respectivement/? et/?' pour pôles; donc, pour trouver P", il suffit de joindre le point A avec/?", par une droite indéfinie kp", qui par son intersection avec BC, polaire de p", donnera le point demandé.