II

Mainlenanl, faisons allenlion que si, au lieu de pp' passant par les pôles p eip', on eût tracé la droite des pôles p' et p" et qu'on lui eût appliqué les constructions indiquées ipour pp', sur \sijig. 23 ci-dessus, on aurait obtenu, au lieu des points P et P' qui déterminent la droite cherchée tt', deux autres que je nommerai tt, t:", appartenant à la même droite, en sorte que deux de ces quatre points, P" et tt", je suppose, suffisent pour la déterminer complètement. Mais le pôle -n" en particulier {^g. 24)> s'obtient par une construction tout aussi simple que celle du point P", en joignant par une droite le pôle p opposé à p' p", et le point C où se coupent AC et CB polaires dep' et/?"; car, sî on prolonge cette droite, elle coupera AB, polaire de p, au point tt" demandé. On peut donc construire avec la règle seule, la droite 7:"P" qui donnera, par ses intersections en / et t' avec la courbe (0), les sommets de deux triangles inscrits dont les côtés passent par les points p, p', p".

Remarque. — Cette solution revient à celle exposée par M. Servois, à l'endroit cité plus haut des Jnnales de Nîmes ; nous avons voulu montrer comment elle peut se déduire de notre solution générale déjà exposée ci-dessus. Au reste, elle se démontrerait à priori par nos Principes de projection.

Proposition XV. — Problème.

Inscrire dans une conique donnée (0), Jig. aS, un quadrilatère dont les côtés passent par les quatre points également donnés p, p', p" et p'".

Tracez les deux droites pp', p" p'" que vous prolongerez

Fig. 25.

jusqu'à leur rencontre en P'; tracez également un pentagone

quelconque nbcde inscrit dans la courbe, et dont les quatre premiers côtés passent par les points donnés; joignez le troisième sommet c avec P' par la droite V c qui, prolongée, coupera la conique en un second point x ; tracez enfin ax et ex qui couperont respectivement pp' et p" p'" en P et P"; la droite PP" coupera la courbe en deux points t ex t' qui appartiendront respectivement aussi aux quadrilatères cherchés; c'est-à-dire qu'ils en seront l'un et l'autre les derniers sommets , d'où l'on déduira par conséquent tous les autres au moyen des pôles ou points donnés /?, />', p'\ p'".

Proposition XVI. — Problème.

Circonscrire à une conique {0),fig. 26, un polygone k^CT) ... , qui soit en même temps inscrit dans un polygone donné MNPQ..., c" est-à-dire dont les sommets soient sur les côtés respectifs de ce dernier polygone ; en ne se servant que de la règle, quand la conique est décrite.

D'après la Proposition X, si on laissait libre le dernier sommet E du polygone cherché en faisant abstraction pour un instant, du côté MR qui lui correspond dans le polygone donné, et qu'on déformât ce polygone de toutes les manières possibles,

le sommet libre E parcourrait une section conique; donc les points où cette section conique rencontrerait le côté MR, dont on a fait d'abord abstraction, indiqueraient la position des der-

niers sommets des polygones cherchés. Mais, comme la seclion conique parcourue par E n'est pas décrite, la solution précédente exigerait l'emploi du compas. Pour ne pas y avoir recours on ramènera le problème à celui de la Proposition XIII, ainsi qu'il suit :

On déterminera les pôles p, p',p"..., des côtés respectifs MN, NP,..., du polygone donné, ce qui s'exécutera par la règle seule; on construira ensuite (Prop. XIII) un des deux polygones abcd... inscrits dans la courbe (0), et dont les côtés passent respectivement par les points p, p', p", ..., trouvés ci-dessus; il est visible que si l'on circonscrit enfin à cette conique, un polygone dont les côtés respectifs la touchent aux sommets du précédent abcd..., ce polygone sera en même temps inscrit dans le polygone donné MNPQ. . . .

Remarque. — Si l'on trouvait la solution précédente trop pénible à cause du grand nombre de lignes à tracer, on ferait usage de la suivante, qui n'a pas le même inconvénient, mais qui est aussi moins directe.

