LE CAS PARTICULIER DE LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE

28. La conique supplémentaire d'une circonférence de cercle est évidemment une hyperbole équilalère (9) ayant même centre et même diamètre qu'elle. Comme pour les autres sections coniques, le nombre de ces hyperboles supplémentaires est infini; mais il n'y en a qu'une seule qui corresponde à une droite donnée sur le plan du cercle : c'est celle dont le diamètre de contact est perpendiculaire à cette droite.

Soient mn et ABÏ, ou (C), Jig. i55, la droite et la circonférence de cercle en question ; supposons que cette droite

Fig, i55.

soit corde ou sécante idéale du cercle, et qu'ainsi elle ne le pénètre pas; abaissons-lui du centre C, le diamètre perpendiculaire AB ; décrivons sur ce diamètre une hyperbole équilatère : elle rencontrera la corde idéale aux points M et N, et sera, d'après ce qui précède, la supplémentaire correspondante du cercle (C); le point 0, où le diamètre AB rencontre la corde mn, sera le centre idéal de cette corde; de plus, on aura aussi, d'après la propriété connue de l'hyperbole équilatère,

,OM.ON = ()m' = OA.OB.

D'un point quelconque P de la corde mw, menons une tan génie PT au cercle (C), traçons le rayon de contact CT et la droite CP, on aura

Pï' = CP' — Ct' = PÔ' H- Ôc' — ÂC' = PÔ V OA . OB,

et, par conséquent,

Pt' = PÔ V OA . OB = PÔ' H- MÔ\

Telle est la propriété qui lie la corde idéale MN au cerle (C ) et à son hyperbole supplémentaire ; elle est, comme on peut s'en assurer, parfaitement analogue à celle qui aurait lieu pour le cercle (C) lui-même, considéré seul, si la corde mn était réelle; car, en répétant le raisonnement qui précède, on aurait alors

Pt' = PÔ'— OA.OB = PÔ' — ÔM*.

Au lieu de mener au cercle, dans le cas qui précède, la tangente TP, traçons la sécante arbitraire PF, on aura