II

4o2 V* CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES celle perpendiculaire soient menées les tangenles Aï, AT' au cercle (C), puis la corde de coniacl TT', polaire du poinl A: elle ira couper AC en un poinl B', qui sera réciproquement le pôle de la direction donnée DE (5), car celle droite est parallèle à la corde TT'.

Cela posé, concevons la circonférence (P), qui, passant par le poinl A, coupe à angles droits la série de cercles proposée : elle renfermera nécessairement le pôle B' (41) ; mais l'angle B'AE est droit, par hypothèse; donc l'extrémité B du diamètre BPB' appartiendra à la droite donnée, et par conséquent le point B', pôle de cette droite et du cercle (C), appartient, de son côté, à la courbe des réciproques de cette même jdroite (43) ; théorème que l'on peut énoncer ainsi :

Théorème VII. — La section conique, lieu de tous les points réciproques d'une droite donnée à volonté sur le plan d'un système de cercles qui qnt une corde commune , est aussi le lieu de tous les pôles de cette même droite par rapport aux cercles dont se compose le système.

k7. Nous ne pousserons pas plus loin, pour le moment, ces considérations sur les suites de cercles qui ont une corde réelle ou idéale commune : peut-être trouvera-t-on que nous avons déjà trop dit à ce sujet; ce qui suit concernera principalement les propriétés appartenant aux cordes communes au système simple de deux circonférences de cercle situées sur un même plan.

Rappelons d'abord quelques définitions et quelques propoéitions généralement connues.

Soient (C) et iC/),Jig. i58, deux circonférences de cercle situées sur un même plan ; on sait qu'il existe toujours, sur la ligne ce de leurs centres, deux points S et S' par lesquels passent respectivement les deux faisceaux de droites qui joignent les extrémités de deux rayons parallèles quelconques, selon que ces rayons sont dirigés dans le même sens ou en sens contraire par rapport aux centres C et C. On sait aussi <|ue ces points sont en même temps ceux où concourent respectivement les tangentes extérieures et intérieures communes aux deux cercles, quand ces tangentes sont réelles et possibles. Afin de distinguer ces points entre eux et de tout

DES SECTIONS CONIQUES. 4o3

autre point du plan des deux cercles correspondants, les géomètres ont donné, depuis quelque temps, le nom de centre

de similitude directe au point S où concourent les tangentes extérieures communes, et celui de centre de similitude opposée au point S' où concourent, au contraire, les tangentes intérieures communes.

Ces définitions sont aussi simples que naturelles, puisque deux circonférences de cercle, situées sur un même plan, sont respectivement semblables et semblablement placées à l'égard de chacun de ces points. On en peut dire autant de l'expression d'axe radical employée pour désigner la corde commune à deux cercles; mais les unes et les autres offrent le désavantage de, ne présenter qu'un caractère particulier de l'objet défini, applicable seulement au cas du cercle, et de faire perdre de vue, par conséquent, la dépendance générale et purement graphique gui lie cet objet aux autres parties' dé la figure : or, le but principal de ces recherches étant de généraliser et d'étendre immédiatement la conception géométrique des figures, nous croyons devoir ne pas abandonner entièrement la définition primitive et jusque-là généralement admise, de points de concours des tangentes communes; seulement, pour éviter l'espèce de contradiction qui peut avoir lieu, dans certains cas, entre les termes et les objets qu'ils servent à désigner, nous continuerons à employer les adjectifs réel et idéal, qui ne portent que sur la manière d'être de

4o4 V" CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES l'objet défini à l'égard des autres qu'on rappelle, et non sur son existence propre, censée toujours réelle. Nous réservons, au reste, le mol imaginaire pour le cas où l'objet en question serait tout à fait impossible. D'après cette remarque, nous appellerons, selon les cas, les points S et S' centres de similitude directe ou opposée, points de concours des tangentes extérieures ou intérieures communes, et nous dirons que chacun de ces points est réel ou idéal, selon que les tangentes correspondantes seront elles-mêmes réelles ou imaginaires.