Soit circonscrit à la conique donnée {0),fig. 27, un polygone arbitraire EABC... a dont tous les sommets, à l'exception d'un seul a. , se trouvent situés sur les côtés du polygone MNP...; il aura ainsi évidemment un sommet de plus que

le polygone cherché; mais si, parmi le nombre infini de polygones analogues à EAB. .. a, il s'en trouve un ou plusieurs pour lesquels les côtés Ea et D a se confondent en une seule et même droite, ces polygones seront évidemment les polygones demandés. Or on sait (Prop. X) que tous les sommets a sont situés sur une même section conique tangente en deux

points à la proposée (0); donc il existe en effet deux positions du polygone «EAB. . . a, pour lesquelles le point a. se trouve sur la courbe (0), ce qui ne peut avoir lieu sans que les côtés Ea et Da se confondent en un seul tangent à la courbe en ce point. On obtiendra donc l'un des côtés du polygone cherché en menant à la conique ( 0 ) une tangente comprise entre les côtés MR et RQ, en l'un des points où cette courbe est touchée par celle que parcourt le sommet libre a : c'est donc à la recherche de ces defix points de contact que se réduit le problème proposé. Pour y parvenir, on choisira trois positions arbitraires du sommet a, et la question se trouvera ramenée à la suivante, beaucoup plus simple.

Etant donnés arbitrairement trois points sur le plan d'une section conique décrite, déterminer, par la règle seule, la droite qui contient ceux où cette courbe serait doublement tangente à une autre conique passant par les points donnés {*].

Nous nous bornerons à indiquer ici la construction, en ellemême extrêmement simple, et dont on trouvera la démonstration dans un autre Cahier ( ** ).

(*) En d'autres termes, « par trois points donnés sur le plan d'une conique décrite, lui mener une autre conique doublement tangente » ; ce qui se réduit proprement à déterminer la position de la sécante indéfinie de contact, commune aux. deux courbes, toujours réelle, mais purement idéale quand le contact est imaginaire. La solution indiquée dans le texte dérive évidemment des données et théorèmes exposés p. 268 et suiv. du t. l" de ces applications ; or M. Moutard me fait observer que cette solution étant quadruple , elle donne lieu à une incertitude relative au choix de la sécante inconnue de contact, tandis qu'il n'existe en réalité qu'une seule courbe des sommets a et une seule sécante contenant les sommets inconnus des polygones cherchés. Cette observation est parfaitement exacte; mais on doit considérer qu'il s'agit ici de simples tentatives de solutions, d'un acheminement vers les élégantes et faciles constructions linéaires, énoncées dans le t. VIII des yi finales de Mathématiques, sous la date d'octobre 1817. [Voir le VI* Cahier à la fin du présent volume.)

(**) Ce Cahier contenait un grand nombre de lemmes, de théorèmes ou de problèmes suivis de notes détachées, sans lien nécessaire et en majeure partie résumés dans le Traité des Propriétés projectiles , dont j'ai l'intention de publier prochainement une nouvelle édition. Ces fragments

Soient a, b deux des trois points donnés; de chacun de ces points on mènera deux tangentes à la courbe proposée (0), Jig. 28, ce qui déterminera les points de contact T, ï', Q, 9'; on joindra les deux points 9 et ï qui correspondent aux

tangentes extérieures 9 a etTb, par une droite 9T qui, étant prolongée, ira couper celle ab des points donnés en un autre point tt; ce point sera l'un de ceux de la corde cherchée. En effectuant une construction semblable pour les points b et c, on obtiendra sur bc un second point tt' appartenant aussi à la corde cherchée; donc tttt' sera celte corde. Si l'on avait combiné directement le point a avec c, on aurait obtenu un troisième point tt", non indiqué, qui se serait trouvé sur la même ligne droite que les deux premiers.

Remarque. — Il n'est pas nécessaire de tracer les tangentes a9, aQ', etc., dont il a été question ci-dessus; il suffira de déterminer les deux points où elles touchent la courbe (0) : ces points s'obtiendront facilement en construisant les droites 99' et ÏT' polaires des points a et b. Il est visible aussi qu'on aurait encore obtenu le point n, si au lieu de joindre 0 et T on eût joint 9' eiV qui appartiennent aux tangentes a9' et bV.

ont d'ailleurs servi de base à divers articles imprimés en 181 7 dans le Journal do Gergonne, et que je reproduis textuellement dans le VP Cahier de ee volume , à cause de leur intérêt historique et de la rareté de la Collection.

