V CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

» corde idéale de contact commune à l'infini, ou se touchent

» en deux points imaginaires à l'infini. »

34. Enfin, si l'on suppose que les circonférences de cercle, toujours en nombre quelconque, au lieu d'être concentriques, aient une situation arbitraire sur le plan qui les renferme à la fois, leur système aura également une corde idéale commune à l'infini (25) ; mais ce ne sera qu'une corde simple et non une corde de contact ; c'est-à-dire que :

« Le système d'un nombre quelconque de circonférences » de cercle, situées d'une manière arbitraire sur un plan, a > toujours une corde idéale à l'infini commune à la fois à tous » les cercles dont il s'agit. »

35. Des cercles placés arbitrairement sur un même plan ne sont donc pas tout à fait indépendants entre eux ; ils ont idéalement deux points imaginaires à l'infini en commun, et, sous ce rapport, ils doivent jouir de certaines propriétés appartenant à la fois à tout leur système.

L'examen que nous allons faire des propriétés des cordes communes aux circonférences de cercle pourra servir à confirmer, pour ce cas particulier, la justesse des définitions et des rapprochements que nous venons d'établir; en nous y arrêtant un instant, nous aurons principalement en vue les propriétés qui nous seront utiles pour l'examen des sections coniques en général , et nous ne dirons des autres, qui sont aujourd'hui pour la plupart généralement connues, que ce qui pourra paraître indispensable à l'intelligence des premières.

36. Soit mn [fig. i55) une corde idéale commune à deux circonférences de cercle (C) et (C); appelons M et N les deux points où la coupent à la fois les hyperboles supplémentaires qui lui correspondent ; d'un point quelconque P de celte corde menons arbitrairement une sécante PF dans le cercle (C), et une autre PF' dans le cercle (C ) : on aura (28), en tant que la corde mn appartient au cercle (C) et à son hyperbole supplémentaire,

pe.pf=pôVôm\

DES SECTIONS CONIQUES. SgS

et, en tant qu'elle appartient à l'autre cercle (C),

PE'.PF=:PÔVÔm'; donc PE.PF = PE'.PF',

quel que soit le point P qu'on ait choisi sur la corde mn.

Si l'on traçait les tangentes PT, Pï' aux mêmes cercles, elles seraient évidemment égales ; ainsi :

« La corde idéale commune à deux circonférences de cercle » est le lieu des points du plan de ces cercles pour lesquels » les tangentes correspondantes sont égales. »

Or cette propriété et celle qui précède, toutes deux propres à construire la corde dont il s'agit, appartiennent aussi aux cordes réelles communes à deux circonférences de cercle ; donc les cordes idéales ne diffèrent en rien des cordes réelles: les unes et les autres répondent à la même question et se construisent de la même manière ; la seule distinction nécessaire, c'est que les unes appartiennent à deux points imaginaires, et les autres à deux points réels communs à ces mêmes cercles.

37. Puisque le produit des segments PE, PF est égal à celui des segments PE', PF', les quatre points E, F, E', F' appartiennent à une même circonférence de cercle : la réciproque est également vraie; donc:

« Si l'on décrit une circonférence de cercle quelconque qui » coupe celles (C) et (C ) en quatre points E, F, E', F'; qu'on » trace ensuite les cordes EF et E'F', elles iront concourir » sur la corde commune mn ; cette corde sera donc, dans » tous les cas, très-facile à obtenir, qu'elle soit réelle ou » idéale. »

Quand les sécantes PF et PF' deviendront tangentes en T et T' aux cercles donnés, ce qui peut avoir lieu de quatre manières différentes, la circonférence EFF'E' deviendra ellemême tangente en T et ï' à ces cercles, et, réciproquement :

« Si une circonférence de cercle touche d'une manière » quelconque deux cercles (C) et (C), les tangentes aux deux » points de contact iront concourir, dans tous les cas pos- » sibles, sur la corde mn qui leur est commune. »

Ces propositions demeurent toutes applicables au cas où

394 V^ CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES l'une des circonférences données devient infiniment petite ou se réduit à un point, car la corde commune, quoique idéale, subsiste toujours (31); il en est de même du cas où les deux circonférences données se réduisent à la fois à un point. Mais nous reviendrons plus tard sur ces circonstances particulières ; retournons au cas général.

