PT'=:PE.PF

donc, pour tous les points de la sécante idéale mn, on a

PE . PF = PÔ' -i- OA . OB = PÔ' 4- Ôm'.

29. Pour que deux circonférences de cercle, tracées sur un même plan, aient une corde idéale commune, il faut, d'après la définition (13), qu'en premier lieu le diamètre conjugué à la direction de cette corde, par rapport à l'un des deux cercles, et celui qui est conjugué à la même corde, par rapport à l'autre, se rencontrent au point milieu ou centre de la corde idéale : or, dans le cercle, le diamètre conjugué à la direction d'une droite est perpendiculaire à cette droite; donc la direction des diamètres dont il s'agit doit être la même pour l'un et l'autre cercle, et se confondre, par conséquent, avec cellede la droite indéfinie qui joint leurs centres; ainsi la corde idéale commune à deux cercles, si elle existe, doit être perpendiculaire à la ligne des centres, comme cela a lieu pour les

Sgo Y' CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES cordes réelles. En second lieu, les hyperboles supplémentaires à chaque cercle, décrites sur les diamètres respectifs appartenant à la droite des centres, doivent avoir une corde réelle commune perpendiculaire à cette droite. Ces conditions sont nécessaires et suffisent pour déterminer complètement toutes les cordes idéales communes aux cercles proposés.

Puisque les hyperboles qui donnent les cordes dont il s'agit sont équilatères, leurs asymptotes sont nécessairement parallèles ; donc les branches correspondantes concourent respectivement à l'infini, et ont deux points, ou une corde, en commun à l'infini (7); et, comme cette circonstance a lieu indépendamment de la situation respective des deux cercles donnés, on peut dire d'une manière figurée que :

« Deux circonférences de cercle, situées d'une manière » quelconque sur un même plan, ont toujours une corde » idéale commune placée à l'infini sur ce plan. »

30. Cette conséquence aurait pu se déduire immédiatement du principe de l'article 24, dont elle n'est qu'un cas trèsparticulier; car deux circonférences de cercle quelconques, situées sur un même plan, sont évidemment deux courbes semblables et semblablement situées sur ce plan.

31. Les deux hyperboles supplémentaires décrites sur les diamètres respectifs de la ligne des centres ayant, d'après ce qui précède, déjà deux points en commun à l'infini, ne pourront évidemment se couper de nouveau en'plus de deux points réels : (C) et (C), Jig. i55, étant les deux circonférences de cercle, soient M et N les points dont il s'agit; traçons la corde correspondante mn; on aura nécessairement (28)

Ôm' = OA.OB = OA'.OB'.

Telle est donc la condition nouvelle qui fixe la position de la corde commune à l'égard des deux cercles : or cette condition, qui donne la corde idéale commune à ces cercles quand ils n'ont aucun point d'intersection réel, appartient aussi à leur corde réelle commune, quand ces cercles se coupent ; (Jonc ces cordes s'échangent réciproquement, sans jamais

exister ensemble, et, comme cependant la relation ci-dessus est toujours réelle et possible, on peut affirmer que :

« Deux circonférences de cercle, situées d'une manière » quelconque sur un même plan, ont toujours, outre leur » corde idéale commune à l'infini, une autre corde commune »' réelle ou idéale située à une distance donnée; mais elles » n'en ont qu'une seule de cette sorte, qui est réelle quand » les deux cercles se coupent ou se touchent, et idéale dans » le cas contraire. »

32. Ainsi, deux circonférences de cercle, situées d'une manière quelconque sur un plan , peuvent être regardées comme ayant quatre points en commun, dont deux sont nécessairement imaginaires et à l'infini (13).

Quand l'un des cercles que l'on considère devient infiniment petit ou se réduit à son centre, l'hyperbole correspondante se confond avec ses asymptotes, et ce qui précède subsiste toujours; mais alors, (C ) étant ce cercle, OB' devient égal à OA', et l'on a, pour la condition qui détermine la corde commune à distance finie,

OA.OB^ÔÂ''.

Si pareille chose arrive pour le second cercle (C), les cordes communes subsisteront toujours, et l'on aura, pour déterminer celle à distance finie,

ÔÂ'=ÔÂ'* ou 0A = 0A';

Ce sera donc la perpendiculaire élevée au milieu de la distance ce des centres.

33. Si les deux circonférences, au lieu de se réduire à des points, devenaient concentriques en conservant des dimensions finies, la corde qui leur est en général commune à l'infini, deviendrait (26) une corde idéale de contact, et la même chose aurait lieu si l'on considérait un nombre quelconque de circonférences de cercle. Ainsi :

« Deux ou un plus grand nombre de circonférences de » cercle concentriques, et situées sur un même plan, ont une