PA:PB :: OA:OB

identique avec la première.

Ainsi, les points 0 et P, qui jouissent des mêmes propriétés à l'égard de la courbe, sont tels, que chacun d'eux est réciproquement, mais tour à tour, le concours des tangentes qui correspondent à la corde passant par l'autre.

Le point P, toujours réel, jouit à l'égard de la section conique 01 de la droite mn, d'un grand nombre de propriétés remarquables; sa considération est très-importante dans les recherches, et c'est à cause d'une de ces propriétés qu'il a reçu des géomètres le nom de pôle de la droite mn; nous pourrons faire usage de cette dénomination, à cause de sa simplicité, sans d'ailleurs nous attacher, quant à présent, à l'idée qu'elle entraîne d'après son acception ordinaire ; mais nous dirons aussi, toujours dans la vue de généraliser le langage et les conceptions,-et afin de rappeler, d'une manière plus particulière, l'origine du point P : qu'il est le point de concours réel ou idéal des tangentes aux extrémités de la corde MN, selon que ces tangentes sont elles-mêmes réelles ou imaginaires. La droite mn, toujours réelle, quant à sa direction indéfinie par rapport à P, prendra, selori ces diverses circonstances, le nom de corde, de sécante de contact, réelle ou idéale. D'après l'usage actuel, cette droite pourrait aussi s'appeler \a polaire du point P.

6. Nous venons de voir que les points 0 et P, dont l'un est le centre de la corde MN et l'autre son pôle, jouissaient réciproquement de la même propriété à l'égard des points A et B ; or, il résulte de cette réciprocité qu'à mesure que le point 0

s'approche du centre C de la courbe, son correspondant P s'en écarte, au contraire, sans cesse, et qu'enfin, quand le point 0 s'est confondu avec C, le point P s'est transporté à une distance infinie sur le diamètre AB; mais alors la corde MN est devenue un diamètre de la courbe dont le conjugué est AB ; donc « le pôle d'un diamètre quelconque d'une section coni- » que est situé à Vinjini sur le conjugué à ce diamètre; les » tangentes MP, NP, qui renferment ce pôle, sont, de leur côté, » devenues parallèles et concourent à Vinjini. »

7. Réciproquement aussi, quand le point 0 ou la sécante mn s'écarte à l'infini sur le plan de la courbe (C), le pôle P se confond avec le centre de celte dernière; en sorte que « toute » droite située à l'infini sur le plan d'une section conique, a » pour pôle le centre ménie de la courbe. »

8. Dans ces circonstances, les points M et N sont passés à l'infini; ils sont réels pour l'hyperbole, imaginaires pour l'ellipse. Les tangentes MP, NP deviennent elles-mêmes impossibles pour l'ellipse, mais demeurent réelles pour l'hyperbole et reçoivent le nom d'asymptotes. Ainsi :

« Les asymptotes d'une section conique ne sont autre chose » que des tangentes aux points à l'infini de son cours, elles » passent à la fois par son centre, et sont toutes deux imagi- » naires pour l'ellipse et réelles pour l'hyperbole. »

Dans le cas particulier de la parabole, le centre C est luimême à l'infini ; les asymptotes sont donc alors tout entières à l'infini , elles se confondent nécessairement avec la sécante mn, qui devient par là tangente à la courbe; ainsi :

« La parabole a deux asymptotes confondues en une seule » à l'infini, c'est-à-dire qu'elle a une tangente située enlière- » ment à l'infini, ou enfin deux points confondus en un seul » à l'infini. »

Ces notions sont déjà bien connues; notre intention, en les rappelant ici, est de les rapprocher sous un point de vue qui puisse conduire sans peine aux considérations nouvelles qui doivent former la base de ce travail.

9. Revenons maintenant au cas général où la sécante indéfinie mn a une situation quelconque sur le plan de la

372 V* CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVEB courbe (C), et proposons-nous de déterminer les points M et N où elle rencontre cette courbe, que nous supposerons non décrite et seulement donnée par le système de ses diamètres conjugués AB et DE, dont l'un a une direction parallèle à la droite MN. La question reviendra évidemrrient à chercher sur cette droite un point M, tel que le carré de OM soit au rectangle OA.OB dans un rapport donné, celui du carré des diamètres conjugués ; appelant donc A- le carré du diamètre principal AB, et B' celui de son conjugué, on aura, pour déterminer le point M,

Ôm' : OA.OB :: B»: A^ (*).

La question ainsi présentée sera, comme on le voit, toujours soluble d'une manière géométrique ; car B et A sont des grandeurs invariables, indépendantes de la position de mn, et le rectangle OA. OB est, à chaque instant, donné ; mais cela suppose que l'on n'ait point égard à la nature particulière de la section conique que l'on envisage. On sait, en effet, que, quand le point 0 est placé entre A et B, la relation précédente appartient à une ellipse, tandis que, au contraire, elle appartient à une hyperbole décrite sur le même diamètre AB, quand le point 0 se trouve au delà des points A et B ; il est donc facile de confondre ce qui appartient à l'une de ces deux courbes avec- ce qui appartient à l'autre, puisqu'elles sont définies par une seule et même propriété.