38. Quand deux circonférences de cercle, situées sur un même plan, se rencontrent en deux points réels, et ont par conséquent une corde réelle commune, on peut en construire une infinité d'autres passant par ces points et ayant la même corde qu'elles. Pour déterminer une quelconque de ces circonférences, il faudra l'assujettir à une condition nouvelle, par exemple à celle de passer par un point donné ou de toucher une droite également donnée sur son plan ; or les propriétés qui précèdent serviront à tracer cette circonférence, sans qu'il soit besoin de recourir aux points de l'intersection commune des cercles donnés, et seulement en employant la corde qui passe par ces points, de sorte que la construction demeurera applicable même au cas où cette corde serait idéale. Donc, quand deux circonférences de cercle ont une corde idéale commune, et se coupent par conséquent en deux points imaginaires situés sur cette corde, on peut aussi construire une infinité de nouvelles circonférences toutes réelles, ayant la même corde en commun avec les premières, et qui passent ainsi idéalement par ces deux points imaginaires.

La même chose aurait lieu évidemment à l'égard des deux points réels ou imaginaires, situés à la rencontre d'une droite quelconque et d'un cercle.

39. Les deux séries de cercles qui nous occupent, étant déterminées et construites de la même manière par rapport à la corde réelle ou idéale qui leur est commune, doivent nécessairement jouir des mêmes propriétés.

Ainsi, que d'un point de la corde commune à l'une ou l'autre série, on mène des tangentes aux divers cercles de cette série, toutes ces tangentes seront égales (36), et les points de contact seront par conséquent rangés sur une seule circonférence de cercle, ayant son centre sur la corde commune au point même d'où sont issues les tangentes; de plus, ce cercle et tous

DES SECTIONS CONIQUES. SgS

ses semblables, coupant à angles droits tous ceux de la série qu'on examine , auront eux-mêmes évidemment une corde idéale commune (36), qui est la ligne des centres de cette série; mais cette corde sera nécessairement idéale quand l'autre sera réelle, et vice versa.

Le cas où la corde commune à une série de cercles est idéale offre une circonstance particulière qui mérite d'être remarquée en passant : c'est que, parmi l'infinité de cercles dont elle se compose, il en est toujours deux qui ont des dimensions infiniment petites, ou qui sont réduits à des points placés symétriquement sur la ligne des centres à l'égard de la corde commune. Ces points sont précisément ceux où passent à la fois toutes les circonférences de cercle de la série réciproque rencontrant à angles droits celles de la première ; ainsi ils sont faciles à construire. En les appelant cercles ou points limites de la série à laquelle ils appartiennent, on pourra énoncer ce théorème :

Théorème I. — Si, d'un point quelconque de la corde réelle ou idéale commune à une série de circonférences de cercle situées sur un même plan, on mène deux tangentes à chaque cercle de cette série, la suite de tous les points de contact déterminera une nouvelle circonférence de cercle passant par les points limites du système quand ces points subsistent, et, si l'on considère de plus le système de toutes les circonférences pareilles, coupant orthogonalement les premières, elles auront réciproquement la ligne des centres primitifs pour corde réelle ou idéale commune à tout leur système.

40. En général, on voit que les cordes idéales des cercles se comportent absolument comme les cordes réelles, et ne peuvent être distinguées dans les recherches. On doit donc facilement concevoir que tout ce qu'on a pu jusqu'ici découvrir des unes s'applique immédiatement aux autres; ainsi, par exemple, sachant que trois cercles qui s'entrecoupent d'une manière réelle sont toujours tels, que les cordes qui leur sont deux à deux communes vont concourir en un même point, on pourra énoncer cette proposition d'une manière beaucoup plus générale, ainsi qu'il suit :

Théorème II. — Quelle que soit la situation respective de

306 Y" CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES trois cercles sur un même plan, les trois cordes réelles ou idéales, qui leur sont deux à deux communes, vont toujours concourir en un seul et même point {*).

Ce point jouit de propriétés nombreuses et remarquables. C'est à cause d'une de ces propriétés qu'il a été nommé centre radical des trois cercles par M. Gaultier de Tours, qui a pareillement désigné par l'expression d'axe radical de deux cercles, ce que nous avons jusqu'ici appelé leur corde réelle ou idéale commune. Au reste, toutes ces propriétés, aussi bien que celles qui précèdent, étant généralement connues des géomètres (**), nous n'insisterons pas davantage.

41. La série des cercles que nous venons d'examiner, qui ont, outre leur corde idéale à l'infini, une autre corde réelle ou idéale commune à une distance donnée, jouit d'un grand nombre de propriétés remarquables qu'il serait intéressant d'étudier d'une manière complète pour l'objet subséquent de ces recherches ; mais nous nous bornerons, pour le moment, à exposer quelques-unes de celles qui se rattachent plus particulièrement au sujet qui nous occupe, et qui deviennent par là susceptibles d'être démontrées d'une manière assez simple sans le secours de considérations étrangères.