48. Nous pouvons, au surplus, justifier à priori ces dernières définitions, de la même manière que nous l'avons fait pour les cordes réelles ou idéales communes au système de deux seclions coniques. Si l'on considère, en effet, deux circonférences de cercle quelconques (C) et (C), Jîg. i55, situées sur un même plan, et les deux hyperboles supplémentaires de ces cercles, conjuguées à la fois à la direction de la corde commune mn, il paraîtra évident que ces hyperboles, étant équilalères et, par conséquent, semblables el semblablement situées sur le plan des deux cercles, devront avoir mêmes centres de similitude S et S'. Ainsi, comme chacun de ces centres est nécessairement au dedans de l'un des deux cercles quand il est au dehors de l'hyperbole correspondante, et réciproquement, il faut qu'il appartienne à la fois à deux tangentes imaginaires communes à ces mêmes cercles, et à deux tangentes réelles communes aux hyperboles, et vice versa, c'est-à-dire que chacun de ces points est, à la fois, point de concours idéal pour les deux cercles et point de concours réel pour les hyperboles correspondantes; C3 qui justifie la définition admise.

49. Los points S et S', étant déterminés de la même manière par rapport aux cercles (C) et (C), Jig. i58, doivent évidemment jouir de propriétés semblables à l'égard de ces cercles. On démontre, en effet, que, quel que soit celui de ces points que l'on considère en particulier, si l'on mène par l'un d'eux S, les transversales arbitraires SA, SB ; qu'on trace ensuite les cordes qui correspondent aux quatre points de son intersection avec chaque cercle respectif :

a i" Les quatre systèmes ÀB et A'B', DE et D'E', AD el

DES SECTIONS CONIQUES. 4o5

M A'D', BE et B'E', dont les deux cordes respectives appar- » tiennent à des cercles différents et ont une situation sem- » blable à l'égard des centres C et C et du point S, sont des » systèmes de cordes parallèles.

» 2° Les quatre autres systèmes AB et D'E', DE et A'B', » BE et VD', AD et B'E', dont les deux cordes respectives » appartiennent à des cercles différents et ont une situation » dissemblable à l'égard des centpes C, C et du point S, sont » des systèmes tels, que les quatre points qui leur appar- » tiennent respectivement sont sur une seule et même cir- » conférence de cercle différente des proposées. »

Cela étant, puisque les deux cordes des quatre premiers systèmes sont parallèles entre elles, elles concourent à l'infini en un point qu'on peut regarder comme appartenant à la corde idéale commune aux deux cercles à l'infini (29).

En second lieu, puisque les quatre extrémités A, B, D', E' qui appartiennent à deux cordes AB, D'E' de l'un quelconque des quatre derniers systèmes, sont sur une circonférence de cercle, ces deux cordes prolongées iront concourir (37) en un point P de l'autre corde commune aux cercles (C) el(C') située à une distance donnée ou finie.

Si donc nous appelons homologues directes les cordes de l'un quelconque des premiers systèmes, et homologues inverses celles qui font partie de l'un des quatre autres, en remarquant, pour les distinguer entre elles, que celles qui sont homologues directes sous-tendent, du côté de S, deux arcs de cercle qui opposent à la fois leur concavité ou leur convexité vers ce point, et que celles qui, au contraire, sont homologues inverses sous-tendent, du côté de S, des arcs dont la convexité ou la concavité n'est pas dirigée à la fois vers ce point, on pourra énoncer ce théorème général :

Théorème VIII. — Deux circonférences de cercle quelconques étant situées sur un ntéme plan, si, de l'un des points de concours des tangentes extérieures ou intérieures qui leur sont communes, on mène à volonté deux transversales qui les coupent, puis qu'on trace, pour chaque cercle, les cordes qui passent par les points d'iîitersection respectifs :

1° Les cordes homologues directes seront parallèles, et iront

4o6 V« CAHIER. — ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES concourir deux à deux sur la corde idéale à l'infini commune aux deux cercles;

1° Les cordes homologues inverses iront concourir deupc à deux sur Vautre corde commune à ces mêmes cercles, située à une distance déterminée et finie.

