Pour poursuivre l'objet de ces premières définitions

soient nin et {C), ^g. i5o, la droite et la section conique que

l'on considère ; appelons M et N les points de leur intersection commune, supposée d'abord réelle ; si l'on conçoit une suite de cordes terminées à la courbe, parallèles entre elles et à la droite mn, tous les milieux de ces cordes seront, comme on le sait, situés sur un diamètre unique AB, dont le conjugué sera lui-même parallèle à la droite mn; de plus, quelle que soit la position de cette droite à l'égard de la section conique, le diamètre AB sera toujours constructible et viendra toujours la rencontrer en un point 0 réel; nous appellerons, dans tous les cas possibles, ce point unique centre ou milieu de la corde indéfinie mMN/i, que cette corde, cette sécante soit d'ailleurs réelle comme en mn, ou idéale comme en m'n'.

3. Aux points M et N, supposés d'abord réels, menons à la courbe les tangentes PM, PN : elles iront concourir en un point P du diamètre AB, et l'on aura, pour déterminer ce point, la proportion harmonique

OA: OB :: PA:PB

or, cette relation définit le point P d'une manière réelle, dans tous les cas possibles, même quand la corde indéfinie mMNn devient idéale et les tangentes PM et PN imaginaires.

(*) C'est Ja XXXVIIP proposition du 1" livre des Coniques d'Apollonius de Perge.

370 V" CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES En effet, il en résulte que le point P et le point 0, centre toujours réel de cette corde (4), jouissent de la même relation réciproque à l'égard des points A et B de la courbe ; si donc la corde ou sécante mMNn devient idéale en m' n' , son centre restant réel et sortant de la courbe en P, on pourra construire le point 0, qui lui correspond sur le diamètre AB, en menant inversement, de P, deux tangentes à cette courbe, puis la corde qui joint les deux points de contact; car, d'après la proposition qui précède, celte corde viendra rencontrer le diamètre AB en un nouveau point 0, tel qu'on aura la proportion

réciproque