A».B'^:A'».B':: OA.OB :0A'. OB

relation qui convient aussi aux cordes réelles communes;

3" Que la droite MN ne rencontre ni l'une ni l'autre des deux courbes données (C) et (C).

Ces définitions s'accordent avec celles qu'on déduit de considérations purement analytiques : pour qu'une corde soit, analytiquement parlant, commune à deux sections coniques, il est nécessaire et il suffit, en effet, que son milieu, par rapport à l'une, se confonde avec son milieu par rapporta l'autre, puis que le carré de la partie interceptée à la fois sur celte droite par les deux courbes, soit le même de part et d'autre, de grandeur et de signe; el, comme on dit alors que ces courbes ont en commun deux points imaginaires situés sur la droite en question, nous pourrons adopter provisoirement la même expression par pure analogie, sauf à la justifier ensuite.

14. La question actuelle est de savoir si deux sections coniques, tracées sur un même plan, ont effectivement, pour des positions générales, des cordes communes idéales remplissant toutes les conditions qui précèdent.

Pour parvenir à la résoudre, nous remarquerons d'abord

370 V^^ CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES qu'il y a sur le plan des deux courbes (C), (C) une infinité de points 0 et de droites correspondantes mn qui satisfont à la première de ces conditions. En effet, pour obtenir un système semblable, il suffit évidemment de mener dans une direction quelconque des tangentes, parallèles entre elles, aux deux courbes; de tracer ensuite les diamètres AB et A'B' qui passent respectivement par leurs points de contact ; car le point 0 de leur intersection commune sera le point demandé, et la droite mn, menée de ce point dans une direction parallèle aux tangentes, sera la droite qui lui correspond. Tous les points 0, ainsi obtenus, sont sur une certaine courbe, et celte courbe passe évidemment par les centres C, C des proposées (*).

Les dernières conditions exigent, en outre, qu'ayant tracé les coniques supplémentaires aux proposées qui correspondent à la droite mn, déterminée ainsi que nous venons de le dire, les parties MN, M'N', interceptées sur cette droite par l'une et par l'autre courbe, soient égales entre elles, ou, ce qui revient au môme, que OM soit égal à OM'. Cette condition ne sera évidemment pas remplie pour une position quelconque de la droite mn; mais si, pour chacune des situations qu'elle peut prendre, on détermine le point M correspondant à la courbe (C) et celui M' qui correspond à la courbe (C), chacun de ces points engendrera évidemment une courbe particulière, et ces nouvelles courbes, par leurs rencontres mutuelles, indiqueront les positions des points générateurs M et M' pour lesquelles ils se confondent, et pour lesquelles, par conséquent, les parties ou ordonnées OM et OM' seront égales, et les droites correspondantes mn des sécantes idéales communes aux deux sections coniques proposées.

Nous pourrions arrêter ici l'examen qui nous occupe; car il est visible que les courbes (M) et (M'), n'ayant entre elles qu'une dépendance générale, doivent aussi, en général, se couper selon la position relative des sections coniques (C) et (C); mais, pour ne rien laisser à désirer, nous allons faire

(*) Pour démontrer cette assertion, il suffit d'observer que, quand le diamètre AB, par exemple, a atteint la position CC, celui A'B' qui lui correspond, et qui renferme avec lui le point 0, le rencontre nécessairement au centre C lui-même. [IVotr r/c i8i8.)

voir, par l'examen d'un cas Irès-étendu, qu'en effet les courbes (M) et (M') sont susceptibles de s'entrecouper d'une manière réelle, et, par conséquent, de donner des cordes idéales communes à celles (G) et (C).

15. Prenons {Jîg. i52) pour exemple le système de deux ellipses (G) et (G'), de grandeur et de situation arbitraires, mais pourtant telles, qu'elles soient entièrement extérieures l'une à l'autre. La courbe parcourue par le point 0, passant nécessairement par les centres C et G' des deux ellipses, aura une partie de son cours entièrement au dehors de ces ellipses, et il existera une infinité de positions correspondantes de la droite mn, pour lesquelles elle sera tout à fait extérieure à ces mêmes courbes.