50. Quand les deux iranversales SA et SB viennent à se rapprocher jusqu'à se confondre, la proposition subsiste évidemment toujours; mais alors les quatre cordes AB, DE, A'B', D'E' deviennent des tangentes aux cercles respectifs. Doac :

Théorème IX. — Si, de l'un quelconque des points de concours des tangentes extérieures ou intérieures communes à deux cercles, on mène à volonté une transversale qui les coupe, puis les quatre tangentes aux points d'intersection correspondants :

1° Les tangentes homologues directes seront parallèles, et iront concourir sur la corde idéale commune à l'infini aux deux cercles y

2" Les tangentes homologues inverses iront concourir, à l'inverse, sur la corde commune à ces cercles, située à une distance donnée et finie.

51. Toutes ces propriétés subsistent encore, en vertu de la continuité, quand on vient à supposer que l'un des deux cercles glisse, en variant de grandeur, entre les deux tangentes qui lui sont communes avec l'autre, jusqu'à se confondre avec lui en un seul et même cercle: la corde commune devient alors évidemment la corde de contact du cercle et des tangentes fixes, c'est-à-dire la polaire du point de concours de ces tangentes; les cordes et tangentes, que nous avons appelées homologues directes, se confondant deux à deux; quant à celles qui sont homologues inverses, elles concourent respectivement sur la corde de contact ou polaire : on parvient donc ainsi, par forme de simple corollaire, à toutes les propriétés connues du pôle et de la polaire pour le cas de la circonférence du cercle.

Notre intention n'est pas de nous arrêter, pour le moment, à ces sortes de propriétés, nous aurons occasion d'y revenir par la suite et de traiter la chose sous un point de vue plus général. Retournons donc à notre objet véritable.

Les propriétés que nous venons de reconnaître ci-dessus, pour le système de deux circonférences de cercle quelconques, donnent évidemment lieu aux réciproques suivantes :

Théorème X. — Si, d'un point quelconque de l'une ou de l'autre des cordes communes à deux circonférences de cercle, on mène des tangentes à ces cercles, qu'on joigne ensuite deux à deux, par des lignes droites, les points de contact qui appartiennent à des circonférences distinctes :

x° Celles qui joignent des points de contact dont les arcs tournent à la fois leur convexité ou leur concavité du côté de la corde commune, tendent toutes au point de concours de tangentes extérieures communes ;

2° Celles qui correspondent à des arcs dont la concavité n'est pas tournée à la fois vers la corde commune, tendent, au contraire, au point de concours des tangentes intérieures communes.

52. Quand le point d'où partent les tangentes est sur la corde commune à l'infini, ces tangentes sont parallèles, et alors les droites de la première espèce sont celles qui passent par des points de contact situés du même côté de chaque cercle; l'inverse a lieu pour les autres.

53. 11 suit de la dernière partie de la réciproque qui nous occupe que, si un point jouissait à l'égard du système de deux circonférences de cercle de la propriété que les cordes homologues directes correspondantes soient parallèles et concourent, par conséquent, à l'infini, ce point serait nécessairement un de ceux où se coupent les tangentes extérieures ou intérieures communes; mais on peut remarquer plus généralement encore, que, dès l'instant où deux courbes quelconques situées sur un même plan jouissent, à l'égard d'un certain point de ce plan, des propriétés dont il s'agit, ces deux courbes sont nécessairement semblables et semblablement situées à l'égard de ce point, qui est ainsi un centre de similitude. Supposant donc que l'une des deux courbes devienne une circonférence de cercle, l'autre sera nécessairement aussi une circonférence

.de cercle ayant le point en question pour concours réel ou idéal de tangentes communes.