D'un point A (Jig. i56), pris à volonté sur le plan d'une suite de cercles (C), (C),... ayant une corde mn, réelle ou idéale, commune à dislance finie, soient menées deux tangentes AT et AT' à chaque cercle dont elle se compose ; soit joint le point A au centre C de ce cercle par une droite AC; soit enfin tracée la corde de contact ou polaire TT' correspondante à A : je dis, en premier lieu, que la suite de tous les points B' de l'intersection mutuelle de ces deux droites sera sur la circonférence d'un cercle passant par le point A, et ren-

(*) Ce théorème reçoit sa démonstration directe de l'art. 36.

(**) XVP Cahier du Journal de V École Polytechnique. On supprime ici une note historique qui se trouve textuellement rapportée dans le Traité des Propriétés projectives de 1822, et par laquelle je revendique sinon mes droits de priorité, du moins l'ancienneté des recherches relatives aux systèmes de cercles, qui se trouvent consignées dans le P"" Cahier du précédent volume ù^s Applications d'Analyse et de Géométrie {iS&3).

contrant orthogonalement tous ceux de la série proposée,

circonférence dont le centre P est nécessairement (36) sur

la corde mn commune à tous les cercles de celte série.

En effet, soit tracé le rayon CT perpendiculaire à la ten-

gente AT, on aura, dans le triangle rectangle ACT, en tant que le point B' appartient à la corde TT',

Cf' = CB'.CA;

soit tracé aussi le cercle (P), passant par le point A et coupant le cercle (C) orthogonalement au point Q (39), les rayons CQ et PQ qui lui correspondent seront réciproquement tangents à ce cercle; donc on aura aussi, en tant que le point B' est supposé sur la droite CA et sur la circonférence (P),

cq'=ct' = ca.cb',

relation qui, étant la même que la précédente, apprend que le point B', intersection de TT' et de AC, appartient, en effet, à la circonférence fixe (P), orthogonale aux cercles de la suite (C) (39), comme il s'agissait de le prouver.

Si l'on fait attention que le point B' n'est autre chose que le point milieu de la corde de contact TT', on pourra énoncer ainsi ce ihorème :

Théorème III. — .Si, d'un point pris à volonté sur le plan

398 V^ CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES d'une série de cercles ayant une corde réelle ou idéale commune, on mène deux tangentes à chaque cercle de cette série, tous les points milieux des cordes de contact correspondantes seront distribués sur une nouvelle circonférence de cercle coupant orthogonalement les premières.

42. En second lieu, puisque tous les points B' appartiennent à la circonférence de cercle invariable (P), les cordes de contact ou polaires TT', qui correspondent au même point A et à chaque cercle (C) de la suite proposée, iront toutes concourir au point invariable A' de la circonférence (P), situé à l'extrémité du diamètre AP qui passe par A ; proposition qu'on peut énoncer ainsi :

Théorème IV.' — Si, d'un point pris à volonté sur le plan d'une suite de cercles ayant une corde réelle ou idéale commune, on mène deux tangentes à chaque cercle dont elle se compose, toutes les cordes de contact ou polaires correspondantes iront concourir en un point unique.

43. Les points A et A' jouissent évidemment de propriétés réciproques à l'égard des cercles de la suite, puisque, si l'on appliquait au point A' le raisonnement fait sur le point A, on trouverait que le point de concours correspondant est encore sur le cercle (P), à l'extrémité du diamètre invariable A'PA; ainsi ces deux points sont réciproquement les concours des polaires qui leur correspondent.

Quand le point A est pris sur la corde commune mn, son réciproque A' s'y trouve nécessaifement aussi, car la direction du diamètre AP se confond alors avec celle de celte corde; ainsi encore :

Théorème V. — Tous les points de la corde commune à une suite de cercles tracés sur un même plan, sont tels, que les polaires correspondantes vont concourir réciproquement en des points appartenant à cette même corde.

44. Cette proposition peut, au reste, être considérée comme un corollaire très-simple de ce qui a été dit à l'article 37; on voit, en outre, qu'elle s'applique aussi à la corde idéale qui est commune à l'infini à un système de cercles quelconques

situés sur un plan, car les polaires d'un- point de cette corde deviennent évidemment alors parallèles entre elles et concourent réciproquement à l'infini , ce qui peut servir à justifier le principe de l'article 34.

Le cercle (P), qui passe par le point A, et qui rencontre orthogonalement tous les cercles de la série proposée, est évidemment unique pour un même point donné A ; mais il est variable en même temps que ce point. D'après l'observation faite à l'article 39, la suite de tous les cercles semblables doit avoir la droite CC pour corde réelle ou idéale commune, selon que celle mn du système proposé est, au contraire, idéale ou réelle, et ils doivent tous passer, dans le premier de ces deux cas, par les points K et L, qui représentent les cercles infiniment petits limites de tous ceux de ce système. Or, de cette remarque, on peut déduire une proposition qui nous sera particulièrement utile par la suite.

