II
5o P CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES
0/7. En effet, menez «a' parallèlement à bb' , tracez ensuite a'b' et a'b, il est visible qu'à cause de la symétrie a'b' passera par le point p et a' b par P. Or, en considérant le trapèze inscrit aa'bb', il n'est pas difficile de prouver que quand on fait varier la diagonale ab autour du pôle p, les côtés bb', aa' restant constamment perpendiculaires à Op, les deux autres côtés ab' et a'b de ce trapèze se couperont aussi toujours en un. même point P ( Prop. II); do'nc, puisque le triangle inscrit ab'c a deux de ses côtés assujettis à tourner autour de pôles fixes, le côté libre ac (Prop. IV) se mouvra sur une conique doublement tangente au cercle (0).
Remarque. — Soient menées au cercle intérieur (o) les tangentes/? A et/?B qui rencontrent respectivement le cercle (0) en A et D, B et C ; soient joints A et G par une ligne droite : il est facile de voir, i° que AC sera la corde de contact de la section conique avec le cercle (0); 2" que cette corde passe par le point P; 3" qu'elle est parallèle à cb' . On peut remarquer aussi que les trois droites AB, tt', CD sont parallèles entre elles, et qu'ainsi elles vont concourir à l'infini sur la corde commune aux deux cercles concentriques (0) et (o) {Principes de projection, t. I); donc, si l'on trace les droites qui leur correspondent dans la ^g. 35, projection centrale de celle-ci, ces droites, qui ne sont plus parallèles, iront se croiser en un même point k situé sur la corde de contact ÏT' commune aux courbes (0) et (o). Ceci démontre très-simplement l'exactitude de la construction employée à la fin de la Prop. XVI; car C et D peuvent être considérés comme deux points donnés sur la conique (0) doublement tangente à la courbe (o) censée décrite. On voit, en outre, que si le point p au lieu d'être intérieure la courbe (0) lui était extérieur, on parviendrait à des conséquences analogues. Enfin, il est à remarquer qu'en raison de la symétrie qui existe dans la^g"- 36, ou, plus généralement, à cause de la possibilité de mener du sommet b une seconde tangente distincte de ba au cercle ou à la conique (0), il existe nécessairement une autre section conique enveloppe, tangente à (0) en D et B.
Ces dernières remarques permettraient aussi de. trouver la corde de contact idéale de deux sections coniques décrites
DES POLYGONES VARIABLES QUELCONQUES. 5i
quand elles n'ont aucun point commun, et cela en n'employant que la règle seule; la construction servirait en même temps à faire connaître si deux courbes données se touchent réellement, ou imaginairement en conservant néanmoins une sécante commune idéale de double contact.
Proposition XXII. — Théorème.
67 deux coniques {0) et [o), Jig. 87, ont un contact double, réel ou imaginaire, et qu'ayant inscrit dans l'une (0), un polygone abcd..., dont tous les côtés, à l'exception d'un seul ad, touchent l'autre conique {o), on vienne à déformer ce polygone de toutes les manières possibles en l'assujettissant aux mêmes conditions, le dernier côté ad, demeuré libre, enveloppera dans toutes ses positions une troisième section conique qui touchera les premières précisément aux deux points où elles se touchent entre elles, c'est-à-dire ayant avec elles même corde de contact réelle ou imaginaire.
En effet, les deux courbes (0) et (o) peuvent être regardées comme les perspectives de deux cercles concentriques : or, il est visible que dans ce cas le dernier côté, perspective de ad, roule sur un troisième cercle concentrique aux deux premiers;
Fig. 37.
donc la proposition énoncée se trouve établie, puisque tout système de cercles concentriques est la perspective d'un système de coniques tangentes aux deux mêmes points.
52 r' CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES
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Les événements politiques et militaires du printemps de i8i5 m'ont contraint d'interrompre ici la rédaction de cette partie du I" Cahier. Je ne me rappelle pas si, à cette époque, j'étais réellement en mesure de poursuivre, sous une forme synthétique, la démonstration des théorèmes concernant l'inscription et la circonscription simultanée des polygones aux sections coniques décrites sur un plan. Dans le fait, c'est seulement au n° d'octobre 1817 des Jnnales de Mathématiques de Montpellier que, dans un article de Philosophie mathématique^ je me crus en droit d'appeler l'attention du public sur ce problème général et sur divers autres résultats qui font l'objet des Cahiers ci-après, auxquels j'étais dès lors parvenu à l'aide de procédés très-distincts de ceux jusque-là préconisés par M. Gergonne. Néanmoins, dans cet article, textuellement reproduit parmi ceux du VP Cahier de ce volume, il n'est fait aucune mention explicite des tentatives par lesquelles, durant les loisirs qui, pour moi, ont succédé aux fatales catastrophes de i8i5, je me suis efforcé d'étendre les spéculations relatives à l'inscription ou à la circonscription des polygones aux courbes géométriques en général. Or, en m'occupant de ce dernier objet, je ne tardai pas à me convaincre que la question était d'un tout autre ordre, et c'est pourquoi, dans le paragraphe ci-après, j'ai eu recours tout d'abord à la méthode analytique dont je m'étais déjà servi à Saratoff pour les courbes simples du 2* degré, en essayant de généraliser les recherches faites en 1733 par Braikenridge sur le degré des lignes décrites par « le sommet libre d'un polygone dont les côtés pivotent » autour de pôles fixes, tandis que les autres sommets sont assujettis à » demeurer sur des courbes géométriques de degrés donnés dans son » plan. » Mais j'ai bientôt, comme on le verra, abandonné cette route laborieuse et pour moi infertile, afin d'y substituer des méthodes purement géométriques fondées sur le principe de continuité, et dont on voit le résumé rapide dans le Chapitre III, Sect. iv, du Traité des Propriétés projectives des figures.
SUR LES POLYGONES MOBILES INSCRITS AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES PLANES, DE DEGRÉS QUELCONQUES.
Proposition XXIU. — Théorème.
Soient décrits sur un plan une courbe du degré m et un polygone dont tous les sommets, un seul excepté, sont assujettis
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