4o8 V CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES 54. Les propositions précédentes donnent lieu à quelques

corollaires faciles que nous allons e;caminer. Soient (C) et (C')> fig. iSg, deux circonférences de cercle

situées sur un même plan; considérons en particulier leur

Fig. 159.

centre de similitude directe S; ce que nous pourrons dire de ce point sera immédiatement applicable au centre de similitude opposée (49). Du point S menons deux transversales arbitraires SA, SD pour déterminer les cordes homologues inverses AD, A'D' concourant en p sur la corde commune MN du système; les quatre points A, A', D, D' appartenant à ces cordes seront situés (49) sur une troisième circonférence de cercle; or, il résulte de là réciproquement que, si par les points A et A', qui se correspondent, on mène une circonférence de cercle quelconque AA'D'D, les deux derniers points D, D' obtenus ainsi appartiendront à une ligne droite DD' dirigée vers S comme la première AA'; en sorte que les cordes AD et A'D' seront homologues inverses. Si donc on appelle, en général, homologues inverses deux points tels que A et A',

qui sont sur une droite dirigée vers S et appartiennent à des arcs dont la convexité est tournée en sens contraire par rapport à ce même point, on pourra énoncer la proposition suivante :

« Si, par deux points A et A' homologues inverses par rap- » port à S, on mène une circonférence de cercle quelcon- » que (c), elle ira rencontrer de nouveau les cercles donnés » (C), (C) en deux points D et D' homologues inverses comme » les premiers » (*).

53. Cela posé, imaginons que du point S on mène la tangente S/ au cercle [c], puis qu'on trace le cercle (S), qui a S pour centre et S^ pour rayon, il coupera à la fois orthogonalement le cercle (c) et tous ses semblables, car

s7=SA.SA'=const.,

quelle que soit la direction de SA; de plus, ce cercle aura MN pour corde commune avec les cercles (C) et (C), puisqu'il passe nécessairement par les points de leur intersection mutuelle quand ces cercles se coupent ( ** ). Donc ( 40 ), si l'on trace la corde tt' qui lui est commune avec chaque cercle (c), cette corde ira concourir au point p où se coupent déjà celles AD, A'D' et MN.

Quand le point S est intérieur aux cercles (C) et (C), la tangente S/ et le cercle (S) deviennent imaginaires, mais la propriété subsiste toujours. En effet, la corde tt' n'est autre

(*) Tout cercle qui coupe orthogonalement les cercles (C) et (C) appartient évidemment à la suite des cercles (c), car son centre est sur la corde commune MN, et ses points d'intersection avec les proposés sont les points de contact des tangentes égales issues de ce centre (39), par où l'on voit (Théor. X) que le cercle orthogonal dont il s'agit appartient à la fois aux cercles {c) qui correspondent à S et à ceux qui correspondent au centre de similitude opposée S'. {Note de 1818.)

( ** ) Ce raisonnement s'appuie sur l'admission du principe de continuité; mais au moyen de la note qui précède, on peut démontrer la même chose d'une manière tout à fait directe ; il en résulte, en effet, que le cercle (S) est orthogonal à tous ceux de la suite réciproque à (C). et (C), ce qui ne peut avoir lieu sans qu'il fasse partie de la suite que déterminent ces derniers (39). {Item.)

4io V CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES chose que la polaire de S, laquelle, subsistant toujours (5), doit aussi toujours jouir des mêmes propriétés.

Réciproquement, quand un cercle, d'ailleurs quelconque, est orthogonal au cercle (S) qui vient de nous occuper, il fait nécessairement partie des cercles (c), c'est-à-dire' que les points de son intersection avec les proposés sont deux à deux homologues inverses (54) et, par conséquent, placés dans le même ordre sur des droites dirigées vers S. Pareillement, tout cercle qui a un contact semblable ou de même espèce avec chacun des cercles (C)et (C) est évidemment tel (37, 51), que « la droite qui joint ses points de contact passe par le centre » de similitude directe S » ; donc il appartient aussi à la suite des cercles (c) et jouit des mômes propriétés qu'eux; seulement les cordes AD et A'D' sont devenues nulles ou tangentes aux cercles correspondants.