Cela posé, considérons, comme ci-dessus, les deux coniques supplémentaires qui correspondent à une telle position de la droite mn; il est évident qu'on aura démontré que le point M se confond, pour une certaine position de mn, avec le point M', et, par conséquent, le point N avec le point N', si l'on parvient à prouver que, parmi toutes les grandeurs que peut prendre la corde MN, il y en a deux telles, que l'une soit plus grande et l'autre plus petite que celle de M'N' qui lui correspond; car, à cause de la loi de continuité, il y aura nécessairement une position intermédiaire où ces cordes seront parfaitement égales. Or, si l'on suppose que, dans la situation actuelle des hyperboles supplémentaires, MN soit plus grand que M'N', il ne sera pas difficile de s'apercevoir qu'il existe une autre position du système pour laquelle la corde MN devenant nulle, les points M et N se réunissent au point 0.

En effet, cette circonstance arrive nécessairement quand le point 0 se trouve sur l'ellipse correspondante (Gj, en sorte qu'il suffit de démontrer que la courbe des points O rencontre effectivement celte ellipse; mais c'est ce qui a lieu précisément dans la supposition actuelle, puisque la courbe (0) passe par les centres G et G' (14 ), et que les ellipses étant entièrement extérieures l'une à l'autre, le point O doit nécessairement les traverser toutes deux par un mouvement continu.

Donc, en effet, il existe une position du point 0 pour laquelle la corde MN est plus grande, et une autre pour laquelle

378 V^ CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES celle corde esl plus petite que sa correspondante M'N'; ce qui ne peut avoir lieu qu'autant qu'il existe une position intermédiaire où ces cordes sont parfaitement égales et se confondent par conséquent en une seule, qui devient ainsi une corde idéale commune aux deux ellipses proposées.

16. La courbe des points 0 rencontrant nécessairement chacune de celles (C) et (C), au moins en deux points réels, puisque, après être entrée dans leur intérieur et avoir passé par leurs cenires respectifs, elle doit nécessairement en ressortir, on pourrait prouver, en suivant l'esprit des raisonnements que nous venons de mettre en usage, que les deux sections coniques dont il s'agit ont une autre corde idéale commune différente de celle 'qui précède. Enfin, il ne serait pas difficile de constater l'existence de semblables cordes pour d'autres circonstances également étendues; mais il suffit, pour notre objet actuel, d'avoir prouvé la chose d'une manière générale et en quelque sorte indéterminée, et d'avoir fait connaître même les moyens propres à construire ces cordes graphiquement dans tous les cas' possibles. En effet, dans la discussion qui précède, nous n'avons attribué aucune grandeur absolue ou fixe aux parties qui déterminent la grandeur et la position du système : la seule condition admise ne lient qu'à une limitation de la possibilité de résoudre le problème, et cette limitation laisse d'ailleurs tout indéterminé. La nature particulière supposée aux deux sections coniques ne détruit pas la généralité des raisonnements, car ces raisonnements en sont indépendants, et ils subsistent, pourvu qu'une partie de la courbe des points 0 soit à la fois au dehors des deux sections coniques, quelle que soit d'ailleurs leur espèce ; or, cette condition laisse entièrement indéterminée, entre certaines limites, la grandeur des parties du système.

Il en est ici comme de l'analyse elle-même, où l'on regarde une quantité, objet d'un problème, comme généralement possible quand les conditions de sa réalité, dans les équations finales qui le déterminent, sont indépendantes de toute grandeur ou relation absolue et donnée, et que ces conditions laissent variables entre certaines limites les diverses quantités (lui fixent le système.

Concluons donc que :

« Deux sections coniques, situées sur un même plan, ont » en général et pour des situations indéterminées, des cordes » et des sécantes idéales communes, tout comme elles ont, )) pour de semblables situations, des points d'intersection » réels et des cordes réelles également communes. »

17. Pour faire entrevoir à l'avance l'utilité que peut présenter la considération des cordes idéales, et, en même temps, pour faire sentir le but qu'on se propose en les admettant dans les recherches géométriques, nous présenterons, dès à présent, un exemple bien connu, où leur emploi peut paraître de quelque importance pour la solution d'une difficulté singulière, qui se présente assez souvent dans les applications de la Géométrie descriptive.