Je vais maintenant m'occuper du cas particulier où les points

donnés sont en ligne droite et de celui où tous les côtés du

polygone MNP... concourent en un même point; ce qui

donnera lieu à plusieurs remarques intéressantes.

Proposition XVII. — Problème.

Inscrire dans une conique donnée un polygone dont les côtés passent par des points en nombre quelconque, rangés sur une même ligne droite.

Il y a deux cas à distinguer : celui où le nombre des points donnés est impair, et celui où il est pair.

P"" Cas. — Imaginez ijig. 2g ) qu'on inscrive au hasard dans la courbe, un polygone abcd dont tous les côtés, sauf le dernier ad, passent par les points donnés/?, p' , p",. . . supposés en nombre impair; ce polygone ayant ainsi un nombre pair

de côtés; si (Prop. Xï) on le déforme arbitrairement, le dernier côté libre passera toujours par un même point P situé sur la direction de pp'. Donc enfin, si l'on mène par P une tangente PT à la conique, et que l'on construise le polygone correspondant, ce sera un des polygones demandés, puisque le côté libre ad sera réduit à zéro, les points a et rf se trouvant réunis en un seul.

On obtiendrait l'autre solution du problème en menant par le point P une seconde tangente Pï' à la courbe; mais au lieu de tracer les tangentes elles-mêmes, ce qui est inutile, on déterminera pgr une construction très-simple la droite ïï' qui

4o P' CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

a P pour pôle et qui contient les derniers sommets T et ï'.des

deux polygones cherchés.

IP Cas. — Quand le nombre des points donnés p, p' ,. . .V situés sur une même ligne droite sera pair, il résulte de la Proposition XI que si le problème admet une seule solution, il y en aura par là même une infinité ; car en faisant pour un instant abstraction de l'un de ces points et laissant libre le côté correspondant, si l'on déforme le polygone de toutes les manières possibles, le côté libre passera, dans toutes ses positions, par un point de la droite des pôles. Or ce point est nécessairement le même que celui dont on a fait abstraction, puisque le côté libre y passe par hypothèse, au moins dans une de ses positions; donc il ne peut exister que l'une de ces circonstances : ou le problème est complètement impossible, ou il admet une infinité de solutions.

On s'assurera que l'uh ou l'autre de ces deux cas se présente, en inscrivant à volonté dans la conique un polygone dont les côtés respectifs passent par les points donnés : s'il reste ouvert, il n'y aura pas lieu à solution; dans le cas contraire, tous les polygones tracés d'après les mêmes conditions que le premier, se refermeront d'eux-mêmes, et seront par conséquent autant de solutions du problème proposé.

Remarque. — Tout ce que nous venons de dire subsisterait encore dans le cas où deux ou plusieurs des points donnés se confondraient en un seul.

Proposition XVIII. — Problème.

Circonscrire à une conique donnée {0), fig. 3o, un polygone dont les sommets soient situés sur des droites aussi données MK, NK, . . ., concourant toutes en un même point K.

I" Cas. — Quand le nombre des droites données sera impair, on circonscrira à la courbe (0) un polygone quelconque ABC. . . a dont les sommets soient sur les droites données, à l'exception d'un seul a; on joindra le dernier sommet ainsi obtenu au point K par la droite Ka, qui coupera la courbe en deux points B et 9' indiquant respectivement le point de con-

DES POLYGONES VARIABLES QUELCONQUES. 4i

lact du dernier côté de chacun des polygones cherchés, d'où l'on déduira tous les autres côtés par des constructions fort

Fifî. 3o.

simples, en n'employant que la règle. Cette solution trouve sa démonstration dans la Proposition XII.

IP Cas. — Quand les droites données MK, NK, etc., sont en nombre pair, il arrivera, comme dans le deuxième cas de la Proposition XVII, que le problème proposé, ou sera entièrement impossible, ou qu'il admettra une infinité de solutions, ce qu'on reconnaîtra en circonscrivant à cette même courbe un polygone quelconque dont les sommets se trouvent sur les droites données : si le polygone ainsi formé au hasard remplit les conditions du problème , il y en aura une infinité d'autres semblables ; dans le cas contraire, il n'y en aura aucun.