56. Admettons maintenant une nouvelle circonférence (c'), décrite comme la première : elle jouira des mêmes propriétés relatives; de plus, elle jouira conjointement avec elle de propriétés appartenant simultanément à leur système; par exemple, les cordes AD et BE, qui leur appartiennent, ainsi qu'à (C), iront concourir (37) en un point P de la corde mn qui leur est commune, et il en sera de même des cordes correspondantes A'D', B'E'. Pareillement, puisque les tangentes aux cercles (c) et (c'), issues du point S, sont toutes égales (55), ce point appartient aussi à la corde commune mn (36); donc

« Les trois points P, P' et S sont sur une même ligne droite » corde commune au système des cercles (c) et (c'). o

Deux systèmes de cordes respectivement homologues inverses, tels que AD et A'D', BE et B'E', déterminent toujours deux circonférences de cercle (c) et (c'); on peut donc énoncer généralement ainsi ce théorème, qui se rattache d'une manière intime à ceux des articles 49 et 50 :

Théorème XI. — Les points de concours P ei P' de deux systèmes de cordes respectivement homologues inverses AD et BE, A'D' et B'E' sont sur une droite passant par le centre de similitude correspondant S, c'est-à-dire qu'ils sont eux-mêmes homologues inverses à l'égard de ce point ( 54 ).

DES SECTIONS CONIQUES. 4ii

57. Le cas particulier où les cercles (c) et [c') deviennent tangents, de même espèce, aux cercles donnés (C) et (C) est surtout remarquable en ce qu'il y a réciprocité complète entre les deux systèmes qu'ils forment. Il est visible, en effet, que les cercles (C)et (C) sont réciproquement tangents de même espèce, aux cercles (c) et(c'); en sorte qu'ils jouissent, à l'égard de ces cercles, de leur centre de similitude directe et du cercle orthogonal qui a son centre en ce point, de toutes les propriétésqui viennent de nous occuper.

Soient donc (c) et {c'),Jig. i6o, deux cercles quelconques ayant aux points A et A', B et B' un contact de même espèce

à l'égard de chacun des cercles donnés (C) et (C); il résultera de cette simple remarque et de tout ce qui précède, que :

« 1° Les droites AA' et BB', qui sont les cordes de contact a dans (c) et (c'), iront concourir au centre de similitude di- » recle S des cercles (C) et (C );

D 2* Les droites AB et A' B', qui sont les cordes de con- » tact dans (C) et (C), iront au contraire concourir au centre D de similitude s des cercles (c) et (c')j

» 3» Les pôles p et p' des cordes de conlact AA' et BB'

4i2 V CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

» seront situés, ainsi que s, sur la corde MN commune au

» système des cercles (C) et (C) (Théor. X);

n 4° Les pôles P et P' des cordes de contact AB et A'B' » seront au contraire situés, ainsi que S, sur la corde mn » commune aux cercles (c) et (c');

» 5° Le cercle (S), qui a S pour centre, et pour rayon une » tangente quelconque St aux cercles (c) et (c'), passe par les » points d'intersection des cercles (C) et (C) et a par consé- » quent MN pour corde commune avec eux; de plus, la » corde tt', qui lui est commune avec l'un quelconque des » cercles (c) et {c' ), et qui est aussi la polaire du point S dans » ce cercle, passe par le pôle correspondant p (55);

» 6" Les mêmes choses ont lieu à l'égard du cercle [s] et des » cordes qui lui sont communes avec (c), [c'), (C) et (C); » ainsi, par exemple, sa corde Tï', commune avec (C), ou » la polaire de s dans ce cercle, passe par le pôle P de AB;

» 7" Enfin les pôles t: et ;:' de la corde mn, commune aux » cercles {c) et [c'), sont rangés respectivemenl sur les cordes » de contact AB et A'B' appartenant aux cercles (C) et (C), » et pareille chose a lieu pour la corde MN. »

Cette dernière conséquence se démontre en observant que, puisque P est le pôle de AB dans le cercle (C), par exemple, la droite S m, qui passe par ce point, doit avoir réciproquement pour pôle un point de AB (51).