Quand on se propose de rechercher la courbe d'intersection de deux surfaces de révolution dont les axes sont dans un même plan, on arrive, comme on sait, à la construction suivante, pour déterminer un point quelconque de la projeciion.de la courbe sur le plan diamétral qui contient à la fois les deux axes (*).

Soient SB, SB' [fig. i53) les deux axes en question; AMB,

Fig. i53.

A'M'B' ou (G) et (C) les deux courbes génératrices, situées

(*) f air la Céomclric descriptive de Monge, art. 83.

38o V= CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES l'une et l'autre dans le plan commun des axes, courbes que nous supposerons ici toutes deux des ellipses; du point d'intersection S de ces axes, comme centre, soit décrite à volonté une circonférence de cercle rencontrant à la fois les deux courbes; soit tracée pour chacune d'elles la corde MN ou M'N' qui lui est commune avec ce cercle, le point I de l'intersection mutuelle des deux cordes ainsi tracées appartiendra à la projection de la courbe de pénétration des deux surfaces sur le plan commun des axes.

Cette construction s'applique très-bien à tous les points de la courbe qui sont situés entre les limites extrêmes où le cercle cesse de rencontrer à la fois les ellipses génératrices, et, en cela, elle sert à donner tous ceux qui peuvent répondre à la commune intersection des deux surfaces que l'on considère; mais elle est tout à fait inapplicable à ceux qui sont situés au delà de ces mêmes limites : les points M et N, M"et N', où la circonférence coupe les deux génératrices, deviennent, en effet, en tout ou en partie imaginaires.

A né consulter que la manière ordinaire de voir en Géométrie, il semblerait naturel de penser que la génération de la courbe ne s'étend pas au delà des limites que nous venons de reconnaître, et qu'ainsi cette génération ne serait pas sujette à la loi de continuité qui subsiste dans toutes les courbes géométriques ; mais ce serait une véritable erreur que de le supposer, erreur qui serait contraire aux notions et aux résultats les plus certains de l'Analyse algébrique. On trouve, en effet, par les procédés qui lui sont propres, que la courbe des points 1 s'étend à l'infini par une loi continue, et qu'en particulier, c'est une hyperbole quand les axes de révolution SB, S'B' sont en même temps des axes principaux des ellipses correspondantes.

18. Ce paradoxe géométrique disparaît dès l'instant où l'on admet, ainsi qu'il est naturel de le faire, que les sécantes communes MN, MN', qui d'abord étaient réelles et absolues, se sont changées en des sécantes communes purement idéales, jouissant d'ailleurs des mêmes caractères quant à l'objet qu'on se propose. Il résulte, en effet, des principes qui précèdent, que ces sécantes pourront subsister et se construire, même

DES SECTIONS CONIQUES. 38i

quand le cercle auxiliaire en question ne rencontrera plus les courbes génératrices, ou, si l'on veut, les rencontrera en des points imaginaires.

Supposons, pour exemple, le cas déjà cité où les droites AB, A'B' sont les axes principaux des deux ellipses : ayant décrit à volonté une circonférence de cercle qui ne rencontre ni l'une ni l'autre de ces courbes, pour trouver, malgré cela, les sécantes communes correspondantes qui seront nécessairement idéales, on tracera pour chaque ellipse, pour celle AMB par exemple, la conique supplémentaire qui a mêmes axes qu'elle et AB pour diamètre de contact. On tracera pareillement l'hyperbole équilatère qui correspond au cercle auxiliaire et a le diamètre compris sur SB pour axe de contact ; cherchant ensuite celle des sécantes communes à ces supplémentaires qui est perpendiculaire à l'axe AB, ce sera évi- . demment la sécante idéale commune au cercle auxiliaire et à l'ellipse AMB. Une opération semblable donnerait celle qui correspond à la courbe A'M'B', et le point où sa direction irait couper celle de la première serait nécessairement un de ceux du prolongement de la courbe des points I. Il est visible, en effet, que les points ainsi obtenus jouiront de la même propriété que les premiers, savoir: que, « si de l'un quelconque » d'entre eux on abaisse des perpendiculaires sur les diamètres » AB et A'B', les rectangles des segments qu'elles y formeront » seront toujours entre eux dans uii rapport constant (56). »

11 est à remarquer, au surplus, que la construction précédente donnerait simultanément deux sécantes idéales correspondant à chaque courbe génératrice, et qu'ainsi leur intersection mutuelle donnerait à la fois quatre points appartenant à la courbe cherchée.