On voit, par ce qui précède, que les solutions exposées ( Prop. XIII et XVI) deviennent d'une simplicité extrême dans les cas particuliers qui viennent d'être examinés; elles n'exigent que l'emploi de la règle et le tracé de la courbe donnée; or il me semble qu'elles seraient difficilement obtenues d'une manière plus simple ou à l'aide d'un moindre nombre de lignes. Il en est ainsi encore des solutions générales déjà exposées ci-dessus (Prop. XIII et XVI).

Avant de quitter ce sujet intéressant, nous allons déduire des deux derniers problèmes la proposition suivante, qui paraît digne de remarque.

Proposition XIX. — Théorème.

Si deux polygones d'un nombre impair de côtés inscrits dans une même section conique, sont tels, que leurs côtés pris deux à deux se coupent respectivement en des points situés en ligne droite, les droites joignant deux à deux les sommets de ces polygones respectivement opposés aux côtés qui concourent, iront toutes passer par un même point, pôle conjugué à la droite où, convergent les côtés homologues.

Considérons en particulier [Jig. 3i) le cas de deux triangles; la démonstration s'appliquera facilement à deux polygones d'un nombre de côtés quelconque.

Supposons donc que l'on connaisse les trois points^?,/?' et/;", et qu'il s'agisse d'inscrire dans la conique (0) un triangle dont les côtés passent respectivement par ces trois points; on pourra regarder comme inconnu l'un ou l'autre des trois som-

Fig. 3i.

mets A, B, C de ce triangle; or, d'après la Proposition XVII, chacun de ces sommets est déterminé par l'intersection de la courbe avec une droite, polaire conjuguée de l'un des points de la droite pp' p" ; les sommets de nos deux triangles sont donc deux à deux sur des droites ayant leurs pôles situés sur pp'p"; et partant, d'après la propriété connue des pôles et polaires conjugués, toutes les droites en question se coupent en un même point, lui-même pôle de la dvoiie pp'p". De celte démonstration découle encore la proposition sui-

vaille : « Si deux polygones d'un nombre impair de côtés cir- » conscrits à une même section conique, sont tels, que leurs » sommets soient deux à deux situés sur des droites concou- » rant toutes en un même point, les droites qui joindront )) deux à deux les points de contact des côtés opposés aux )) sommets situés en ligne droite, concourront aussi toutes en » un seul et même point, confondu avec celui où concourent )> les droites qui joignent deux à deux les sommets opposés. »

Proposition XX. — Théorème.

Etant donnée une section conique quelconque, si l'on trace à volonté un polygone dont tous les sommets, un seul excepté, soient situés sur la courbe; puis qu'on prenne pour pôles les points de rencontre de chacun des côtés avec une droite fixe ; qu'enfin on déforme ce polygone en faisant pivoter chaque côté autour de son pôle et en faisant glisser sur la section conique les sommets qui s'y trouvent : le dernier sommet resté libre, décrira une courbe du deuxième degré.

Si l'on joint par une ligne droite les points où les côtés du dernier angle non inscrit dans la conique rencontrent de nouveau cette courbe, on formera un second polygone qui lui sera entièrement inscrit et dont tous les côtés, à l'exception du dernier resté libre, pivoteront autour des pôles donnés en ligne droite; ce dernier côté (Prop. XI) tournera donc sur un nouveau point fixe de cette droite, ou roulera sur une section conique tangente à la proposée, selon que le nombre des pôles donnés sera impair ou pair. Supposons maintenant que l'on mette la figure en projection, de manière que la courbe devienne un cercle et que la droite des pôles passe à l'infini, il arrivera, dans le premier cas, que le côté libre du second polygone, devenu une corde du cercle, se mouvra toujours parallèlement à lui-même, et, dans le second cas, que ce même côté roulera sur un cercle concentrique au premier. La démonstration de la proposition que nous avons en vue se réduira donc à prouver l'une et l'autre de celles qui suivent.

1° Si un triangle mobile est assujetti à avoir ses côtés constamment parallèles à eux-mêmes et deux de ses sommets si-

lues sur la circonférence d'un cercle, le troisième sommet

resté libre décrira une section conique.