10. L'analogie que nous venons de reconnaître entre l'hyperbole et l'ellipse se soutient dans un grand nombre de circonstances différentes; notre objet n'est pas d'en faire la recherche particulière, mais de faire quelques rapprochements quLnous seront utiles pour l'objet de ce travail.

Nous appellerons désormais deux sections coniques ainsi conjuguées sections ou coniques supplémentaires l'une de l'autre, parce que, en effet, l'une quelconque d'entre elles répond aux questions faites sur l'autre, dans le sens que nous venons d'indiquer.

(*) C'est la XXP proposition iXwl" livre des Coniques d'Apollonius.

DES SECTIOiNS CONIQUES. SyS

li esta remarquer qu'une même section conique a une infinité de supplémentaires, correspondant à l'infinité de systèmes de diamètres conjugués qui lui appartiennent; mais, parmi cette infinité de coniques supplémentaires, il n'y en a jamais qu'une seule qui corresponde à une droite donnée mw, parce que nous n'admettons que celle dont le premier diamètre AB, ou le diamètre de contact, n'est pas parallèle à la droite mn.

11. Cette définition ne concerne évidemment que l'ellipse et l'hyperbole, mais elle peut s'étendre facilement à la parabole ; en effet, dans cette courbe (^'g. i5i ), l'ordonnée MO est moyenne proportionnelle entre le paramètre et le segment BO

Fig. i5i.

formé sur le diamètre AB, conjugué à la droite mn; mais, que la droite mn rencontre ou ne rencontre pas la courbe, on peut toujours trouver sur elle deux points qui satisfassent à cette condition : supposant donc que la droite mn se meuve parallèlement à elle-même, le diamètre AB, le sommet B et le paramètre demeurant invariables, les points M etN, obtenus comme on vient de l'indiquer, traceront d'abord la parabole MBN, puis une seconde parabole M'EN', d'une situation contraire et renversée par rapport à AB, mais ayant le sommet B, le paramètre et la direction du diamètre AB en commun avec la première, et lui étant par conséquent parfaitement égale.

Je nomme, parla même raison que ci-dessus, ces deux paraboles supplémentaires l'une de l'autre, par rapport à la droite donnée mn.

Une section conique quelconque a donc toujours une conî-que supplémentaire; dans ce qui va suivre, il sera question

374 V-^ CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES seulement de l'ellipse et de l'hyperbole; mais ce que nous dirons de ce cas général pourra facilement s'appliquer à la parabole, comme cas particulier, et nous nous dispenserons pour cette raison d'y avoir égard.

12; Actuellement, soit «ne section conique donnée (C) [fig. i5o); d'après ce qui précède, toute droite mn, qui rencontre celle section conique en deux points réels, aura, avec sa supplémentaire, deux points imaginaires, et réciproquement; celle droite sera donc en même temps corde idéale de l'une et corde réelle de l'autre. Pareillement le centre 0 de celle corde (4) sera réel par rapport à l'une et idéal par rapport à l'autre. Enfin, son pôle P, ou le concours des tangentes qui lui correspondent, sera le même par rapport aux deux courbes, et appartiendra à la fois à deux tangentes imaginaires de l'une et à deux tangentes réelles dje l'autre. En effet, d'après la définition (5), on a à la fois, dans les deux courbes supplémentaires, pour déterminer le pôle qui appartient à la droite mn,

OA:OB::PA : PB

Ces rapprochements peuvent servir à justifier les définitions admises, et en donnent ainsi, dès à présent, une interprétation géométrique à la fois exacte et naturelle.

13. Lorsqu'une ligne droite, située sur le plan de deux sections coniques, passe par deux points réels appartenant à la fois aux deux courbes, on dit qu'elle est corde réelle commune à ces deux courbes.

Nous dirons par analogie qu'une ligne droite située sur le plan de deux sections coniques sera corde idéale commune à ces deux courbes, quand elle sera corde réelle commune aux deux supplémentaires qui lui correspondent à la fois sur le plan de ces mêmes courbes.

Il résulte de celte définition que, pour qu'une droite indéfinie mn [fig. i52) soit corde idéale commune à deux sections coniques ADB, ou (C), A'D'B', ou (C), tracées sur un même plan, il faul :'

1" Que les diamètres AB, A'B', conjugués à celte droite dans l'une et l'autre courbe, viennent se rencontrer précisément en un point 0 de la droite mn ;

DES SECTIONS CONIQUES. SjS

2" Qu'appelant A el B les diamèlres conjugués qui corres-

Fig. l52.

pondent à ADE, et A', B' ceux qui correspondent à xVD'B', on ait à la fois (9)

A^ : B' :: OA.OB : Ôm', A'= : B" :: OA'.OB' : ÔÂî',

ou, en divisant par ordre ces deux proportions, etc.,