19. On voit, par cet exemple particulier, combien il devient nécessaire d'étendre le langage et les conceptions de la Géométrie ordinaire et de les rapprocher de celles déjà admises dans la Géométrie analytique. Vouloir repousser des expressions fondées sur des rapports exacts et rigoureux, quoique parfois purement figurés, pour y substituer des noms insignifiants et qui ne rappellent que des caractères particuliers ou insolites de l'objet défini; éviter de se servir dans le raisonnement géo-

382 V* CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES mélrique des expressions el des noiions qui qualilient la nonexistence et la rappellent, ce serait vérilablemenl refuser à la Géométrie rationnelle les seuls moyens qu'elle ait de suivre les progrès de l'Analyse algébrique, et d'interpréter d'une manière satisfaisante les conséquences des résultats souvent bizarres, auxquels elle parvient.

Mais il est temps que nous revenions à l'objet véritable des discussions que nous avons un instant abandonnées, dans le dessein de répandre quelque jour sur la nature du sujet.

20. Appelons M, N, P et Q {fig. i54) quatre points appartenant à l'inlerseclion mutuelle de deux sections coniques, et

joignons deux à deux ces points par des lignes droites indétiniment prolongées : on obtiendra six cordes communes à la fois aux deux courbes, qui seront telles, que chacune d'entre elles en rencontrera une autre, et seulement une autre, au dehors du périmètre de ces courbes ; il y aura donc trois systèmes semblables de cordes communes qui formeront un quadrilatère ordinaire MNPQ avec ses deux diagonales; nous appellerons les deux cordes d'un même système cordes communes conjuguées. D'après cela, dans la figure, les cordes MN et PQ qui se rencontrent en K, au delà du périmètre des deux courbes, sont conjuguées entre elles; il en est de même du système des cordes MQ, NP et de celui MP, NQ.

Nous verrqns plus tard les raisons qui peuvent déterminer à adopter celle dénomination, d'ailleurs ircs-naturelle; pour

le moment, nous ferons rcniarquer que si deux cordes conjuguées, telles que PN el QM, par exemple, viennent à se rapprocher jusqu'à se réunir enfin en une seule, les points M et N, communs à la fois aux deux coniques, se réuniront aussi en un seul, de même que leurs opposés P et Q; les cordes conjuguées MN et PQ deviendront donc des tangentes communes à la fois aux deux courbes, le point K de leur intersection mutuelle étant ainsi le pôle commun des quatre autres cordes confondues en une seule avec celle de contact.

Dans ces mêmes circonstances, les deux sections coniques correspondantes sont devenues tangentes en deux points réels, et la droite qui joint le pôle avec le centre de la corde commune de contact est à la fois, dans l'une et l'autre courbe (5), le diamètre conjugué à celui qui est parallèle à cette corde de contact.

21. Quand deux sections coniques tracées sur un même plan seront telles, qu'ayant un système de coniques supplémentaires remplissant les conditions de l'article 13, ces supplémentaires se touchent, en outre, en deux points réels, la corde de contact de ces points, qui, d'après la définition, est une corde idéale commune aux deux courbes proposées, pourra être considérée, selon ce qui précède, comme la réunion de deux cordes réelles communes aux supplémentaires et, par conséquent aussi, comme la réunion de deux cordes idéales communes aux proposées. Il sera donc naturel de dire alors que les sections coniques données ont une corde idéale de contact, qu'elles se touchent en deux points imaginaires suivant celte même corde, qu'enfin ces courbes ont encore deux autres cordes communes, toutes deux imaginaires et qui

'sont les tangentes aux points de contact en question.