2" Si un triangle mobile est assujetti à avoir deux de ses côtés constamment parallèles à eux-mêmes et le troisième à toucher un cercle donné, et si, en même temps, \e^ deux sommets situés sur ce dernier côté doivent parcourir une circonférence de cercle concentrique à la première, le troisième sommet resté libre parcourra encore une section conique.

On voit d'abord que la dernière proposition se ramène à la première. En effet, soit abx {fig' 32 ) le triangle mobile dont les côtés ax et bx restent parallèles à des droites données, et le dernier ab, langent à une circonférence de cercle (C), tandis

Fig. 32.

que les sommets « et 6 sont assujettis à parcourir la circonférence abc concentrique à la première; soit prolongé le côté bx jusqu'à sa nouvelle rencontre en c avec le cercle abc; soit tracée la corde ac : puisque le côté ab est constant, l'angle acb est aussi constant, mais la droite 6c reste parallèle à elle-même dans le mouvement du triangle abx ; donc le côté ac du triangle acx reste aussi parallèle à lui-même, et par conséquent le sommet libre x du triangle mobile abx est aussi celui d'un autre triangle <icx dont les côtés restent parallèles à eux-

mêmes, et dont deux sommets a et c glissent sur un cercle donné.

Maintenant, pour démontrer que le sommet .r parcourt une section conique, soit tracé le diamètre AB qui divise en deux parties égales au point / le côté ac dans toutes ses positions parallèles; soit tracée ensuite, pour chaque triangle cax, la droite ix, tous ces triangles acx et ceux qui, tels que cix, leur correspondent seront respectivement semblables; donc les carrés des droites parallèles ix seront entre eux comme les carrés des demi-cordes ai. Or, ai étant perpendiculaire à AB, on a

ai z= Ai X îB;

donc le carré de la droite ix sera au rectangle Aï X «B dans un rapport constant pour chacun des points x de la courbe, et par conséquent cette dernière est une ellipse ayant AB pour l'un de ses diamètres, et les parallèles ix pour ordonnées obliques.

Remarque. — Il n'est pas difficile de voir que l'ellipse décrite par le point x est concentrique au cercle proposé et qu'elle a pour diamètre conjugué à AB une droite menée du centre C parallèlement à ix, et dont on aura la longueur en faisant passer la corde ac par ce même centre ; car la droite correspondante ix sera évidemment la moitié du diamètre cherché. On peut d'ailleurs remarquer que les deux autres points de rencontre de l'ellipse et du cercle ahc sont sur un autre diamètre de cette ellipse.

Corollaire. — En s'appuyant sur ce qui précède et sur la Proposition XI, on peut énoncer plus généralement le théorème dont nous venons de nous occuper, ainsi qu'il suit :

« Si un polygone d'un nombre quelconque de côtés est in- » scrit dans une section conique, et qu'ayant pris sur la di- » reclion de chacun de ses côtés un pôle fixe placé à la ren- » contre de ce côté avec une droite donnée, on déforme ce » polygone en l'assujettissant toujours aux mêmes conditions, » ce qui est possible (Prop. XI), les points d'intersection des » côtés et des diagonales qui joignent des sommets de rang » pair, décriront chacun en particulier, et en vertu du mouve-

46 l" CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

» ment général, une section conique qui sera différente pour

» chaque intersection distincte. »

Remarque. — Dans le cas où les pôles des côtés mobiles ne seraient pas situés en ligne droite, le dernier sommet libre a ne parcourrait plus en général une conique, mais une courbe du quatrième degré (t. I, p. 222). Cette courbe s'abaisse encore

Fig. 33.

au second degré, quand les pôles/? el p'' {fig. 33) des côtés de l'angle 6 a/ correspondant au sommet libre a sont sur la droite qui passe par les deux points où la conique (0) est touchée par celle qu'enveloppe le côté libre ag.