Soient K et L [fig. 167) les deux points par où doivent passer toutes les circonférences orthogonales ; mn la droite

qui renferme leurs centres et qui sert de corde idéale commune à la suite examinée ; soit enfin ED une droite, donnée arbitrairement sur son plan, qu'on suppose devoir être parcourue par le point A; je dis que tous les réciproques à ce point seront situés sur une section conique passant par les points K et L.

4oo V CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

Concevons, en effet, une circonférence quelconque (P) passant par K et L ; elle ira rencontrer la droite donnée aux deux points A et B, et, si l'on trace les diamètres APA' et BPB', leurs nouvelles extrémités A' et B' appartiendront évidemment ( 43 ) à la courbe des réciproques de ED. Or la corde A' B', qui passe par ces extrémités et coupe KL en S, est parallèle à la droite donnée ED dans toutes les positions qu'elle peut prendre en rendant variable le cercle (P); de plus, on a pour toutes ces positions

SA'.SB'z=SK.SL,

propriété qui ne peut convenir qu'à une section conique, puisque d'ailleurs la suite des points I', milieux des cordes A' B', est nécessairement sur une droite diamétrale unique EF (*).

La section conique, qui renferme à la fois tous les points A', B', passe évidemment par les points K etL, qui représentent les cercles limites du système dont mn est la corde commune, quand ces points existent, c'est-à-dire quand mn est corde commune idéale aux cercles de ce système (39); dans le cas contraire, la droite des centres ne rencontrant plus les cercles (P), les points K et L deviennent imaginaires ; mais la direction indéfinie de cette droite n'en demeure pas moins une corde idéale commune à la section conique et aux cercles dont il s'agit, comme on pourrait facilement s'en assurer d'une manière directe et comme cela résulte d'ailleurs du principe de continuité, puisque cette droite jouit des mêmes propriétés dans tous les cas possibles (40).

(*) Cette dernière assertion paraîtra évidente si l'on considère que la double apothème IF aux cordes AB et A'B' du cercle (P) demeure toujours parallèle à elle-même, et qu'elle est toujours divisée également au point de son intersection avec la corde commune mn du système de cercles dont on examine les propriétés. Quant à l'autre, elle le devient pareillement, en faisant attention que la courbe passe nécessairement par les points K et L; en sorte que le rectangle des ordonnées SA', SB' est dans un rapport constant avec celui des abscisses correspondantes SK, SL, proposition qui n'est qu'une extension de celle qui a été mise en usage à l'article 13 du ?'' paragraphe, et qui revient à la XVIP du Livre III des Co«/(yM6'^ d'Apollonius. {Note de i8i8).

DES SECTIONS CONIQUES. 4oi

Ainsi, nous pouvons énoncer ce théorème :

Théorème VI. — Tous les points qui sont réciproques de ceux d'une droite donnée sur le plan d'un système de cercles, ayant une corde réelle ou idéale commune, sont situés sur une seule et même section conique passant par les deux points réels ou imaginaires, limites des cercles du système.

45. Si l'on se donnait une autre droite quelconque sur le plan des cercles du système, la section conique correspondante passerait encore par les points K et L; elle aurait donc la droite OD des centres pour corde réelle ou idéale conjmune avec la première. Il est .visible d'ailleurs que le point, réciproque de celui où ces deux droites se coupent, est également un point appartenant à la fois aux deux courbes.

Quand la directrice donnée se confond avec la ligne des centres des cercles du système, les pojaires des points qui s'y trouvent deviennent évidemment toutes parallèles entre elles, et à la cordé mn de ce système; elles concourent donc toutes à l'infini, et la conique des réciproques se réduit ainsi à un point situé à l'infini sur cette corde.

Il résulte de celte remarque que la section conique qui renferme les réciproques d'une droite quelconque donnée, passe elle-même par le point dont il s'agit; car cette droite a nécessairement un de ses points placé sur la ligne des centres du système. Ainsi, toutes les sections coniques pareilles passent à la fois par les points limites du système et par celui qui est situé à l'infini sur la corde commune à tous les cercles dont il se compose.

Enfin, quand la directrice El) {Jig. i5']) devient parallèle à la corde commune mn, la section conique des réciproques dégénère elle-même en une ligne droite, qui est évidemment parallèle et symétriquement placée à l'égard de la corde mn, car alors A' B' se confond avec le diamètre fixe El' F, quel que soit le cercle (P) qu'on ail choisi pour l'obtenir (44).

46. Soit toujours DE {^g. i56, p. 897) une droite donnée sur le plan d'un système de cercles (C), (C ) ayant une corde commune mn ; du centre C d'un cercle quelconque du système soit abaissée la perpendiculaire CA sur DE ; du pied A de