22. Si l'on se rappelle (9) que la section conique supplémentaire d'une conique par rapporta une corde idéale donnée sur'un plan, a même centre, même diamètre conjugué à cette corde; que, de plus, le pôle de cette dernière, son milieu ou centre sont aussi les mêmes (12) pour l'une et pour l'autre, et se trouvent situés à la fois sur le diamètre en question, on pourra en conclure que deux sections coniques qui ont une corde idéale de contact commune, el se touchent par consé-

384 V'' CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES quent en des points imaginaires, d'après la définition qui précède, sont absolument dans les mêmes circonstances à l'égard de cette corde que si le contact des deux sections coniques était réel; car les cordes réelles et les cordes idéales communes, considérées dans leur direction indéfinie, sont assujetties aux mêmes conditions, et il en est ainsi des pôles qui leur correspondent respectivement. Ces deux systèmes, jouissant d'une propriété commune, sont donc véritablement deux systèmes soumis à la même loi, et qui ne diffèrent absolument l'un de l'autre que parla situation particulière des deux courbes dont ils se composent; il en est ici évidemment comme du système de deux sections coniques quelconques, qui ont des cordes communes réelles pour certaines positions et des cordes communes idéales i)our d'autres.

23. De tout ce qui vient d'être dit sur les contacts doubles des sections coniques, il résulte qu'il sera toujours facile de reconnaître, à priori, si deux semblables courbes, situées sur un même plan, sont entre elles en contact idéal, ou ont une corde idéale de contact commune; car il suffira de tracer le diamètre qui passe à la fois par leurs centres, puis de décrire les coniques supplémentaires conjuguées à ce diamètre et aux deux courbes données, et de s'assurer ensuite, d'une façon ou d'une autre, qu'elles ont un double contact réel.

Les considérations que nous venons d'offrir sur les cordes réelles ou idéales communes au système de deux sections coniques conduisent directement à quelques notions nouvelles louchant les sections coniques. Nous croyons, pour le moment, devoir nous borner à l'examen de celles d'entre elles qui peuvent présenter le plus d'intérêt par leur généralité, et c'est par là que nous terminerons ce premier paragraphe.

24. Deux hyperboles situées sur un même plan, qui sont semblables et semblablement placées sur ce plan, ont évidemment leurs asymptotes respectivement parallèles, et concourent par conséquent en deux points réels à l'inlini, appartenant à la fois aux deux systèmes d'asymptotes dont il s'agit(7); donc elles ont une corde réelle commune située à une distance infinie sur leur plan.

Pareillemeni, quand deux ellipses, situées sur un même plan, sont semblables et semblablement placées sur ce plan, il existe une infinité de systèmes d'hyperboles supplémentaires, conjuguées à une même direction de diamètres des ellipses proposées (10), et, pour chacun de ces systèmes en particulier, les hyperboles supplémentaires sont évidemment semblables et semblablement situées, et ont, d'après ce qui précède, une corde commune à Tinfini ; donc aussi les ellipses proposées ont une corde idéale qui leur est commune à l'in ■ fini, c'est-à-dire, en d'autres termes, qu'elles peuvent être regardées comme ayant deux points imaginaires en commun à l'infini.

Au reste, on peut remarquer que la direction de la corde dont il, s'agit est nécessairement indéterminée, puisqu'il y a une infinité de systèmes d'hyperboles supplémentaires autour des ellipses proposées, répondant à l'infinité pareille de systèmes de diamètres conjugués dont la direction est commune à ces ellipses. La même indétermination subsiste évidemment quant à la direction de la corde à l'infini commune à deux hyperboles semblables et semblablement placées sur un plan, car rien n'indique à priori si cette corde fait plutôt partie de tel système de cordes parallèles que de tel autre. Ainsi :

« Deux hyperboles ou deux ellipses semblables et sembla- » blement placées sur un même plan, ont une corde com- » mune à l'infini, qui est réelle pour les hyperboles et idéale » pour les ellipses, mais, dans tous les cas, entièrement » indéterminée de situation à l'égard des courbes auxquelles » elle appartient. »

25. Si, au lieu de deux hyperboles ou de deux ellipses, on en considérait un nombre quelconque qui soient toutes semblables et semblablement placées sur un même plan, on prouverait également qu'elles ont à l'infini une corde unique qui est à la fois commune à tout leur système ; mais cette corde serait nécessairement idéale pour le système des ellipses, c'est-à-dire que :

« Le système d'un nombre quelconque d'hyperboles ou » d'ellipses, toutes situées sur un même plan, semblables et » semblablement placées sur ce plan, a une corde à l'infini