En effet, nous avons démontré ( Prop. IX) qu'on peut trouver avec la règle seule, les pôles P et P' des côtés ax, gx d'un triangle inscrit agx dont le côté libre, confondu dans toutes ses positions avec le côté ag du polygone inscrit abc. . .g, roule par conséquent sur la même section conique ; en sorte qu'on peut substituer à ce polygone abc. - g^e triangle agx. Or on formera ainsi un quadrilatère axgaa dont le sommet libre a parcourra la même courbe que celui du polygone général abc. . .fa, c'est-à-dire une section conique (Prop. XX) quand les quatre pôles P, P', p, p" seront en ligne droite; les pôles p et p" des côtés ba et fx de l'angle étant alors situés sur la droite PP', qui renferme (Prop. IV) les deux points où la conique (0) est touchée par celle sur laquelle roule le côté mobile ag.

Comme il est facile de trouver P et P', on voit qu'il sera aussi très-facile de reconnaître les cas où le sommet a parcourt une section conique.

Remarque générale.

On pourrait déduire de tout ce qui précède divers corollaires en particularisant convenablement les données générales : en voici un exemple très-simple.

Nous avons vu entre autres, que si un triangle variable acx a ses côtés constamment parallèles et ses sommets a et c sur un cercle, le troisième sorrimet a. décrit une ellipse qui a AB pour un de ses diamètres conjugués, l'autre étant parallèle aux

droites a.i, odi'. Soient a et ex! deux points de cette ellipse; aac, aa'c' les triangles qui leur répondent : puisque ces triangles ont leurs côtés respectivement parallèles, les trois droites aa', (xot! et ce' qui joignent deux à deux leurs sommets homologues se coupent en un même point situé sur le diamètre AB prolongé. Quand les deux triangles se rapprochent indéfiniment, les droites ci-dessus deviennent respectivement tangentes au cercle et à l'ellipse; donc un diamètre AB de cette ellipse, la direction a.i de son conjugué et l'un a de ses points étant donnés, on pourra mener facilement une tangente à la courbe en ce point, ainsi qu'il suit :

Tracez sur AB, comme diamètre, une circonférence de cercle ; menez par a une ordonnée ai parallèle au conjugué de AB,

ce qui vous donnera le point i; élevez l'ordonnée ai perpendiculaire à AB, vous obtiendrez le point a par lequel vous mènerez la tangente «0 au cercle, et le point 0 où elle coupera AB prolongée appartiendra à la tangente cherchée, en sorte que Oa sera cette tangente.

DES POLYGONES SIMULTANÉMENT INSCRITS A UNE CONIQUE ET CIRCONSCRITS A UNE OU PLUSIEURS AUTRES SUR UN PLAN.

Avant de parvenir à la démonstration de la Proposition XIX donnée plus haut, nous démontrions le théorème qui fait le sujet de cette proposition, à l'aide du lemme suivant qu'il ne sera pas inutile de rapporter ici. On en sentira facilement l'application à la proposition dont il s'agit.

Proposition XXI. — Lemme.

Soient {Jig. 35) les coniques (0) et (o) se touchant en deux points réels ou imaginaires; abc un triangle inscrit dans la courbe (0), dont un des côtés bc louche (o) et dont l'autre ba passe par un point fixe p : quand on déformera ce triangle

Fi{î. 35.

en l'assujettissant toujours aux mêmes conditions, le côté libre ac roulera dans toutes ses positions sur une troisième conique touchant aussi (0) en deux points.

Deux sections coniques, qui se touchent en deux points, pouvant être regardées en général comme la perspective de

deux cercles concentriques, il suffira de démontrer la proposition pour ce dernier cas.

(0) et (o), fig. 36, étant les deux cercles en question, abc le triangle mobile inscrit dans le cercle (0); soit menée la droite Op qui joint le centre commun avec le pôle p, et par le point b une perpendiculaire bb' à Op coupant (0) en un se-

Fig. 36.

/ cZ

cond point b' ; soit enfin formé le triangle ab'c. Pendant que le triangle abc se mouvra, l'autre ab'c se mouvra aussi; or, je dis d'abord que son côté b'c restera constamment parallèle à lui-même. En effet, l'angle cb'b sera constant, puisqu'il aura toujours pour mesure un arc constant 6Bc; mais le côté bb' de cet angle reste parallèle à lui-même, donc il en sera ainsi de l'autre côté b' c de cet angle (*).

En second lieu, je dis que le côté ab' du triangle mobile ab'c passera toujours par un même point P situé sur la droite

(*) On remarquera que c'est accidentellement que sur \a fig. 36, la corde AB est tangente au cercle [o).