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386 Y" CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES » commune à toutes les courbes du système, mais qui est » réelle pour le système des hyperboles et idéale pour celui » des ellipses.

26. Quand deux hyperboles semblables et semblablement placées sur un même plan sont en outre concentriques, elles ont évidemment mêmes asymptotes ou mêmes tangentes aux deux points qui leur sont communs à l'infini; ainsi elles se touchent en deux points réels, et par conséquent elles ont une corde réelle de contact; mais cette corde est située entièrement à l'infini. Or il suit de là et du raisonnement qui précède, que deux ellipses qui sont concentriques, semblables et semblablement situées sur un même plan, ont également une corde de contact commune à l'infini, mais qui est idéale; et, comme la même chose subsiste nécessairement pour un nombre quelconque d'ellipses ou d'hyperboles, on peut énoncer ce nouveau principe :

« Le système d'un nombre quelconque d'hyperboles ou » d'ellipses, toutes concentriques, semblables et semblable- » ment placées sur un même plan, a une corde de contact à » l'infini commune à toutes les courbes du système, mais qui » est réelle pour le système des hyperboles et idéale pour » celui des ellipses. »

Les propositions réciproques résultent évidemment des principes mêmes qui viennent d'être posés ; ainsi , par exemple :

« Si deux ou plusieurs sections coniques, situées sur un » même plan, ont une corde commune réelle ou idéale située » à l'infini , elles sont nécessairement semblables et sembla- » blement placées sur ce plan. »

27. Nous remarquerons, avant de terminer ce sujet, que l'indétermination qui a lieu pour la corde commune à l'infini, quand on considère des sections coniques semblables et semblablement placées sur un plan, subsiste également quand ces sections coniques deviennent concentriques. En général, quand une ligne droite se transporte d'un mouvement continu, mais d'ailleurs quelconque, jusqu'à une dist^^nce infinie, sans quitter le plan de la figure à laquelle elle appartient, elle devient nécessairement indéterminée de situation sur ce plan

à l'égard des autres objets de la figure. Cela résulte immédiatement de ce que, par suite de l'admission de la continuité dans les lois géométriques, « tous les points à l'infini d'un » plan doivent être considérés idéalement comme distribués » sur une ligne droite unique, située à l'infini sur ce plan, » mais d'ailleurs indéterminée de situation à l'égard des autres » objets de la figure. »

Les considérations qui viennent de nous occuper peuvent servir, dès à présent, à justifier cette notion purement métaphysique; nous la verrons se reproduire sous plusieurs formes, dans diverses circonstances particulières, et nous aurons même occasion de la justifier d'une manière générale et d'en donner une explication satisfaisante au moyen des considérations propres à la perspective. Au reste, cette même notion pourrait se justifier directement au moyen des principes reçus en Analyse ; mais nous croyons la chose pour le moins peu utile, si ce n'est superflue (*); car là, comme en Géométrie, les notions abstraites et purement figurées ont pour principe unique la volonté qu'on a d'étendre la conception d'une figure, actuellement géométrique et possible, à tous les étals que peut prendre cette figure, même à ceux où certains objets perdent leur existence absolue.

Après avoir posé, dans ce premier paragraphe, les notions générales qui concernent les cordes réelles ou idéales des sections coniques, nous croyons devoir, avant de passer aux principes de projection qui forment la base principale de ces recherches, nous airêler quelque temps à l'examen des diverses propriétés dont ces cordes jouissent dans le cas simple de la circonférence du cercle. Par là nous acquerrons des idées nouvelles et précises sur la nature de ces lignes ; nous éclairerons Tobjet des définitions qui précèdent, et nous pourrons ensuite poursuivre, sans beaucoup de peine, l'examen des sections coniques en général.

(*) Foir dans le IV" Cahier, art. 3 de ce volume, une note récente annexée au Mémoire sur la théorie des polaires réciproques, extraite des Annales de Mathématiques de Montpellier (t. VIII, janvier 1818).

388 V« CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES § II. — Des cordes et sécantes idéales considérées dans