V CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

Tel est précisément le cas des recherches que nous voulons entreprendre : comme elles se rattachent nécessairement à des notions jusqu'ici étrangères à la simple Géométrie, nous nous voyons entraîné naturellement à exposer d'abord ces notions, pour parvenir ensuite, d'une manière à la fois rapide et sûre, à l'objet particulier et véritable de ces mêmes recherches; ainsi, au lieu de procéder de suite à l'examen des principes de projection qui doivent former la base de ce travail, nous nous occuperons d'abord d'exposer les notions générales sur lesquelles ces principes reposent de toute nécessité.

Si celte marche n'a pas l'avantage d'être aussi directe qu'on pourrait le désirer, elle nous fournira, en revanche, l'occasion de présenter, sur les dépendances qui lient entre elles les sections coniques et les lignes droites, un grand nombre de considérations nouvelles qui nous mettront à même de généraliser . le langage et les conceptions de la Géométrie; ce qui n'est pas le but le moins important que nous ayons cherché à atteindre en entreprenant ce travail.

Au reste, loin de nous abandonner à tous les développements dont ces considérations sont susceptibles, nous ferons toujours en sorte de ne jamais perdre de vue l'objet véritable

des nouveaux principes de projection et de celui de continuité, jusqu'ici rarement combattu et encore moins mis en défaut, que je sache. Mais ce genre de questions étant devenu familier aux amateurs de la Géométrie, depuis l'apparition du Traité des Propriétés projectiles des égares, et comportant des développements et des détails qui nécessiteraient un ouvrage tout spécial , nous nous voyons à regret contraint d'y renoncer et de renvoyer le lecteur aux résumés rapides, incomplets, que renferme le Mémoire ci-après et le texte môme du Traité dont il s'agit, auquel d'ailleurs ils peuvent servir d'utiles commentaires.

Quant au Rapport fait à l'Académie des Sciences sur le Mémoire que contient ce V* Cahier, le lecteur est prié do recourir à la fin du volume où il se trouve accompagné d'observations critiques indispensables. Qu'il suffise ici de remarquer que cette considération m'a fait un devoir rigoureux de n'apporter aucun changement essentiel à la rédaction, où il m'a été, par conséquent, impossible de mettre à profit aujourd'hui (i863), comme lors de sa présentation à l'Institut en 1-820, aucun des résultats ou conséquences encore inconnues à cette dernière époque et que renferment les précédents Cahiers des t. I et II de ces Applications (i863).

de nos recherches, et de ne recueillir sur notre route que des vérités qui s'y rattachent de la manière la plus intime, et qui puissent, par la suite, nous être particulièrement utiles. Ainsi, ayant pour objet spécial l'examen des propriétés projectiles des sections coniques, nous nous bornerons à exposer les considérations et les notions qui peuvent appartenir en propre à ces courbes particulières, sans chercher à les étendre aux surfaces du second ordre. On aura lieu de s'apercevoir, d'ailleurs, qu'au moyen des principes posés dans le cours de ce Mémoire, cette extension devient assez facile et assez évidente pour que nous puissions laisser à d'autres le soin de la développer, et nous renfermer dans les justes limites du sujet que nous voulons traiter.

Pour exposer la théorie des cordes réelles et idéales, nous admettrons quelques propriétés connues des sections coniques ; mais nous supposerons expressément que ces propriétés aient été déduites, d'une manière purement géométrique, de la considération du cône oblique à base circulaire, comme l'ont fait les Anciens, et plus particulièrement Apollonius. D'ailleurs, ces propositions recevront naturellement leur démonstration de principes qui seront exposés un peu plus tard, dans la seconde Section, sans rien emprunter de ceux qui forment la base de la première. Il nous eût été facile d'éviter cette inversion apparente en changeant l'ordre des matières, et anticipant sur les applications de la doctrine des projections ; mais cette marche eût fait perdre à l'exposition du sujet principal le degré de simplicité et d'uniformité dont il peut être susceptible.

Enfin, nous croyons devoir prévenir expressément encore, avant d'entrer en matière, que les droites, les courbes, les * plans, etc., dont il sera l'ail mention dans ce I" Mémoire, seront supposés indéfiniment prolongés dans l'espace ou dans le plan qui les contient; le discours fera connaître les cas où l'on n'en considérerait qu'une portion terminée et finie.

§ I*"". — Notions préliminaires sur les cordes ou sécantes

IDÉALES des sections CONIQUES.

1. Une ligne droite située dans le plan d'une section conique quelconque, et qui rencontre la courbe en deux points

368 V CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES conslruclibles d'une manière géométrique, se nomme corde ou sécante réelle de celle seclion conique. Les deux poinls d'inlerseclion sonl appelés également points d'intersection réels.

Dans le cas où la ligne droite son tout à fait au dehors de la courbe et cesse de la rencontrer, on dit que ses deux points d'intersection avec elle sont imaginaires.

Dans ces mêmes circonstances, en supposant qu'on persiste à regarder la droite en question comme une sécante de la courbe, nous dirons, pour conserver l'analogie entre les idées et le langage, qu'elle est corde ou sécante idéale de la courbe, et nous la distinguerons ainsi de toute ligne droite entièrement inconstructible dans son cours et dans sa direction indéfinie, laquelle conservera la dénomination déjà reçue de droite imaginaire,

2. Les mêmes définitions peuvent s'étendre au système de deux sections coniques situées sur un même plan, et, en général, au système de deux lignes courbes ou de deux surfaces quelconques; mais nous voulons nous borner ici à ce qui concerne le système particulier d'une ligne droite et d'une seclion conique.

3. Pour concevoir l'objet de ces définitions, il suffit de supposer que la seclion conique que l'on considère ne soit pas décrite, mais seulement donnée par certaines conditions, et qu'alors on se propose de rechercher les poinls où elle est rencontrée par la droite réelle, tracée sur son plan ; car on ignore alors si ces points sonl ou non conslruclibles, et il est naturel de persister, dans tous les cas, à regarder celle ligne droite comme une véritable sécante de la courbe, et par conséquent de la traiter comme telle dans le raisonnement géométrique qui sert à faire découvrir les deux poinls qu'on cherche. Ces définitions, comme on aura lieu de le voir plus lard, servent à agrandir les idées, et tendent à abréger le discours, en caractérisant la non-existence de certaines grandeurs ; elles ne sont ni indifférentes, ni inutiles en ellesmêmes, parce qu'elles permettent d'établir un point de contact entre des figures qui paraissent, au premier aspect, n'avoir aucun rapport, et de découvrir sans peine les relations et les propriétés qui leur sont communes.