58. Deux cordes homologues inverses quelconques, telles que AB et A'B', déterminent évidemment toujours deux circonférences de cercle (c) et (c') tangentes aux cercles (C) et (C) ; mais nous venons de voir que Jes pôles de ces mêmes droites sont rangés sur une nouvelle droite passant par le centre de similitude S ; donc on peut énoncer ce théorème :

Théorème XIL — Les pôles respectifs P et P' de deux cordes homologues inverses quelconques AB et A'B', sont rangés sur une ligne droite passant par le centre de similitude correspondant S, c'est-à-dire qu'ils sont eux-mêmes homologues inverses à V égard de ce point.

59. Quand les deux transversales SA et SB viennent à se confondre en une seule, les cordes homologues dont il s'agit

DES SECTIONS CONIQUES. 4i3

peuvent également se confondre avec elles; les points P et P' deviennent, dans celte hypothèse, les pôles de la nouvelle sécante, et comme sa direction demeure pourtant arbitraire, il en résulte ce nouveau corollaire :

Théorème XIII. — Les pôles de toute ligne droite, passant par l'un des points de concours des tangentes à la fois communes à deux circonférences de cercle situées sur un même plan, sont rangés sur une nouvelle droite passant réciproquement par ce point.

60. Celle proposition, qui est, comme la précédente, une conséquence très-simple de celle de l'article 56, est tellement .caractéristique, que, dès l'instant où elle subsiste à l'égard de deux cercles et d'un point situés sur un même plan, il faut nécessairement que ce point soit un de ceux où concourent les tangentes communes à ces cercles. Il est visible, en effet, que lorsque la transversale qui passe par ce point devient tangente à l'un des deux cercles, elle devient nécessairement aussi tangente à l'autre, car les deux pôles correspondants se trouvent alors à la fois sur cette transversale.

61. On pourra objecter contre cette démonstration qu'elle n'est applicable qu'au cas où le point que l'on considère est extérieur aux cercles qui lui correspondent; mais, outre que l'extension d'un cas à l'autre peut avoir lieu directement, en invoquant le principe de continuité , puisque les systèmes correspondants sont assujettis à la même loi et ne diffèrent que par la transposition des parties, on peut encore choisir un tour de démonstration qui soit indépendant de la condition dont il s'agit ; mais alors les conséquences seront de nouveau restreintes au cas où la transversale, passant par le point donné, serait susceptible de couper à la fois les deux cercles.

En effet alors, et en vertu de la propriété ci-dessus, ce point est nécessairement placé quelque part sur la ligne des centres; cela résulte immédiatement de la discussion. Soient donc (C), (C) et S les deux cercles et le point donné [fig. i6i); SA une transversale arbitraire passant par S, mais rencontrant à la fois les deux cercles ; traçons les tangentes aux points d'inter-

4i4 V" CAHIER. — ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

section, afin d'obtenir les pôles P et P' de la droite SA; me- ij

nons enfin les rayons CA, C'A' et les droites CP, C'P', qui 11

Fig. iGi.

sont nécessairement perpendiculaires à la droite SA, et par suite parallèles entre elles; on aura évidemment

CÂ'=CD.CP, CÂ'':=C'D'.C'P', d'où

Ca': CÂ' V. CD.CP : G'D^ C'P';

mais les triangles respectivement semblables CDS et C'D'S, CPSet C'P' S donnent

CD : CD':: CS : C'S, CP : C'P':: CS : C'S; donc

CD.CP:C'D'.C'P::Cs':Cs',

et par conséquent